【大学期末考试复习题】微积分下期末试题与答案(中国海洋大学真题)
微积分(下册)期末试卷和答案[1]
1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x21___________.π=⎰∞+∞--dx e x 23、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以xe x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________.6 知dx e xp ⎰∞+- 0 )1(与⎰-ep x x dx 1 1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( c ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( b ).(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8、若22223111x y I x y dxdy +≤=--⎰⎰,222232121x y I x y dxdy≤+≤=--⎰⎰,222233241x y I x y dxdy≤+≤=--⎰⎰,则下列关系式成立的是( a).(A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( d ).(A) b ax y += (B) xe b ax y 3)(+=(C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛.则∑∞=-1)1(n nna ( d ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+.2、π.3、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=.11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解:32y x =的函数为23,0x y y =>。
微积分综合练习题及参考答案精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版综合练习题1(函数、极限与连续部分)1.填空题 (1)函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 . 答案:2>x 且3≠x .(2)函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 .答案:]2,1()1,2(-⋃--(3)函数74)2(2++=+x x x f ,则=)(x f. 答案:3)(2+=x x f(4)若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续,则=k .答案:1=k (5)函数x x x f 2)1(2-=-,则=)(x f .答案:1)(2-=x x f(6)函数1322+--=x x x y 的间断点是 .答案:1-=x(7)=∞→xx x 1sin lim .答案:1(8)若2sin 4sin lim 0=→kxxx ,则=k .答案:2=k2.单项选择题(1)设函数2e e xx y +=-,则该函数是( ).A .奇函数B .偶函数C .非奇非偶函数D .既奇又偶函数 答案:B(2)下列函数中为奇函数是().A .x x sinB .2e e x x +- C .)1ln(2x x ++ D .2x x +答案:C(3)函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为( ). A .5->x B .4-≠x C .5->x 且0≠x D .5->x 且4-≠x答案:D(4)设1)1(2-=+x x f ,则=)(x f ( )A .)1(+x xB .2x C .)2(-x x D .)1)(2(-+x x 答案:C(5)当=k ( )时,函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A .0B .1C .2D .3 答案:D(6)当=k ( )时,函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ,在0=x 处连续.A .0B .1C .2D .1- 答案:B (7)函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是( ) A .2,1==x xB .3=xC .3,2,1===x x xD .无间断点 答案:A 3.计算题(1)423lim 222-+-→x x x x . 解:4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x (2)329lim 223---→x x x x解:234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x (3)4586lim 224+-+-→x x x x x解:3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2(导数与微分部分)1.填空题 (1)曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 .答案:21 (2)曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是 . 答案:1+=x y(3)已知xx x f 3)(3+=,则)3(f '= . 答案:3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27()3ln 1+(4)已知x x f ln )(=,则)(x f ''= . 答案:x x f 1)(=',)(x f ''=21x- (5)若xx x f -=e )(,则='')0(f.答案:x xx x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题 (1)若x x f xcos e)(-=,则)0(f '=( ).A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案:C (2)设,则( ). A . B .C .D .答案:B(3)设)(x f y =是可微函数,则=)2(cos d x f ( ).A .x x f d )2(cos 2'B .x x x f d22sin )2(cos 'C .x x x f d 2sin )2(cos 2'D .x x x f d22sin )2(cos '- 答案:D(4)若3sin )(a x x f +=,其中a 是常数,则='')(x f ( ).A .23cos a x + B .a x 6sin + C .x sin - D .x cos 答案:C3.计算题(1)设xx y 12e =,求y '.解: )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x(2)设x x y 3cos 4sin +=,求y '.解:)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=(3)设xy x 2e 1+=+,求y '. 解:2121(21exx y x -+='+ (4)设x x x y cos ln +=,求y '.解:)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3(导数应用部分)1.填空题 (1)函数的单调增加区间是 .答案:),1(+∞(2)函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加,则a 应满足 . 答案:0>a2.单项选择题(1)函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是( ) A .单调增加 B .单调减少 C .先增后减 D .先减后增 答案:D(2)满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的( ). A .极值点 B .最值点 C .驻点 D . 间断点 答案:C(3)下列结论中( )不正确. A .)(x f 在0x x =处连续,则一定在0x 处可微. B .)(x f 在0x x =处不连续,则一定在0x 处不可导. C .可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D .函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案: B(4)下列函数在指定区间上单调增加的是( ).A .x sinB .xe C .2x D .x -3答案:B3.应用题(以几何应用为主)(1)欲做一个底为正方形,容积为108m 3的长方体开口容器,怎样做法用料最省?解:设底边的边长为x m ,高为h m ,容器的表面积为y m 2。
近十份大学微积分下期末试题汇总(含答案)Word版
浙江大学2007-2008学年春季学期 《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷一 、填空题(每小题5分,共25分,把答案填在题中横线上) 1.点M (1,-1, 2)到平面2210x y z -+-=的距离d = . 2.已知2a =,3b =,3a b ⋅=,则a b += . 3.设(,)f u v 可微,(,)yxz f x y =,则dz = . 4.设()f x 在[0,1]上连续,且()f x >0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y =≤≤≤≤,则()()()()Daf x bf y d f x f y σ++⎰⎰= .5.设(,)f x y 为连续函数,交换二次积分次序2220(,)x x dx f x y dy -=⎰⎰.二 、选择题(每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的,把所选字母填入题后的括号内)6.直线l 1:155121x y z --+==-与直线l 2:623x y y z -=⎧⎨+=⎩的夹角为 (A )2π . (B )3π . (C )4π . (D )6π. [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数,极坐标系中的二次积分cos 2d (cos ,sin )d f r r r r πθθθθ⎰⎰可以写成直角坐标中的二次积分为(A)10(,)dy f x y dx ⎰⎰ (B)1(,)dy f x y dx ⎰⎰(C)10(,)dx f x y dy⎰⎰(D)10(,)dx f x y dy ⎰⎰[ ]8.设1, 02()122, 12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩ ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数,则5()2S -=(A )12. (B )12-. (C )34. (D )34-. [ ]<9.设,)(0,0),(,)0, (,)(0,0),x y f x y x y ≠==⎩则(,)f x y 在点O (0,0)处(A )偏导数存在,函数不连续 (B )偏导数不存在,函数连续(C )偏导数存在,函数连续 (D )偏导数不存在,函数不连续 [ ] 三、解答题10.(本题满分10分)求曲线L :2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在其上点M (1,-1,2)处的切线方程与法平面方程.11.(本题满分10分)设F 可微,z 是由F (x y -,,)0y z z x --=确定的可微函数,并设23F F ''≠,求z zx y∂∂+∂∂. 12.(本题满分10分)设D 是由曲线3y x =与直线y x =围成的两块有界闭区域的并集,求2[e sin()]d x Dx y σ++⎰⎰. 13.(本题满分10分)求空间曲线L :222920335x y z x y z ⎧+-=⎨++=⎩上的点到xOy 平面的距离最大值与最小值.14.(本题满分10分)设平面区域D ={}(,)01,01x y x y ≤≤≤≤,计算二重积分22 1 d Dxy σ+-⎰⎰.15.(本题满分5分)设当y >0时(,)u x y 可微,且已知222222(,)()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y=++-++++. 求(,)u x y .浙江大学2007-2008学年春季学期《微积分II 》课程期末考试试卷答案一、填空题(每小题5分,共25分) 1.231421=-++=d .2.22()()2496a b a b a b a b a b +=+⋅+=++⋅=++=3.()()dy xy f x x f dx y y f yx f dz x y x y 121211ln ln --'+⋅'+'+⋅'=4.()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰++=++=D Dd x f y f x bf y af d y f x f y bf x af I σσ, ()()⎰⎰+=+=+=∴Db a I b a d b a I 21,2σ.5.()()2220111,,x x dx f x y dy dy f x y dx --=⎰⎰⎰⎰或 ()0111,dy f x y dx -⎰⎰或 ()1101,dy f x y dx -⎰⎰.二、选择题(每小题5分,共20分)6.选(B ). l 1的方向向量{}1,2,1-,l 2的方向向量{}2,1,1--,{}{}3,2163662,1,11,2,1cos πθθ===--⋅-=.7.选(D ). 积分区域(){}0,,22≥≤+=y x y x y x D ,化成直角坐标后故知选(D ).8.选(C ). 511111113()()()((0)(0))(1)222222224S S S f f -=-==-++=+=.9.选(A ). ()()0000,0lim0,0,00x y x f f x→-''===,偏导数存在. 取kx y =,()4411lim,lim kk kk kx x f x x +=+=→→随k 而异,所以不连续.三、解答题(10~14每题10分,15题5分,共55分) 10.由L ,视x 为自变量,有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++.0226,0264dx dz z dx dy y x dx dz z dx dy y x 以()()2,1,1,,-=z y x 代入并解出dxdzdx dy ,,得 87,45==dx dz dx dy , 所以切线方程为87245111-=+=-z y x ,法平面方程为()()()57112048x y z -+++-=,即0127108=-++z y x .11.133212232332,,1y x z z F F F F F F F F z z z z x F F F y F F F x y F F ''''''''--+∂∂∂∂=-=-=-=-+==''''''''∂-+∂-+∂∂-. 12.D 在第一象限中的一块记为D 1,D 在第三象限中的一块记为D 2,()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++++=++2122122sin sin sin D D DD x D x x d y x d y x d e d e d y x eσσσσσ.32222312101xx x x x x xxD D ed e d dx e dy dx e dy σσ-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()222210103333011x x x x x x e dx xx e dx x x e dx xx e dx -=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰()2111130021()112x uu u u x x e dx e du ue du e ue e e e =-=-=---=--=-⎰⎰⎰()()()()3312101sin sin sin sin x x xxD D x y d x y d dx x y dy dx x y dy σσ-+++=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()103301cos cos cos cos x x x x dx x x x x dx -⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰ ()()()()13301cos cos cos cos 0x x x x dx x x x x dx ⎡⎤⎡⎤=-+-+++-+=⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 所以,原式2-=e .13.L 上的点到平面xoy 的距离为z ,它的最大值点,最小值点与2z 的一致,用拉格朗日乘数法,设()()()53329,,,,2222-+++-++=z y x zy x z z y x F μλμλ,求偏导数,并令其为零有:20F x x λμ∂=+=∂,1830F y x λμ∂=+=∂, 2430F z z z λμ∂=-+=∂,22920Fx y z x∂=+-=∂ , 3350Fx y z μ∂=++-=∂ . 解之得两组解()()1215,,(1,,1);,,(5,,5)33x y z x y z ==--. 所以当31,1==y x 时,1=z 最小;当35,5-=-=y x 时,5=z 最大.14.将分成如图的两块,41的圆记为D 1,另一块记为D 2()⎰⎰⎰⎰--=-+DD d y x d y x 1222211σσ+()⎰⎰-+2122D d y x σ ()()()σσσd y x d y x d y xD DD ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+--++--=11111222222()()()()122221112222211211211()43343D Dx y d x y d d r rdr dy xy dx πσσθππ=--++-=-++-=+-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰15.由()222222,()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y=++-++++,有222xy y x y x u ++=∂∂,从而知()()y y x y x y x u ϕ++=2221arctan ,,又由y y x yx x y u 2222+++-=∂∂,推知 ()22222221()xx y x y y x y y x x y y ϕ-'++=-++++, ()()22,y y y y C ϕϕ'==+所以,()2221,arctan2x u x y x y y C y =+++. 注:若用凑的办法亦可:222222()(2)y x xy dx x y y dy x y x y++-++++()()22222211221()ydx xdy ydx xdy xy ydx xdy ydy d xy dy x x y y y--=+++=++++ ()221(arctan)2x d xy y y =++ 所以,()C y y x y x y x u +++=22221arctan,. ()()u f u F ='.浙江大学2006–2007学年春季学期 《 微积分Ⅱ 》课程期末考试试卷开课学院: 理学院 考试形式:闭卷 考试时间: 年 月 日 所需时间:120 分钟 考生姓名: _____学号: 专业: ________一、 填空题(每小题5分,满分30分) 1. 直线63321-==+z y x 在平面0522=--+z y x 上的投影直线方程为.2. 数量场2),,(zye z y x g x +=在)0,3,1(P 点的梯度为 .=u函数)ln(),,(22z y x z y x f ++=在P 点沿u的方向导数为 .3. 设ϕϕ,),2,3(),,(f y x x u u x f z +== 具有二阶连续偏导数,则=∂∂∂yx z 2.4. 设}1,11|),{(3≤≤≤≤-=y x x y x D,则=+⎰⎰+Dy x y x ey x x d d )(222.5. 已知曲面1=z y x 与椭球面193222=++z y x 在第一卦限内相切,则切点坐标为 ,公共切平面方程为.6. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤=121,210,)(2x x x x x f ,∑∞=+=10cos 2)(n n x n a a x S π,其中,2,1,0,d cos )(210==⎰n x x n x f a n π,则.)27(=S二、 (满分10分)求直线 ⎩⎨⎧=-++=-+-022012z y x z y x 绕x 轴旋转一周所得的旋转曲面方程.1002 22dd x yex y.三、(满分10分)计算⎰⎰-(满分15分)已知),(y x z z =由方程013=++zxe z y 确定,试求1022==∂∂y x x z.四、 (满分15分)设平面),,(,1:z y x d y x =+π为曲线⎪⎩⎪⎨⎧=++=++014222z y x z y x 上的点),,(z y x 到平面π的距离,求),,(z y x d 的最大,最小值 .五、 (满分15分)如图是一块密度为ρ(常数)的薄板的平面图形(在一个半径为R 的半圆直 径上拼上一个矩形,矩形的另一边为h ),已知平面图形的形心位于原点(0, 0). 试求:1. 长度 h ;2.薄板绕x 轴旋转的转动惯量.六、 (满分5分) 求证:当0,1≥≥s t 时,成立不等式 s e t t t ts +-≤ln .参考解答:一.1.⎩⎨⎧=--+=+-0522043z y x z y x ; 2. 21},0,,3{e e ;3.)3(2))(3(2222122222122212ϕϕϕϕϕϕ''+''⋅'+'+'⋅'⋅''+'''f f f ; 4.;32 5. ;03313,3,1,31=-++⎪⎭⎫⎝⎛z y x 6. 83.二.直线:t z t y t x -=-==1,1,曲面上点→),,(z y x P 直线上点00000001,1),,,(x z x y z y x -=-=22222020220)1()1(,,x x z y z y z y x x -+-=+⇒+=+=则旋转曲面方程:222)1(2x z y -=+三.⎰⎰10222d d x y ex y -⎰⎰⎰-==--212212220142)d 41(d d y y e x e y 2y yy2120202020221d d d d 212212212212212------=-+=+=⎰⎰⎰⎰e y eey y eey y ey y y y y四.,1)1,0(-=z ,032=∂∂++∂∂⋅x z xe e x z z y z z ex z y x 3110-=∂∂∴==,02632222222=∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+∂∂⋅x z xe x z xe x z e x z z y x z z y z z z 2102294ex zy x =∂∂∴== 五.|1|21),,(-+=y x z y x d)14()()1(2222-++++++-+=z y x z y x y x L μλ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++='=±===++='==+='-==⇒≠=++-+='=⇒==++-+='014,01302,002)1(20,002)1(22223231221z y x L z y x z y x L x z L xz x y y y x L x y x L z y xμλμλμμλλμμλ,无解最小距离:2236),,(323131-=-d ,最大距离:2236),,(323131+=--d六.形心:01,0=⇒==⎰⎰⎰⎰DDxdxdy xdxdy x y σ即0d cos d d d 220=⋅+⎰⎰⎰⎰---ππθθRhRRr r r y x xR h R h R 320312)21(232=⇒=⋅+-⋅⎰⎰=Dx dxdy y I 2302202)832(d θsin d d d 22R R h r r r y y x RhRR πθππ+=⋅+=⎰⎰⎰⎰--- 七.设0)0,1(,ln ),(=-+-=F ts e t t t s t F s.ln ,0),(t s e t t e s t F s s s ==⇒=-=' 且对固定的1>t , 当,0),(,ln 0<'<<s t F t s s 当,0),(,ln >'>s t F t ss所以,t s ln =取得最小值且为0,则0),(≤s t F ,即s e t t t ts +-≤ln1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x21___________.π=⎰∞+∞--dx e x 23、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________. 6 知dxexp ⎰∞+- 0)1(与⎰-ep x x dx11ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( c ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( b ).(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( a).(A)123I I I >> (B) 213I I I >> (C)123I I I << (D)213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( d ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛,则∑∞=-1)1(n nna ( d ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+. 23、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=.11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解:32y x =的函数为23,0x y y =>。
微积分(下册)期末试卷与答案
15、计算 .
解: (6分)
16、计算二重积分 ,其中 是由 轴及圆周 所围成的在第一象限的区域.
解: = = (6分)
17、解微分方程 .
解:令 , ,方程化为 ,于是
(3分)
(6分)
18、判别级数 的敛散性.
解: (3分)
因为 (6分)
19、将函数 展开成 的幂级数,并求展开式成立的区间.
中南民族大学06、07微积分(下)试卷及参考答案
06年A卷
评分
阅卷人
1、已知 ,则 _____________.
2、已知,则 ___________.
3、函数 在 点取得极值.
4、已知 ,则 ________.
5、以 ( 为任意常数)为通解的微分方程是
____________________.
二、选择题(每小题3分,共15分)
6、 的值为( ).
(A) (B) (C) (D)不存在
7、 和 存在是函数 在点 可微的( ).
(A)必要非充分的条件(B)充分非必要的条件
(C)充分且必要的条件(D)即非充分又非必要的条件
8、由曲面 和 及柱面 所围的体积是( ).
(A) (B)
(C) (D)
9、设二阶常系数非齐次线性方程 有三个特解 , , ,则其通解为( ).
9、方程 具有特解().
(A) (B)
(C) (D)
10、设 收敛,则 ().
(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)不定
三、计算题(每小题6分,共60分)
评分
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评阅人
11、求由 , , 所围图形绕 轴旋转的旋转体的体积.
高等数学A(二)B期末考卷及解答海大
高等数学A(二)B期末考卷及解答海大一、选择题(每题1分,共5分)1. 设函数f(x)在x=0处可导,且f'(0)=2,则下列选项中正确的是()A. lim(x→0) [f(x)f(0)]/x = 0B. lim(x→0) [f(x)f(0)]/x = 2C. lim(x→0) [f(x)f(0)]/x = 1D. lim(x→0) [f(x)f(0)]/x = 22. 设函数f(x)在区间[0,1]上连续,且满足0≤f(x)≤1,则下列选项中正确的是()A. ∫(0,1) f(x) dx = 0B. ∫(0,1) f(x) dx = 1C. ∫(0,1) f(x) dx = 0.5D. 无法确定3. 设矩阵A为3阶方阵,且|A|=3,则下列选项中正确的是()A. A可逆B. A不可逆C. A的行列式为0D. A的行列式为34. 设函数y=f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为yy0=2(xx0),则下列选项中正确的是()A. f'(x0)=0B. f'(x0)=1C. f'(x0)=2D. f'(x0)不存在5. 设函数f(x)在区间[a,b]上可导,且f'(x)>0,则下列选项中正确的是()A. f(x)在[a,b]上单调递增B. f(x)在[a,b]上单调递减C. f(x)在[a,b]上取得最大值D. f(x)在[a,b]上取得最小值二、判断题(每题1分,共5分)1. 函数f(x)在x=0处可导,则f(x)在x=0处连续。
()2. 若函数f(x)在区间[a,b]上可导,则f(x)在[a,b]上一定连续。
()3. 矩阵A的行列式为0,则A不可逆。
()4. 二重积分的值与积分次序无关。
()5. 若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则f'(x)>0。
()三、填空题(每题1分,共5分)1. 设函数f(x)=x^33x,则f'(x)=______。
微积分下期末试题及答案
微积分下期末试题及答案下面是微积分下期末试题及答案的内容:一、单选题(每题2分,共20分)1. 在一个封闭的矩形区域内,下列函数中一定存在一个绝对值最大的点的是:A. f(x) = 2x + 3B. f(x) = -x^2 + 5x + 1C. f(x) = sin(x)D. f(x) = e^x答案:B2. 设函数f(x) = x^3,则f'(x) = ?A. 3x^2B. 4x^3C. 2x^3D. x^2答案:A3. 曲线y = 2x^2 - 3x + 1的切线斜率为:A. 2B. -2C. 3D. -3答案:C4. 若f(x) = x^2 + 2x,则f''(x) = ?A. 2B. 4C. 0D. 6答案:A5. 设y = 3x - 1为直线L1上一点,曲线y = 2x^2 + 1上一点为(x0, y0),则L1与曲线的切线平行于x轴的条件是:A. x0 = -1B. x0 = 0C. x0 = 1D. y0 = -1答案:D6. 函数f(x) = ln(x)的反函数为:A. f(x) = e^xB. f(x) = xC. f(x) = e^(-x)D. f(x) = x^2答案:A7. 函数f(x) = 3x^2 + 2在区间[1, 2]上的平均值为:A. 4B. 5C. 8/3D. 10/3答案:C8. 若f(x) = sin(x),则f''(x) = ?A. -cos(x)B. cos(x)C. -sin(x)D. sin(x)答案:D9. 由函数f(x) = x^3 - 3x求得的原函数为:A. x^4/4 - 3x^2/2 + CB. x^4 + 3x^2 + CC. x^3 - 3x + CD. x^4 - x^2 + C答案:A10. 函数y = ax^2 (a ≠ 0)与直线y = 2x - 3相切的条件是:A. a = 4B. a = 2C. a = 1D. a = 3答案:B二、计算题(每题10分,共30分)1. 设函数f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 1,求f'(2)的值。
近十份大学微积分下期末试题汇总(含答案) 2
浙江大学2007-2008学年春季学期 《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷一 、填空题(每小题5分,共25分,把答案填在题中横线上) 1.点M (1,-1, 2)到平面2210x y z -+-=的距离d = .2.已知2a = ,3b = ,3a b ⋅= ,则a b +=.3.设(,)f u v 可微,(,)y x z f x y =,则dz = .4.设()f x 在[0,1]上连续,且()f x >0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y =≤≤≤≤,则()()()()Daf x bf y d f x f y σ++⎰⎰= .5.设(,)f x y 为连续函数,交换二次积分次序2220(,)x x dx f x y dy -=⎰⎰.二 、选择题(每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的,把所选字母填入题后的括号内)6.直线l 1:155121x y z --+==-与直线l 2:623x y y z -=⎧⎨+=⎩的夹角为 (A )2π . (B )3π . (C )4π . (D )6π. [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数,极坐标系中的二次积分cos 20d (cos ,sin )d f r r r r πθθθθ⎰⎰可以写成直角坐标中的二次积分为(A)100(,)dy f x y dx ⎰⎰ (B)100(,)dy f x y dx ⎰⎰(C)10(,)dx f x y dy ⎰⎰(D)10(,)dx f x y dy ⎰⎰[ ]8.设1, 02()122, 12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩ ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数,则5()2S -=(A )12. (B )12-. (C )34. (D )34-. [ ] <9.设,)(0,0),(,)0, (,)(0,0),x y f x y x y ≠==⎩则(,)f x y 在点O (0,0)处(A )偏导数存在,函数不连续 (B )偏导数不存在,函数连续(C )偏导数存在,函数连续 (D )偏导数不存在,函数不连续 [ ] 三、解答题10.(本题满分10分)求曲线L :2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在其上点M (1,-1,2)处的切线方程与法平面方程.11.(本题满分10分)设F 可微,z 是由F (x y -,,)0y z z x --=确定的可微函数,并设23F F ''≠,求z zx y∂∂+∂∂. 12.(本题满分10分)设D 是由曲线3y x =与直线y x =围成的两块有界闭区域的并集,求2[esin()]d x Dx y σ++⎰⎰.13.(本题满分10分)求空间曲线L :222920335x y z x y z ⎧+-=⎨++=⎩上的点到xOy 平面的距离最大值与最小值.14.(本题满分10分)设平面区域D ={}(,)01,01x y x y ≤≤≤≤,计算二重积分22 1 d Dx y σ+-⎰⎰.15.(本题满分5分)设当y >0时(,)u x y 可微,且已知222222(,)()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y=++-++++. 求(,)u x y .浙江大学2007-2008学年春季学期《微积分II 》课程期末考试试卷答案一、填空题(每小题5分,共25分) 1.231421=-++=d .2.a b +== 3.()()dy xy f x x f dx y y f yx f dz x y x y 121211ln ln --'+⋅'+'+⋅'= 4.()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰++=++=D Dd x f y f x bf y af d y f x f y bf x af I σσ, ()()⎰⎰+=+=+=∴D b a I b a d b a I 21,2σ.5.()()2220111,,x xdx f x y dy dy f x y dx --=⎰⎰⎰⎰或 ()01,d y f x y dx -⎰⎰或 ()1101,dy f x y dx -⎰⎰.二、选择题(每小题5分,共20分)6.选(B ). l 1的方向向量{}1,2,1-,l 2的方向向量{}2,1,1--,{}{}3,2163662,1,11,2,1cos πθθ===--⋅-=.7.选(D ). 积分区域(){}0,,22≥≤+=y x y x y x D ,化成直角坐标后故知选(D ).8.选(C ). 511111113()()()((0)(0))(1)222222224S S S f f -=-==-++=+=.9.选(A ). ()()0000,0lim0,0,00x y x f f x→-''===,偏导数存在. 取kx y =,()4411lim,lim kk kk kx x f x x +=+=→→随k 而异,所以不连续.三、解答题(10~14每题10分,15题5分,共55分) 10.由L ,视x 为自变量,有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++.0226,0264dx dz z dx dy y x dx dz z dx dy y x 以()()2,1,1,,-=z y x 代入并解出dxdzdx dy ,,得 87,45==dx dz dx dy , 所以切线方程为87245111-=+=-z y x ,法平面方程为()()()57112048x y z -+++-=,即0127108=-++z y x .11.133212232332,,1y x z z F F F F F F F F z z z z x F F F y F F F x y F F ''''''''--+∂∂∂∂=-=-=-=-+==''''''''∂-+∂-+∂∂-.12.D 在第一象限中的一块记为D 1,D 在第三象限中的一块记为D 2,()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++++=++2122122sin sin sin D D DD x D x x d y x d y x d e d e d y x eσσσσσ.32222312101xx x x x xxxD D e d e d dx e dy dx e dy σσ-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()()()()222210103333011x x x x x x e dx xx e dx x x e dx xx e dx -=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰()2111130021()112x u u u u x x e dx e du ue du e ue e e e =-=-=---=--=-⎰⎰⎰()()()()3312101sin sin sin sin x x xxD D x y d x y d dx x y dy dx x y dy σσ-+++=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()103301cos cos cos cos x x x x dx x x x x dx -⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰ ()()()()13301cos cos cos cos 0x x x x dx x x x x dx ⎡⎤⎡⎤=-+-+++-+=⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 所以,原式2-=e .13.L 上的点到平面xoy 的距离为z ,它的最大值点,最小值点与2z 的一致,用拉格朗日乘数法,设()()()53329,,,,2222-+++-++=z y x zy x z z y x F μλμλ,求偏导数,并令其为零有:20F x x λμ∂=+=∂,1830Fy x λμ∂=+=∂, 2430F z z z λμ∂=-+=∂,22920Fx y z x∂=+-=∂ , 3350Fx y z μ∂=++-=∂ . 解之得两组解()()1215,,(1,,1);,,(5,,5)33x y z x y z ==--. 所以当31,1==y x 时,1=z 最小;当35,5-=-=y x 时,5=z 最大.14.将分成如图的两块,41的圆记为D 1,另一块记为D 2()⎰⎰⎰⎰--=-+DD d y x d y x 1222211σσ+()⎰⎰-+2122D d y x σ()()()σσσd y x d y x d y xD DD ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+--++--=11111222222()()()()1222211122220211211211()43343D Dx y d x y d d r rdr dy xy dx πσσθππ=--++-=-++-=+-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰15.由()222222,()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y =++-++++,有222xy yx y x u ++=∂∂,从而知()()y y x yxy x u ϕ++=2221arctan ,,又由y y x yx x y u 2222+++-=∂∂,推知 ()22222221()xx y x y y x y y x x y y ϕ-'++=-++++, ()()22,y y y y C ϕϕ'==+所以,()2221,arctan2x u x y x y y C y =+++. 注:若用凑的办法亦可:222222()(2)y x xy dx x y y dy x y x y++-++++()()22222211221()ydx xdy ydx xdy xy ydx xdy ydy d xy dy x x y y y--=+++=++++ ()221(arctan)2x d xy y y =++ 所以,()C y y x yx y x u +++=22221arctan ,. ()()u f u F ='.浙江大学2006–2007学年春季学期 《 微积分Ⅱ 》课程期末考试试卷开课学院: 理学院 考试形式:闭卷 考试时间: 年 月 日 所需时间:120 分钟 考生姓名: _____学号: 专业: ________一、 填空题(每小题5分,满分30分) 1. 直线63321-==+z y x 在平面0522=--+z y x 上的投影直线方程为.2. 数量场2),,(z ye z y x g x+=在)0,3,1(P 点的梯度为 .=u函数)ln(),,(22z y x z y x f ++=在P 点沿u 的方向导数为 .3. 设ϕϕ,),2,3(),,(f y x x u u x f z+== 具有二阶连续偏导数,则=∂∂∂yx z 2.4. 设}1,11|),{(3≤≤≤≤-=y x x y x D ,则=+⎰⎰+Dy xy x e y x x d d )(222.5. 已知曲面1=z y x 与椭球面193222=++z y x 在第一卦限内相切,则切点坐标为 ,公共切平面方程为.6. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤=121,210,)(2x x x x x f ,∑∞=+=10cos 2)(n n x n a a x S π,其中,2,1,0,d cos )(210==⎰n x x n x f a n π,则.)7(=S二、 (满分10分)求直线 ⎩⎨⎧=-++=-+-022012z y x z y x 绕x 轴旋转一周所得的旋转曲面方程.10022dd x yex y.三、(满分10分)计算⎰⎰-四、 (满分15分)已知),(y x z z =由方程013=++zxe z y 确定,试求1022==∂∂y x x z.五、 (满分15分)设平面),,(,1:z y x d y x =+π为曲线⎪⎩⎪⎨⎧=++=++014222z y x z y x 上的点),,(z y x 到平面π的距离,求),,(z y x d 的最大,最小值 .六、 (满分15分)如图是一块密度为ρ(常数)的薄板的平面图形(在一个半径为R 的半圆直 径上拼上一个矩形,矩形的另一边为h ),已知平面图形的形心位于原点(0, 0). 试求:1. 长度 h ;2.薄板绕x 轴旋转的转动惯量.七、 (满分5分) 求证:当0,1≥≥s t 时,成立不等式 s e t t t ts +-≤ln .参考解答:一.1.⎩⎨⎧=--+=+-0522043z y x z y x ; 2. 21},0,,3{e e ;3.)3(2))(3(2222122222122212ϕϕϕϕϕϕ''+''⋅'+'+'⋅'⋅''+'''f f f ; 4.;32 5. ;03313,3,1,31=-++⎪⎭⎫⎝⎛z y x 6. 83.二.直线:t z t y t x -=-==1,1,曲面上点→),,(z y x P 直线上点00000001,1),,,(x z x y z y x -=-=22222020220)1()1(,,x x z y z y z y x x -+-=+⇒+=+=则旋转曲面方程:222)1(2x z y -=+三.⎰⎰10222d d x y ex y -⎰⎰⎰-==--1212220142)d 41(d d y y e x e y 2y yy2120202020221d d d d 212212212212212------=-+=+=⎰⎰⎰⎰e y e ey y e e y y e yy y y y四.,1)1,0(-=z ,032=∂∂++∂∂⋅x z xe e x z z y z z ex z y x 3110-=∂∂∴==,02632222222=∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+∂∂⋅x z xe x z xe x z e x z z y x z z y z z z 2102294ex zy x =∂∂∴== 五.|1|21),,(-+=y x z y x d)14()()1(2222-++++++-+=z y x z y x y x L μλ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++='=±===++='==+='-==⇒≠=++-+='=⇒==++-+='014,01302,002)1(20,002)1(22223231221z y x L z y x z y x L x z L xz x y y y x L x y x L z y xμλμλμμλλμμλ,无解最小距离:2236),,(323131-=-d ,最大距离:2236),,(323131+=--d六.形心:01,0=⇒==⎰⎰⎰⎰DDxdxdy xdxdyx y σ即0d c o s d d d 220=⋅+⎰⎰⎰⎰---ππθθRhR Rr r r y x xR h R h R 320312)21(232=⇒=⋅+-⋅⎰⎰=Dx dxdy y I 2302202)832(d θsin d d d 22R R h r r r y y x Rh RR πθππ+=⋅+=⎰⎰⎰⎰---七.设0)0,1(,ln ),(=-+-=F ts e t t t s t F s.ln ,0),(t s e t t e s t F s s s ==⇒=-=' 且对固定的1>t , 当,0),(,ln 0<'<<s t F t s s 当,0),(,ln >'>s t F t ss所以,t s ln =取得最小值且为0,则0),(≤s t F ,即s e t t t ts +-≤ln1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x21___________.π=⎰∞+∞--dx ex 23、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以xe x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________. 6 知dxexp ⎰∞+- 0)1(与⎰-ep x x dx11ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( c ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,0 0,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( b ).(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( a).(A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( d ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛,则∑∞=-1)1(n nna ( d ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+. 2、3、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解:32y x =的函数为23,0x y y =>。
微积分期末测试题及答案
微积分期末测试题及答案 Prepared on 22 November 2020一 单项选择题(每小题3分,共15分)1.设lim ()x af x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)limh f a h f a h h→+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ).①(-1,1) ②,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分)sin lim sin x x x x x→∞-=+. 31lim(1)x x x+→∞+=.3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________.三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1x x x →-- 2.t t x e y te ⎧=⎨=⎩,求22d y dx3.ln(y x =,求dy 和22d y dx .4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dy dx . 5.设1111,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞.6.lim(32x x →∞=,求常数a ,b . 四 证明题(每小题10分,共30分)1.设f (x )在(-∞,+∞)上连续,且()()lim lim 0x x f x f x x x→+∞→-∞==,证明:存在(,)ξ∈-∞+∞,使 ()0f ξξ+= .2.若函数f (x )在[a ,+∞]上可导,对任意x ∈(a,+∞),有()f x M '≤,M 是常数,则2()lim 0x f x x→+∞=. 3.证明函数1sin y x=在(c ,1)内一致连续,但在(0,1)内非一致连续. 答案一 单项选择题(每小题3分,共15分)1.④2.①3.④4.③5.②二 填空题(每小题5分,共15分)sin lim sin x x x x x→∞-=+ . 2.31lim(1)x x x+→∞+= __e_.3.()f x =那么左导数(0)f -'=__-1__,右导数(0)f +'=__1__.三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分)2.t t x e y te⎧=⎨=⎩,求22d y dx3.ln(y x =,求dy 和22d y dx .4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dy dx. 5.设1111,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞.6.lim(32x x →∞=,求常数a ,b . 四 证明题(每小题10分,共30分)1.设f (x )在(-∞,+∞)上连续,且()()lim lim 0x x f x f x x x→+∞→-∞==,证明:存在(,)ξ∈-∞+∞,使 ()0f ξξ+= .2.若函数f (x )在[a ,+∞]上可导,对任意x ∈(a,+∞),有()f x M '≤,M 是常数,则2()lim 0x f x x →+∞=. 3.证明函数1sin y x=在(c ,1)内一致连续,但在(0,1)内非一致连续.。
大学海洋科学专业《大学物理(下册)》期末考试试题 含答案
大学海洋科学专业《大学物理(下册)》期末考试试题含答案姓名:______ 班级:______ 学号:______考试须知:1、考试时间:120分钟,本卷满分为100分。
2、请首先按要求在试卷的指定位置填写您的姓名、班级、学号。
一、填空题(共10小题,每题2分,共20分)1、一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O转动,如图射来两个质量相同,速度大小相同,方向相反并在一条直线上的子弹,子弹射入圆盘并留在盘内,则子弹射入后的瞬间,圆盘的角速度_____。
2、在热力学中,“作功”和“传递热量”有着本质的区别,“作功”是通过__________来完成的; “传递热量”是通过___________来完成的。
3、四根辐条的金属轮子在均匀磁场中转动,转轴与平行,轮子和辐条都是导体,辐条长为R,轮子转速为n,则轮子中心O与轮边缘b之间的感应电动势为______________,电势最高点是在______________处。
4、动方程当t=常数时的物理意义是_____________________。
5、一质点同时参与了两个同方向的简谐振动,它们的振动方程分别为(SI),(SI).其合振运动的振动方程为x=____________。
6、一维保守力的势能曲线如图所示,则总能量为的粒子的运动范围为________;在________时,粒子的动能最大;________时,粒子的动能最小。
7、设在某一过程P中,系统由状态A变为状态B,如果________________________________________,则过程P为可逆过程;如果_________________________________________则过程P为不可逆过程。
8、刚体绕定轴转动时,刚体的角加速度与它所受的合外力矩成______,与刚体本身的转动惯量成反比。
(填“正比”或“反比”)。
9、动量定理的内容是__________,其数学表达式可写__________,动量守恒的条件是__________。
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中国海洋大学2010春季学期期末考试试卷
数学科学
学院《微积分II 》课程试题(A 卷)
一、单项选择题(每题3分,共18分)
1.下列广义积分中,收敛的是()
(A )
1
dx x ;
(B )
1
1
dx x
;
(C )
1
1
dx x
;(D )
1
2
1
dx x
.
2.函数
,
00,)
,(2
22
2
2
4
2
y
x
y x y x
y
x y x f 在点(0,0)处()
(A )),(y x f 的偏导数存在但不连续; (B )),(y x f 连续,但偏导数不存在
; (C )),(y x f 连续且偏导数存在
;
(D )),(y x f 不连续且偏导数不存在
.
3.设),(y x f 为连续函数,则x e dy y x f dx I ln 0
1
),(交换积分次序后为(
)
(A )
x e dx y x f dy
ln 0
1
),(;
(B )
1
),(dx y x f dy
e e
y
;
(C )
e x dx y x
f dy
1
ln 0
),(;
(D )
e
e
y
dx y x f dy
),(10
.
4.设函数),(y x f 连续,且
,),(2),(D
dudv v u f xy
y x f 其中D 是由直线x
y
y
,0即1x
所围成的区域,则
),(y x f =(
)
(A ).xy ;
(B ).xy 2;
(C ).2
12xy
;
(D ).8
12xy
.
5.下列命题中正确的是()
(A )若lim 0n
n
u ,则级数
1
n n u 收敛;
(B )若lim 0n
n
u ,则级数
1
n n u 发散;
(C )若级数
1
n n u 发散,则lim 0n n
u ;
(D )级数
1
n n u 发散,则必有lim n n
u .
6.下列级数中,属于条件收敛的是(
)
(A ).
1
1
1
n n
n
n ;(B ).
1
s
i n 1n n
n
n
n ;(C ).
1
2
1n n
n
;(D ).
1
1
31
n n
n .。