2010概率统计ch8_假设检验_2
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0 0
0
而当
0 时， 2 0 ， T ~ t (n 1) ，故
max P P( , 2 ) (T c) P( , 2 ) (T c) 1 Ft ( n1) (c) 。 (T c) max 2
0 0
0 0
N ( ,0.22 ) 。现从甲地重复发同一信号 5 次，乙地收到的信号值为 8.05，8.15，8.2，8.1，
8.25。问可否认为甲地发出的信号值为 8？显著性水平取为 0.05。 解： 该问题可由检验 H 0 : 8 v.s. H1 : 8 来回答。因假定总体为正态分布，方差
类似地，可得到另两种检验问题的水平为 的 t 检验法，结果列于下表 2.2。 表 2.2 总体方差 2 未知时，关于总体均值 的 t 检验法
H0
H1
检验统计量
水平为 的拒绝域
0
(或 (或
0 )
0
{( x1 ,
T X 0 S/ n
, xn ) : T t (n 1)} , xn ) : T t1 (n 1)}
三、总体均值 未知时，关于总体方差 2 的 设样本 X1 ,
2 检验法
, X n i.i.d . N ( , 2 ) ， , 2 均未知，考虑对 2 的假设检验问题。因为
2 的信息主要集中于样本方差 S 2 中，自然地考虑用 S 2 来构造检验规则。以下列单边检
2 2
它与 无关，关于 单调增。因此，使用该拒绝域犯第 I 类错误概率的上限为
2
(n 1)c max gc ( , 2 ) 1 F 2 ( n 1) ， 2 2 2 , 0 0
所以，只要 c 0
2
12 (n 1) (n 1) ，拒绝域的显著性水平就为 。同时，为使犯第 II
§ 8.2 正态总体参数的假设检验
假定总体分布族为
{P : } ，设 h( ) 是一个未知的一维总体参数，我
(1) H 0 : 0 (2) H 0 : 0 (3) H 0 : 0 v.s. v.s. v.s. H1 : 0 H1 : 0 H1 : 0
X 110 z0.05 1.645 时拒绝 H 0 。 4 / 25
由样本数据算得 Z
X 110 108 110 故在 0.05 水平下应拒绝 2.5 1.645 ， 4/5 4 / 25
H 0 ，即认为当天生产异常。
例 2.2 从甲地发一信号到乙地，若甲地发出的真实信号值为 ，则乙地收到的信号值服从
0
0 )
0
{( x1 ,
0
0
{( x1 ,
, xn ) :| T | t1 2 (n 1)}
例 2.3 假定某厂生产的某种铝材的长度服从 N ( , ) ， 的设计值为 240cm。现从该厂
2
抽取 5 件产品，测得其长度(cm)：239.7 239.6 239 240 239.2。请判断该厂此类铝材的 长度是否达到设计要求。显著性水平取 0.05。 解： 该问题可由检验 H 0 : 240 v.s. H1 : 240 来回答。因假定总体为正态分布， 方差未知，样本量为 5，故该问题的水平为 0.05 的检验规则为： 当
2 2
( , 2 )
是二维的。考虑单边假设检验问题
H 0 : 0 v.s. H1 : 0 ，
原假设对应的参数空间为 0 {( , ) : 0 , 0} 。
2 2
(2.2)
因为 的信息仍然主要集中于样本均值 X 中，还是应当用 X 来构造检验规则。但 是 X 的抽样分布与未知的 2 有关，因此在确定临界值时会涉及到未知参数 2 。例如，对 问题(2.2)，若拒绝域形式取为 {( x1 ,
, xn ) : 2 12 (n 1)}
2 , xn ) : 2 2 ( n 1)
2
2 0
2
2 0
{( x1 ,
or 2 12 2 (n 1)}
例 2.4 在教育统计学中，常用考生得分的方差大小衡量试题的区分度。对某项考试，假定 10 是一个合理的区分度，若 5 则区分度太差。现在抽取了 18 位考生的成绩： 100，96，96，90，92，100，100，90，99，92，100，98，100，97，97，95，94，100 欲检验此次考题的区分度是否太差。显著性水平取 0.05。 解： 该问题可由检验 H 0 : 5 v.s. H1 : 5 来回答。 因假定总体为正态分布， 均值、 方差未知，样本量为 18，故该问题的水平为 0.05 的检验规则为： 当
只要 c t1 (n 1) ， 那么拒绝域的显著性水平即为 。 再考虑最小化犯第 II 类错误的概率， c 应取得尽可能小，故得到解决问题 (2.2) 的水平为
的 t 检验法的拒绝域为
( x1 ,
, xn ) : T
X 0 t1a (n 1) 。 S/ n
水平下不能拒绝 H 0 ，即可认为甲地发出的信号是 8。
二、总体方差 2 未知时，关于总体均值 的 t 检验法 设样本 X1 ,
, X n i.i.d . N ( , 2 ) ，若 , 2 均未知，那么表 2.1 中所列的三种关于
的假设检验问题的检验方法又是怎样的呢？ 此时，总体分布族为 {N ( , ) : , 0} ，决定总体分布的参数
X 0 z 时拒绝 H 0 。 / n
通过类似的讨论，我们可以得到另两种形式的检验问题的 Z 检验法，结果列于表 2.1。 表 2.1 总体方差 2 已知时，关于总体均值 的 Z 检验法
H0
H1
检验统计量
水平为 的拒绝域
0 0
(或 (或
0 ) 0 )
2
H0
2 2 2 2 0 (或 0 ) 2 2 2 2 0 (或 0 )
H1
2 2 0 2 2 0
检验统计量
水平为 的拒绝域
{( x1 ,
2 , xn ) : 2 (n 1)}
2
(n 1) S 2
02
{( x1 ,
, x25 ，计算得到它们的均值为 X 108 Pa。问当天生产是否正常？显著性水平
取为 0.05。 解： 该问题可由检验 H 0 : 110 v.s. H1 : 110 来回答。因假定总体为正态分布， 方差已知，样本量为 25，故该问题的水平为 0.05 的检验规则为： 当 Z
2
类错误的概率最小化，应取 c 0 当
12 (n 1) (n 1) 。相应的检验规则常表示为：
12 (n 1) 时拒绝 H 0 。
ˆ
2
(n 1) S 2
2 0
另两种检验问题的 检验法也类似可得，结果列于表 2.3。
2
表 2.3 总体均值 未知时，总体方差 2 的 检验法
T
由此形成的检验方法称为 t 检验法。 对于问题 (2.2) ，取拒绝域形式为 {( x1 ,
X 0 ， S/ n
, xn ) : T c} ， c 待定。可以证明，对于
2 0 ，势函数 P (T c) 关于 单调增。因此，
max P P( , 2 ) (T c) 。 (T c) max 2
c z / n 0 。这样就得到了检验问题(2.1)的水平为 的拒绝域
( x1 , , xn ) : X z
0 ( x1 , n
, xn ) : Z ˆ
X 0 za 。 / n
相应的检验规则为： 当 Z
2
设样本 X1 ,
, X n i.i.d . N ( , 2 ) ， 2 已知， 未知。我们讨论单边检验问题
H 0 : 0 v.s. H1 : 0 ，
(2.1)
其中 0 是给定常数。取显著性水平为
。
因 的信息主要集中于样本均值 X 中， 故选 X 作为检验统计量。 直观地， 越大 X 也越大， 越小 X 也越小， 故取拒绝域形式为 {( x1 ,
X 240 t0.975 (4) 2.776 时拒绝 H 0 。 S/ 5
由样本数据算得 T
X 240 239.5 240 2.795 ，因 | T | 2.795 2.776 ，故 S/ 5 0.4 / 5
在 0.05 水平下拒绝 H 0 ，即可认为铝材的长度不符合设计要求。
0 0
0
Z X 0 / n
{( x1 ,
{( x1 ,
, xn ) : Z z }
, xn ) : Z z1 }
0
{( x1 ,
, xn ) :| Z | z1 2 }
例 2.1 假定某厂生产的合金钢的强度 X ~ N ( ,16) ， 的设计值不低于 110Pa。为保证质 量，该厂每天进行抽样检查，来判断生产是否正常。某天随机抽取了 25 块合金钢，测得强 度为 x1 ,
已知，样本量为 5，故该问题的水平为 0.05 的检验规则为： 当
X 8 z0.975 1.96 时拒绝 H 0 。 0.2 / 5
X 8 8.15 8 1.68 ，因 | Z | 1.68 1.96 ，故在 0.05 0.2 / 5 0.2 / 25
由样本数据算得 Z
对于给定的 c，使用该拒绝域作检验犯第 I 类错误的概率上限为
max gc ( ) gc ( 0 ) 。
0
只要 c 使得 gc ( 0 ) ， 即 c z / n 0 ， 那么拒绝域的显著性水平即为 ， 其中 z 为 标 准 正 态 分 布 的 下 侧 分 位 点 。 而 c 越 小 ， 犯 第 II 类 错 误 的 概 率 越 大 ， 故 取
们需要检验与之有关的假设。通常讨论如下三种形式的假设检验问题：
(1)、(2)称为单边检验 (one-side) 问题，(3)称为双边检验 (two-side) 问题。 本节中，我们讨论总体分布族为正态分布族的情况下，一些常用的假设检验问题，相应 检验规则的构造，并举例说明这些检验法的应用。
一、总体方差 已知时，关于总体均值 的 Z 检验法 (或称 U 检验法)
验
2 2 H0 : 2 0 v.s. H1 : 2 0
Hale Waihona Puke (2.3)为例来讨论，其中 0 是给定的常数。这里，取拒绝域形式为 {( x1 ,
2
2
, xn ) : S 2 c} 是符合
2
直观的， c 待定。 由正态总体抽样分布的基本结论知， (n 1)S ( , ) ， 故该拒绝域的势函数为
, xn ) : X c} ，c 是待定的临界值。
这里，总体分布取决于参数 ，故该拒绝域的势函数为：
c gc ( ) P ( X c) ， / n
第二个等式是因为 X ~ N
, n 。容易看出
2
gc ( ) 关于 单调降，关于 c 单调增。
, xn ) : X c} ，c 待定。那么对于 0 ，
c P ， ( X c) 1 n
因此无法给出一个既满足条件
max P ( X c)
0
又与 2 无关的临界值 c 的。 一个自然的想法，就是采用形如 Z 统计量的 T 检验统计量来构造检验规则
2 ~ 2 (n 1) ，
(n 1) S 2 (n 1)c (n 1)c gc ( , ) P( , 2 ) ( S c) P( , 2 ) 1 F 2 ( n1) ， 2 2 2
0
而当
0 时， 2 0 ， T ~ t (n 1) ，故
max P P( , 2 ) (T c) P( , 2 ) (T c) 1 Ft ( n1) (c) 。 (T c) max 2
0 0
0 0
N ( ,0.22 ) 。现从甲地重复发同一信号 5 次，乙地收到的信号值为 8.05，8.15，8.2，8.1，
8.25。问可否认为甲地发出的信号值为 8？显著性水平取为 0.05。 解： 该问题可由检验 H 0 : 8 v.s. H1 : 8 来回答。因假定总体为正态分布，方差
类似地，可得到另两种检验问题的水平为 的 t 检验法，结果列于下表 2.2。 表 2.2 总体方差 2 未知时，关于总体均值 的 t 检验法
H0
H1
检验统计量
水平为 的拒绝域
0
(或 (或
0 )
0
{( x1 ,
T X 0 S/ n
, xn ) : T t (n 1)} , xn ) : T t1 (n 1)}
三、总体均值 未知时，关于总体方差 2 的 设样本 X1 ,
2 检验法
, X n i.i.d . N ( , 2 ) ， , 2 均未知，考虑对 2 的假设检验问题。因为
2 的信息主要集中于样本方差 S 2 中，自然地考虑用 S 2 来构造检验规则。以下列单边检
2 2
它与 无关，关于 单调增。因此，使用该拒绝域犯第 I 类错误概率的上限为
2
(n 1)c max gc ( , 2 ) 1 F 2 ( n 1) ， 2 2 2 , 0 0
所以，只要 c 0
2
12 (n 1) (n 1) ，拒绝域的显著性水平就为 。同时，为使犯第 II
§ 8.2 正态总体参数的假设检验
假定总体分布族为
{P : } ，设 h( ) 是一个未知的一维总体参数，我
(1) H 0 : 0 (2) H 0 : 0 (3) H 0 : 0 v.s. v.s. v.s. H1 : 0 H1 : 0 H1 : 0
X 110 z0.05 1.645 时拒绝 H 0 。 4 / 25
由样本数据算得 Z
X 110 108 110 故在 0.05 水平下应拒绝 2.5 1.645 ， 4/5 4 / 25
H 0 ，即认为当天生产异常。
例 2.2 从甲地发一信号到乙地，若甲地发出的真实信号值为 ，则乙地收到的信号值服从
0
0 )
0
{( x1 ,
0
0
{( x1 ,
, xn ) :| T | t1 2 (n 1)}
例 2.3 假定某厂生产的某种铝材的长度服从 N ( , ) ， 的设计值为 240cm。现从该厂
2
抽取 5 件产品，测得其长度(cm)：239.7 239.6 239 240 239.2。请判断该厂此类铝材的 长度是否达到设计要求。显著性水平取 0.05。 解： 该问题可由检验 H 0 : 240 v.s. H1 : 240 来回答。因假定总体为正态分布， 方差未知，样本量为 5，故该问题的水平为 0.05 的检验规则为： 当
2 2
( , 2 )
是二维的。考虑单边假设检验问题
H 0 : 0 v.s. H1 : 0 ，
原假设对应的参数空间为 0 {( , ) : 0 , 0} 。
2 2
(2.2)
因为 的信息仍然主要集中于样本均值 X 中，还是应当用 X 来构造检验规则。但 是 X 的抽样分布与未知的 2 有关，因此在确定临界值时会涉及到未知参数 2 。例如，对 问题(2.2)，若拒绝域形式取为 {( x1 ,
, xn ) : 2 12 (n 1)}
2 , xn ) : 2 2 ( n 1)
2
2 0
2
2 0
{( x1 ,
or 2 12 2 (n 1)}
例 2.4 在教育统计学中，常用考生得分的方差大小衡量试题的区分度。对某项考试，假定 10 是一个合理的区分度，若 5 则区分度太差。现在抽取了 18 位考生的成绩： 100，96，96，90，92，100，100，90，99，92，100，98，100，97，97，95，94，100 欲检验此次考题的区分度是否太差。显著性水平取 0.05。 解： 该问题可由检验 H 0 : 5 v.s. H1 : 5 来回答。 因假定总体为正态分布， 均值、 方差未知，样本量为 18，故该问题的水平为 0.05 的检验规则为： 当
只要 c t1 (n 1) ， 那么拒绝域的显著性水平即为 。 再考虑最小化犯第 II 类错误的概率， c 应取得尽可能小，故得到解决问题 (2.2) 的水平为
的 t 检验法的拒绝域为
( x1 ,
, xn ) : T
X 0 t1a (n 1) 。 S/ n
水平下不能拒绝 H 0 ，即可认为甲地发出的信号是 8。
二、总体方差 2 未知时，关于总体均值 的 t 检验法 设样本 X1 ,
, X n i.i.d . N ( , 2 ) ，若 , 2 均未知，那么表 2.1 中所列的三种关于
的假设检验问题的检验方法又是怎样的呢？ 此时，总体分布族为 {N ( , ) : , 0} ，决定总体分布的参数
X 0 z 时拒绝 H 0 。 / n
通过类似的讨论，我们可以得到另两种形式的检验问题的 Z 检验法，结果列于表 2.1。 表 2.1 总体方差 2 已知时，关于总体均值 的 Z 检验法
H0
H1
检验统计量
水平为 的拒绝域
0 0
(或 (或
0 ) 0 )
2
H0
2 2 2 2 0 (或 0 ) 2 2 2 2 0 (或 0 )
H1
2 2 0 2 2 0
检验统计量
水平为 的拒绝域
{( x1 ,
2 , xn ) : 2 (n 1)}
2
(n 1) S 2
02
{( x1 ,
, x25 ，计算得到它们的均值为 X 108 Pa。问当天生产是否正常？显著性水平
取为 0.05。 解： 该问题可由检验 H 0 : 110 v.s. H1 : 110 来回答。因假定总体为正态分布， 方差已知，样本量为 25，故该问题的水平为 0.05 的检验规则为： 当 Z
2
类错误的概率最小化，应取 c 0 当
12 (n 1) (n 1) 。相应的检验规则常表示为：
12 (n 1) 时拒绝 H 0 。
ˆ
2
(n 1) S 2
2 0
另两种检验问题的 检验法也类似可得，结果列于表 2.3。
2
表 2.3 总体均值 未知时，总体方差 2 的 检验法
T
由此形成的检验方法称为 t 检验法。 对于问题 (2.2) ，取拒绝域形式为 {( x1 ,
X 0 ， S/ n
, xn ) : T c} ， c 待定。可以证明，对于
2 0 ，势函数 P (T c) 关于 单调增。因此，
max P P( , 2 ) (T c) 。 (T c) max 2
c z / n 0 。这样就得到了检验问题(2.1)的水平为 的拒绝域
( x1 , , xn ) : X z
0 ( x1 , n
, xn ) : Z ˆ
X 0 za 。 / n
相应的检验规则为： 当 Z
2
设样本 X1 ,
, X n i.i.d . N ( , 2 ) ， 2 已知， 未知。我们讨论单边检验问题
H 0 : 0 v.s. H1 : 0 ，
(2.1)
其中 0 是给定常数。取显著性水平为
。
因 的信息主要集中于样本均值 X 中， 故选 X 作为检验统计量。 直观地， 越大 X 也越大， 越小 X 也越小， 故取拒绝域形式为 {( x1 ,
X 240 t0.975 (4) 2.776 时拒绝 H 0 。 S/ 5
由样本数据算得 T
X 240 239.5 240 2.795 ，因 | T | 2.795 2.776 ，故 S/ 5 0.4 / 5
在 0.05 水平下拒绝 H 0 ，即可认为铝材的长度不符合设计要求。
0 0
0
Z X 0 / n
{( x1 ,
{( x1 ,
, xn ) : Z z }
, xn ) : Z z1 }
0
{( x1 ,
, xn ) :| Z | z1 2 }
例 2.1 假定某厂生产的合金钢的强度 X ~ N ( ,16) ， 的设计值不低于 110Pa。为保证质 量，该厂每天进行抽样检查，来判断生产是否正常。某天随机抽取了 25 块合金钢，测得强 度为 x1 ,
已知，样本量为 5，故该问题的水平为 0.05 的检验规则为： 当
X 8 z0.975 1.96 时拒绝 H 0 。 0.2 / 5
X 8 8.15 8 1.68 ，因 | Z | 1.68 1.96 ，故在 0.05 0.2 / 5 0.2 / 25
由样本数据算得 Z
对于给定的 c，使用该拒绝域作检验犯第 I 类错误的概率上限为
max gc ( ) gc ( 0 ) 。
0
只要 c 使得 gc ( 0 ) ， 即 c z / n 0 ， 那么拒绝域的显著性水平即为 ， 其中 z 为 标 准 正 态 分 布 的 下 侧 分 位 点 。 而 c 越 小 ， 犯 第 II 类 错 误 的 概 率 越 大 ， 故 取
们需要检验与之有关的假设。通常讨论如下三种形式的假设检验问题：
(1)、(2)称为单边检验 (one-side) 问题，(3)称为双边检验 (two-side) 问题。 本节中，我们讨论总体分布族为正态分布族的情况下，一些常用的假设检验问题，相应 检验规则的构造，并举例说明这些检验法的应用。
一、总体方差 已知时，关于总体均值 的 Z 检验法 (或称 U 检验法)
验
2 2 H0 : 2 0 v.s. H1 : 2 0
Hale Waihona Puke (2.3)为例来讨论，其中 0 是给定的常数。这里，取拒绝域形式为 {( x1 ,
2
2
, xn ) : S 2 c} 是符合
2
直观的， c 待定。 由正态总体抽样分布的基本结论知， (n 1)S ( , ) ， 故该拒绝域的势函数为
, xn ) : X c} ，c 是待定的临界值。
这里，总体分布取决于参数 ，故该拒绝域的势函数为：
c gc ( ) P ( X c) ， / n
第二个等式是因为 X ~ N
, n 。容易看出
2
gc ( ) 关于 单调降，关于 c 单调增。
, xn ) : X c} ，c 待定。那么对于 0 ，
c P ， ( X c) 1 n
因此无法给出一个既满足条件
max P ( X c)
0
又与 2 无关的临界值 c 的。 一个自然的想法，就是采用形如 Z 统计量的 T 检验统计量来构造检验规则
2 ~ 2 (n 1) ，
(n 1) S 2 (n 1)c (n 1)c gc ( , ) P( , 2 ) ( S c) P( , 2 ) 1 F 2 ( n1) ， 2 2 2