中国海洋大学高等代数2011下
合肥工业大学数学学院808高等代数历年考研真题汇编
2012年合肥工业大学高等代数考研真题2011年合肥工业大学高等代数考研真题一、填空题（每题5分，共20分）1．行列式中的系数为______，的系数为______；2．设3元非齐次线性方程组AX=B中，矩阵A的秩为2，且，是该方程组的两个特解，则该方程组的全部解是______；3．实二次型是正定的，则t的取值范围是______；4．三阶方阵A的三个特征值为1、2、3，则的特征值为______；二、（10分）计算行列式。
三、（15分）设和是数域P上两个一元多项式，k是给定的大于1的正整数，，求证：。
四、（15分）已知三级方阵，且B的每一个列向量都是下列方程组的解向量，（1）求的值；（2）证明。
五、（15分）矩阵，，且矩阵X满足AXA+BXB=AXB+ BXA+E，其中E为3阶单位阵，求X。
六、（15分）设A为n级矩阵，是A的伴随矩阵，秩（A）=n-1，求证：秩（）=1。
七、（10分）级方阵分块如下：，A、D依次分别是m级、n级可逆阵。
求方阵T的逆矩阵。
八、（10分）设向量组线性相关，线性无关。
问（1）能否由线性表出？证明你的结论；（2）能否由线性表出？证明你的结论；九、（15分）设为线性空间V的一组基，T是V的线性变换，且，，。
（1）求证：T是可逆的；（2）求在基下的矩阵。
十、（15分）求矩阵的若尔当标准型。
十一、（10分）求证：n维欧式空间V的每一个子空间都有唯一的正交补。
2010年合肥工业大学高等代数考研真题一、填空题（每题5分，共40分）1．设n阶方阵A满足，其中E为单位阵，则______；2．设3维向量空间V有两组基底：和，又，，，V中向量在基下的坐标是，则在基下的坐标是______；3．设矩阵，已知矩阵A相似于B，则秩______；4．已知线性非齐次方程组的三个解向量为，且秩，，，则的通解为______；5．设是实函数空间V的子空间，则______；6．在中定义内积，，则对基正交单位化所得的一组标准正交基为______；7．矩阵的标准型为______；8．设是3阶方阵A的三个不同特征值，分别是其对应的特征向量，令，则______；二、（15分）计算行列式。
中国海洋大学《线性代数》2019-2020学年第二学期期末试卷A卷
一、填空题(共 6 题，每题 3 分，共 18 分)1.设 3 阶方阵 A 的行列式 |A |= 12, A ∗是 A 的伴随矩阵,则 |4AA ∗|=2.已知 A =PΛQ ，其中 P =(2312),Λ=(100−1),Q =(2−3−12),QP =I( I 是2阶单位矩阵)，则 A 8= 3.设矩阵 A =(1a aa1a aa1)，且 r (A )=2，则 a = 4. 设 η1,η2,η3 为4元非齐次线性方程组 Ax =b 的三个解向量，系数矩阵 A 的秩为 3，η1+η2=(3,4,5,6)T , η3=(1,2,3,4)T ，则该方程组的一般解为 5.若 3 阶方阵 A 与 B 相似，I 为 3 阶单位矩阵，A 的特征值为 12,1 3,1 4，则行列式 |B −1−I |=6. 已知 A =(20131a 405) 可对角化,则 a = .二、选择题(共 6 题，每题 3 分，共 18 分)1.已知 A,B 均为 n 阶可逆方阵，k 为常数，则下列命题不正确的是( ). A. |A +B |=|A |+|B | B. (A +B)T =A T +B T C. (AB)−1=B −1A −1 D. |kAB |=k n |A ||B |2.设 A 是 3×4 矩阵，B 是 4×3 矩阵，则下列结论正确的是( ). A. ABx =0必有非零解 B. ABx =0只有零解 C. BAx =0必有非零解 D. BAx =0只有零解3.设 A ,B 均为 3 阶可逆方阵,若交换 A 的第一行与第三行得方阵 B , 则下列叙述正确的是( ).中国海洋大学《线性代数》2019-2020学年第二学期期末试卷A卷A.交换A −1的第一行与第三行得 B −1B.交换A −1的第一列与第三列得 B −1C.交换A −1的第一行与第三行得−B −1D.交换A −1的第一列与第三列得−B −1 4.设 A =(111111111),B =(40000000),则 A 与 B ( ). A.合同且相似 B.合同但是不相似 C.不合同但相似 D.不合同不相似5.已知向量组α1,α2,α3是线性无关的, 则下列向量组中相关的是( ). A. α1+α2,α2+α3,α3+α1 B. α1−α2,α2−α3,α3+α1 C. α1,α1+α2,α1+α2+α3 D. α1−α2,α2−α3,α1−α36.设二次型 f (x 1,x 2,x 3)在正交变换 x =Py 下的标准型为 2y 12+y 22−y 32，其中 P =(α1,α2,α3)，若 Q =(α1,−α3,α2)，则 f (x 1,x 2,x 3)在 x =Qy 下的标准型为( ).A. 2y 12−y 22+y 32B. 2y 12+y 22−y 32C. 2y 12−y 22−y 32D. 2y 12+y 22+y 32三、计算题(共 4 题，共 28 分) 1.(6分) 计算 n +1阶行列式的值：|−a 1a 10⋯000−a 2a 2⋯00⋮⋮⋮ ⋮⋮000⋯−a n a n 111⋯11| 2.(8分)设向量组 α1=(−1,1,2,4)T ，α2=(−1,−1,1,5)T ，α3=(0,2,1,−1)T ， α4=(−2,4,5,7)T ，α5=(1,1,−1,−5)T ，求此向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用其极大线性无关组线性表示.3.(8分)设矩阵 A=(112011−1−10)，矩阵 X 满足 A∗X=A−1+2X，其中 A∗是 A 的伴随矩阵，求矩阵 X.4.(6分)已知 R2的两组基α1=(1,−1)T，α2=(1,0)T； β1=(1,2)T，β2=(3,5)T.(1)求从基 α1,α2到基 β1,β2的过渡矩阵 A；(2)已知 γ 在基 α1,α2下的坐标为 (1,−1)T，求 γ 在基 β1,β2下的坐标.四、证明题(共 1 题， 8 分)设 α1,α2,⋯,αp是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 β 满足 Aβ≠0，证明：向量组 β,β+α1,β+α2,⋯,β+αp线性无关.五、解方程组（共1题，14分）讨论 a 取何值时，线性方程组 {x1+x2+ax3=1 x1+ax2+x3=1ax1+x2+x3=−2无解、有无穷多解、有唯一解, 并且在有无穷多解时求出方程组的一般解.六、二次型（共1题，14分）设二次型 f(x1,x2,x3)=5x12+5x22+cx32+2x1x2+4x1x3−4x2x3，已知它对应矩阵的所有特征值之和为 12，(1)求 c 的值；(2)正交变换法将此二次型化为标准型，并写出相应的正交矩阵Q；(3)写出它的规范型；(4)分析此二次型是否是正定二次型.一、填空题(共 6 题，每题 3 分，共 18 分)1.设 3 阶方阵 A 的行列式 |A |= 12, A ∗是 A 的伴随矩阵,则 |4AA ∗|=解：AA ∗=|A |I ，则 |4AA ∗|=|4|A |I |=|2I |=23=8；2.已知 A =PΛQ ，其中 P =(2312),Λ=(100−1),Q =(2−3−12),QP =I( I 是2阶单位矩阵)，则 A 8= 解：A 8=AA ⋯A ⏟ 8个=(PΛQ)(PΛQ)⋯(PΛQ)(PΛQ)⏟8个=P Λ(QP)Λ(Q ⋯P)Λ(QP)Λ⏟ Q 8个Λ，已知 QP =I=PΛ8Q =(2312)(1800(−1)8)(2−3−12) =(2312)(2−3−12)=(1001)=I .3.设矩阵 A =(1a aa1a aa1)，且 r (A )=2，则 a = 解：r (A )=2⟹{a ≠0且 a ≠1|A |=|1a a a 1a a a 1|=0⟹a =− 12.4. 设 η1,η2,η3 为4元非齐次线性方程组 Ax =b 的三个解向量，系数矩阵 A 的秩为 3，η1+η2=(3,4,5,6)T , η3=(1,2,3,4)T ，则该方程组的一般解为 解： r (A )=3⟹Ax =0 的基础解系含有 4−r (A )=1 个向量. Ax =b 的一般解 x =x 0+kξ：① x 0 可取 η3=(1,2,3,4)T ；②取 ξ=(η1−η3)+(η2−η3)=η1+η2−2η3=(1,0,−1,−2)T ； 于是，Ax =b 的一般解 x =(1,2,3,4)T +k(1,0,−1,−2)T .答案5.若 3 阶方阵 A 与 B 相似，I 为 3 阶单位矩阵，A 的特征值为 1 2,1 3,1 4，则行列式 |B −1−I |=解：A ~ B ⟹B 的特征值也为 1 2, 1 3, 14 ⟹B −1 的特征值为 2,3,4；B −1−I 的特征值为2−1，3−1，4−1，即1，2，3； 则 |B −1−I |=1∙2∙3=6. 6. 已知 A =(20131a 405) 可对角化,则 a = . 解：矩阵 A 的特征多项式 |λI −A |=|λ−20−1−3λ−1−a −40λ−5|=(λ−1)2(λ−6),则 A 的特征值为 λ1=λ2=1, λ3=6；A 可对角化，则对特征值 λ1=λ2=1，齐次线性方程组 (I −A)x =0 的 基础解系包含的向量个数为 2=3−r (I −A )⟹r (I −A )=1； 特征矩阵 (I −A )=(−10−1−30−a −40−4)，则方法1：特征矩阵(I −A )初等行变换⇒ (101003−a 000)从而 3−a =0⟹a =3； 方法2：(I −A ) 的任一2阶子式为 0⟹|−1−1−3−a|=0⟹a =3. 二、选择题(共 6 题，每题 3 分，共 18 分)1.已知 A,B 均为 n 阶可逆方阵，k 为常数，则下列命题不正确的是( A ). A. |A +B |=|A |+|B | B. (A +B)T =A T +B T C. (AB)−1=B −1A −1 D. |kAB |=k n |A ||B |2.设 A 是 3×4 矩阵，B 是 4×3 矩阵，则下列结论正确的是( C ). A. ABx =0必有非零解 B. ABx =0只有零解 C. BAx =0必有非零解 D. BAx =0只有零解解：AB 是 3×3 矩阵，BA 是 4×4 矩阵，r (BA )≤r (A )≤3<4，则 BAx =0 必有非零解.3.设 A ,B 均为 3 阶可逆方阵,若交换 A 的第一行与第三行得方阵 B , 则下列叙述正确的是( B ).A.交换A −1的第一行与第三行得 B −1B.交换A −1的第一列与第三列得 B −1C.交换A −1的第一行与第三行得−B −1D.交换A −1的第一列与第三列得−B −1 解：A r 1↔r 2⇒ B ，则 B =E 13A ，于是 B −1=(E 13A)−1=A −1E 13−1=A −1E 13. 4.设 A =(111111111),B =(40000000),则 A 与 B ( B ). A.合同且相似 B.合同但是不相似 C.不合同但相似 D.不合同不相似解：{A 是3阶实对称矩阵 r (A )=1⟹|A |=0⟹0是 A 的2重特征值，即 λ1=λ2=0；A 的各行元素之和是3，则 3是 A 的特征值，即 λ3=3； 则 A 与B 有相同的正惯性指数1，相同的负惯性指数0； 则 A 与 B 合同，但是不相似，因为相似矩阵的特征值相同. 5.已知向量组α1,α2,α3是线性无关的, 则下列向量组中相关的是( D ). A. α1+α2,α2+α3,α3+α1 B. α1−α2,α2−α3,α3+α1 C. α1,α1+α2,α1+α2+α3 D. α1−α2,α2−α3,α1−α3解：(α1−α2)+(α2−α3)−(α1−α3)=0.6.设二次型 f (x 1,x 2,x 3)在正交变换 x =Py 下的标准型为 2y 12+y 22−y 32，其中 P =(α1,α2,α3)，若 Q =(α1,−α3,α2)，则 f (x 1,x 2,x 3)在 x =Qy 下的标准型为( A ).A. 2y 12−y 22+y 32B. 2y 12+y 22−y 32C. 2y 12−y 22−y 32D. 2y 12+y 22+y 32解：P T AP =P −1AP =(21−1)，P =(α1,α2,α3)则有 {Aα1=2α1 Aα2=1α2 Aα3=−α3⟹A(−α3)=(−1)(−α3)；又 Q =(α1,−α3,α2)，于是 Q T AQ = Q −1AQ =(2−11)，则 f (x 1,x 2,x 3) 在正交变换 x =Qy 下的标准形为 2y 12−y 22+y 32. 三、计算题(共 4 题，共 28 分) 1.(6分) 计算 n +1阶行列式的值：|−a 1a 10⋯000−a 2a 2⋯00⋮⋮⋮ ⋮⋮000⋯−a n a n 111⋯11| 解：|−a 1a 10⋯000−a 2a 2⋯00⋮⋮⋮ ⋮⋮000⋯−a n a n 111⋯11| c 1+c 2+⋯+c n+1|0a 10⋯000−a 2a 2⋯00⋮⋮⋮ ⋮⋮000⋯−a n a n n +111⋯11|=(n +1)∙(−1)n+1+1|a 10⋯00−a 2a 2⋯00⋮⋮ ⋮⋮00⋯−a n a n|=(−1)n (n +1)a 1a 2⋯a n . 2.(8分)设向量组 α1=(−1,1,2,4)T ，α2=(−1,−1,1,5)T ，α3=(0,2,1,−1)T ， α4=(−2,4,5,7)T ，α5=(1,1,−1,−5)T ，求此向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用其极大线性无关组线性表示.解：记矩阵 A =(α1,α2,α3,α4,α5)=(−1−10−211−12412115−145−17−5)r 4−2r 3r 3−2r 2⇒ r 2+r 1(−1−10−210−222203−3−3−303−3−3−3) r 4−r 3 ⇒ r 2+r 3(−1−10−2101−1−1−103−3−3−300000)r 3−3r 2 ⇒ r 1+r 2(−10−1−3001−1−1−10000000000)r 1∙(−1)⇒ (101301−1−1−10000000000)，①秩{α1,α2,α3,α4,α5}=2；②α1,α2 是 α1,α2,α3,α4,α5 的一个极大线性无关组； ③对向量 α3,α4,α5，有{α3=α1−α2α4=3α1−α2α5=−α2.3.(8分)设矩阵 A =(112011−1−10)，矩阵 X 满足 A ∗X =A −1+2X ，其中 A ∗是 A 的伴随矩阵，求矩阵 X .解：A ∗X =A −1+2X ⟹(A ∗−2I )X =A −1⟹A (A ∗−2I )X =AA −1=I ⟹(|A |I −2A )X =I ⟹X =(|A |I −2A)−1；又 |A |=2，则 |A |I −2A =(0−2−400−2222)=2(0−1−200−1111)=2B ，这里 B =(0−1−200−1111)；从而 X =(2B)−1= 1 2B −1由 (B,I )=(0−1−200−1111 1000 1 0001) 初等行变换⇒ (1000 10001 1−11−1 200−10)=(I,B −1)，得 B −1=(1−11−1 200−10)； 于是 X = 12(1−11−1 200−10).4.(6分)已知 R 2的两组基α1=(1,−1)T ，α2=(1,0)T ； β1=(1,2)T ，β2=(3,5)T . (1)求从基 α1,α2到基 β1,β2的过渡矩阵 A ；(2)已知 γ 在基 α1,α2下的坐标为 (1,−1)T ，求 γ 在基 β1,β2下的坐标. 解：(1)记矩阵 B 1=(α1,α2)=(1−1 10)，B 2=(β1,β2)=(12 35)，因为 (β1,β2)=(α1,α2)A ，即 B 1A =B 2，解此矩阵方程(B 1,B 2)=(1−1 10 12 35)初等行变换⇒ (10 01 −23 −58)=(I,A)则从基 α1,α2到基 β1, β2的过渡矩阵 A =(−23 −58)(2)两种方法：已知 γ 在基 α1,α2下的坐标为 γB 1=(1,−1)T ， 设 γ 在基 β1,β2下的坐标为 γB 2， 方法1：因为 γ=B 1γB 1=(1−1 10)(1−1)=(0−1)；又有 γ=B 2γB 2，则求解该方程组(B2,γ)=(1235|0−1)初等行变换⇒(11|−31),则 γ 在基 B2下的坐标向量 γB2=(−31)；方法2：因为AγB2=γB1，求解该非齐次线性方程组(A,γB1)=(−23−58|1−1)初等行变换⇒(11|−31)=(I,γB2)则 γ 在基 β1,β2下的坐标为 γB2=(−31).四、证明题(共 1 题， 8 分)设 α1,α2,⋯,αp是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 β 满足 Aβ≠0，证明：向量组 β,β+α1,β+α2,⋯,β+αp线性无关.证：设 kβ+k1( β+α1)+k2(β+α2)+⋯+k p(β+αp)=0，整理得 (k+k1+⋯+k p)β+k1α1+k2α2+⋯+k pαp=0，(*)等式两边左乘矩阵 A 得：(k+k1+⋯+k p)Aβ+k1Aα1+k2Aα2+⋯+k p Aαp=0，已知 Aαi=0，i=1,⋯,p，则有 (k+k1+⋯+k p)Aβ=0，而 Aβ≠0，所以有 k+k1+⋯+k p=0，则(*)式变为 k1α1+k2α2+⋯+k pαp=0，因为 α1,α2,⋯,αp是基础解系，则 α1,α2,⋯,αp线性无关，于是 k1=k2=⋯=k p=0，从而 k=0；即 β,β+α1,β+α2,⋯,β+αp线性无关.五、解方程组（共1题，14分）讨论 a 取何值时，线性方程组 {x1+x2+ax3=1 x1+ax2+x3=1ax1+x2+x3=−2无解、有无穷多解、有唯一解, 并且在有无穷多解时求出方程组的一般解.解：系数矩阵 A =(11a 1a 1a 11)，b =(11−2)；又 |A |=|11a1a 1a 11|=−(a −1)2(a +2)(1)当 |A |≠0，即当 a ≠1 且 a ≠−2 时，方程组有唯一解；(2)当 a =1 时，增广矩阵(A,b )=(111111111|11−2)初等行变换⇒ (111000000|10−3)方程组出现矛盾方程，则原方程组无解；(3)当 a =−2 时，增广矩阵(A,b )=(11−21−21−211|11−2)初等行变换⇒ (10−101−1000|100)=(U,d)取 x 3 为自由未知量，①令 x 3=0，代入 Ux =d ，得原方程组的一个特解 x 0=(1,0,0)T ； ②令 x 3=1，代入 Ux =0，得 Ax =0 的一个基础解系 ξ=(1,1,1)T ；则原方程组的通解为 x =x 0+kξ=(100)+k (111)，k 任意；综上，{当 a ≠1 且 a ≠−2 时，方程组有唯一解；当 a =1 时，方程组无解；当 a =−2 时，方程组有无穷多解.六、二次型（共1题，14分）设二次型 f (x 1,x 2,x 3)=5x 12+5x 22+cx 32+2x 1x 2+4x 1x 3−4x 2x 3，已知它对应矩阵的所有特征值之和为 12，(1)求 c 的值；(2)正交变换法将此二次型化为标准型，并写出相应的正交矩阵Q ；(3)写出它的规范型；(4)分析此二次型是否是正定二次型.解：二次型对应的矩阵为 A =(51215−22−2c)， (1)A 的所有特征值之和为 12，即 5+5+c =12，得 c =2；从而 A =(51215−22−22).(2)A 的特征多项式 |λI −A |=|λ−5−1−2−1λ−52−22λ−2|=λ(λ−6)2，则 A 的特征值为 λ1=λ2=6，λ3=0；①对于 λ1=λ2=6，由(λ1I −A)x =0，即 (1−1−2−112−224)(x 1x 2x 3)=0，得基础解系 {ξ1=(1,1,0)Tξ2=(2,0,1)T ， 1)正交化：取 β1=ξ1=(1,1,0)T ，令 β2=ξ2−(ξ2,β1)(β1,β1)β1=(1,−1,1)T ， 2)单位化：令 η1=1‖β1‖β1=(1√2,1√2,0)T ； η2=1‖β2‖β2=(1√3,−1√31√3)T； ②对于特征值 λ3=0，由(λ3I −A)x =0⟺Ax =0，即 (51215−22−22)(x 1x 2x 3)=0，得基础解系为 ξ3=(−1,1,2)T ，单位化得：η3=1‖ξ3‖ξ3=(−1√6,1√6,2√6)T；③记矩阵 Q=(η1,η2,η3)=(√2√3√6√2√3√6√3√6)，则 Q 为正交阵，且使得 Q T AQ=Q−1AQ=Λ=(66)④令 x=(x1,x2,x3)T，y=(y1,y2,y3)T，做正交变换 x=Qy，原二次型就化成标准形 x T Ax=y T(Q T AQ)y=6y12+6y22.(3)二次型的正惯性指数为2，负惯性指数为0；则二次型的规范形为：z12+z22.(4)二次型 f(x1,x2,x3)的正惯性指数为2，不是正定二次型.。
中国海洋大学《线性代数》2016-2017学年第二学期期末试卷A卷
一、填空题(共 18分)1.设 A 是3阶方阵，|A|=3，A∗为 A 的伴随矩阵，则|3A−1|=( )，|A∗|=( )，|3A∗−7A−1|=( ).2.设α=(1,−2,3)T，β=(−1, 12,0)，A=αβ，则|A100|=( ).3.设向量α=(1k 1)是矩阵A=(211121112) 的一个特征向量，则k=().4.A为3阶实对称矩阵，向量 ξ1=(1,2,5)T，ξ1=(k,2k,3)T是分别对应于特征值2和3的特征向量, 则 k=().5.设 η1,η2,η3为4元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解，r(A)=3，已知η1+η2=(3,4,5,6)T,η3=(1,2,3,4)T，则 Ax=b 的一般解为( ).二、选择题(共 6 题，每题 3分，共 18 分)1.设 M、P 为 n 阶矩阵，且 P 可逆，则下列运算不正确的是( ).A. |M|=|P−1MP|；B. |2E−M|=|2E−P−1MP|；C. |2E−M|=|2E−(P−1MP)T|；D. P−1MP=M.2.设 M、N、P 为同阶矩阵，下列结论成立的有( ).A. MN=NM；B. (M+N)−1=M−1+N−1；C. 若 MP=NP，则M=N；D. (M+N)T=M T+N T.3.设 A 为 m×n 矩阵，线性方程组 Ax=b 有解的充分条件为( ).A. 矩阵A 行满秩；B. 矩阵A 列满秩；C. 矩阵A 的秩小于其行数；D. 矩阵A 的秩小于其列数.4.设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵；若 n 维列向量 α 是 A 的属于特征值 λ 的特征向量，则矩阵 (P−1AP)T的属于特征值 λ 的特征向量是( ).A. P−1α；B. P Tα；C. Pα；D. (P−1)Tα.5.设向量 α,β,γ 线性无关，α,β,δ 线性相关，下列哪个成立().中国海洋大学《线性代数》2016-2017学年第二学期期末试卷A卷A. α 必可由 β,γ,δ 线性表示；B. β 必不可由 α,γ,δ 线性表示；C. δ 必可由 α,β,γ 线性表示；D. δ 必不可由 α,β,γ 线性表示.6.设 A 是 n (n ≥2)阶可逆矩阵，交换 A 的第1行与第2行得矩阵 B ；A ∗、B ∗分别为 A 、B 的伴随矩阵，则( ).A. 交换 A ∗的第一列与第二列得 B ∗；B. 交换 A ∗的第一行与第二行得 B ∗；C. 交换 A ∗的第一列与第二列得 −B ∗；D. 交换 A ∗的第一行与第二行得 −B ∗.三、计算题(共 4题，共 28 分)1.计算行列式的值：|−a 1a 10⋯000−a 2a 2⋯00⋮⋮⋮⋮⋮000⋯−a n a n 111⋯11|. 2.矩阵 A =(11−1−1111−11)，矩阵 X 满足 A ∗X =A −1+2X ，其中 A ∗是 A 的伴随矩阵，求矩阵 X .3.已知 R 3的两组基 B 1={α1,α2,α3}和 B 2={β1,β2,β3}，其中α1=(1,1,1)T ，α2=(0,1,1)T ， α3=(0,0,1)T ；β1=(1,0,1)T ，β2=(0,1,−1)T ，β3=(1,2,0)T .(1)求基 B 1到基 B 2的过渡矩阵 A ；(2)已知 α 在基 B 1下的坐标向量为 (1,−2,−1)T ，求 α 在基 B 2下的坐标向量.4.求向量组 α1=(1,0,1,0), α2=(2,1,−3,7), α3=(4,1,−1,7), α4=(3,1,0,3), α5=(4,1,3,−1) 的秩，及其一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示.四、证明题(共 1题，共 8 分)设 A 为 n 阶方阵，且 4A 2−I =O ，证明：(1) A 的特征值只能为− 1 2或 1 2；(2) r (2A +I )+r (2A −I )=n.五、解方程组（共1题，13分）当 λ 取何值时，线性方程组 {(1+λ)x 1+x 2+x 3=0x 1+(1+λ)x 2+x 3=3x 1+x 2+(1+λ)x 3=λ无解、有唯一解、有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解.六、二次型（共1题，12分）二次型 f (x 1,x 2,x 3)=5x 12+5x 22+cx 32+2x 1x 2+4x 1x 3−4x 2x 3 的秩为2，(1)求 c ；(2)用正交变换法将二次型化为标准形，并写出对应的正交矩阵.一、填空题(共 18分)1.设 A 是3阶方阵，|A |=3，A ∗为 A 的伴随矩阵，则 |3A −1|=( )， |A ∗|=( )，|3A ∗−7A −1|=( ).解：|3A −1|=33|A−1|=331|A |=9；|A ∗|=|A |3−1=9； |3A ∗−7A −1|=|3|A |A −1−7A−1|=|2A −1|=23|A −1|= 8 3. 2.设 α=(1,−2,3)T ，β=(−1, 1 2,0)，A =αβ，则 |A 100|=( ).解：A =αβ=(1−23)(−1, 1 2,0)= 1 2(−2104−20−630)⟹|A |=0 |A 100|=|A|100=0.3.设向量 α=(1k 1) 是矩阵 A =(211121112) 的一个特征向量，则 k =( ).解：设向量 α 是 A 的特征值 λ 对应的特征向量，则 Aα=λα，即 (211121112)(1k 1)=λ(1k 1)⟹{2+k +1=λ1+2k +1=λk ⟹(k −1)=λ(k −1)⟹{k −1=0⟹k =1，λ=4；k −1≠0⟹λ=1，k =−2. 4.A 为3阶实对称矩阵，向量 ξ1=(1,2,5)T ，ξ1=(k,2k,3)T 是分别对应于特征值2和3的特征向量, 则 k =( ).解：由题意知：ξ1,ξ2 正交，即 (ξ1,ξ2)=0⟹1∙k +2∙2k +5∙3=0从而 k =−3.5.设 η1,η2,η3 为4元非齐次线性方程组 Ax =b 的三个解，r (A )=3，已知 η1+η2=(3,4,5,6)T ,η3=(1,2,3,4)T ，则 Ax =b 的一般解为( ). 解：r (A )=3⟹Ax =0 的基础解系含有 4−r (A )=1 个向量.Ax =b 的一般解为 x =x 0+kξ；答案(1) x0可取 η3；(2)取 ξ=(η1−η3)+(η2−η3)=η1+η2−2η3=(1,0,−1,−2)T；于是，Ax=b 的一般解x=(1,2,3,4)T+k(1,0,−1,−2)T，k 任意.二、选择题(共 6 题，每题 3分，共 18 分)1.设 M、P 为 n 阶矩阵，且 P 可逆，则下列运算不正确的是( D ).A. |M|=|P−1MP|；B. |2E−M|=|2E−P−1MP|；C. |2E−M|=|2E−(P−1MP)T|；D. P−1MP=M.解：A. |M|=|P−1MP|=|P−1|∙|M|∙|P|=|M|；B. |2E−M|=|P−1|∙|2E−M|∙|P|=|P−1(2E−M)P|=|2E−P−1MP|；C. |2E−(P−1MP)T|=|(2E−P−1MP)T|=|2E−P−1MP|=|2E−M|；D. P−1MP=M结论不一定成立；MP不一定等于PM.2.设 M、N、P 为同阶矩阵，下列结论成立的有( D ).A. MN=NM；B. (M+N)−1=M−1+N−1；C. 若 MP=NP，则M=N；D. (M+N)T=M T+N T.3.设 A 为 m×n 矩阵，线性方程组 Ax=b 有解的充分条件为( A ).A. 矩阵A 行满秩；B. 矩阵A 列满秩；C. 矩阵A 的秩小于其行数；D. 矩阵A 的秩小于其列数.解：A 行满秩⟹r(A,b)=r(A)⟺Ax=b 有解.4.设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵；若 n 维列向量 α 是 A 的属于特征值 λ 的特征向量，则矩阵 (P−1AP)T的属于特征值 λ 的特征向量是( B ).A. P−1α；B. P Tα；C. Pα；D. (P−1)Tα.解：已知 Aα=λα，且 A T=A；记 P−1AP=Q，则 (P−1AP)T=Q T；则PQ=AP⟹Q T P T=P T A T，A 对称⟹Q T P T=P T A⟹Q T P Tα=P T Aα=λP Tα.5.设向量 α,β,γ 线性无关，α,β,δ 线性相关，下列哪个成立( C ).A. α 必可由 β,γ,δ 线性表示；B. β 必不可由 α,γ,δ 线性表示；C. δ 必可由 α,β,γ 线性表示；D. δ 必不可由 α,β,γ 线性表示.解：α,β,γ 线性无关，则 α,β 线性无关；又 α,β,δ 线性相关，则 δ 可由 α,β 线性表示，即 δ=k 1α+k 2β=k 1α+k 2β+0γ.6.设 A 是 n (n ≥2)阶可逆矩阵，交换 A 的第1行与第2行得矩阵 B ；A ∗、B ∗分别为 A 、B 的伴随矩阵，则( C ).A. 交换 A ∗的第一列与第二列得 B ∗；B. 交换 A ∗的第一行与第二行得 B ∗；C. 交换 A ∗的第一列与第二列得 −B ∗；D. 交换 A ∗的第一行与第二行得 −B ∗.解：A r 1↔r 2 ⇒ B ，则 B =E 12A ⟹{|B |=|E 12A|=−|A | B −1=(E 12A)−1=A −1E 12−1=A −1E 12于是 B ∗=|B |B −1=−|A |A −1E 12=−A ∗E 12；得 −B ∗=A ∗E 12⟺ 交换 A ∗的第1列和第2列得到 −B ∗.三、计算题(共 4题，共 28 分)1.计算行列式的值：|−a 1a 10⋯000−a 2a 2⋯00⋮⋮⋮⋮⋮000⋯−a n a n 111⋯11|. 解：行列式c 1+c 2+⋯+c n+10a 10⋯000−a 2a 2⋯00⋮⋮⋮ ⋮⋮000⋯−a n a n n +111⋯11|=(n +1)∙(−1)n+1+1|a 10⋯00−a 2a 2⋯00⋮⋮ ⋮⋮00⋯−a n a n| =(−1)n (n +1)a 1a 2⋯a n .2.矩阵 A =(11−1−1111−11)，矩阵 X 满足 A ∗X =A −1+2X ，其中 A ∗是 A 的伴随 矩阵，求矩阵 X .解：A ∗X =A −1+2X ⟹(A ∗−2I )X =A −1⟹A (A ∗−2I )X =AA −1=I ⟹(|A |I −2A )X =I⟹X =(|A |I −2A)−1；又 |A |=4，则 |A |I −2A =(2−2222−2−222)=2(1−1111−1−111)=2B ，这里 B =(1−1111−1−111)；从而 X =(2B)−1= 1 2B −1 由 (B,I )=(1−1111−1−111 1000 1 0001)初等行变换⇒ (1000 10001 1/21/2001/21/21/201/2)=(I,B −1)， 得 B −1= 1 2(1100 11101)，于是 X = 1 4(1100 11101). 3.已知 R 3的两组基 B 1={α1,α2,α3}和 B 2={β1,β2,β3}，其中 α1=(1,1,1)T ，α2=(0,1,1)T ， α3=(0,0,1)T ； β1=(1,0,1)T ，β2=(0,1,−1)T ，β3=(1,2,0)T .(1)求基 B 1到基 B 2的过渡矩阵 A ；(2)已知 α 在基 B 1下的坐标向量为 (1,−2,−1)T ，求 α 在基 B 2下的坐标向量. 解：仍记 B 1=(α1,α2,α3)，B 2=(β1,β2,β3).(1)由 (β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)A ，即得 B 2=B 1A ，于是，(B 1,B 2)=(1001011100121111−10)初等行变换⇒ (100101010−1110011−2−2)=(I,A )则基 B 1到基 B 2的过渡矩阵 A =(101−1111−2−2).(2)两种方法：已知 αB 1=(1,−2,−1)T方法1：α=B 1αB 1=(1,−1,−2)T ，又有 α=B 2αB 2，则求解该方程组(B 2,α)=(1010121−10|1−1−2)初等行变换⇒ (100010001|57−4),则 α 在基 B 2下的坐标向量 αB 2=(5,7,−4)T .方法2：因为 A αB 2=αB 1，求解该方程组(A ,αB 1)=(101−1111−2−2|1−2−1)初等行变换⇒ (100010001|57−4)，则 α 在基 B 2下的坐标向量 αB 2=(5,7,−4)T .4.求向量组 α1=(1,0,1,0), α2=(2,1,−3,7), α3=(4,1,−1,7), α4=(3,1,0,3), α5=(4,1,3,−1) 的秩，及其一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示.解：记矩阵A =(α1T ,α2T ,α3T ,α4T ,α5T )=(12434011111−3−1030773−1) 初等行变换 ⇒ (102000110−10001200000)，则 (1)秩{α1,α2,α3,α4,α5}=3；(2)α1,α2,α4 是向量组 α1,α2,α3,α4,α5 的一个极大线性无关组；(3)α3=2α1+α2,α5=−α2+2α4.四、证明题(共 1题，共 8 分)设 A 为 n 阶方阵，且 4A 2−I =O ，证明：(1) A 的特征值只能为− 1 2或 1 2；(2) r (2A +I )+r (2A −I )=n. 证：(1)设 A 的特征值为 λ，则 4A 2−I 的特征值为 4λ2−1，因为 4A 2−I =O ，而零矩阵 O 的特征值均为0，于是有 4λ2−1=0⟹λ=− 1 2或 1 2； (2)4A 2−I =O ⟹(2A +I)(2A −I )=O ，则① r (2A +I )+r (2A −I )≤n ；② r (2A +I )+r (2A −I )=r (2A +I )+r (I −2A )≥r(2A +I +(I −2A ))=r (2I )=n ；于是，r (2A +I )+r (2A −I )=n .五、解方程组（共1题，13分）当 λ 取何值时，线性方程组{(1+λ)x 1+x 2+x 3=0x 1+(1+λ)x 2+x 3=3x 1+x 2+(1+λ)x 3=λ无解、有唯一解、有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解.解：系数矩阵 A =(1+λ1111+λ1111+λ)，b =(03λ).又 |A |=|1+λ1111+λ1111+λ|=λ2(λ+3)①当 |A |≠0，即当 λ≠0 且 λ≠−3 时，方程组有唯一解； ②当 λ=0 时，增广矩阵(A,b )=(111111111| 030)初等行变换⇒ (111000000| 030) 方程组出现矛盾方程，则原方程组无解；③当 λ=−3 时，增广矩阵(A,b )=(−2111−2111−2|03−3)初等行变换⇒ (10−101−1000| −1−20)=(U,d)取 x 3 为自由未知量，1)令 x 3=0，代入 Ux =d ，得原方程组的一个特解 x 0=(−1,−2,0)T ；2)令 x 3=1，代入 Ux =0，得 Ax =0 的一个基础解系 ξ=(1,1,1)T ；则原方程组的通解为 x =x 0+kξ=(−1−20)+k (111)，k 任意；综上，{当 λ≠0 且 λ≠−3时，方程组有唯一解；当 λ=0 时，方程组无解；当 λ=−3时，方程组有无穷多解.六、二次型（共1题，12分）二次型 f (x 1,x 2,x 3)=5x 12+5x 22+cx 32+2x 1x 2+4x 1x 3−4x 2x 3 的秩为2， (1)求 c ；(2)用正交变换法将二次型化为标准形，并写出对应的正交矩阵.解：二次型对应的矩阵为 A =(51215−22−2c)， (1)已知 r (A )=2⟹|A |=0，得 c =2；(2)A 的特征多项式 |λI −A |=|λ−5−1−2−1λ−52−22λ−2|=λ(λ−6)2，A 的特征值为 λ1=λ2=6，λ3=0；①对于 λ1=λ2=6，由(λ1I −A)x =0，即 (1−1−2−112−224)(x 1x 2x 3)=0，得基础解系 {ξ1=(1,1,0)T ξ2=(2,0,1)T ， 1)正交化：取 β1=ξ1=(1,1,0)T ，令 β2=ξ2−(ξ2,β1)(β1,β1)β1=(1,−1,1)T ， 2)单位化：令 η1=1‖β1‖β1=(1√2,1√2,0)T ； η2=1‖β2‖β2=(1√3,−1√31√3)T； ②对于特征值 λ3=0，由(λ3I −A)x =0⟺Ax =0，即 (51215−22−22)(x 1x 2x 3)=0，得基础解系为 ξ3=(−1,1,2)T ，单位化得：η3=1‖ξ3‖ξ3=(−1√6,1√6,2√6)T； ③记矩阵 Q =(η1,η2,η3)=( √2√3√6√2√3√60√3√6) ，则 Q 为正交阵， 且使得 Q T AQ =Q −1AQ =Λ=(660)④令 x =(x 1,x 2,x 3)T ，y =(y 1,y 2,y 3)T ，做正交变换 x =Qy ，原二次型就化成标准形 x T Ax =y T (Q T AQ )y =6y 12+6y 22.。
中国海洋大学管理学院《860管理学综合》B历年考研真题汇编
2014年中国海洋大学860管理学综合8考研真题
中国海洋大学2014年硕士研究生入学考试试题
卜目代码：一^____________科目名称，管理学综合
-------------- ------ ------------ —-…----------------------------- ---------------------------------------管理学部分”5分〉
D、手工输入
8. 某高校学生号规定如下：前2位表示年级，中闯3位表示院系专业，后3位表
示顺序号。例如05161010^示2005年入学，工商管理信息专业第10名注册，这种代
腐属于＜
）
A.顺序码
B.层次码
C.助记码
D.特征组合码
9. 数据字典的内容不包括（
A、数据流
8、处理逻辑
C、数据管理机构
队数据存储
方案1：就建大厂，需投资5如万元*销路好盼，每年可获利200万元，销蹬羞
血 每年亏损60万元，服务期为10年。
方案2：新建小厂，需投资280万元。销路好时，每年可获利100万元，销路差
对，每年仍可获利50万元，服务期为10年。
方案3；先建小厂，三年后销路好时再扩建，需追加投资300万元。服务期为7
至，估计每年可荻利190万元， 试用决策树的方法做出决策.
三、 坟空题（每空1分，共1。分）；
1. 系统评价主要由；评价、性能评价及经济效果评价等方面组成。
2. MIS可行性分桁主要是对、、和
进行分析.
3. 管理信息系统的开发方式有：自行开发、、、和
等。
4. U/C矩阵的正确性检验包括、、-
四、 简答题（每题6分，共30分）； L什么是数据、什么是信息？二者之间有何区别和联系?
中科院2011年高等代数参考解答
(α, β, γ )E = A(α + 2β + γ, 3β + 4γ, 4β + 5γ ) = A(α, β, γ )B = (α, β, γ )AB, 于是AB = E,即A = B −1 .由 A(α, 2β + γ, γ ) = A(α, β, γ )C = (α, β, γ )AC = (α, 2β + γ, γ )C −1 AC, 可知A在基α, 2β + γ, γ 下的矩阵的矩阵为 1 0 0 C −1 AC = C −1 B −1 C = 3 −3 2 . −8 8 −5 2 2 −2 5 −4 5.(24分)已知矩阵A = 2 −2 −4 5 (1)求A的特征多项式,并确定其是否有重根; (2)求一个正交阵P 使得P AP −1 为对角阵; (3)令V 是所有与A可交换的实矩阵全体,证明V 是实数域上的一个线性空间,并确 定V 的维数. 解: (1)A的特征多项式为 f (λ) = | − A| = (λ − 1)2 (λ − 10). (2)取属于特征值1的特征向量为 α1 = (−2, 1, 0)T , α2 = (2, 0, 1)T 正交单位化为 −2 1 2 4 5 β1 = ( √ , √ , 0)T , β2 = ( √ , √ , √ ) 5 5 3 5 3 5 3 5 α3 = (1, 2, −2)T 单位化为 1 2 2 β3 = ( , , − )T 3 3 3
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(3)令V 是所有与A可交换的实矩阵全体,证明V 是实数域上的一个线性空间,并确 定V 的维数. 6.(20分)设A, B 是两个n阶复方阵,n > 1. (1)如果AB = BA,证明A, B 有公共的特征向量; (2)如果AB − BA = µB,其中µ是一个非零复数,那么A, B 是否有公共的特征向量?回 答“是”请给出证明,回答“否”请给出反例. 7.(15分)设A是n阶矩阵,其特征多项式有如下分解 p(λ) = det(λE − A) = (λ − λ1 )r1 (λ − λ2 )r2 · · · (λ − λs )rs 其中E 为n阶单位方阵,诸λi 两两不等.试证明A的Jordan标准形中以λi 为特征值的Jordan块 的个数等于特征子空间Vλi 的维数. 8.(15分)设A是n阶实方阵.证明A为实对称矩阵当且仅当AAT = A2 ,其中AT 表示矩 阵A的转置. 休息一下,来张美图欣赏一下吧.
高等代数习题及答案
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高等代数习题及答案篇一：高等代数试题及答案中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷共2页第2页五(10分)证明：设A为n级矩阵,g(x)是矩阵A的最小多项式,则多项式f(x)以A为根的充要条件是g(x)|f(x).六(10分)设V是数域P上的n维线性空间,A,B是V上的线性变换，且ABBA.证明:B的值域与核都是A的不变子空间.a七(10分)设2n阶矩阵Ababbab,ab,求A的最小多项式.a八(10分)设f是数域P上线性空间V上的线性变换,多项式px,qx互素,且满足pfqf0(零变换),Skerqf求证：VWS,Wkerpf中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试学院(A卷)答案一.判断题1.×2.×3.×4.√5.√二.解：1A=11111111111113，｜EA|(4)，所以特征值为0，4（3重）.将特征值代入，求解线性方程组(EA)x0，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量：1＝(12,12,112,2)'，2＝(-0,0)'，3＝(-0)'，4＝(-6662'.126111所以正交阵T2641而T'AT0206122三.证：(1)A,BM.验证AB,kAM即可.01 1(2)令D0En110，D为循环阵，E1Dk0EnkEk0，(Ek为k阶单位阵)则D,D2,,Dn1,DnE在P上线性无关..0且Aa1Ea2Dan1Dn2anDn1，令f(x)a1a2xanxn1,有Af(D).BM，必P上n1次多项式g(x)，使Bg(D)，反之亦真.ABf(D)g(D)g(D)f(D)BA(3)由上可知：E,D,D2,,Dn1是M的一组基，且dimMn.四.解：A 的行列式因子为D3()(2)3,D2()D1()1.所以，不变因子为d3()(2)3,d2()d1()1，初等因子为(2)3，2因而A的Jordan标准形为J1221五．证："":f(x)g(x)q(x)""：f(A)0,g(A)0f(A)g(A)q(A)0设f(x)g(x)q(x)r(x),r(x)0或(r(x))(g(x)).所以0＝f(A)g(A)q(A)r(A),因而r(A)0.因为g(x)为最小多项式，所以r(x)0.g(x)|f(x).六．证：在B 的核V0中任取一向量，则()A(BB(A)BA)AB(A)0所以A在B下的像是零，即AV0．即证明了V0是A的不变子空间．在B的值域BV中任取一向量B，则A(B)B(A)BV.因此，BV也是A的不变子空间．综上，B的值域与核都是A的不变子空间．七．解：EA(a)b22n篇二：高等代数习题及答案(1)高等代数试卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）1、p(x)若是数域F上的不可约多项式，那么p(x)在F中必定没有根。
中国海洋大学SRDP项目结题论文
面向各院团总支的多功能办公软件摘要：对于各院团总支老师的工作而言，涉及学生学习、生活的方方面面。
工作量大，而且繁杂。
因此，通过一定的处理方法，优化团总支老师的工作流程，减轻团总支老师的工作负担，便显得尤为重要。
通用的Office办公软件，给人们的办公带来了巨大的方便。
然而，Office的专一性、交互性差，形式死板，应用效率不够高等缺点。
为此，我们项目组制定项目：面向各院团总支的多功能办公软件。
本软件，纵然不能与Office相媲美，没有office普适性的功能；但是我们侧重于其功能的专一性，交互性，针对实际需要，应用java GUI程序设计，进行模块化设计，实现模块间的数据共享。
关键词：团总支，办公软件，模块化，数据共享，交互性，优化，java,GUI程序设计，数据库。
一、需求分析此项目的最终用户为各院团总支老师，因此在需求分析阶段，我们小组成员对海大崂山校区的15个院进行了需求分析。
在各院团总支老师的积极配合下，我们圆满的完成了需求分析任务。
调查院系：张明升张学博孔伟刘晨晨于珂数学科学学院外国语学院海洋生命学院海洋地球科学学海洋环境学院工程学院文学与新闻传播学院环境科学与工程学院材料科学与工程研究院信息科学与工程学院经济学院法政学院管理学院基础教学中心化学化工学院需求分析调查问卷：（详见附件）学生管理：班委组成：学生档案信息添加，查询；信息包括：学历，学号，专业，年级，班级，家庭住址，父母姓名，联系方式，工作单位，兴趣爱好，特长，是否困难生，是否国防生，是否是团员，是否是党员，所获奖项，所获称号。
学生的校内，院内，班内职务查询活动管理：讲座，会议，运动会，社会活动，其他。
组织机构，时间，地点，主要参见人员，活动进展，结果，总结。
素质测评：（以最终结果的形式出现）成绩测评：成绩查询，成绩总评，成绩排名，学生挂科提示，所通过总学分，综合评价，加分情况实践测评：班内职务，院内职务，校内职务社会实践：实践项目名称，组织者，参与者，时间，地点，活动所获奖项及称号。
中国海洋大学本科生课程大纲-数学科学学院
四、教学进度
序号
第一章 1.1-1.3
第二章 2.1-2.2
专题 或主题
MATLAB 入门
MATLAB 编程与 作图
计划 课时
8
16
主要内容概述
MATLAB 桌面（安装与运行） 数据和变量 数组及其运算 关系与逻辑运算 建模试验：贷款利率模型 程序设计（分支、循环结构） MATLAB 作图（二维平面曲线图、三维空 间曲线图、三维空间曲面图） 动画、游戏制作（简介）
三、学习要求 要完成所有的课程任务，学生必须： （1）按时上课，认真听讲，积极参与课堂讨论、和上机练习。本课程将包含较多
的上机练习、小组讨论等课堂活动。 （2）认真对待并完成规定的上机任务。由于本课程实践性强，学生个人能力有差
别，因此上机任务极有可能无法在课堂上完成，因此需要学生能够利用课下时间，继 续完成布置的上机任务。这些任务能加深对课程内容的理解、促进独立查阅资料和解 决问题的能力培养。上机任务的完成情况，是平时成绩的关键组成部分。
中国海洋大学本科生课程大纲
课程名称 课程属性
数学实验基础 Foundation of Mathematics Experiments
工作技能
暨南大学810高等代数2010--2020年考研真题
0 1 0
使得 X 1AX
为对角矩阵，那么称
A 在 P 上可对角化。分别判断
A
0
0 1 能否在实数
2 3 1
域上和复数域上可对角化，并给出理由。
八（16 分）用 R[x]4 表示实数域 R 上次数小于 4 的一元多项式组成的集合，它是一个欧几里得
空间，内积为 ( f , g) 1 f (x)g(x)dx 。设W 是由零次多项式及零多项式组成的子空间，求W 0
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分
一、判断下列命题的正误（只需回答“正确”或“错误”并将你的答案写在答 题纸上，不需说明理由，每题 2 分，共 20 分）：
1、如果 f (x) 是有理数域 Q 上的多项式，则 f (x) 在有理数域 Q 上不可约的充分必
要条件是，多项式 g(x) f (x 11) 在有理数域 Q 上不可约。
二、 在每个题后给出的 3 个答案中选择一个正确的答案填空，将其前的字母 填写在答题纸上：（每小题 3 分，共 30 分）
3 求正交矩阵T ，使T ' AT 是对角矩阵，并给出此对角矩阵。 五（15 分）设V 是数域 P 上的一个 n 维线性空间 (n 1) ，若有线性变换 与向量 使得 n1 0 ，但 n 0 。
1 证明 , , , n1 线性无关；
0 0
1
0
2 证明 在某基下的矩阵是 A 0 1
四、（20 分）设线性方程组
3x1 2x2 x3 x4 1
x2
x2 2x3 2x4 1 ( 3)x3 2x4
x1 x2 x3 x4 0
讨论参量 , 取何值时，上述方程则有唯一解？无解？有无穷多解？有解时写出所
中国海洋大学数学专业考研试题(高等代数)
【2009-2018】
中国海洋大学 2009 数学专业考研试题 中国海洋大学 2010 数学专业考研试题 中国海洋大学 2011 数学专业考研试题 中国海洋大学 2012 数学专业考研试题 中国海洋大学 2013 数学专业考研试题 中国海洋大学 2014 数学专业考研试题 中国海洋大学 2015 数学专业考研试题 中国海洋大学 2016 数学专业考研试题 中国海洋大学 2017 数学专业考研试题
中国海洋大学数学专业考研试题高等代数20092018中国海洋大学2009数学专业考研试题中国海洋大学2010数学专业考研试题中国海洋大学2011数学专业考研试题中国海洋大学2012数学专业考研试题中国海洋大学2013数学专业考研试题中国海洋大学2014数学专业考研试题中国海洋大学2015数学专业考研试题中国海洋大学2016数学专业考研试题中国海洋大学2017数学专业考研试题151015111512151315141515
Hale Waihona Puke
离散数学教学大纲-曹永昌
中国海洋大学本科生课程大纲课程名称离散数学Discrete Mathematics课程代码 0751********课程属性 专业知识 课时/学分 48/3 课程性质 选修 实践学时责任教师 曹永昌课外学时 96(48×2) 课程属性：公共基础/通识教育/学科基础/专业知识/工作技能，课程性质：必修、选修一、 课程介绍1.课程描述：离散数学是现代数学的一个重要分支，是以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般为有限个或可数个元素，因此它充分描述了计算机科学离散性的特点。
本课程针对低年级数学类专业学生开设，课程包括离散数学的若干基本内容：数理逻辑、集合论、代数系统、图论等。
通过课程学习，要求学生掌握离散数学的若干基本理论和方法，进而提升对应用数学及计算机科学的理解。
2.设计思路：本课程引导低年级数学类专业学生通过掌握离散数学的基本概念和基本原理，逐步完成从连续到离散的数学观念的转变，并能以现代数学的观点和方法，初步掌握处理离散结构所必须的描述工具和方法。
同时，培养学生的抽象思维能力和严格的逻辑推理能力，从而使学生具有良好的开拓专业理论的素质和应用所学知识分析、解决实际问题的能力。
课程内容包括四个模块：数理逻辑、集合论、代数结构和图论。
这四部分都是离散数学的重要组成部分。
数理逻辑是以数学方法来研究推理的规律。
这里所指的数学方法，就是引进一套符号体系的方法，因此数理逻辑又称为符号逻辑，它是从量的方面来研究思维规律的。
课程讲授的是数理逻辑最基本的内容：命题逻辑和谓词逻辑。
集合论是现代数学各个分支的基础。
策墨罗关于集合论的公理系统，使数学哲学中产生的一些矛盾基本上得到统一，形成了公理化集合论和抽象集合论。
课程主要讲授集合论的基础知识，包括集合运算、性质、序偶、关系等。
- 1 -代数系统是一类特殊的数学结构——由集合上定义若干个运算组成的系统。
它在计算机科学中有着广泛的应用。
课程主要讲授代数系统里最基本的一些概念，包括半群、群、循环群、置换群、环与域，以及一些基本的性质，如拉格朗日定理、同态与同构等；还有一类重要的代数系统——格，在此基础上介绍布尔代数，而布尔代数在计算机科学中有很多直接应用。
中国海洋大学《线性代数》2017-2018学年第一学期期末试卷B卷
一、填空题(共 6 题，每题 3 分，共 18分)1. n 阶行列式122222222222322222122222n n−的值为______.2. 设矩阵001110123010,010,023*********A C D −⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且3阶方阵B 满足ABC D =，则1B −=______. 3. 已知2R 中两组基为ααββ===−=1212(1,1),(0,1);(1,1),(1,2),T TTT则从基αα12,到基ββ12,的过渡矩阵是 ， 已知α在基αα12,下的坐标为(3,0)T ，则α在基ββ12,下的坐标为 .4.设111101,1101a A b α−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为A 的属于特征值2−的特征向量，则a =______，b =______.5.设3阶实对称矩阵A 的秩()2r A =且A 满足22A A O −=(O 表示零矩阵)，则4I A −=______.6. 已知实二次型22212312313(,,)2f x x x x ax x x x =+++经正交变换x Py =可化为标准型221223f y y =+，则a =______.二、选择题(共 8题，每题 3分，共 24分) 1. 下列(2)n n ≥阶行列式的值必为0的是（ ）.(A) 行列式主对角线上的元素均为0 (B) 行列式零元素的个数多于n 个 (C) 行列式零元素的个数多于2n n −个 (D) 行列式非零元素的个数比+1n 少2. 将2阶方阵A 的第二列加到第一列得方阵B ，再交换B 的第一行与第二行得单位矩阵， 则A =（ ）.（A ）0111⎛⎫ ⎪⎝⎭ （B ）0111⎛⎫ ⎪−⎝⎭ （C ）1110⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）1110−⎛⎫ ⎪⎝⎭3．设A 是n 阶矩阵，O A =3，则 =−−1)(A I （ ）.（A ）2A A I +− （B ）2A A I ++ （C ）2A A I −+ （D ）2A A I −−4. 齐次线性方程组2123123123000x x x x x x x x x λλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩的系数矩阵记为A ，若存在3阶非零矩阵B 使得AB O =，则（ ）.中国海洋大学《线性代数》2017-2018学年第一学期期末试卷B卷（A ）2λ=−且0B = （B ）2λ=−且0B ≠ （C ）1λ=且0B = （D ）1λ=且0B ≠ 5. 已知12,ββ是方程组Ax b =的两个不同解，12,αα是对应齐次方程组0Ax =的基础解系， 则Ax b =的一般解是（ ）.（A ）1211212()2k k ββααα−+++ （B ）1211221()2k k ββααα++−+（C ）1211212()2k k ββαββ−+++ （D ）1211212()2k k ββαββ++−+6.下列矩阵中不能对角化的是（ ）.（A ）1101⎛⎫ ⎪⎝⎭ (B) 1102⎛⎫ ⎪⎝⎭ (C) 1112⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）1212⎛⎫ ⎪⎝⎭注：以下两道为多选题 7. 对向量组12,,,m ααα，其中,1,2,,n i R i m α∈=，下列说法正确的是（ ）.(A)设A 为n 阶方阵，若12,,,m ααα线性相关，则12,,,m A A A ααα也线性相关 (B) 设A 为n 阶方阵，若12,,,m ααα线性无关，则12,,,m A A A ααα也线性无关(C) 12,,,m ααα线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余向量线性表出 (D) 若12,,,m ααα中有一个是零向量，则此向量组线性相关(E)零向量可由12,,,m ααα线性表出8. 下列说法正确的是（ ）.(A)对矩阵A 不管施行初等行变换还是初等列变换都不会改变矩阵的秩的值 (B)若A 、B 均可逆，则()()r ACB r C =(C)若n 阶方阵A 的秩()1r A n =−，则*()0r A =，其中*A 为A 的伴随矩阵 (D)若1212=(,,,),=(,,,),m n a a a b b b αβ，其中,i j a b (1,2,,;1,2,,i m j n ==)均非零，则()1T r αβ=三、计算题 (共 3题，共24分)1．（8分）已知4阶行列式42134102315211152D =−,ij A 表示第i 行第j 列元素ij a 的代数余子式，求1323432A A A ++的值。
中国海洋大学2011在山东各专业招生录取分数线
中国海洋大学在山东地区录取分数线--理科
专业类型
平均分
最高分
最低分
录取批次
新闻传播学类
607
616
--
第一批
国际经济与贸易
605
625
--
第一批
英语
604
617
--
第一批
法学
599
615
--
第一批
政治学与行政学
608
614
--
第一批
汉语言文学
606
614
642
--
第一批
法学
638
646
--
第一批
金融学
638
650
--
第一批
国际经济与贸易
638
647
--
第一批
新闻传播学类
637
643
--
第一批
德语
634
644
--
第一批
英语
634
645
--
第一批
汉语言文学
638
642
--
第一批
朝鲜语
638
640
--
第一批
物流管理
638
647
--
第一批
日语
640
650
--
--
第一批
日语
592
593
--
第一批
文化产业管理
606
615
--
第一批
法语
591
591
--
第一批
物流管理
608
619
数学科学学院 中国海洋大学
011 数学科学学院目录一、初试考试大纲： (1)617 数学分析 (1)856 高等代数 (6)432 统计学 (8)二、复试考试大纲： (12)计算方法 (12)实变函数 (13)数学物理方程 (15)概率论与数理统计 (16)概率论与数理统计（应用统计） (18)数理统计 (19)计量经济学 (21)一、初试考试大纲：617 数学分析一、考试性质数学分析是数学相关专业硕士入学初试考试的专业基础课程。
二、考试目标本考试大纲制定的依据是根据教育部颁发的《数学分析》教学大纲的基本要求，力求反映与数学相关的硕士专业学位的特点，客观、准确、真实地测评考生对数学分析的掌握和运用情况，为国家培养具有良好数学基础素质和应用能力、具有较强分析问题与解决问题能力的高层次、复合型的数学专业人才。
本考试旨在测试考生对一元函数微积分学、多元函数微积分学、级数理论等知识掌握的程度和运用能力。
要求考生系统地理解数学分析的基本概念和基本理论；掌握数学分析的基本论证方法和常用结论；具备较熟练的演算技能和较强的逻辑推理能力及初步的应用能力。
三、考试形式（一）试卷满分及考试时间本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
（二）答题方式答题方式为闭卷、笔试。
试卷由试题和答题纸组成，所有题目的答案必须写在答题纸相应的位置上。
考生不得携带具有存储功能的计算器。
（三）试卷结构一元函数微积分学、多元函数微积分学、级数理论及其他（隐函数理论、场论等）考核的比例均约为1/3，分值均约为50分。
四、考试内容(一) 变量与函数1、实数：实数的概念、性质，区间，邻域；2、函数：变量，函数的定义，函数的表示法，几何特征（有界函数、单调函数、奇偶函数、周期函数），运算（四则运算、复合函数、反函数），基本初等函数，初等函数。
(二) 极限与连续1、数列极限：定义（ε-N语言），性质（唯一性，有界性，保号性，不等式性、迫敛性），数列极限的运算，数列极限存在的条件（单调有界准则（重要的数列极限en nn=+∞→1)1(lim），迫敛性法则，柯西收敛准则）；2、无穷小量与无穷大量：定义，性质，运算，阶的比较；3、函数极限：概念（在一点的极限，单侧极限，在无限远处的极限，函数值趋于无穷大的情形（ε-δ, ε-X语言））；性质（唯一性，局部有界性，局部保号性，不等式性，迫敛性）；函数极限存在的条件（迫敛性法则，归结原则（Heine 定理），柯西收敛准则）；运算；4、两个常用不等式和两个重要函数极限（1sinlim=→xxx，exxx=+∞→)11(lim）；5、连续函数：概念（在一点连续，单侧连续，在区间连续），不连续点及其分类；连续函数的性质与运算（局部性质及运算，闭区间上连续函数的性质（有界性、最值性、零点存在性，介值性、一致连续性），复合函数的连续性，反函数的连续性）；初等函数的连续性。
中国海洋大学数学与应用数学专业人才培养方案
数学与应用数学专业人才培养方案学科门类理学专业代码 070101 授予学位理学学士（2016级本科生开始执行）一、培养目标本专业培养具备系统扎实的专业知识和良好的数学素养，适应社会发展需要，能够在科技、教育、经济和管理等机构、行业中从事数学理论及应用研究、教学、软件研制、决策管理等工作的创新型复合型人才。
具体目标如下：（1）掌握数学与应用数学的基本理论与方法；（2）具备运用数学理论和方法解决理论问题的能力；（3）具备借助计算机进行数学建模和定量分析解决实际问题的能力；（4）受到一定科学研究训练；（5）有合作意识和创新精神；（6）具有诚信意识和社会责任感。
二、毕业生能力要求1.素质结构要求1.1思想道德素质：热爱祖国，有科学的世界观、人生观和价值观，有责任心和社会责任感，自觉遵纪守法，注重职业道德，具有诚信意识和团队精神；1.2文化素质：有较高的文化素养，有一定的文学艺术修养、人际交往能力和现代意识；1.3专业素质：掌握较多的数学知识，学会“数学方式”的理性思维和科学的研究方法，能够对实际问题建立数学模型，能够用规范的数学语言表达自己的思想，具备求实创新意识；1.4身心素质：身体健康，心理健康。
2．能力结构要求2.1获取知识的能力：具有较强的分析能力、归纳能力、抽象能力、空间想象能力、演绎推理能力以及具有进行准确计算、使用运用数学软件和学习新数学知识的能力；2.2应用知识的能力：具有较高的理论联系实际的能力、较强的解决实际问题的能力；2.3创新的能力：有创造性思维，有一定的科学研究能力，对新知识和新技术有敏锐的洞察能力。
3．知识结构要求3.1工具性知识：熟练掌握一门外国语，熟练使用计算机，会进行文献检索，懂科技写作；3.2人文社会科学知识：有一定的文学、哲学、历史、经济等社会科学知识；3.3自然科学知识：具有较好的物理基础和实验技能，对化学、生命科学和地球科学有较好的了解；3.4专业知识：掌握较多的分析、代数、几何和随机数学方面的知识，达到本专业规范规定的总学分要求和分类学分要求。
中国海洋大学vhdl习题
习题七1.写出下面方程的阶,判别它们是齐次还是非齐次的,线性还是非线性的.(1)u t −u xx +1=0;(2)u t −u xx +xu =0;(3)u t −u xxt +uu x =0;(4)u tt −u xx +x 2=0;(5)u x +e y u y =0;(6)u t +u xxxx +√1+u =0;(7)u x (1+u 2x )−1/2+u y (1+u 2y )−1/2=0.2.求下面的一阶线性偏微分方程的通解:(1)xu x −2yu y =0;(2)xu x +yu y =0;(3)xu x +3u =x 2;(4)xu x +2u y −2u =0;(5)(1+x 2)u x +u y =0;(6)3u y +u xy =0;(7)u x −u y =1;(8)yu x −xu y =3x ;(9)x 2u x +y 2u y =(x +y )u ;(10)au x +bu y +cu =0.3.求解下面的初值问题:(1){u t =x 2,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=x 2,−∞<x <+∞.(2){2u t +3u x =0,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=sin x,−∞<x <+∞.(3){u t −au x =0,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=x 2,−∞<x <+∞.4.求方程u x −u y =1满足条件u (x,0)=x 2的解.5.求方程yu x +xu y =u 分别满足条件u (x,0)=x 3和条件u (0,y )=y 3的解.6.求方程u x +3y 23u y =2满足条件u (x,1)=1+x 的解.7.求解方程u x +u y +u =1,使其在曲线y =x 2+x (x >0)上满足条件u (x,y )=sin x .8.试证明如果u 1(x,t )和u 2(x,t )分别是下面两个热传导方程初值问题{u 1t =a 2u 1xx ,−∞<x <+∞,t >0,u 1(x,0)=φ1(x ),−∞<x <+∞和{u 2t =a 2u 2yy ,−∞<y <+∞,t >0,u 2(y,0)=φ2(y ),−∞<y <+∞的解,则u (x,y,t )=u 1(x,t )u 2(y,t )是初值问题{u t =a 2(u xx +u yy ),−∞<x,y <+∞,t >0,u (x,y,0)=φ1(x )φ2(y ),−∞<x,y <+∞1的解.9.函数1+x,1−x和1+x+x2是线性相关还是线性无关的?为什么?10.下面哪些算子是线性的?(1)Lu=u x+xu y;(2)Lu=u x+uu y;(3)Lu=u x+u2y;(4)Lu=u x+u y+1.11.证明非齐次线性算子方程Lu=f的任意两个解的差是齐次线性算子方程Lu=0的解.12.判别下列方程的类型,并将其化为标准型:(1)4u xx+5u xy+u yy+u x+u y=2;(2)u xx−4u xy+4u yy=e y;(3)u xx+u xy+u yy+u x=0.13.求方程3u xx+10u xy+3u yy=0的通解.14.求方程u xx+2u xy+u yy=0的通解.15.判断能否找到方程u xx+2u xy+5u yy+u x=0的通解?为什么?16.对偏微分方程u tt=a2u xx+bu x,其中a,b为常数,寻找合适的函数变换u(x,t)=w(x)v(x,t)使得v满足的偏微分方程中不含一阶偏导数项.17.化简偏微分方程u tt=a2u xx+bu x+cu t+du,其中a,b,c,d为常数.18.试求满足方程u tt=a2u xx和u2t=a2u2x的公共解.习题八1.求解下列特征值问题:(1){X′′+λX=0,0<x<l,X′(0)=X′(l)=0;(2){X′′+λX=0,0<x<l,X′(0)=X(l)=0;(3){X′′+λX=0,a<x<b,X(a)=X(b)=0;(4){X′′+λX=0,0<x<l,X(0)=0,X′(l)+γX(l)=0;2.一根长为l的弦,两端固定,初始位移为A sin πxl,初始速度为零.求该弦的振动规律.3.求解混合问题u tt=a2u xx,0<x<l,t>0, u(0,t)=u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=sinπxl,u t(x,0)=sinπxl,0≤x≤l.24.求解混合问题u tt=a2u xx,0<x<l,t>0, u(0,t)=u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=sin3πxl,u t(x,0)=x(l−x),0≤x≤l.5.求解混合问题u tt=a2u xx,0<x<l,t>0, u x(0,t)=u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=cosπx2l,0≤x≤l,u t(x,0)=cos3πx2l+cos5πx2l,0≤x≤l.6.一根长为l的均匀细杆,它的初始温度为常数u0,两端温度恒为零.试求杆上的温度分布情况.7.求解混合问题u t=u xx,0<x<1,t>0, u x(0,t)=u x(1,t)=0,t≥0,u(x,0)=1+cosπx,0≤x≤1.8.用分离变量法求解梁振动方程混合问题u tt+a2u xxxx=0,0<x<l,t>0, u(0,t)=u xx(0,t)=u(l,t)=u xx(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=φ(x),u t(x,0)=ψ(x),0≤x≤l.9.求解阻尼弦振动方程混合问题u tt=a2u xx−2hu t,0<x<l,t>0, u(0,t)=u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=φ(x),u t(x,0)=ψ(x),0≤x≤l,其中0<h<aπl是一个常数.10.求解混合问题u t=a2u xx−b2u,0<x<l,t>0, u(0,t)=u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=φ(x),0≤x≤l,其中b为已知常数.311.求解混合问题u tt=a2u xx+g,0<x<l,t>0, u(0,t)=0,u x(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=u t(x,0)=0,0≤x≤l,其中g为已知常数.12.求解混合问题u t=u xx+sinπx,0<x<1,t>0, u(0,t)=u(1,t)=0,t≥0,u(x,0)=0,0≤x≤1.13.求解具有放射性衰变的热传导方程混合问题u t=a2u xx+A e−βx,0<x<l,t>0, u(0,t)=u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=T0,0≤x≤l,其中A,β,T0均为已知常数.14.求解混合问题u tt=u xx,0<x<1,t>0, u(0,t)=E,u(1,t)=0,t≥0,u(x,0)=u t(x,0)=0,0≤x≤1,其中E为已知常数.15.求解混合问题u t=a2u xx,0<x<l,t>0, u x(0,t)=0,u(l,t)=u0,t≥0,u(x,0)=u0lx,0≤x≤l,其中u0为已知常数.16.设弹簧的一端固定,另一端在外力作用下作周期振动,此时归结为混合问题u tt=a2u xx,0<x<l,t>0, u(0,t)=0,u(l,t)=A sinωt,t≥0,u(x,0)=u t(x,0)=0,0≤x≤l,其中A,ω>0为已知常数,试求解.417.求解混合问题u t=a2u xx,0<x<l,t>0, u(0,t)=A sinωt,u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=0,0≤x≤l,其中A,ω>0为已知常数.18.试证明如果w(x,t;τ)是混合问题w t=a2w xx,0<x<l,t>τ, w(0,t;τ)=w(l,t;τ)=0,t≥τ,w(x,τ;τ)=f(x,τ),0≤x≤l的解,其中τ≥0表示初始时刻,则u(x,t)=∫tw(x,t;τ)dτ是混合问题u t=a2u xx+f(x,t),0<x<l,t>0, u(0,t)=u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=0,0≤x≤l的解.这是热传导方程混合问题的齐次化原理. 19.考察由下列定解问题描述的矩形平板上的温度分布u xx+u yy=0,0<x<a,0<y<b, u(0,y)=0,u(a,y)=0,0≤y≤b,u(x,0)=f(x),u(x,b)=0,0≤x≤a,其中f(x)为已知的连续函数.20.求解定解问题u xx+u yy=0,0<x<a,0<y<b, u x(0,y)=A,u x(a,y)=A,0≤y≤b,u y(x,0)=B,u y(x,b)=B,0≤x≤a,其中A,B为已知常数.21.求解单位圆上的拉普拉斯方程狄利克雷边值问题u rr+1ru r+1r2uθθ=0,0<r<1,−π≤θ≤π, u(1,θ)=f(θ),−π≤θ≤π,5其中f(θ)分别为(1)f(θ)=A cosθ;(2)f(θ)={A,|θ|<α,0,|θ|≥α,这里A和α都是常数.22.求解定解问题u rr+1ru r+1r2uθθ=0,0<r<l,0≤θ≤α, u(r,0)=0,u(r,α)=0,0≤r≤l,u(l,θ)=f(θ),0≤θ≤α,其中f(θ)为已知的连续函数,而α<2π.习题十1.求下列函数的傅里叶变换(1)sin axx(a>0);(2)1x2+a2;(3)sinηx2,cosηx2(η>0);(4)x e−ax2(a>0).2.已知∫+∞−∞f(ξ)dξ(x−ξ)2+a2=1x2+b2(0<a<b),求未知函数f(x).3.用傅里叶变换求解下列定解问题(1){u t+au x=f(x,t),−∞<x<+∞,t>0, u(x,0)=φ(x),−∞<x<+∞,(2)u tt=a2u xx+f(x,t),−∞<x<+∞,t>0, u(x,0)=0,−∞<x<+∞,u t(x,0)=0,−∞<x<+∞,(3){u t=u xx+tu,−∞<x<+∞,t>0, u(x,0)=f(x),−∞<x<∞.(4)u tt+2u t=u xx−u,−∞<x<+∞,t>0, u(x,0)=0,−∞<x<+∞,u t(x,0)=x,−∞<x<+∞,(5)∗u tt+a2u xxxx=0,−∞<x<+∞,t>0, u(x,0)=φ(x),−∞<x<+∞,u t(x,0)=0,−∞<x<+∞.4.试证明若w(x,t;τ)是齐次初值问题{w t=w xx,−∞<x<+∞,t>τ,w(x,τ;τ)=f(x,τ),−∞<x<∞.6的解,则u(x,t)=∫tw(x,t;τ)dτ是非齐次初值问题{u t=u xx+f(x,t),−∞<x<+∞,t>0,u(x,0)=0,−∞<x<+∞.的解.这就是热传导方程初值问题的齐次化原理.5.利用延拓法求解热传导半无界问题u t=a2u xx,x>0,t>0, u x(0,t)=0,t≥0,u(x,0)=φ(x),x≥0.6.利用延拓法求解弦振动半无界问题u tt=a2u xx,x>0,t>0, u(0,t)=0,t≥0,u(x,0)=φ(x),u t(x,0)=ψ(x)x≥0.7.求下列函数的拉普拉斯变换(1)f(t)=e−2t;(2)f(t)=t2;(3)f(t)=sin t cos t;(4)f(t)=cosh t;(5)f(t)=cos2kt;(6)f(t)=sin2t cos3t.8.求函数f(t)=(t−1)[H(t−1)−H(t−2)]的拉普拉斯变换,其中H(t)是单位阶跃函数.9.求下列函数的拉普拉斯变换(1)f(t)=(t−1)2e t;(2)f(t)=e−2t sin3t;(3)f(t)=H(3t−5);(4)f(t)=t e−3t sin2t;(5)f(t)=∫t0t e−3t sin2t d t;(6)f(t)=t∫te−3t sin2t d t.10.按定义10.4计算下列卷积(1)t∗t;(2)t∗e t;(3)t∗sin t;(4)cos t∗cos t;(5)sin t∗cos t;(6)e kt sin t∗e kt cos t.11.求下列函数的拉普拉斯逆变换7(1)1s+5;(2)2s4;(3)1s2+9;(4)2s+3s2+4;(5)s−2(s+1)(s−3);(6)s+1s2+s−6;(7)s(s2−1)2;(8)1s3(s2+4);(9)s2+2s−1s(s−1)2;(10)s(s2+1)(s2+4);(11)s+8s2+4s+5;(12)s+2(s2+4s+5)2;(13)s(s2+1)2;(14)2s2+3s+3(s+1)(s+3)3;(15)1(s−1)(s−2)(s+3).12.利用拉普拉斯变换公式计算如下积分(1)∫+∞0e−t sin2t d t;(2)∫+∞t e−3t cos2t d t.13.求解下列微分方程(1){y′+y=1,t>0,y(0)=0.(2){y′−y=−3e2t,t>0,y(0)=2.(3){y′′−6y′+9y=e3t,t>0,y(0)=y′(0)=0.(4){y′′−3y′+2y=5,t>0,y(0)=1,y′(0)=2.(5){y′′−2y′+2y=2e t cos t,t>0,y(0)=y′(0)=0.(6){y′′−2y′+5y=e t sin2t,t>0,y(0)=0,y′(0)=7/4.(7){y′′′+3y′′+3y′+y=6e−t,t>0,y(0)=y′(0)=y′′(0)=0.(8){y′′′+2y′′+y′=−2e−2t,t>0,y(0)=2,y′(0)=y′′(0)=0.14.求解下列微分方程组(1)x′+2x+2y=10e2t,y′+y−2x=7e2t,x(0)=1,y(0)=3.(2)3x′+y′+2x=1,x′+4y′+3y=0,x(0)=y(0)=0.15.求解积分方程f(t)=sin t+2∫tcos(t−τ)f(τ)dτ.16.利用拉普拉斯变换求解下列定解问题(1){u xy=1,x>0,y>0, u(0,y)=y+1,u(x,0)=1.(2)u tt=a2u xx,x>0,t>0, u(x,0)=0,u t(x,0)=b,u(0,t)=0.8(3)u t =a 2u xx ,0<x <l,t >0,u x (0,t )=0,u (l,t )=u 0,u (x,0)=u 1(u 0,u 1为常数).(4)u tt =a 2u xx +cos ωt,x >0,t >0,u (x,0)=0,u t (x,0)=b,u (0,t )=0.习题十一1.求出下列弦振动方程初值问题的解:(1)u tt −a 2u xx =0,u (x,0)=0,u t (x,0)=1;(2)u tt −a 2u xx =0,u (x,0)=sin x ,u t (x,0)=x 2;(3)u tt −a 2u xx =0,u (x,0)=x 3,u t (x,0)=x ;(4)u tt −a 2u xx =0,u (x,0)=cos x ,u t (x,0)=e −1.2.求解无限长弦的自由振动,设弦的初始位移为φ(x ),初始速度为−aφ′(x ).3.对方程u tt =4u xx ,x ∈R ,t >0,写出点(4,1)的依赖区间,区间[2,4]的决定区域.4.求解弦振动问题的古尔萨问题u tt =u xx ,−∞<x <+∞,t >0,u (x,−x )=φ(x ),−∞<x <+∞,u (x,x )=ψ(x ),−∞<x <+∞,其中φ(x ),ψ(x )为充分光滑的已知函数,且φ(0)=ψ(0).5.试求出方程∂∂x [(1−x h )2∂u ∂x ]=1a 2(1−x h )2∂2u∂t 2的通解为u =f (x −at )+g (x +at )h −x,其中h 为已知常数,f,g 为充分光滑的任意函数.提示：令v (x,t )=(h −x )u (x,t ).6.一根无限长的弦与x 轴的正半轴重合,并处于平衡状态中,弦的左端位于原点.当t >0时左端点作微小振动A sin ωt ,试求弦的振动规律为u (x,t )= 0,t ≤x a ,A sin ω(t −x a ),t >x a ,其中A,ω为已知常数.97.求解定解问题u xx +2u xt −3u tt =0,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=sin x,−∞<x <+∞,u t (x,0)=x,−∞<x <+∞,8.求解下列非齐次弦振动方程初值问题:(1)u tt −a 2u xx =x +at,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=0,−∞<x <+∞,u t (x,0)=0,−∞<x <+∞,(2) u tt −u xx =t sin x,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=0,−∞<x <+∞,u t (x,0)=sin x,−∞<x <+∞,(3) u tt −u xx =−1,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=sin x,−∞<x <+∞,u t (x,0)=x,−∞<x <+∞,(4)u tt −a 2u xx =x,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=0,−∞<x <+∞,u t(x,0)=3,−∞<x <+∞.习题九1.在点x =x 0处用幂级数方法求解下列微分方程:(1)y ′′−xy =0,x 0=0,1;(2)y ′′−xy ′−y =0,x 0=0,1;(3)(1−x )y ′′+y =0,x 0=0;(4)(1−x 2)y ′′−xy ′+4y =0,x 0=0.2.试判别x =−1,0,1是下面方程的什么点（常点、正则奇点或非正则奇点）:(1)xy ′′+(1−x )y ′+xy =0;(2)(1−x 2)y ′′−2xy ′+n (n +1)y =0;(3)2x 4(1−x 2)y ′′+2xy ′+3x 2y =0;(4)x 2(1−x 2)y ′′+2xy ′+4y =0.3.写出下列方程的指标方程及其根:(1)x 3y ′′+(cos 2x −1)y ′+2xy =0;(2)4x 2y ′′+(2x 4−5x )y ′+(3x 2+2)y =0;(3)x 2y ′′+3xy ′+4xy =0;(4)x 3y ′′−4x 2y ′+3xy =0.4.求出下列方程的两个线性无关的弗罗贝尼乌斯级数解:(1)xy ′′+2y ′+xy =0;(2)xy ′′−y ′+4x 3y =0;(3)x 2y ′′−x 2y ′+(x 2−2)y =0;(4)4xy ′′+2y ′+y =0.5.证明勒让德多项式P n (x )满足:(1)P n (−1)=(−1)n ;(2)P 2m −1(0)=0;(3)P 2m (0)=(−1)m(2m )!22m (m !)2.106.证明勒让德多项式有如下的积分表示公式,即施列夫利公式P n(x)=12n2πiC(z2−1)n(z−x)n+1d z,(1)其中C是围绕x的任意周线.7.利用上题中的施列夫利公式,取积分路径为圆周C:|z−x|=√1−x2,证明勒让德多项式的拉普拉斯积分表示公式P n(x)=1π∫π(x+i√1−x2cosφ)n dφ.(2)设x=cosθ,进一步证明|P n(x)|=|P n(cosθ)|≤1.8.证明P n(x)在开区间(−1,1)内有n个单零点.9.证明P n(x)=n∑k=0(n+k)!(n−k)!(k!)22k(x−1)k.10.证明勒让德多项式满足递推关系式P n(x)=P′n+1(x)−2xP′n(x)+P′n−1(x),n=1,2,···.11.证明n∑k=0(2k+1)P k(x)=P′n(x)+P′n+1(x),n=0,1,2,···.12.证明∫1−1P n(x)d x=0,n=1,2,···.13.证明∫1−1(1−x2)[P′n(x)]2d x=2n(n+1)2n+1,n=0,1,2,···.14.计算下列积分:(1)∫1−1xP n(x)P n+1(x)d x;(2)∫1−1x2P n(x)P n+2(x)d x;(3)∫1−1[xP n(x)]2d x.15.将函数f(x)=5x3+3x2+x+1展开成F–L级数.16.将单位阶跃函数f(x)={0,−1<x<0,1,0≤x<1展成F–L级数.17.将函数f(x)=|x|在区间(−1,1)内展开成F–L级数.1118.求解球坐标系下的下列定解问题:(1)∆u =0,r >1,u (1,θ)=cos 2θ,lim r →+∞u (r,θ)=0.(2) ∆u =0,1<r <2,u (1,θ)=cos θ,u (2,θ)=1+cos 2θ.(3)∆u =0,r <a,0≤θ<π2,u (a,θ)=u 0,∂u ∂n θ=π2=0.19.试求半径为R 的球体的定常温度分布.假定球面上的温度分布恒为u (R,θ)=u 0cos θ.20.有一个单位球,使其上半球面温度恒为1,下半球面温度恒为0.试求球内的温度分布.21.在半径为a 的接地金属球壳内,在到球心的距离为b 的位置处放置一个点电荷4πε0q .求球内的电势分布.22.设半径为a 的半球球面保持恒温u 0cos θ,底面保持零度.求半球内的温度分布.23.在电场强度为E 0的均匀电场中放进一个接地导体球,球的半径为a .设球心即球坐标系的原点处的电势为u 0,求球外的电势分布.24.用分离变量法求偏微分方程∂2u ∂t 2−∂∂x [(1−x 2)∂u∂x]=0,−1<x <1的通解.25.证明P m n (−x )=(−1)m +n P mn (x ).26.证明如下递推公式:(1)(1−x 2)12[P m n (x )]′=P m +1n (x )−mx (1−x 2)−12P mn (x );(2)2mx (1−x 2)12P m n (x )=P m +1n (x )+[n (n +1)−m (m −1)]P m −1n (x ).27.证明递推公式(9.52)和(9.53).28.利用递推公式(9.50)–(9.53)证明如下递推公式:(1)P m n (x )=xP m n −1(x )+(n +m −1)(1−x 2)12P m −1n −1(x );(2)(1−x 2)12P m +1n (x )=(n −m )xP m n (x )−(n +m )P m n −1(x );(3)(1−x 2)[P m n (x )]′=(n +m )P m n −1(x )−nxP m n (x );(4)(1−x 2)[P m n (x )]′=mxP mn (x )−(n +m )(n −m +1)(1−x 2)12P m −1n(x ).1229.将下列函数展开成球面调和函数的广义傅里叶级数:(1)sinθcosφ;(2)32(5cos2θ−1)sinθsinφ;(3)3sin2θcos2φ−1.30.在半径为r0的球体外部区域求解∂2u∂r2+2r∂u∂r+1r2sinθ∂∂θ(sinθ∂u∂θ)+1r2sin2θ∂2u∂φ2=0,r>r0,0<θ<π,−∞<φ<+∞, u(r0,θ,φ)=u0(sin2θcos2φ−13),0≤θ≤π,−∞<φ<+∞,limr→+∞|u(r,θ,φ)|<+∞,0≤θ≤π,−∞<φ<+∞.31.分别在半径为r0的球体的内部区域和外部区域求解∆3u=0,u(r0,θ,φ)=4sin2θ(cosφsinφ+12).32.分别在半径为r0的球体的内部区域和外部区域求解∆3u=0,u r(r0,θ,φ)=−sin2θcos2φ+13.33.在内半径为r1,外半径为r2的球壳区域内求解∆3u=0,u(r1,θ,φ)=u1cosθ,u(r2,θ,φ)=u2sinθcosθsinφ,其中u1,u2为常数.34.在半径为r0的球体内部区域求解泊松方程定解问题{∆3u=Ar cosθ,u(r0,θ,φ)=0,其中A为常数.35.证明对任意实数x有e x2(z−1z)=+∞∑n=−∞J n(x)z n,0<|z|<+∞.因为这个等式,函数e x2(z−1z)称为贝塞尔函数的母函数（或生成函数）.1336.证明e i x cosθ=J0(x)+2+∞∑n=1i n J n(x)cos nθ.这个等式的物理意义为平面波按柱面波展开.由它导出cos(x cosθ)=J0(x)+2+∞∑m=1(−1)m J2m(x)cos2mθ,sin(x cosθ)=2+∞∑m=0(−1)m J2m+1(x)cos(2m+1)θ.37.证明:(1)cos x=J0(x)+2+∞∑m=1(−1)m J2m(x);(2)sin x=2+∞∑m=0(−1)m J2m+1(x);(3)1=J0(x)+2+∞∑m=1J2m(x);(4)x=2+∞∑m=0(2m+1)J2m+1(x).38.利用第35题的结论证明J n(x)=12πiCe x2(ζ−1ζ)ζn+1dζ,n=0,±1,±2,···,其中C是任一围绕z=0的周线.进一步证明当C为单位圆周时有J n(x)=1π∫πcos(x sinθ−nθ)dθ.39.证明J0(x)=2π∫1cos xt√1−t2d t.由此证明J0(x)在(π/2,π)内有一个零点.40.证明|J n(x)|≤1,n=0,1,2,···.41.证明除原点外,Jν(x)和J′ν(x)的其它零点都是单零点.42.试证贝塞尔函数的加法公式J n(x+y)=+∞∑k=−∞J k(x)J n−k(x),n=0,±1,±2,···.43.证明1=J20(x)+2+∞∑k=1J2k(x).1444.证明:(1)J2(x)−J0(x)=2J′′0(x);(2)J3(x)+3J′0(x)+4J′′′0(x)=0;(3)J2(x)=J′′0(x)−x−1J′0(x);(4)x2J′′n(x)=(n2−n−x2)J n(x)+xJ n+1(x).45.证明∫x n J0(x)d x=x n J1(x)+(n−1)x n−1J0(x)−(n−1)2∫x n−2J0(x)d x.46.计算积分:(1)∫J3(x)d x;(2)∫x4J1(x)d x.47.计算积分∫+∞e−ax J0(bx)d x,其中a,b为实数,a>0.48.设ωm是J1(x)的第m个正零点,m=1,2,···.将函数f(x)=x在区间(0,1)上展为J1(ωm x)的傅里叶-贝塞尔级数.49.设ωm是J0(x)的第m个正零点,m=1,2,···.将函数f(x)=1−x2在区间(0,1)上展为J0(ωm x)的傅里叶-贝塞尔级数.50.考虑一个半径为a、高为h的均匀圆柱体,下底和侧面的温度保持为零度,上底温度分布恒为u0,求柱内稳定的温度分布.51.考虑一个半径为a、高为h的均匀圆柱体,侧面绝热,下底的温度保持为零度,上底温度分布恒为1−r2a2,求柱内稳定的温度分布.52.设有半径为1的薄均匀圆盘,边界上温度为0,初始温度分布为1−r2,求盘内的温度分布.53.考虑一个半径为R的无限长均匀圆柱体,侧面保持常温u0,柱内初始温度为0,求柱内的温度分布.54.考虑一张边界固定的环形膜,内外半径分别为r1和r2,试求它振动的特征频率.55.证明半奇数阶第二类贝塞尔函数Y n+12(x)=(−1)n+1J−(n+12)(x).这说明所有的半奇数阶第二类贝塞尔函数都是初等函数,从而所有的第二类球贝塞尔函数也都是初等函数.56.证明艾里微分方程y′′−xy=0的通解可以表示为y=CJ13(2i3x32)+DY13(2i3x32).57.证明微分方程x2y′′+axy′+(x2−ν2)y=0(a=1)可以化为贝塞尔方程.15。
中国海洋大学公共基础课程替代关系说明
中国海洋大学公共基础课程替代关系说明一、大学数学类课程（一）大学数学类课程设置大学数学类课程主要开设：高等数学类、线性代数类、概率统计类、数学物理方法类，每类课程设置不同级别的课程，满足不同专业对数学类课程的需求。
高等数学类分为六级：高等数学Ⅰ、高等数学Ⅱ、微积分Ⅰ、微积分Ⅱ、大学数学A、大学数学B；线性代数类分为二级：线性代数、线性代数基础；概率统计类分为二级：概率统计（概率论与数理统计）、概率论与数理统计基础。
数学物理方法类分为三级：数学物理方法、数学物理方法基础、复变函数与积分变换。
（二）大学数学类课程替代关系（替代关系说明：→表示前面课程可替代后面课程且不可逆向替代，←→表示可互相替代，下同。
）数学分析Ⅰ（数学类专业课）→高等数学Ⅰ-1 →高等数学Ⅱ-1 ←→高等数学Ⅲ-1 →微积分Ⅰ→大学数学←→大学数学A→大学数学B；数学分析Ⅱ、Ⅲ（数学类专业课）（修全两门课）→高等数学Ⅰ-2 →高等数学Ⅱ-2 →高等数学Ⅲ-2 →微积分Ⅱ；高等代数Ⅰ、Ⅱ（数学类专业课）（修全两门课）→线性代数→线性代数基础；概率论、数理统计（数学类专业课）（修全两门课）→概率统计←→概率论与数理统计→概率论与数理统计基础；数学物理方程（数学类专业课）→数学物理方法→数学物理方法基础←→复变函数与积分变换。
二、大学物理类课程（一）大学物理类理论课程设置大学物理类课程分为三级：大学物理Ⅰ、大学物理Ⅱ、大学物理Ⅲ。
大学物理Ⅰ：大学物理Ⅰ-1：力学、振动和波大学物理Ⅰ-2：热学大学物理Ⅰ-3：电磁学、光学、近代物理大学物理Ⅱ：大学物理Ⅱ-1：力学、电磁学大学物理Ⅱ-2：振动和波、光学、热学、近代物理大学物理Ⅲ：大学物理Ⅲ-1：力学、相对论力学、振动和波、热学大学物理Ⅲ-2：电磁学、光学、量子物理（二）大学物理类实验课程设置大学物理实验1： 4个力热实验，4个电学实验，4个光学实验大学物理实验2： 4个力热实验，4个电学实验，4个光学实验大学物理实验3：综合设计性实验（三）大学物理类课程替代关系1. 理论课课程替代（1）不同级别替代关系：大学物理Ⅰ-1、Ⅰ-2和Ⅰ-3（修全三门课）→大学物理Ⅱ-1和Ⅱ-2（修全两门课）→大学物理Ⅲ-1和Ⅲ-2（修全两门课）（2) 不同课程替代关系：大学物理Ⅰ-1、Ⅰ-3（修全两门课）→大学物理Ⅱ-1大学物理Ⅰ-1、Ⅰ-2（修全两门课）→大学物理Ⅲ-1大学物理Ⅰ-3 →大学物理Ⅲ-22. 实验课课程替代：三门大学物理实验课程不能相互替代。
中国海洋大学环境科学专业研究生入学考试历年真题(851环境科学概论09年到12年)
中国海洋大学2009年硕士研究生入学考试试题科目代码：851科目名称：环境科学概论一、名词解释（每题3分，共30分）1、大气污染2、生态平衡3、耐受性定律4、物种5、BOD56、环境7、TSP8、酸沉降9、山谷风10、赤潮二、填空题（每空1分，共30分）1、生态因子的数量很多，按生态因子对动物种群数量变动的作用，可以将其分为（）和（）。
2、生态平衡失调的主要标志有结构上的标志包括（）和（）；功能上的标志表现在（）和（）。
3、农药的降解是其在土壤环境中得以净化的主要途径，主要包括（）、（）和（）。
4、固体废弃物按废物的危害状况可分为（）和（）。
5、按时间划分，环境质量评价可以分为（）、（）和（）三种类型。
6、水质指标常用来衡量水质好坏，通常把水质指标分为三类，即（）、（）和（）。
7、可持续发展的内涵非常丰富，可以概括为三原则，即（）、（）和（）。
8、联合国环境规划署提出自然资源是指在一定的时空条件下，能够产生经济价值，提高人类当前和未来福利的自然环境因素的总称。
自然资源可以分为三类，即（）、（）和（）。
9、环境污染物直接或间接危害人体健康，从影响人体健康的角度来看，环境污染一般具有影响范围大、（）、（）和（）四个特征。
10、限制陆地生态系统初级生产力的主要因素有水、（）和（）。
11、限制水体生态系统初级生产力的主要因素有（）、光和（）。
三、判断题（对的打√、错的打×，每题2分，共30分）1、一般认为，生态学的研究方法可以分为野外的（或田间的）、实验的和理论的的3大类。
（）2、全球生物地球化学循环分为三大类型，即水循环、气体型循环、沉积型循环。
（）3、群丛、群系和植被型都属于植物群落的分类单位。
（）4、环境标志作为一种指导性的、自愿的、控制市场的手段，可以成为保护环境的有效工具。
（）5、统筹规划不属于环境管理的基本职能。
（）6、重金属在土壤中的迁移转化主要是物理过程和化学过程。
（）7、森林资源包括森林、树木、林地及其所包含的其它生物资源。
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中国海洋大学2011年度春季学期期末考试试卷
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2011年度春季学期 高等代数II 试题 A 卷答案 （2011）
一、判断题：
1．√ 2．× 3. × 4. × 5. × 6. √ 7. × 8. √ 9. × 10. √ 二.填空题:
1．22100001000010
0(1)(2)λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦，10
001100002000
1
2-⎡⎤⎢⎥-⎢
⎥⎢⎥⎢
⎥⎣⎦
; 2. 0; 3．12[(),(),,()]s g x g x g x ； 4．2; 5．
''A αααα。
三、解：4
122x x x =+,12312123(,,,2)=(1,0,0,1)(0,1,0,2)(0,0,1,0)x x x x x x x x +++
设
123(1,0,0,1),(0,1,0,2),(0,0,1,0)βββ===,且它们线性无关.
2123(,,)W L βββ∴=
由于1212123(,,,,)W W L ααβββ+=,
110002111001100100100202001001001
312
0100012⎛⎫- ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎪- ⎪⎝
⎭, 1212,,,ααββ 线性无关,且31211112
2
2
βααβ=+-.
由此, 12W W +的维数为4.且1212,,,ααββ是一组基. 设γ12W W ∈ ,1122112233=k k c c c γααβββ+=++,即
12112
2312120020320
k k c k c k c k k c c +-=⎧⎪--=⎪⎨
-=⎪⎪+--=⎩ 得
1323
11
.22
k c k c =-=31323111
(0,,1,1)222
c c c γαα∴=-+=
所以交空间的维数为1,基为1
(0,,1,1)2
.
四. 证：10{()|}n n i V f A a A a A a E a R ==+++∈
由⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=0110A ，得E A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10010，E A -=⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=10012
，A A -=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=01103
},|)({R b a bE aA A f V ∈+==∴
2dim =∴V
又2dim =C
C V d i m d i m
=∴ 所以V 与C 同构
五. 证：1）设A αλα=，22
A A αλααλα===，2,1λλλ∴=∴=或0λ=.
(2) V α∀∈, 有αααA A E +-=)(,令12(),E A A αααα=-=。
2110()0,A A A V ααα=-=∴∈ ；22221,A A A V ααααα===∴∈ .
可见10V V V =+ 又10V V α∀∈ , 有0A αα==。
所以{}100V V = ，
10V V V ∴=⊕
六．解；设110430102A -⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪
⎝⎭,200011101B ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，问题转化为B A 与是否相似。
因为210001000(2)(1)E A λλλ⎛⎫
⎪-→ ⎪
⎪--⎝⎭
，初等因子为：2
2,(1)λλ--； 同理B 的初等因子为：2
2,(1)λλ--
B E A E --λλ与的初等因子相同，所以B A 与相似。
七.解：设2**02*0
02A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，（其中*为不全为零的任意常数）。
则 ||(2)n E A λλ-=- ，
即2λ=是A 的n 重特征值，而(2)1r E A -≥ ，所以(2)0E A x -=的基础解系所含向量个数1n ≤-个，即A 的线性无关的特征向量的个数1n ≤-个，因此A 不与对角阵相似。