人教新课标九年级下---二次函数的图象和性质(1)
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二次函数的图 象和性质（1）
(1)观察y= 择适当的x值，并计算相应 的y值，完成下表：
x
y=x2 -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4
2的表达式，选 x
3 9
(2)在直角坐标系中描点． （按x的值从小到大，从左 到右描点） (3)用光滑的曲线连接各点， 2的图象． 便得到函数y=x （能用直线连接吗？）
可以看出，二次函数y=x2的图像是一条曲 线，它的形状类似于投篮球或掷铅球时球 在空中所经过的 路线，只是这条曲线开 口向上。这条曲线叫做抛物线y=x2 。实 际上，二次函数的图像都是抛物线，它们 的开口或者向上或者向下。一般的，二次 函数y=ax2+bx+c的图像叫做抛物线 y=ax2+bx+c
二次函数y=x2的图象是抛物线.
• （1）抛物线的开口向上； • （2）它的图象有最低点，最低点的 坐标是（0，0）； • （3）它是轴对称图形，对称轴是y 轴。在对称轴左侧，y随x的增大而 减少；在对称轴右侧，y随x的增大 而增大。
• （4）图象与x轴有交点，这 个交点也是对称轴与抛物线 的交点，称为抛物线的顶点， 同时也是图象的最低点，坐 标为（0，0）； • （5）因为图像有最低点，所 以函数有最小值，当x=0时， y最小＝0.
… …
… …
-8
-2
-2
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0
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-1.
y=-2x2
-8
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-2
1 2
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y
1
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对称轴
-2
-3
当a〈0时，图 象开口向下， 顶点是抛物线 的最高点，a x 越大，抛物线 的开口越大。
6 8
-4
-5
-6
当a＞0时，抛物线y=ax2的开口向上,a越大 ，抛物线的开口越小；在对称轴的左边，曲 线自左向右下降，函数y随x的增大而减小； 在对称轴的右边，曲线自左向右上升，函数 y随x的增大而增大。顶点是抛物线的最低点 ，此时，函数y取得最小值0.
当a＜0时，抛物线y=ax2的开口向下，a越大 ，抛物线的开口越大；在对称轴的左边， 曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增 大；在对称轴的右边，曲线自左向右下降 ，函数y随x的增大而减小。顶点是抛物线 上位置最高的点，此时，函数y取得最大值 0.
议一议
对于二次函数y=x2的图象， (1)你能描述图象的形状吗? (2)图象与x轴有交点吗? 如果有，交点坐标是什么? (3)当x<0时，随着x值的增大， y的值如何变化?当x>0时呢?
(4)当x取什么值时，y的值最小? 最小值是什么?你是如何知道的? (5)图象是轴对称图形吗? 如果是，它的对称轴是什么? 请你找出几对对称点，并与同 伴进行交流．
1 y=- x2 2
-7
-8
-9
y=-x2
y=-2x2
（1）说出这两个函数图像的开口方向、对称 轴和顶点坐标
（2）抛物线y= 2 x2，当x 时,抛物线上的 点都在x轴上方;当x＞0时;曲线自左向右逐渐 它的顶点是图像的最 点。
（3）函数y=-2x2，对于一切x的值，总有函数 值y 0，当x ＜0时， y随x的增大而 ；当x 时，y有最 值，是
1 2 在同一直角坐标系中，画出函数y= x ，y=2x2的图象。 2
x y= x2
x
… …
… …
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-0.5 0
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y=2x2
8
y= x2
7
总结： 二次函数y=-x2的图象是抛物线. （1）抛物线的开口向下； （2）它的图象有最高点，最高点 的坐标是（0，0）； （3）它是轴对称图形，对称轴是 y轴。在对称轴左侧，y随x的增大 而增大；在对称轴右侧，y随x的增 大而减少。
（4）图象与x轴有交点，这个交点 也是对称轴与抛物线的交点，称为 抛物线的顶点，同时也是图象的最 高点，坐标为（0，0）； （5）因为图像有最高点，所以函数 有最大值，当x=0时，y最大＝0.
6
5
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x
y
y=2x2
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当a>0，图象开口向上 顶点是抛物线的最低 点，a越大开口越小 反之越大
4
对称轴
3
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1
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0
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x
做一做
二次函数的图象y=-x² 是什么形状? 先想一想,然后作出它的图象
它与二次函数y=x² 的图象有什么关 系?与同伴交流。
1
y
10
y=x2
8
6
y=x2与y=-x2关于 x轴对称
-10 -5
4
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x
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y=-x2
-12
观察函数y=x2、
y=-x2、
y=
1
2
x2、
y=-2x2的图像，并考虑这些抛物线有什么 共同点和不同点
总结： 二次函数y=ax2(a≠0)的图像是一条抛物线， 它的对称轴是y轴，顶点是坐标原点（0，0 ）
2
探 究
画出函数y=-x2,y=- 1x2,y=-2x2的图象，并考虑 2 这些抛物线有什么共同点和不同点。
… … -3 -2 -1 0 1 2 3 … …
x
y=-x2
-9
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x
1 y=- x2 2
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(1)观察y= 择适当的x值，并计算相应 的y值，完成下表：
x
y=x2 -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4
2的表达式，选 x
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(2)在直角坐标系中描点． （按x的值从小到大，从左 到右描点） (3)用光滑的曲线连接各点， 2的图象． 便得到函数y=x （能用直线连接吗？）
可以看出，二次函数y=x2的图像是一条曲 线，它的形状类似于投篮球或掷铅球时球 在空中所经过的 路线，只是这条曲线开 口向上。这条曲线叫做抛物线y=x2 。实 际上，二次函数的图像都是抛物线，它们 的开口或者向上或者向下。一般的，二次 函数y=ax2+bx+c的图像叫做抛物线 y=ax2+bx+c
二次函数y=x2的图象是抛物线.
• （1）抛物线的开口向上； • （2）它的图象有最低点，最低点的 坐标是（0，0）； • （3）它是轴对称图形，对称轴是y 轴。在对称轴左侧，y随x的增大而 减少；在对称轴右侧，y随x的增大 而增大。
• （4）图象与x轴有交点，这 个交点也是对称轴与抛物线 的交点，称为抛物线的顶点， 同时也是图象的最低点，坐 标为（0，0）； • （5）因为图像有最低点，所 以函数有最小值，当x=0时， y最小＝0.
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对称轴
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当a〈0时，图 象开口向下， 顶点是抛物线 的最高点，a x 越大，抛物线 的开口越大。
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当a＞0时，抛物线y=ax2的开口向上,a越大 ，抛物线的开口越小；在对称轴的左边，曲 线自左向右下降，函数y随x的增大而减小； 在对称轴的右边，曲线自左向右上升，函数 y随x的增大而增大。顶点是抛物线的最低点 ，此时，函数y取得最小值0.
当a＜0时，抛物线y=ax2的开口向下，a越大 ，抛物线的开口越大；在对称轴的左边， 曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增 大；在对称轴的右边，曲线自左向右下降 ，函数y随x的增大而减小。顶点是抛物线 上位置最高的点，此时，函数y取得最大值 0.
议一议
对于二次函数y=x2的图象， (1)你能描述图象的形状吗? (2)图象与x轴有交点吗? 如果有，交点坐标是什么? (3)当x<0时，随着x值的增大， y的值如何变化?当x>0时呢?
(4)当x取什么值时，y的值最小? 最小值是什么?你是如何知道的? (5)图象是轴对称图形吗? 如果是，它的对称轴是什么? 请你找出几对对称点，并与同 伴进行交流．
1 y=- x2 2
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y=-x2
y=-2x2
（1）说出这两个函数图像的开口方向、对称 轴和顶点坐标
（2）抛物线y= 2 x2，当x 时,抛物线上的 点都在x轴上方;当x＞0时;曲线自左向右逐渐 它的顶点是图像的最 点。
（3）函数y=-2x2，对于一切x的值，总有函数 值y 0，当x ＜0时， y随x的增大而 ；当x 时，y有最 值，是
1 2 在同一直角坐标系中，画出函数y= x ，y=2x2的图象。 2
x y= x2
x
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总结： 二次函数y=-x2的图象是抛物线. （1）抛物线的开口向下； （2）它的图象有最高点，最高点 的坐标是（0，0）； （3）它是轴对称图形，对称轴是 y轴。在对称轴左侧，y随x的增大 而增大；在对称轴右侧，y随x的增 大而减少。
（4）图象与x轴有交点，这个交点 也是对称轴与抛物线的交点，称为 抛物线的顶点，同时也是图象的最 高点，坐标为（0，0）； （5）因为图像有最高点，所以函数 有最大值，当x=0时，y最大＝0.
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当a>0，图象开口向上 顶点是抛物线的最低 点，a越大开口越小 反之越大
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做一做
二次函数的图象y=-x² 是什么形状? 先想一想,然后作出它的图象
它与二次函数y=x² 的图象有什么关 系?与同伴交流。
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y=x2
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y=x2与y=-x2关于 x轴对称
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观察函数y=x2、
y=-x2、
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y=-2x2的图像，并考虑这些抛物线有什么 共同点和不同点
总结： 二次函数y=ax2(a≠0)的图像是一条抛物线， 它的对称轴是y轴，顶点是坐标原点（0，0 ）
2
探 究
画出函数y=-x2,y=- 1x2,y=-2x2的图象，并考虑 2 这些抛物线有什么共同点和不同点。
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