与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第七章 不等式 推理与证明 课时跟踪训练36

课时跟踪训练(三十六)
[基础巩固]
一、选择题
1．(2017·山西临汾一中)不等式y(x＋y－2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是( )
[解析]　由y·(x＋y－2)≥0，得Error!或Error!所以不等式y·(x＋y－2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C项，故选C.
[答案]　C
2．(2017·河北卓越联盟联考)已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则实数a的取值范围为( )
A．(－7,24)
B．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
C．(－24,7)
D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
[解析]　由题意可知(－9＋2－a)(12＋12－a)<0，所以
(a＋7)·(a－24)<0，所以－7<a<24.
[答案]　A
3．(2017·山东卷)已知x，y满足约束条件Error!则z＝x＋2y的最大值是( )
A．0 B．2 C．5 D．6
[解析]　本题考查简单的线性规划．由约束条件画出可行域，
如图．
由z ＝x ＋2y 得y ＝－＋，当直线y ＝－＋经过点A 时，z 取x 2z 2x 2z
2得最大值，由Error!得A 点的坐标为(－3,4)．故z max ＝－3＋2×4＝5.故选C.
[答案]　C
4．(2017·浙江卷)若x ，y 满足约束条件Error!则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )
A ．[0,6]
B ．[0,4]
C ．[6，＋∞)
D ．[4，＋∞)
[解析]　本题考查线性规划中可行域的判断，最优解的求法．不等式组形成的可行域如图所示．
平移直线y ＝－x ，当直线过点A (2,1)时，z 有最小值4.显然z 1
2没有最大值．故选D.
[答案]　D
5．x ，y 满足约束条件Error!若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )
A.或－1 B ．2或 C ．2或1 D ．2或－1
1
21
2[解析]　画出x ，y 约束条件限定的可行域，如图阴影区域所示，由z ＝y －ax 得y ＝ax ＋z ，当直线y ＝ax 与直线2x －y ＋2＝0或直线x ＋y －2＝0平行时，符合题意，则a ＝2或－
1.
[答案]　D
6．(2018·浙江重点中学联考)设x ，y 满足约束条件Error!则的取值范围是( )x ＋2y ＋3
x ＋1A ．[1,5] B ．[2,6]C ．[3,10]
D ．[3,11]
[解析]　
根据约束条件画出可行域如图阴影部分所示．
∵＝1＋，
x ＋2y ＋3
x ＋12(y ＋1)
x ＋1令k ＝，即为可行域中的任意点(x ，y )与点(－1，－1)连线y ＋1
x ＋1的斜率．由图象可知，当点(x ，y )为A (0,4)时，k 最大，此时的最大值为11，当点(x ，y )在线段OB 上时，k 最小，此时x ＋2y ＋3
x ＋1的最小值为3.故选D.x ＋2y ＋3
x ＋1[答案]　D
二、填空题
7．(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件Error!则z ＝3x －4y 的最小值为________．
[解析]　本题考查简单的线性规划．
画出约束条件所表示的平面区域，如图中阴影部分所示(包括边界)．
可得目标函数z ＝3x －4y 在点A (1,1)处取得最小值，z min ＝3×1－4×1＝－1.
[答案]　－1
8．(2017·吉林省吉林市普通高中调研)已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域Error!上的一个动点，则·的取值范围是________．
OA → OM
→ [解析]　由题中的线性约束条件作出可行域，如图．其中C (0,2)，B (1,1)，D (1,2)．由z ＝·＝－x ＋y ，得y ＝x ＋z .由图可知，当OA → OM
→ 直线y ＝x ＋z 分别过点C 和B 时，z 分别取得最大值2和最小值0，所以·的取值范围为[0,2]．
OA → OM
→
[答案]　[0,2]
9．(2018·辽宁抚顺模拟)已知点P (x ，y )满足条件Error!若z ＝x ＋3y 的最大值为8，则实数k ＝________.
[解析]　依题意k <0且不等式组表示的平面区域如图所示．易得，B .目标函数z ＝x ＋3y 可看作直线y ＝－x ＋z 在y 轴(－k
3
，－k
3)1
31
3上的截距的3倍，显然当直线过点B 时截距最大，此时z 取得最大
值．所以z max
＝－＋3×＝－＝8，解得k ＝－6.
k
3(－k
3)4k
3[答案]　－6三、解答题
10．若x ，y 满足约束条件Error!
(1)求目标函数z ＝x －y ＋的最值；
1
21
2
(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．
[解]　(1)作出可行域如图阴影部分所示，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)
．
平移初始直线x －y ＝0，当其过A (3,4)时，z 取最小值－2，过1
2C (1,0)时，z 取最大值1.
∴z 的最大值为1，最小值为－2.
(2)z ＝ax ＋2y 仅在点C (1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－<2，解得－4<a <2.
a
2故所求a 的取值范围是(－4,2)．
[能力提升]
11．(2018·安徽皖南八校联考)已知实数x ，y 满足Error!z ＝|2x －2y －1|，则z 的取值范围是( )
A. B ．[0,5]
[5
3，5]
C ．[0,5)
D.[5
3
，5)[解析]　由约束条件
Error!
作出可行域如图所示阴影部分．联立Error!
解得Error!∴A (2，－1)．联立Error!解得Error!∴B ，
(13，
2
3)
令u ＝2x －2y －1，则y ＝x －－，
u 21
2由图可知，当直线y ＝x －－经过点A (2，－1)时，直线u
21
2y ＝x －－在y 轴上的截距最小，u 最大，最大值为2×2－2×(－1)u
21
2－1＝5；当y ＝x －－经过点B 时，直线y ＝x －－在y 轴上
u 21
2(13，
23)
u 212的截距最大，u 最小，最小值为2×－2×－1＝－.
1
3235
3
∴－≤u <5，∴z ＝|u |∈[0,5)．5
3[答案]　C
12．当x ，y 满足Error!时，z ＝x ＋y 既有最大值也有最小值，则实数a 的取值范围是( )
A ．a <1
B ．－<a <11
2C ．0≤a <1
D ．a <0
[解析]　先作出不等式组Error!表示的可行域(图略)，再作x －ay －2≤0，因为x －ay －2＝0过定点(2,0)，且x －ay －2≤0与前
面可行域围成的区域是封闭区域，故实数a 的取值范围是－<a <1.
1
2[答案]　B
13．(2017·湖北荆襄七校联考)某校今年计划招聘女教师x 人，男教师y 人，若x ，y 满足Error!则该学校今年计划招聘教师最多________人．
[解析]　根据线性约束条件画出可行域，如图所示．易知目标函数是z ＝x ＋y ，注意到可行域的一条边界x ＝6是虚线，可知可行域内使得z 取得最大值的正整数解为(5,5)，所以z max ＝5＋5＝10，即学校今年计划招聘教师最多10人．
[答案]　10
14．(2017·江西上饶期末)若Ω为不等式组Error!表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到0时，动直线x ＋y ＝a 扫过Ω中的那部分区域的面积为________．
[解析]　根据线性约束条件作出可行域，如图所示．可见当a 从－2连续变化到0时，动直线x ＋y ＝a 扫过Ω中的区域为三角形
OAB .显然AC ⊥OB ，|OA |＝|OC |，所以S △OAB ＝S △
1
2OAC ＝
××2×2＝1.
1
21
2[答案]　1
15．(2016·天津卷)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要
A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
原料
A B C
肥料
甲483
乙5510
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．
[解]　(1)由题意，得x，y满足的数学关系式为
Error!该二元一次不等式组所表示的平面区域为图(1)中的阴影部分．
(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .
考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－x ＋z ，这是斜率为－，随231323z 变化的一族平行直线．
为直线在y 轴上的截距，当取最大值时，z 的值
z 3z 3最大．
又因为x ，y 满足约束条件，所以由图(2)可知，当直线
z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距最大，即z 最大．
z 3解方程组Error!得点M 的坐标为(20,24)．
所以z max ＝2×20＋3×24＝112.
所以生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．
[延伸拓展]
　(2017·江西高安中学调研)若不等式组Error!表示的平面区域经过四个象限，则实数λ的取值范围是( )
A ．(－∞，4)
B ．[1,2]
C ．[2,4]
D ．(2，＋∞)
[解析]　不等式组Error!表示的是直线x＝1和y＝3分平面所得四个区域中的左下角那个区域．而不等式2x－y＋λ－2≥0表示直线2x－y＋λ－2＝0的右下方，由图可知，要使不等式组表示的平面区域经过四个象限，则应有λ－2>0⇒λ>2，故选D.
[答案]　D。