相似三角形知识点总结

相似三角形知识点总结

1. 比例线段的有关概念： 在比例式

：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c

d

a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。

把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2

=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。

2. 比例性质： ①基本性质：

a b c

d

ad bc =⇔= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =⇒

= ③等比性质：

……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a

b

===+++⇒++++++=()0

3. 平行线分线段成比例定理：

①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。

则

，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF

DF

=== ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比

例。

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

4. 相似三角形的判定：

①两角对应相等，两个三角形相似

②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似

④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似

⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

5. 相似三角形的性质

①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例

③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比

⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方

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相似三角形知识点与经典题型

知识点1 有关相似形的概念

(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.

(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多

边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．

知识点2 比例线段的相关概念

（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的

比是

n

m

b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。 （2）在四条线段d

c b a ,,,中，如果b a 和的比等于

d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是

d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：

a

d c b =．②()a c

a b c d b d

==在比例式：：中，

a 、d 叫比例外项，

b 、

c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、

d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、

d 的比例中项， 此时有2

b ad =。 （3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC

AB 和的比例中项，即2

AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄

金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即1

2

AC BC AB AC == 简记为：

长短＝全长

注：黄金三角形：顶角是360

的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形

知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）

（1） 基本性质：

①bc ad d c b a =⇔=::；②2

::a b b c b a c =⇔=⋅．

注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除

了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．

（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：

()()

()a b

c d a c d c

b d

b a d b

c a ⎧=⎪⎪

⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，

交换内项，交换外项．

同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d

a c

=⇔=．

（4）合、分比性质：

a c a

b

c d

b d b d

±±=⇔=

．

注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间

发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧+-=+--=-⇒=d

c d

c b a b a c c

d a a b d c b a 等等．

（5）等比性质：如果

)0(≠++++====n f d b n

m

f e d c b a ΛΛ，那么b

a

n f d b m e c a =++++++++ΛΛ．

注：

①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．

③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：

b

a

f d b e c a f e d c b a f e d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ．

知识点4 比例线段的有关定理

1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边

的延长线)所得的对应线段成比例.

由DE ∥BC 可得：AC

AE

AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或

B