2020年高中物理经典随堂讲义：曲线运动(教师版)

运动的合成与分解
考点一曲线运动条件与轨迹分析
知识点
1．曲线运动
(1)速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向．
(2)
动．（不一定变加速）
(3)曲线运动的条件：物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上．
2．合外力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧．
【思考】
判断下列说法是否正确．
(1)变速运动一定是曲线运动．(×)
(2)做曲线运动的物体速度大小一定发生变化．(×)
(3)做曲线运动的物体加速度可以为零．(×)
(4)做曲线运动的物体加速度可以不变．(√)
(5)曲线运动可能是匀变速运动．(√)
例题
【例1】(多选)做曲线运动的质点，其轨迹上某一点的加速度方向()
A．就在通过该点的曲线的切线方向上
B．与通过该点的曲线的切线垂直
C．与物体在该点所受合外力的方向相同
D．与该点瞬时速度的方向成一定夹角
【解析】加速度的方向与合外力的方向始终是相同的，加速度的方向与速度的方向无关，但与物体速度的变化量的方向有关，曲线运动的加速度与该点的瞬时速度的方向成一夹角，正确选项为C、D.
【答案】CD
【例2】如图所示，在玻璃管的水中有一红蜡块正在匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同时，使玻璃管从AB位置水平向右做匀加速直线运动，则红蜡块实际运动的轨迹是图中的()
A．直线P B．曲线Q
C．曲线R D．三条轨迹都有可能
【解析】红蜡块参与了竖直方向的匀速直线运动和水平方向的匀加速直线运动这两个分运动，实际运动的轨迹即是合运动的轨迹．由于它在任意一点的合速度方向是向上或斜向右上的，而合加速度就是水平方向的加速度，方向是水平向右的，合加速度和合速度之间有一定夹角，故轨迹是曲线．又因为物体做曲线运动的轨迹总向加速度方向偏折(或加速度方向总指向曲线的凹向)，故选项B正确．
【答案】B
【例3】质点在一平面内沿曲线由P运动到Q，如果用v、a、F分别表示质点运动过程中的速度、加速度和受到的合外力，下列图象可能正确的是()
【解析】做曲线运动的物体，其速度方向就是曲线上那一点的切线方向，曲线运动的轨迹向合外力的方向弯曲，而合外力的方向就是加速度的方向，故只有D项正确．【答案】D
课堂练习
1.假如在弯道上高速行驶的赛车，突然后轮脱离赛车，关于脱离赛车后的车轮的运动情况，以下说法正确的是()
图5­1­4
A．仍然沿着汽车行驶的弯道运动
B．沿着与弯道垂直的方向飞出
C．沿着脱离时轮子前进的方向做直线运动，离开弯道
D．上述情况都有可能
【解析】赛车沿弯道行驶，任一时刻赛车上任何一点的速度方向都是赛车运动的曲线轨迹上对应点的切线方向．被甩出的后轮的速度方向就是甩出点所在轨迹的切线方向．所以C选项正确．
【答案】C
2.某质点从A到B做速率逐渐增大的曲线运动，轨迹如下图所示．现有四位同学在轨迹某处画出该质点的速度方向及加速度的方向，正确的是()
答案D
3.狗拉雪橇沿位于水平面内的圆弧形道路匀速率行驶，如图为4个关于雪橇受到的牵引力F 及摩擦力F f的示意图（图中O为圆心），其中正确的是（）
答案：C
解析：物体做曲线运动时，其线速度方向沿曲线上某点的切线方向，该题中，雪橇沿圆周运动到某点时，速度沿该点圆周的切线方向，所受的摩擦力F f方向一定与其线速度方向相反；由于雪橇做匀速圆周运动，所以它所受牵引力F和摩擦力F f的合力一定指向圆心，由此推知只有图C满足条件。

故正确选项为C。

课后作业
1.如图所示的曲线为运动员抛出的铅球的运动轨迹(铅球视为质点),A、B、C为曲线上的三点,
关于铅球在B点时的速度方向,下列说法正确的是()
A.为AB的方向
B.为BC的方向
C.为BD的方向
D.为BE的方向
[答案]C
[解析]由于做曲线运动的物体在某点的速度方向沿轨迹在该点的切线方向,因此,铅球在B
点时的速度方向为BD的方向,选项C正确。

2.(多选)一质点在xOy平面内从O点开始运动的轨迹如图所示，则质点的速度()
A．若x方向始终匀速，则y方向先加速后减速
B．若x方向始终匀速，则y方向先减速后加速
C．若y方向始终匀速，则x方向先减速后加速
D．若y方向始终匀速，则x方向先加速后减速
【解析】若x方向始终匀速，经过相同的时间水平间距相同，则y方向的高度增加的越来越慢，说明竖直速度在减小，后来y方向的高度增加的越来越快，说明竖直速度增大，所以物体速度先减小后增大，故A错误，B正确．若y方向始终匀速，经过相同的时间竖直间距相同，则x方向的水平距离先增加的越来越快，说明水平速度在增大，后来x方向的水平间距增加的越来越慢，说明水平速度减小，所以物体速度先增大后减小，故C错误，D 正确．故选BD.
【答案】BD
【提升练习】塔式起重机模型如图2所示，小车P沿吊臂向末端M水平匀速运动，同时将物体Q从地面竖直向上匀加速吊起，下列选项中能大致反映Q运动轨迹的是()
图2
答案 B
解析 水平方向做匀速直线运动，水平方向的合力为零，竖直方向做匀加速运动，竖直方向的合力不为零，做曲线运动的物体受到的合力指向曲线的内侧，可得选项B 正确．
考点二 运动的合成与分解
知识点
1．遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则． 2．合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止． (2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响． (3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果． 3．合运动的性质判断
⎩⎨⎧
加速度(或合外力)⎩
⎪⎨
⎪⎧ 变化：非匀变速运动不变：匀变速运动加速度(或合外力)方向与速度方向⎩
⎪⎨⎪
⎧
共线：直线运动不共线：曲线运动
4．两个直线运动的合运动性质的判断
标准：看合初速度方向与合加速度方向是否共线.
[思维深化]
判断下列说法是否正确．
(1)两个分运动的时间一定与它们的合运动的时间相等．(√)
(2)合运动的速度一定比分运动的速度大．(×)
(3)只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动．(×)
(4)分运动的位移、速度、加速度与合运动的位移、速度、加速度间满足平行四边形定则．(√)
(5)合运动不一定是物体的实际运动．(×)
例题
【例1】如图所示，在一张白纸上放置一把直尺，沿直尺的边缘放置一块直角三角板．将直角三角板沿刻度尺水平向右匀速运动，同时将一支铅笔从直角三角板直角边的最下端向上运动，而且向上的速度越来越大，则铅笔在纸上留下的轨迹可能是()
【解析】铅笔在垂直于直尺方向向上加速运动，沿着直尺方向匀速运动，则铅笔的运动轨迹为曲线，向着加速度方向弯曲，选项C正确，其他选项均错误．
【答案】C
【例2】质量为1 kg的物体在水平面内做曲线运动，已知该物体在互相垂直的方向上的两个分运动的速度—时间图象分别如图甲、乙所示．求：
(1)物体的初速度大小；
(2)物体所受的合外力；
(3)2 s末物体的速度大小；
(4)2 s内物体发生的位移大小．
答案(1)4 m/s(2)1.5 N(3)5 m/s(4)8.5 m
解析(1)从两幅图中可得水平方向的初速度为0，竖直方向上的初速度为4 m/s，故物体的初速度为4 m/s.
(2)物体在竖直方向上做匀速直线运动，即合力为零，在水平方向上做加速度a ＝3
2 m/s 2的匀
加速直线运动，故水平方向上的合外力F ＝ma ＝1.5 N. 即物体所受的合外力为1.5 N. (3)2 s 末物体的速度大小为
v ＝v 2x ＋v 2y ＝32＋42 m/s ＝5 m/s.
(4)2 s 末物体的位移大小为 s ＝x 2＋y 2＝
(1
2
at 2)2＋(v y t )2 m ＝73 m ＝8.5 m.
课堂练习
1.(2015·广东理综·14)如图所示，帆板在海面上以速度v 朝正西方向运动，帆船以速度v 朝正北方向航行，以帆板为参照物( )
A ．帆船朝正东方向航行，速度大小为v
B ．帆船朝正西方向航行，速度大小为v
C ．帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为2v
D ．帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为2v 答案 D
解析 以帆板为参照物，帆船具有正东方向的速度v 和正北方向的速度v ，所以帆船相对帆板的速度v 相对＝2v ，方向为北偏东45°，D 正确．
2.(多选)一快艇要从岸边某一不确定位置处到达河中离岸边100 m 远的一浮标处,已知快艇在静水中的速度与时间的关系v x -t 图象和水流的速度与时间的关系v y -t 图象如图甲、乙所示,则下列说法中正确的是( )
A.快艇的运动轨迹为直线
B.快艇的运动轨迹为曲线
C.快艇最快到达浮标处的时间为20 s
D.快艇最快到达浮标处经过的位移大于100 m
【答案】BCD
【解析】快艇实际运动的两个分运动分别是匀速直线运动和匀加速直线运动,且不在同一直线上,故快艇的运动轨迹为曲线,A错,B对;最快到达浮标处的方式是使v x垂直于河岸且保持题图甲所示的加速度a=0.5 m/s2,在垂直于河岸方向做匀加速直线运动,则at2=x,代入x=100 m 有t=20 s,C项正确;由于快艇要沿水流方向通过一定距离,故实际位移为x'>100 m,D项对。

3.如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用钉子靠着线的左侧，沿与水平方向成30°的斜面向右以速度v匀速运动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度()
A.大小为v，方向不变，与水平方向成60°角
B.大小为3v，方向不变，与水平方向成60°角
C.大小为2v，方向不变，与水平方向成60°角
D.大小和方向都会改变
答案B
解析由于橡皮沿与水平方向成30°的斜面向右以速度v匀速运动的位移一定等于橡皮向上的位移，故在竖直方向以相等的速度匀速运动，根据平行四边形定则，可知合速度也是一定的，故合运动是匀速运动；根据平行四边形定则求得合速度大小为3v，方向不变，与水平方向成60°角.故选项B正确.
课后作业
1.如图所示，一架执行救援任务的直升飞机用缆绳将被救人员竖直向上匀速拉起，同时直升飞机沿水平方向匀速飞行．若仅增大飞机水平匀速飞行的速度，以地面为参考系，则被救人员()
A ．上升时间变短
B ．上升时间变长
C ．运动速度不变
D ．运动速度变大 答案 D
2.[运动的合成](多选)质量为0.2 kg 的物体在水平面上运动，它的两个正交分速度图线分别如图4甲、乙所示，由图可知( )
图4
A ．最初4 s 内物体的位移为8 2 m
B ．从开始至6 s 末物体都做曲线运动
C ．最初4 s 内物体做曲线运动，接下来的2 s 内物体做直线运动
D ．最初4 s 内物体做直线运动，接下来的2 s 内物体做曲线运动 答案 AC
解析 由运动的独立性并结合v －t 图象可得，在最初4 s 内y 轴方向的位移y ＝8 m ，x 轴方向的位移x ＝8 m ，由运动的合成得物体的位移s ＝x 2＋y 2＝8 2 m ，A 正确．在0～4 s 内，物体的加速度a ＝a y ＝1 m /s 2，初速度v 0＝v x 0＝2 m/s ，即物体的加速度与速度不共线，物体做曲线运动.4 s 末物体的速度与x 轴正方向夹角的正切tan α＝v y v x ＝4
2＝2，在4～6 s 内，
加速度与x 轴正方向夹角的正切tan β＝a y a x ＝－2
－1＝2，初速度与加速度共线，物体做直线运动，
C 正确，B 、
D 错误．
3. 2014年4月26日至29日，全国山地自行车冠军赛第二站在山东胶州举行．如图所示，若在某一路段车手骑自行车以4 m/s 的速度向正东方向行驶，天气预报报告当时是正北风，风速也是4 m/s ，则车手感觉的风速为________ m/s ，方向是________．
答案 42 西南
解析 以人为参考系，气流在水平方向上向西有4 m/s 的速度，向南有4 m/s 的速度，所以合速度为4 2 m/s ，方向为西南方向，如图所示．
附：
一、骑马射箭
典例1 (多选)民族运动会上有一骑射项目如图15所示，运动员骑在奔跑的马上，弯弓放箭射击侧向的固定目标.假设运动员骑马奔驰的速度为v 1，运动员静止时射出的弓箭速度为v 2，跑道离固定目标的最近距离为d .要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则( )
图15
A.运动员放箭处离目标的距离为d v 2v 1
B.运动员放箭处离目标的距离为d v 21＋v 2
2v 2
C.箭射到固定目标的最短时间为d
v 2
D.箭射到固定目标的最短时间为d
v 22－v 2
1
答案 BC
解析 要想以箭在空中飞行的时间最短的情况下击中目标，v 2必须垂直于v 1，并且v 1、v 2的合速度方向指向目标，如图所示，故箭射到目标的最短时间为d
v 2，C 对，D 错；运动员放
箭处离目标的距离为d 2＋x 2，又
x ＝v 1t ＝v 1·d
v 2
，故d 2＋x 2＝
d 2＋(v 1d v 2
)2＝
d v 21＋v 22
v 2
，A 错误，B 正确.
二、风中骑车
典例2某人骑自行车以4 m/s的速度向正东方向行驶，天气预报报告当时是正北风，风速为4 m/s，那么，骑车人感觉到的风向和风速为()
A.西北风风速为4 m/s
B.西北风风速为4 2 m/s
C.东北风风速为4 m/s
D.东北风风速为4 2 m/s
答案D
三、下雨打伞
典例3雨滴在空中以4 m/s的速度竖直下落，人打伞以3 m/s的速度向西急行，如果希望雨滴垂直打向伞的截面而少淋雨，伞柄应指向什么方向？
答案向西倾斜，与竖直方向成37°角
解析雨滴相对于人的速度的反方向即为伞柄的指向.雨滴相对人有向东3 m/s的速度v1，有
竖直向下的速度v2＝4 m/s，如图所示，雨滴对人的合速度v＝v21＋v22＝5 m/s.tan α＝v1
v2＝
3
4.
即α＝37°.
四、转台投篮
典例4趣味投篮比赛中，运动员站在一个旋转较快的大平台边缘上，相对平台静止，向平台圆心处的球筐内投篮球.则如图(各俯视图)篮球可能被投入球筐(图中箭头指向表示投篮方向)的是()
答案 C
解析 当沿圆周切线方向的速度和出手速度的合速度沿球筐方向时，篮球才可能会被投入球筐.故C 正确，A 、B 、D 错误.
考点三 小船过河问题
知识点
小船渡河问题分析
(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
(2)三种速度：v 1(船在静水中的速度)、v 2(水流速度)、v (船的实际速度)． (3)三种情景
①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t 短＝d
v 1
(d 为河宽)．
②过河路径最短(v 2<v 1时)：合速度垂直于河岸时，航程最短，s 短＝d .船头指向上游与河岸夹角为α，cos α＝v 2
v 1
.
③过河路径最短(v 2>v 1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图所示，以v 2矢量末端为圆心，以v 1矢量的大小为半径画弧，从v 2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短．由图可知：cos α＝v 1v 2，最短航程：s 短＝d
cos α＝v 2v 1
d .
例题
【例1】一轮船以一定的速度垂直河流向对岸行驶，当河水匀速流动时，轮船所通过的路程、过河所用的时间与水流速度的正确关系是( )
A．水速越大，路程越长，时间越长
B．水速越大，路程越短，时间越短
C．水速越大，路程和时间都不变
D．水速越大，路程越长，时间不变
【解析】轮船渡河的运动是两个分运动的合成：假设河水不流动，轮船在静止的河水中垂直对岸行驶；假设轮船不运行，而河水流动，则轮船随河水一起向下游漂动．这两个分运动具有独立性，因而河水流速增大不影响轮船到达对岸的时间，但在相同的时间里，沿水流方向移动的位移要增大，因而选项D正确．
【答案】 D
【例2】(2017山西太原模拟,★★★)某船在静水中划行的速率为3 m/s,要渡过30 m宽的大河,河水的流速为5 m/s。

下列说法中错误的是()
A.该船不可能沿垂直于河岸的航线抵达对岸
B.该船渡河的最小速率是4 m/s
C.该船渡河所用时间至少是10 s
D.该船渡河所经位移大小至少是50 m
由于船在静水中的速度小于水流速度,合速度不可能垂直于河岸,无法垂直渡河。

以水速末端为圆心,以静水中船的速度大小为半径画圆,从水速始端向圆作切线,则合速度沿
此切线方向航程最短。

【答案】B
【解析】船速小于水速时,船渡河的合速度方向跟河水流动方向所成的最大角度θ<90°,如图所示,故可知A正确;由速度合成特点可知,船渡河的最小速率是2 m/s,则B错误;最短时间等于河宽与船速的比值,故C正确;根据最短位移条件可知,位移最小时,运动方向与河岸夹角θ满足sin θ==0.6,x min==50 m,故D正确。

本题应选B。

课堂练习
1.船在静水中的速度为3.0 m/s，它要渡过宽度为30 m的河，河水的流速为
2.0 m/s，则下列说法中正确的是()
A．船不能渡过河
B．船渡河的速度一定为5.0 m/s
C．船不能垂直到达对岸
D．船到达对岸所需的最短时间为10 s
答案D
2.某河流中水流的速度是2 m/s,一小船要从河岸的A点沿直线匀速到达河对岸的B点,B点在河对岸下游某处,且A、B间的距离为100 m,河宽为50 m,则小船在静水中的速度至少为()
A.0.5 m/s
B.1 m/s
C.1.5 m/s
D.2 m/s
【答案】B
【解析】船要渡河到达B点,最小速度应满足=,即船的速度至少为1 m/s。

【拔高练习】(多选)船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示,河水的流速随离一侧河岸的距离的变化关系如图乙所示,经过一段时间,该船以最短时间成功渡河。

下面对该船渡河的说法正确的是()
A.船在河水中的最大速度是5 m/s
B.船渡河的时间是150 s
C.船在行驶过程中,船头必须始终与河岸垂直
D.船渡河的位移大小是×102 m
[答案]ACD
[解析] 船以最短时间成功渡河,由题图乙可知水流的最大速度为4 m/s,根据速度的合成可知船在河水中的最大速度是5 m/s,选项A 正确;当船头指向(静水中船的速度方向)与河岸垂直时,渡河时间最短,有t=
=
s =100 s,因此船渡河的时间不是150 s,选项B 错误,C 正确;在这段
时间内,船沿水流方向的位移x 在数值上等于水流速度v 水与时间t 的关系图象与时间轴所围成的面积大小,有x= m=200 m,再根据运动的合成可得船渡河的位移大小为
×102 m,
选项D 正确。

课后作业
1.(多选)已知河水自西向东流动，流速为v 1，小船在静水中的速度为v 2，且v 2>v 1，用小箭头表示船头的指向及小船在不同时刻的位置，虚线表示小船过河的路径，则下图中可能正确的是( )
【解析】 小船的路径应沿合速度方向，不可能与船头指向相同，故A 、B 错误，C 、D 正确．
【答案】 CD
2.河宽l ＝300 m ，水速μ＝1 m/s ，船在静水中的速度v ＝3 m/s ，欲分别按下列要求过河时，船头应与河岸成多大角度？过河时间是多少？ (1)以最短时间过河； (2)以最小位移过河； (3)到达正对岸上游100 m 处. 答案 见解析
解析 (1)以最短时间渡河时，船头应垂直于河岸航行，即与河岸成90°角.最短时间为 t ＝l v ＝300
3
s ＝100 s.
(2)以最小位移过河，船的实际航向应垂直河岸，即船头应指向河岸上游，与河岸夹角为θ，
有
v cos θ＝μ， 解得cos θ＝1
3
渡河时间为t ＝l
v sin θ
≈106.1 s
(3)设船头与上游河岸夹角为α，x ＝100 m ，则有 (v cos α－μ)t ＝x v t sin α＝l
两式联立得α＝53°，t ＝125 s.
【提升练习】一小船渡河，已知河水的流速与距河岸的距离的变化关系如图4甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，则( )
图4
A ．船渡河的最短时间75 s
B ．要使船以最短时间渡河，船在河水中航行的轨迹是一条直线
C ．要使船以最短路程渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直
D ．要使船以最短时间渡河，船在河水中的速度是5 m/s 答案 A
解析 当船的速度与河岸垂直时，渡河时间最短，t ＝
d v 船＝300
4
s ＝75 s ，故A 正确；船在沿河岸方向上做变速运动，在垂直于河岸方向上做匀速直线运动，两运动的合运动是曲线运动，故B 错误；要使船以最短时间渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直，故C 错误；要使船以最短时间渡河，船在航行中与河岸垂直，根据速度的合成可知，船在河水中的最大速度是5 m/s ，故D 错误．。