03数字信号处理_吴镇扬_习题解答

(k
)
+
F*
(
N
−
k
)⎤⎦
=
1− aN 1 − aWNk
Y
(k)
=
DFT
⎡⎣Im{
f
( n )}⎤⎦
=
DFT
⎡1 ⎢⎣ 2 j
{
f
(n)
−
f
* (n)}⎤⎥ ⎦
=
1 2j
⎡⎣ F
(k)
−
F*(N
−
k )⎤⎦
=
1− bN 1 − bWNk
对 X (k ) 、Y (k ) 作 IDFT 得到：
⎧⎪x (n) = anRN (n)
=
N −1
kn
x(n)WN2
+
(−1)k
N −1
kn
x(n)WN2
n=0
n=0
∑N −1
当k为偶数时,上式=2
n=0
kn
x(n)WN2
=
2X
( k ); 2
当k为奇数时,上式=0.
2-9 有限长为 N = 10 的两序列
x(n)
=
⎧1, 0 ≤ ⎨⎩0,5 ≤
n n
≤ ≤
4 9
y(n)
=
⎧1, 0 ⎨⎩−1,
图解求系统频率响应就是求零点矢量长度与极点矢量长度的比，所以
|
H
(e
jω
)
|=|
1 − a−1e− jω 1− ae− jω
|=
|
1 ,是常数,所以是全通系统. a|
3
第二章
2-1 如果 x(n) 是一个周期为 N 的周期序列,则它也是周期为 2N 的周期序列.将 x(n) 看作周
期为 N 的周期序列,令 X1(k) 表示其 DFS,再将 x(n) 看作 2N 的周期序列,并且令 X 2 (k) 表示其
,式中 a 为实数
(1) 对于什么样的 a 值范围系统是稳定的? (2) 如果 0<a<1,画出零点-极点图,并标出收敛区域; (3) 在 z 平面上用图解证明该系统是一个全通系统,即频率响应的幅度为一常数. 解答:
(1)极点z=a,∴|a|≤ 1,又∵a ≠ 0,∴0 <|a|≤ 1 (2)收敛域为|z|>a,∴在半径为a的圆外;
DFS,试利用 X1(k ) 确定 X 2 (k) . 解答:
N −1
∑ X1(k) = x(n)WNkn n=0
2 N −1
N −1
N −1
∑ ∑ ∑ X 2 (k) = x(n)W2kNn = x(n)W2kNn + x(n + N )W2kN(n+N )
N =0
n=0
n=0
注:W2kNn
− j 2π kn
(1)T[ax1(n) + bx2 (n)] = 2[ax1(n) + bx2 (n)] + 5
= a[2x1(n) + 5] + b[2x2 (n) + 5] − 5a − 5b + 5
所以，非线性;
= aT[x1(n)] + bT[x2 (n)] − 5a − 5b + 5 ≠ aT[x1(n)] + bT[x2 (n)]
1
j ( w −π )
X (e 2 )
2 t =−∞
2 t=−∞
2
2
注意：当 t 为偶数时[ .] =2x(2n)，当 t 为奇数时[ .] =0
∑ ∑ (4)G(e jw ) = ∞ g(n)e− jwn = ∞ x( n )e− jwn令n = 2m
n = −∞
2 n=−∞
∞
∑ =
x(m)e− j2wm = X (e j2wm )
1 N
N −1⎛ 1 − aN
n=0
⎜ ⎝
1
−
aWNk
+
1− bN j 1− bWNk
⎞⎟WN−nk ⎠
N −1
∑( ) ( ) 又： n=0
aWNk
n = 1 − aWNk N 1 − aWNk
= 1− aN 1 − aWNk
∴
f (n) = IDFT ⎡⎣DFT (anRN (n)) + jDFT (bnRN (n))⎤⎦ = x(n) + jy (n)
并且 DFT ⎡⎣ f (n)⎤⎦ = F (k ) ，求 X (k ) 、Y (k ) 以及 x(n) 、 y (n) 。
F (k)
= 1− aN 1 − aWNk
+
1− bN j 1− bWNk
解：
方法 1：利用基本定义及 DFT 的线性 (k )⎤⎦
∑ =
≤n 5≤
≤4 n≤
9
用作图表示 x(n), y(n) 及 f (n) = x(n) ∗ y(n)
解答:
f
(n)
=
⎧1, 2,3, 4, ⎨⎩0, 其它
5,
3,1,
−1,
−3,
−5,
−4,
−3,
−2,
−1,
n
=
0,1,..13
2-13 已知 x(n) 是长为 N 的有限长序列, X (k ) = DFT[x(n)] ,现将长度添零扩大 r 倍,得长
n=0
1− 0.5
∴是稳定的.
1-6 x(n) 和 X (e jw ) 表示一个序列及其傅氏变换,并且 x(n) 为实因果序列,利用 X (e jw ) 求下列各
序列的傅氏变换:
(3)g(n) = x(2n)
(4) g (n)
=
⎧⎪ ⎨
x(
n 2
),
n为偶数
⎪⎩0,n为奇数
解答:
∞
∞
∑ ∑ (3)G(e jw ) = g(n)e− jwn = x(2n)e− jwn , 令t = 2n
度为 rN 的有限长序列 y(n) 。求 DFT [ y(n)] 与 X (k ) 的关系.
4
解答:
N −1
∑ X (k ) =
x
(
n
)W
kn N
n=0
rN −1
N −1
∑ ∑ Y (k ) = D FT [ y (n)] =
y
(
n
)W
kn rN
=
x
(
n
)W
kn rN
n=0
n=0
由 于 n ≤ N-1时 ,y(n)=x(n);n > N − 1时 ,y(n)=0.
m=−∞
m=−∞
所以，线性;
n
n−n0
∑ ∑ T[x(n − n0 )] = x(m − n0 ) = x(m) = y(n − n0 ) 时不变.
m=−∞
m=−∞
1-16 确定下列系统的因果性和稳定性:
(1) y(n) = g(n)x(n), g(n)有界
n
(2) y(n) = ∑ x(k), n > n0 k =n0
故：
⎧⎪x (n) = anRN (n)
⎨ ⎪⎩
y
(
n
)
=
bn
RN
(
n
)
方法 2：利用 DFT 的共轭对称性：
⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎧YX((kk))==111−1−−−babWaWNNNkNk
5
X
(k)
=
DFT
⎣⎡Re{
f
( n )}⎦⎤
=
DFT
⎡ ⎢⎣
1 2
{
f
(n)
+
f
* (n)}⎥⎦⎤
=
1 2
⎡⎣ F
（3） 通过 z 平面上作图，可以发现，极点 a 在单位圆内的实轴上，零点 1/a 在单位圆外的实轴上， 它们各自到单位圆上任一点的矢量长度可由余弦定理求取，分别为
极点矢量长度= a 2 + 1 − 2acos(ω)
零点矢量长度= a -2 + 1 − 2a -1cos(ω) = 1 a 2 + 1 − 2acos(ω) a
1-21 试证 x(−n) 的频谱为 X (e− jw ) .
解答:
∞
∞
∑ ∑ x(−n)e− jwn(令n' = −n) = x(n' )e− j(−w)n' = X (e− jw )
n=−∞
n=−∞
1-22
讨论一个具有下列系统函数的线性时不变因果系统 H (z)
=
1− a−1z−1 1− az−1
= e 2N
-j2π k n
=e N 2
kn
= WN2
因为x(n)的周期为N,则x(n + N ) = x(n),且
W k(n+N ) 2N
− j 2π k (n+N )
= e 2N
=
− j ( 2π
eN
K N +Kπ ) 2
=
(−1)k
-j 2π
eN
k 2
n
=
(−1)k
k
WN2
n
∑ ∑ X2(k)
X (k ) ↔ x (n) ，Y (k ) ↔ y (n) 的一一对应关系。如，我们将 F (k ) 进行变形，使其虚部和实部分
开 得 到 ： F (k ) = M (k ) + jN (k ) ， 对 其 进 行 IDFT 变 换 ， 显 然 ， IDFT ⎡⎣M (k )⎤⎦ ≠ x (n) ， IDFT ⎡⎣N (k )⎤⎦ ≠ y (n) 。
数字信号处理习题
第一章
1-4 今对三个正弦信号 xa1(t) = cos 2π t, xa2 (t) = − cos 6π t, xa3 (t) = cos10π t 进行理想采
样,采样频率为 Ωs = 8π ,求着三个采样输出序列,比较其结果.画出 xa1(t), xa2 (t), xa3 (t) 的波形及采
m=−∞
z 1-10 求以下函数的逆 变换:
(1)
(1
−
z
−1
1 )(1
−
2
z
−1
)
解答:
2
1 (1) (1− z−1)(1− 2z−1)
=
−1 1− z−1
+
1−
2 2 z −1
见书本P13页的例3
=-u(n)-2n+1u(−n −1)
注意，因收敛域为 1< |z|<2，而如果第二项是右边序列的话，收敛域必然要|z|>2,所以对第二项， 只能是左边序列，其收敛域为|z|<2，同样道理，对第一项，如果是右边序列，则收敛域为|z|>1， 正好与题意吻合，如果是左边序列，则收敛域为|z|<1，不符合题意。
y(n)只与 x(n)的当前值和过去值有关，是因果的。 当 n→∞时，即使 x(n)有界，可能 y(n) →∞，（如 x(n)=1）
(4)∵ n < 0时, h(n) = 0,∴是因果系统;
∑ ∑ ∑ ∞
∞
∞
又∵ | h(n) |= | 0.5n u(n) |= | 0.5n |=
1
=2
n=−∞
n=−∞
样点位置并解释频谱混迭现象.
解答:由于 w1
= 2π
< 8π 2
,没有混迭; w2
= 6π
>
8π 2
,混迭; w3
= 10π
>
8π 2
,混迭.
1-13 下列系统中, y(n) 表示输出, x(n) 表示输入,试确定是否是线性系统?是否是时不变系统?
(1) y(n) = 2x(n) + 5
解答:
n
(3) y(n) = ∑ x(m) m=−∞
(4)h(n) = 0.5n u(n)
解答:
1
（1） 不能用令 x(n)=δ(n)来求 h(n)，然后确定稳定性，因为该系统并非线性时不变系统。
实际上，因 g(n)有界，所以，当 x(n)有界时，y(n)= x(n) g(n)<= |x(n)| |g(n)|<∞, 所以系统稳定，y(n) 只与 x(n)的当前值有关，显然是因果的。 （2）
⎨ ⎪⎩
y
(
n
)
=
b
n
RN
(
n
)
注意：
根据 DFT 的线性性质可以得到，当 f (n) = x(n) + jy (n) 时， F (k ) = X (k ) + jY (k ) ，其中
X (k ) 、 Y (k ) 均为复序列。但并不是对于形如 F (k ) = X (k ) + jY (k ) 进行 IDFT 就一定形成
由
于
W
kn rN
=
− j 2π kn
e rN
=
− j 2π k n
e Nr
=
W
k
r N
n
,所
以
当
k r
为整数时,
∑ Y
(
k
)=
N
−1
x
(n
)W
k
r N
n
n=0
=
X (k) r
其余不能用 X（k）表示，相当于 X(K)的内插.
2-15 已知复有限长序列 f (n) 是由两个实有限长序列 x(n) 、 y (n) 组成， f (n) = x(n) + jy (n) ，
假设输入为 x(n − n0 ) ,则有
T[x(n − n0 )] = 2x(n − n0 ) + 5 = y(n − n0 ) 所以，时不变.
n
∑ (2)T[ax1(n) + bx2 (n)] = [ax1(m) + bx2 (m)] m=−∞
n
n
∑ ∑ = a x1(m) + b x2 (m) = ay1(n) + by2 (n)
x(n) 与 y(n) 作线性卷积应得到的点.
解答:
这样计算相当于做了 20 点的圆周卷积 m = 7 ∼ 19 时,圆周卷积等于线性卷积.可以通过画图得到.
6
2-21 试导出 N = 16 时的基二按时间抽取算法和按频率抽取算法 FFT,并分别画出它们的流图.
解答: 用基二按时间抽取:
W106 W106 W106 W106 W106 W146 W126 W116 W106 W106 W146 W126
n=−∞
n=−∞
∑ ∑ ∑ = 1
∞
[x(t) + (−1)t
− jw t
x(t)]e 2
=
1
∞
−
x(t)e
jw t 2
+
1
∞
(−1)t
x(t
−
)e
jw
t 2
2 t =−∞
2 t=−∞
2 t=−∞
∑ ∑ = 1
∞
−
x(t)e
jw t 2
+
1
∞
− j ( w −π )t
x(t)e 2
=
1
jw
X (e 2 ) +
所以，直接由 F (k ) = X (k ) + jY (k ) 得到 IDFT ⎡⎣ X (k )⎤⎦ ≠ x (n) ，IDFT ⎡⎣Y (k )⎤⎦ ≠ y (n)