初三数学相似三角形知识点归纳
初三数学相似知识点

初三数学相似知识点
1. 相似三角形:相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
相似三角形的对
应边长成比例,对应角度相等。
2. 相似比例:相似三角形的边长比值称为相似比例。
如果两个三角形的对应边长分别
为a:b:c和ka:kb:kc,那么它们的相似比例为a:b:c。
3. 相似三角形定理:包括AAA相似定理、AA相似定理和对应角边比相等定理。
其中,AAA相似定理指出如果两个三角形的对应角度相等,那么它们相似;AA相似定理指出如果两个三角形的两个对应角度相等,那么它们相似;对应角边比相等定理指出如果
两个三角形的两个对应角度相等,并且对应边长之比相等,那么它们相似。
4. 相似三角形的性质:相似三角形的相似比例等于对应边长之比;相似三角形的相似
比例等于对应角度的正弦值、余弦值或正切值;相似三角形的高线、中线等与对应边
长成等比例;相似三角形的面积与边长平方成比例。
5. 相似三角形的应用:相似三角形的定理在解决实际问题中有很多应用,如利用相似
三角形进行测量、解决影子问题、求解高度、求解距离等。
6. 图形的相似:除了三角形,其他图形(如矩形、圆、椭圆等)也有相似的概念和相
似关系,可以利用相似关系解决相关问题。
这些内容是初三数学中关于相似的主要知识点,希望对你有帮助!如有其他问题,请
随时提问。
北师大版初三上数学相似三角形(一)

相似三角形【知识要点】1.对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
2.相似三角形的判定:①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
②如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。
③如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。
3.相似三角形具有下述性质:①相似三角形对应角相等、对应边成比例;②相似三角形对应高、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比;③相似三角形周长的比等于相似比;④相似三角形面积的比等于相似比的平方。
4.熟悉如图中形如“A”型,“X”型,“子母型”等相似三角形。
【典型例题】例1.在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于O,BM∥CD交CA的延长线于M,求证:OC2 =OA·OMBGD例2 . 如图,三个正方形组成一个矩形,AB=AG=GH=HD=a ,求证:∠AFB+∠ACB=45°。
例3 . 已知CD 是直角三角形ABC 斜边AB 上的高,E 是CD 的中点,AE 的延长线交BC 于F ,AB FG ⊥,垂足是G ,求证:FB FC FG ∙=2ABCDE G H例4.如图,已知△ABC 中,点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 上的点,DE ∥BC ,EF ∥AB 。
(1)求证:△ADE ∽△EFC 。
(2)如果△ADE 和△EFC 的面积分别是20和45,求四边形BFED 的面积。
例5. 如图所示,△ABC 中AB=AC ,D 为CB 的延长线上一点,E 为BC 延长线上一点,满足AB 2=DB ·CE 。
(1)求证:△ADB ∽△EAC ; (2)若∠BAC=40°,求∠EAD 的大小例6.已知:如图,在△ABC 中,AD ⊥BC 于D ,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F求证:△AEF ∽△ACBADBCE例7.如图,已知梯形ABCD 中,AD ∥BC ,EF 过梯形对角线的交点O ,且EF ∥AD .(1)求证:OE=OF ; (2)求证:EFBC AD 211=+。
初三数学相似三角形知识点总结

实用工具:常用数学公式 公式分类 公式表达式
乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b)
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b|
|a|≤b<=>-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注�韦达定理判别式
与非零向量
a�
平行�那么存在唯一的实数
� m, 使 b
�
ma�
3.单位向量 我们把长度为 1 的向量叫做单位向量。设 e� 为单位向量�则 e� � 1 。对于任意非零向量
a� �与它同方向的单位向量记作 a�0 ,则
a� �
�� � a a0,a0
�
1 a�
a�
4.线性运算
向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算。如 3a � 2b � a � 2b 、 3(a � 5b) 等�都是向量的线性运算。
ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
某些数列前 n 项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
数学初三必考知识点归纳

数学初三必考知识点归纳这里按照五个大类把初三的全部知识点都整理一遍,一共二十八个知识点,如下所示:一、相似三角形(7个考点)考点1:相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小考核要求:(1)理解相似形的概念;(2)掌握相似图形的特点以及相似比的意义,能将已知图形按照要求放大和缩小。
考点2:平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理考核要求:理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算.注意:被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用。
考点3:相似三角形的概念考核要求:以相似三角形的概念为基础,抓住相似三角形的特征,理解相似三角形的定义。
考点4:相似三角形的判定和性质及其应用考核要求:熟练掌握相似三角形的判定定理(包括预备定理、三个判定定理、直角三角形相似的判定定理)和性质,并能较好地应用。
考点5:三角形的重心考核要求:知道重心的定义并初步应用。
考点6:向量的有关概念考点7:向量的加法、减法、实数与向量相乘、向量的线性运算考核要求:掌握实数与向量相乘、向量的线性运算二、锐角三角比(2个考点)考点8:锐角三角比(锐角的正弦、余弦、正切、余切)的概念,30度、45度、60度角的三角比值。
考点9:解直角三角形及其应用考核要求:(1)理解解直角三角形的意义;(2)会用锐角互余、锐角三角比和勾股定理等解直角三角形和解决一些简单的实际问题,尤其应当熟练运用特殊锐角的三角比的值解直角三角形。
三、二次函数(4个考点)考点10:函数以及函数的定义域、函数值等有关概念,函数的表示法,常值函数考核要求:(1)通过实例认识变量、自变量、因变量,知道函数以及函数的定义域、函数值等概念;(2)知道常值函数;(3)知道函数的表示方法,知道符号的意义。
考点11:用待定系数法求二次函数的解析式考核要求:(1)掌握求函数解析式的方法;(2)在求函数解析式中熟练运用待定系数法。
注意求函数解析式的步骤:一设、二代、三列、四还原。
初三数学 相似三角形

初三数学 相似三角形知识点知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多 边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数). 知识点2 比例线段的相关概念(1)如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,,那么就说这两条线段的比是nm b a =,或写成n m b a ::=.注:在求线段比时,线段单位要统一。
(2)在四条线段d c b a ,,,中,如果b a 和的比等于d c 和的比,那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段,简称比例线段.注:①比例线段是有顺序的,如果说a 是d c b ,,的第四比例项,那么应得比例式为:adc b =.②()a ca b c d b d==在比例式::中,a 、d 叫比例外项,b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项,b 、d 叫比例后项,d 叫第四比例项,如果b=c ,即 a b b d =::那么b 叫做a 、d 的比例中项, 此时有2b ad =。
(3)黄金分割:把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >,且使AC 是BC AB 和的比例中项,即2AC AB BC =⋅,叫做把线段AB 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,其中AB AC 215-=≈0.618AB .即512AC BC AB AC -== 简记为:512-长短==全长注:黄金三角形:顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形:宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质(注意性质立的条件:分母不能为0)(1) 基本性质:①bc ad d c b a =⇔=::;②2::a b b c b a c =⇔=⋅.注:由一个比例式只可化成一个等积式,而一个等积式共可化成八个比例式,如bc ad =,除 了可化为d c b a ::=,还可化为d b c a ::=,b a d c ::=,c a d b ::=,c d a b ::=,b d a c ::=,a b c d ::=,a c b d ::=.(2) 更比性质(交换比例的内项或外项):()()()a bc d a c d cb d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩,交换内项,交换外项.同时交换内外项 (3)反比性质(把比的前项、后项交换): a c b db d a c=⇔=.(4)合、分比性质:a c abc db d b d±±=⇔=.注:实际上,比例的合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比的前项,后项之间发生同样和差变化比例仍成立.如:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a ccd a a b d c b a 等等.(5)等比性质:如果)0(≠+⋯⋯+++=⋯⋯===n f d b n m f e d c b a ,那么ban f d b m e c a =+⋯⋯++++⋯⋯+++. 注:①此性质的证明运用了“设k 法”(即引入新的参数k )这样可以减少未知数的个数,这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法.②应用等比性质时,要考虑到分母是否为零.③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数,再利用等比性质也成立.如:b af d b e c a f e d c b a f e d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322;其中032≠+-f d b . 知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得:AC AEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或注:①重要结论:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边......与原三角形三边......对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即:利用比例式证平行线.③平行线的应用:在证明有关比例线段时,辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注:平行线分线段成比例定理的推论:平行线等分线段定理:两条直线被三条平行线所截,如果在其中一条上截得的线段相等,那么在另一条上截得的线段也相等。
相似三角形模块知识点及题型整理

特殊三角形和相似一、章节目录二、地位和作用构成三角形的是边和角, 全等三角形涉及的是等边等角的三角形, 相似三角形涉及的则是等角的三角形. 全等是相似的特殊情况, 相似是对全等关系条件放宽, 按照相似关系将三角形进行分类,同一类三角形只有大小不一样,但保留了边与边之间的比值关系(形状). 因此本模块内容主要是两部分, 一是相似的基本概念,性质与判定; 二是特殊三角形(每一类特殊三角形都是相似关系)和三角函数(在相似的关系下一个角的三角函数是不变量) 考点上,相似三角形和全等在分布和难度上都类似, 选择题和填空题主要考察基本概念,判定以及性质; 大题综合考察, 也会与函数结合, 需要总结方法和思路; 特殊三角形单独考察一般是小题, 更多的是结合在其他证明题中作为条件出现, 需要对特殊三角形的性质烂熟于心; 解直角三角形会有一道大题, 主要是勾股定理应用, 方程法等等.三、知识点总结(一)特殊三角形1、等腰三角形(1)概念:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.(2)性质:等腰三角形的两个底角相等.(等边对等角)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合(“三线合一”)等腰三角形关于顶角中线对称.(3)如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形,其中,两个等角所对的边相等.2、等边三角形(1)概念:三边都相等的三角形叫做等边三角形.等边三角形是特殊的等腰三角形. (2)性质:等边三角形具有等腰三角形的一切性质等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于60°.(3)等边三角形的判定定理三个角都相等的三角形是等边三角形.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.3、直角三角形(1)性质:直角三角形的两个锐角互余.(2)判定:有两个角互余的三角形是直角三角形.(3)三角形斜边的中线性质:三角形斜边上的中线是斜边的一半.证明:倍长中线构造全等.(4)两个特殊直角三角形:30°,60°,90°:30°所对直角边是斜边的一半.45°,45°,90°:等腰直角三角形,顶角中线把三角形又分为两个等腰直角三角形4、勾股定理(1)定理内容:在直角三角形中,两个直角边的平方和等于斜边的平方. (a2+b2=c2).(2)勾股定理的逆定理:如果三角形中有两个边的平方和等于第三边的平方,那这个三角形是直角三角形.5、直角三角形全等判定:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.6、反证法证明一个命题是真命题:①假设命题的结论不成立;②从这个假设和其他已知条件出发,经过推理论证,得出与学过的概念、基本事实,已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果.③由矛盾的结果,知假设不能成立,从而说明命题的结论是正确的.讲反证法这类逻辑上的内容,可以多结合生活中的例子,从现实中体会其核心思想.(二)图形的相似1、比例线段(1)四条线段之间的关系:在四条线段a,b,c,d 中, 如果线段a 与b 的比等于线段c 与d 的比, 即a b=c d, 就称这四条线段为成比例线段, 简称比例线段, 我们也称这四条线段成比例.(2)比例线段的基本性质①如果ab=c d, 那么ad =bc .②如果ad=bc , 那么ab=cd(b,d =≠0)(3)黄金分割C 是线段AB 上的一个点,如果有ACAB =BCAC ,那么称点C 为线段AB 的黄金分割点,ACAB称为黄金分割比.黄金分割比即:全线段:较长边=较长边:较短边. 黄金分割比为常数√5−12, 约为0.618.2、平行线分线段成比例(1)基本事实:两条直线被一组平行线所截,截得的线段成比例. 如图所示l1//l2//l3, 则AB:BC=DE:EF.将这个事实应用于三角形后:(2)推论:平行于三角形的一边截其他两边(或两边延长线),所得的对应线段成比例.(ADAB =AEEC)平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形与原三角形对应边成比例.(ADAB =AEAC=DEBC,第三边证明方法是过D作AC平行线.)3、相似三角形(1)概念:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 相似三角形对应边的比叫做相似比. 若△ABC与△DEF相似,记作△ABC∼△DEF, A和D,B和E,C和F是对应点.(2)相似三角形的判定定理①平行于三角形一边的直线与另外两边构成的三角形与原三角形相似.思路指导:遇平行找相似.②三条边分别成比例③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.④两组角对应相等的两三角形相似.注意课本中后四个判定的证明方法,判定①是最简单、基本的那个,后三个相似判定都是通过转化为①的情况加以证明的,由平行构造出的相似三角形也是最简单的相似模型.(“A”字形和“8”字形)(3)相似三角形的性质①对应角相等,对应边成比例.②对应的中线、高线、角平分线之比为相似比,周长之比也为相似比.③面积比为相似比的平方.(4)相似模型:①“A”字形相似和“8”字形相似.(一组等角和两条邻边判定.)A字形相似是由直线截得的相似,在已知一个三角形的情况下,用一条直线截这个三角形,使得直线与三角形边的夹角等于已知三角形的一个角,进而通过两个角对应相等判定截得的三角形与原三角形相似.8字形也是由直线截得的,与A字形不同的是,在这里直线截的是△ABC的两条边所在的直线,最终截得的图如下:②射影定理(三个直角三角形三组相似)如图所示△ABC是直角三角形,CD⊥AB, 则三个直角三角形两两相似,根据相似关系可得:AC2=AD⋅ABCB2=BD⋅BACD2=AD⋅DB③共线三等角(两组角对应相等)共线三等角是如图给出的相似,由∠ACB+∠DCE=180○−α=∠ACB+∠A,得∠A=∠DCE, 从而△ABC∼△CED.④旋转相似如上图,△AED,△ACB是任意三角形,ED//CB,将△AED经过旋转至图2后,形成的△ACE∼△ABD.旋转相似是前面全等三角形手拉手模型的推广,可以看到,当AC=AB时,相似比为1,也就是两个三角形全等.4、相似三角形的应用:间接测量(测旗杆)利用△ABO∼△CBD,测量BD,BO得相似比,通过CD求得OA.(测河宽)由C作AB平行线构造相似.(三)解直角三角形1、锐角三角函数锐角三角函数:在相似的意义下,三角形自身边的比值是一个不变量,因此定义一个研究这类比值的量,就是三角函数.(1)概念在直角三角形中,A是其中一个锐角:)①正弦函数sin ∠A:∠A的对边与斜边的比.(sin∠A=ac②余弦函数cos ∠A:∠A的邻边与斜边的比.(cos∠A=b)c)③正切函数tan∠A: ∠A的对边与邻边的比.(tan∠A=ab注意:2sin∠A2=sin(∠A2),sin2∠A=(sin∠A)(2)锐角三角函数的值当锐角A确定,所有以A为一个锐角的直角三角形都是相似的关系,因此他们三边之间的比值都是相等的, 因此A的角度唯一决定了三角函数的值. 即sin∠A,cos∠A,tan∠A都是A的函数.(3)锐角三角函数的性质设∠A与∠B互余,放在同一个直角三角形内,由它们各自三角函数的定义可得:①sin∠A=cos∠B②tan∠A ⋅tan∠B=1同角的三角函数有两个常用性质:①tan∠A=sin∠Acos∠A②sin2∠A+cos2∠A=1(4)几个特殊角度的三角函数值.2、锐角三角函数的计算这里涉及到计算的考点主要是上面特殊角的三角函数值,与正常的实数计算没有区别,把其中的三角函数换成对应的值就是一个普通的计算题了.3、解三角形直角三角形中,三条边和两个锐角共五个元素,知道其中两个(至少一个是边,一边一角或两边就可以确定这个直角三角形)就可以求出另外三个元素. 求解的过程就叫做解三角形.(1)斜三角形内作高构造直角三角形向外高构造直角三角形(2)俯仰角、方位角、坡度仰角:进行测量时,向上看时视线与水平线夹角α.俯角:向下看时视线与水平线夹角β.方位角:指的是南或北方向线与目标方向线所成的锐角.名称如图所示.坡度(坡比):坡面的垂直高度(h)和水平宽度(l)的比叫坡度,以i表示.坡角:坡面与水平面的夹角(α)i=tanα四、常考题型(一)特殊三角形1、等腰三角形和等边三角形出题方向:填空题或者选择题,一般为图形计算,等腰作为条件出现,需要利用等腰所具有的性质进行计算. 或者在证明题中作为条件, 利用等腰三角形的性质构造辅助线.A若等腰三角形的周长为10cm, 其中一边长为2cm,则该等腰三角形的底边长为:_____ 考点:等腰三角形;分类讨论;三边关系.如图,在ΔABC中,AB=AC,∠A=36○, BD平分∠ABC交AC于点D.求证:AD=BC考点: 等腰三角形的性质,以及判定. 顶角为36°的等腰三角形也是常考的一个图形.AB的长为半径画圆,两弧如图,已知AB=AC,AB=5,BC=3, 以A,B两点为圆心, 大于12相交于M,N,连接MN与AC相交于点D,则ΔBDC的周长为:_____.考点:等腰三角形的性质; 尺规作图. 在计算ΔBDC周长时,需要通过分析转化为求AC与BC的和, 这也是在三角形计算中经常会考到的一个思想.如图,已知AD⊥BC于点D, AE⊥CE于E, ∠ACE =∠B, AD=AE,求证: D是BC的中点.考点: 结合全等等腰三角形判定; 三线合一性质如图,点D、E在Δ ABC的BC边上, AB=AC,AD=AE,求证BD=CE.考点:三线合一,利用中线性质作辅助线进行证明. 不需要证明全等.在等腰三角形中三线合一,因此顶角中线(高线/角平分线)是一条重要的辅助线.如图:RtΔABC中, ∠BAC=90○, AB=AC, D是BC的中点,AE=BF.求证:DE=DF.考点:全等三角形证明;其中等腰是条件,需要想到作出高线构造全等.如图:已知ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一条直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E=_____度.考点:等边三角形和等腰三角形的性质;外角性质.B如图, 在ΔABC中,AB=AC, AD,CE是两条中线,P是AD上的一个动点, 则BP+EP的最小值是:_____.考点: 三角形顶角中线的性质(对称性), 与将军饮马模型结合.如图,ΔABC是等边三角形, 延长BC到D, 使CD=AC,连接AD.AB=2,则AD的长为_____.考点:等腰、等边三角形; 特殊三角形已知2是关于x的方程x2−2mx+3m=0的一个根,并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长,则三角形ABC的周长为()A. 10B.14C.10或14D.8或10.考点:等腰三角形和方程结合;分类讨论;三边关系.AC, 则等腰ΔABC底角的度数等腰ΔABC中, BD⊥AC, 垂足为点D, 且BD=12为:_____.考点:等腰三角形;分类讨论;特殊三角形等腰三角形中分类讨论的特点: ①没有图. ②若给出三角形的两个边,则这两个边都可以作为腰, 因此分类讨论; 又同时必须满足三边关系, 得出结果也要进行取舍.如图,已知点O是∠APB内的一点,M、N分别是点O关于P A、PB的对称点,连接MN,与P A,PB分别相交于点E、F,已知MN=6cm.(1)求△OEF的周长;(2)连接PM、PN,若∠APB=α, 求∠MPN(用含α的代数式表示)(3)在(2)的条件下,若α=30°,判定△PMN的形状,并说明理由.考点:几何证明大题,其中涉及了等边三角形的判定. 也是一类动点题的经典考法.如图,在等边△ABC中,点D、E分别在边BC、AB上,且BD=AE, AD与CE交于点F.(1)求证AD=CE(2)求∠DFC的度数考点: 正多边形中的“弦图”,利用的是正多边形中心旋转对称性.2、直角三角形A如图所示,一个直角三角形纸片,剪去这个直角后,得到一个四边形,则∠1+∠2=_____.考点:涉及到直角三角形的简单计算题.已知:在△ABC中,AD⊥BC,∠1=∠B, 求证:△ABC是直角三角形.考点:直角三角形判定如图,在△ABC中,∠ACB=90○,∠ABC=60○,BD平分∠ABC,P是BD的中点,若AD=6,则CP的长为_____.考点:直角三角形中线的性质.如图所示,△ABC中,AB=AC,E为AB的中点,BD ⊥ AC,若∠DBC=20○,则∠BED 为______考点:应用直角三角形中线的性质,连接中线后构造出等腰三角形.B如图所示的网格是正方形网格,则∠PAB+∠PBA=_____°(点A,B,P是网格线交点)考点:直角三角形判定;外角性质. 作法是加倍延长AP后连接终点与B,构造出的三角形是等腰直角三角形.如图,将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起,其中点A’与点A重合,点C’落在边AB上,连接B′C. 若∠ACB=∠AC′B′=90○,AC=BC=3,则B′C的长为_____.考点:主要是勾股定理的应用.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90○,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接BM,MN,BN.(1)求证:BM=MN;(2)若∠BAD=60○,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长.考点:直角三角形中线性质;中位线性质;等腰直角三角形性质.如图,在Rt△ABC中, ∠A=90○,AB=AC,BC=√2+1,点M、N分别是边BC,AB上的动点,沿MN所在的直线折叠∠B, 使点B的对应点B’始终落在边AC上. 若△MB′C为直角三角形,则BM的长为:_____.考点:动点问题,一般有两个特征:一是列代数式,列方程的思想; 二是分类讨论.本题还与折叠问题相结合.看似M、N都是动点,实际上N是随M取定而确定的.3、勾股定理勾股定理在三角形的计算中起着非常重要的作用,前面给出的部分例题也有涉及,勾股定理最常见的是作为一个方法与直角三角形相关的问题紧密结合.在一个直角三角形中,如果其中两条边分别是6和10,那么第三条边的长度是:_____.考点:直角三角形的勾股定理已知a、b、c是△ABC的三边长,且满足关系式√c2−a2−b2+|a−b|=0,则△ABC 的形状为_____.考点:勾股定理的逆定理,判定直角三角形如图,△BCD中,AB=4,AD=3, BC=13, CD=12, 且∠BAD=90○, 求△BCD的面积.考点:勾股定理的逆定理. 首先求出BD,得出△BDC是直角三角形.(二)相似三角形1、几类经典的相似模型(1)A字形相似和8字形相似如图,在△ABC中,AB=9,AC=6,BC=12,点M在边AB上,AM=3,过点M作直线MN与边AC交于点N,使截得的三角形与原三角形ABC相似,则MN的长为:_____.注意是“截得”的三角形,那么对应前面的总结,应当考虑的是截线与边的夹角∠AMN 与∠B 或∠C对应,要分类讨论,两种情况下对应关系不同,就能求出两个结果.如图,已知在△ABC中,AB=20,BC=12,D是AC上一点,过点D作DE//BC交AB于E,作DF//AB交BC于F,设四边形BEDF为菱形.①求菱形的边长②求菱形BEDF面积与△ABC的面积之比.如图1,在平行四边形ABCD中,点E是BC的中点,点F在线段AE上,BF的延长线交射线CD于点G,若AFEF =3,求CDCG的值.①尝试探究:在图1中,过点E作EH//AB交BG于点H,则易求ABEH 的值是:_____,CGEH的值是:_____, CDCG的值是:_____.②类比延伸:如图2,在原题的条件下,若AFEF =m(m>0), 则CDCG的值是:_____(用含m的代数式表示),写出解答过程;③拓展迁移:如图3,在梯形ABCD中,DC//AB,点E是BC延长线上一点,AE和BD相交于点F,若ABCD =a,BCBE=b(a>0,b>0),则AFEF的值是:_____(用含a、b的代数式表示.)写出解答过程构造相似,其思路是结合已知条件(线段的比),使之称为相似三角形中的对应边.(2)射影定理已知CD是△ABC的高,DE⊥CA,DF⊥CB,如图,求证:△CEF∼△CBA.如图,在△ABC中,∠ACB=90○,AD为边BC上的中线,CP⊥AD于点P,求证:AD⋅PB=AB⋅BD.3、共线三等角(1)如图,在边长为9的正三角形ABC中,BD=3,∠ADE=60○,则AE的长为:_____.将条件标上,应该就能找到相似模型了.(2)△ABC中,∠C=90°, AC=3, BC=4,O是AB上的一个点,且AOAB =25,点P是AC上的一个动点,PQ⊥OP交线段BC于点Q(不与B、C重合),已知AP=2,求CQ的长.思路是由O作垂线构造三等角模型.4、旋转相似(1)如图,在平行四边形ABCD中,AC=CD,E、F分别为BC、CD上的点,且∠EAF=∠CAD.证明:①△ACE∼△ADF②EA=EF.(2)1)如图①,正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上,直接写出HD:GC:EB的结果(不必写计算过程);2)将图①中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度,如图②,求HD:GC:EB;3)把图②中的正方形都换成矩形,如图③,且已知DA:AB=HA:AE=m:n,此时HD:GC:EB 的值与2)中结果相比有变化吗?如果有,写出变化后的结果.(三)解三角形1、锐角三角函数(1)如图所示小正方形网格中,点A,B,C都在小正方形的顶点上,则cosA的值为:_____.(2)在△ABC中,∠C=90°,AB=√6,BC=√3,则∠A的度数为:_____.(3)计算题在△ABC中,若,∠A、∠B都是锐角,求∠C的度数.2、解三角形(1)如图,在△ABC中,AB=2,AC=4,∠A=120°,求BC的长.解三角形的一个重要方法是作高线构造直角三角形,然后利用勾股定理..求BC和AC的长.(2)如图,在△ABC中,∠B=45°,AB=2√2,tanC=23(3)为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在地面水平放置一个平面镜E,使得B,E,D处在同一水平线上,如图所示. 该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB=∠FED),在F处观测旗杆顶A 的仰角为39.3°,平面镜E的俯角为45°,FD=1.8米,问旗杆AB的高度约为多少米?(结果保留整数)(参考数据:tan39.3°≈0.82,tan84.3○≈10.02)(4)如图,一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30√2km至B港,然后沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏东20°方向,则A,C两港之间的距离为:_____(5)如图,水坝的横断面是梯形ABCD,背水坡AB的坡角∠BAD=60°,坡长AB=20米,为增强水坝强度,将坡底从A处向后水平延伸到E处,使新的背水坡的坡度为1:2,求AE 的长度.(结果精确到1米,参考数据:√2≈1.414,√3≈1.732).。
初三数学知识点:相似三角形定理

初三数学知识点:相似三角形定理聪明出于勤奋,天才在于积累。
我们要振作精神,下苦功学习。
编辑了初三数学知识点:相似三角形定理,以备借鉴。
相似三角形定理:平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。
相似三角形判定定理1:两角对应相等,两三角形相似。
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
判定定理2:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。
判定定理3:三边对应成比例,两三角形相似。
相似直角三角形定理:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。
性质定理1:相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。
性质定理2:相似三角形周长的比等于相似比。
性质定理3:相似三角形面积的比等于相似比的平方。
初三数学知识点:相似三角形定理就是为大家整理的,希望对大家数学成绩的提高有所帮助。
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相似的初三知识点总结归纳

相似的初三知识点总结归纳初三学习是中学阶段的重要阶段,也是学生们的过渡期。
这个阶段的学习内容广泛而深入,其中很多知识点之间存在一定的相似性。
下面将对初三学习过程中一些相似的知识点进行总结归纳,旨在帮助同学们更好地理解和掌握这些知识。
一、相似的数学知识点1.1 相似三角形与比例关系相似三角形是初中数学中一个重要的概念,它与比例关系密切相关。
同学们在学习相似三角形时,需要理解相似三角形的定义、性质和判定条件,并能灵活运用比例关系解决相关题目。
1.2 线性方程组与解的判定线性方程组是数学中常见的问题,解线性方程组的方法有很多,其中常用的是消元法和代入法。
同学们需要学会分析问题,选择合适的方法来求解线性方程组,并能判断方程组是否有解、有唯一解还是无穷多解。
二、相似的物理知识点2.1 运动与力学定律初三物理中的运动与力学定律是相似且密切相关的知识点。
在学习运动时,同学们需要理解匀速直线运动、加速直线运动和自由落体运动等基本概念,并掌握牛顿运动定律以及动力学中的力和加速度的关系。
2.2 热学与热力学的基本概念热学与热力学是物理学中的重要分支,它们之间存在着相似性。
同学们需要理解温度、热力学第一定律、热传递等基本概念,并能运用这些知识解决与热学相关的问题。
三、相似的化学知识点3.1 元素周期表与化学反应元素周期表是化学中的基础知识,它与化学反应密切相关。
同学们需要掌握元素周期表的基本组成以及元素的周期性规律,并能运用这些知识预测或解释化学反应中的现象。
3.2 酸碱中和与溶液的性质酸碱中和与溶液的性质是化学中的重要知识点,它们之间存在一定的相似性。
同学们需要理解酸碱中和反应的特点和计算方法,以及溶液的酸碱性质与pH值的关系,并能运用这些知识解决相关问题。
总结:以上仅是初三学习中一部分相似的知识点的总结归纳,这些知识点之间可能存在相似的思维方式、解题方法或者概念框架。
同学们在学习时应该注意将相似的知识点联系起来,进行横向对比和纵向延伸,以帮助更好地理解和掌握这些知识。
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初三数学相似三角形知
识点归纳
Company Document number:WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
初三数学《相似三角形》知识提纲
(何老师归纳)
一:比例的性质及平行线分线段成比例定理
(一)相关概念:1.两条线段的比:两条线段的比就是两条线段长度的比
在同一长度单位下两条线段a ,b 的长度分别为m ,n ,那么就说这两条线段
的比是,或写成a :b=m :n ; 其中 a 叫做比的前项,b 叫做比的后项
2:比例尺= 图上距离/实际距离
3:成比例线段:在四条线段a ,b ,c ,d 中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段,记作:c
d
a b =(或a :b=c :d ) ① 线段a ,d 叫做比例外项,线段b ,c 叫做比例内项, ② 线段a 叫首项,d 叫a ,b ,c 的第四比例项。
③ 比例中项:若
c a b c a b c
b
b a ,,2是则即⋅==的比例中项. (二)比例式的性质
1.比例的基本性质:bc ad d
c
b a =⇔= 2. 合比:若
,则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=±
3.
等比:若
……(若……)a b c d e f m
n k b d f n =====++++≠0
4、黄金分割:
把线段AB 分成两条线段AC ,BC (AC>BC ),并且使AC 是AB 和BC 的
比例中项,叫做把线段AB 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,其中AC=
2
1
5-≈, (三)平行线分线段成比例定理
1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
如图:当AD∥BE∥CF 时,都可得到
=
.
=
,
= ,
n
m b a =
语言描述如下:
=
,
= ,
=
.
(4)上述结论也适合下列情况的图形:
图(2) 图(3) 图(4) 图(5) 2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.
A 型 X 型
由DE ∥BC 可得:
AC
AE
AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD =
==或或. 3.推论的逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 如上图:若
=
.
=
,
=
,则AD ∥BE ∥CF
此定理给出了一种证明两直线平行方法,即:利用比例式证平行线.
4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边
......
与原三角形三边......
对应成比例.
二:相似三角形: (一):定义:
1:对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形。
用符号“∽”表示, 2:相似比:相似三角形的对应边的比叫做相似比。
(二):.相似三角形的判定定理:
1:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所截成的三角形与原三角形相似。
用数学语言表述如下:
∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC
三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下:
类型斜三角形直角三角形
全等三角形的判
定SAS SSS
AAS
(ASA)
HL
相似三角形的判定两边对应
成比例且
夹角相等
三边对应
成比例
两角对应
相等
一条直角边
与斜边对应
成比例
2:两角对应相等的两个三角形相似(此定理用的最多);
用数学语言表述如下:
∵∠A=∠D,∠B=∠E∴△ABD∽△DEF
3:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;
用数学语言表述如下:
∵AB
DE
=
AC
DF
∴△ABD∽△DEF
4:三边对应成比例的两个三角形相似;
用数学语言表述如下:
∵AB
DE
=
AC
DF
=
BC
EF
∴△ABD∽△DEF
5:直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.
用数学语言表述如下:
∵∠C=∠F =90°AB
DE
=
AC
DF
∴△ABD∽△DEF
6:直角三角形斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似
(即:射影定理).
2、相似三角形的基本图形
Ⅰ.平行线型:即A 型和X 型。
Ⅰ.相交线型
下图1:若△ABC ∽△DCB, 则2AB =(此类型比例式最常用) (三):相似三角形的性质 1: 相似三角形的对应角相等,对应边成比例
2: 相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 3:
相似三角形周长的比等于相似比 4: 相似三角形面积的比等于相似比的平方。
5、相似多边形
(1)如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形。
相似多边形对应边的比叫做相似比(或相似系数) (2)相似多边形的性质
①相似多边形的对应角相等,对应边成比例
②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比
③相似多边形中的对应三角形相似,相似比等于相似多边形的相似比 ④相似多边形面积的比等于相似比的平方 四、位似图形
1:定义1:如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在直线都经过同
一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,此时的相似比叫做位似比。
定义2:由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。
利用位似变换
可以把一个图形放大或缩小
2:性质:每一组对应点和位似中心在同一直线上,到位似中心的距离之比都等于位似比。
初三数学《解直角三角形》知识提纲
(何老师归纳)
一:锐角三角函数的概念
1:在△ABC 中,∠C=90°锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数
2:锐角三角函数的取值范围:0≤sin α≤1,0≤cos α≤1,tan α≥0,cot α≥0. 二:锐角三角函数之间的关系 1:平方关系1cos sin 22=+A A
C E
D B A
C
A D B.
C B
2:倒数关系 tanA •cotA=1 3:商关系: tanA=
A A
cos sin cotA=A
A sin cos 4:互余关系 sinA=cos(90°—A) =cos
B , cosA=sin(90°—A) =sinB
tanA=cot(90°—A) =cotB , cotA=tan(90°—A) =tanB
三:特殊角的三角函数值
三角函数 0° 30°
45°
60°
90° sinα 0 1 cos α 1
0 tan α 0 1 不存在 cot α
不存在
1
说明:锐角三角函数的增减性,当角度在0°~90°之间变化时. (1)正弦值正切值,随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) (2)余弦值余切值,随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) 四:解直角三角形的概念:在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
实际问题三概念: (1)俯、仰角. (2)方位角、象限角. (3)坡角、坡度.
五:补充有关公式
(1)1sin 2S ab C ∆=
=1sin 2bc A =1
sin 2
ac B (2)Rt △面积公式:11
22
S ab ch ==
(3)结论:直角三角形斜边上的高ab
h c
=
(4)测底部不可到达物体的高度.常见解答方程式:如右图,
α h
l
i i=h/l=tg α
B
x
∵在Rt△ABP中,BP=xcotα,在Rt△AQB中,BQ=xcotβ,且BQ—BP=a,∴ xcotβ-xcotα=a.
六:解直角三角形的知识的应用,可以解决:
(1)测量物体高度.(2)有关航行问题.
(3)计算坝体或边路的坡度等问题。