一种基于富氏算法的交流采样精确算法

计算值
误差%
57. 412 4 14. 824 9 28. 966 0 - 3. 446 8 13. 243 0 32. 430 0
49. 938 0 - 0. 124 3 30. 049 0 0. 016 20
9. 945 3 - 0. 547 0
50. 073 5
0. 147 0
30. 073 8
终 止
图 1 计算 n 次谐波分量框图
i ( t) = 50e- t Σ+ 50sin (Ξ1 t+ Υ1) + 10sin (2Ξ1 t) + 15sin (3Ξ1 t) + 10sin (4Ξ1 t) + 10sin (5Ξ1 t) 上式中取 Σ= 30 m s, Ξ1= 100Π, Υ1= 30°。
16 华北电力技术 NO R TH CH INA EL ECTR IC POW ER N o. 6 2000
一种基于富氏算法的交流采样精确算法
A A ccu ra te A lgo rithm B a sed on Fou rie r A lgo rithm fo r A lte rna t ing Sam p ling
如果输入信号中包含衰减非周期分量, 将使
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全波富氏算法的计算结果产生误差。 其具体分析
如下:
∫ an =
2 T
T
i ( t) co s (nΞt) d t
a文章编号10039171200005000503交流采样算法的计算可以被视为对交流信号中参数估算的过程对算法性能的评价也取决于它们是否能在较短数据窗中从信号的若干采样值中获得基波分量或某次谐波分量的精确估计值在多种算法中除了求解微分方程等少数算法不受衰减非周期分量的影响外绝大部分算法都因非周期分量的存在而产生相当大的误差
3 算法的改进
从上面的分析可以看出, 为了能求得精确的 计算结果, 可以求出由于衰减非周期分量存在所 引起的计算误差 w a 和 w b, 来补偿由于衰减非周 期分量对全波富氏算法的影响。在实际计算中, 为 了全部使用故障后的采样值, 取 k ≥N , 同时, 为 了使新算法的推导更趋于精确, 下面以时域形式 介绍新算法的推导过程。
(24)
这里的 Q、R 、X 、Y 值可根据采样值实时计算
出, 进行推导得:
wa=
X (Q Y k b (X 2 +
XR) Y 2)
wb=
Y (Q Y - X R ) k b (X 2 + Y 2)
(25)
式 (25) 是由于衰减非周期分量对全波富氏算
法产生影响的数据, 则由式 (10)、式 (11) 可得, 消
T
I 0e- Αt sin (n Ξt) d t
0
(13)
由式 (10)、式 (11) 可知, 当输入信号中包含有
衰减非周期分量时, I 0 ≠0, Α≠0, 则 w a ≠0, w b≠ 0。 从而看出, n 次谐波的实部和虚部与理论值相
比, 存在误差 w a 和 w b。 因此, 消除 w a 和 w b 是将 全波富氏算法应用于实际的关键之一。
样值进行计算。 用离散采样值表示的全波富氏算
法为:
∑N
an =
2 N
i (k ) co s
k= 1
nk
2Π
N
(4)
∑N
bn =
2 N
i (k ) sin
k= 1
nk
2Π
N
(5)
式中 k ——从故障开始时的采样点序号;
N ——每个周期的采样点数。
求得 an 和 bn 后, n 次谐波的幅值 Im (n ) 和初 相角 Υn 为:
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项 目
全波富氏算法 文献 3 算法 文献 4 算法 本文新算法
表 1 各种算法仿真计算结果比较
基波分量
二次谐波
幅 值
相 角
幅 值
计算值
误差%
计算值
误差%
Im (n) =
a
2 n
+
bn2
(6)
Υn =
a rctg bn an
(7)
假设暂不考虑输入信号[ 如式 (1) 的形式 ]中
的衰减非周期分量, 根据式 (4)、式 (5) , 利用全波
富氏算法得到的理论值为:
an = Im (n) co sΥn
(8)
bn = Im (n) sinΥn
(9)
2 衰减非周期分量对全波富氏算法的影 响
0. 246 1
10. 083 4
0. 834 0
49. 999 3 - 0. 001 4 30. 000 2
0. 000 6
9. 999 8 - 0. 005 0
三次谐波
相 角
计算值
误差%
16. 185 2
7. 901 3
14. 952 7 - 0. 315 3
15. 264 6
1. 764 0
14. 999 8 - 0. 001 3
(e- Α∃T ) 2w a (e- Α∃T ) 2w b (20)
由式 (16)、(19)、(20) 可以看出, 3 个方程组
中只有 5 个未知数, 而为了校正衰减非周期分量
对全波富氏算法的影响, 我们只要计算出 w a、w b
的值, 即可对全波富氏算法由于衰减非周期分量
引起的误差进行校正, 而式中的 A 、B 和 e- Α∃T 3 个
开 始 ↓
输入信号数据 ↓
取第一数据窗, 利用全波富氏公式计算 an、bn ↓
延时 T s, 取第二数据窗, 再计算 an′、bn′ ↓
延时 2T s, 取第三数据窗, 再计算 an″、bn″ ↓
计算中间变量 Q、R、X 、Y 数值 ↓
计算 w a、w b ↓
输出新算法结果: 实部 = an - w a 虚部 = bn - w b ↓
5 结论
本文在分析衰减非周期分量对全波富氏算法
产生影响的基础上, 介绍了一种新算法, 不仅保留 了原来全波富氏算法的功能, 又增添了对衰减非 周期分量的过滤作用。 其滤除衰减非周期分量能 力又不受衰减非周期分量时间常数大小的限制, 因此, 符合电力系统故障的实际情况, 同时, 当其 误差等式按半波富氏算法假设时, 用于全波富氏 算法的推导公式完全可用于半波富氏算法的改 进[1]。所以, 在实际应用中, 为了节省计算时间, 可 利用本算法在半波富氏算法和全波富氏算法之间 切换使用, 即当系统正常运行时, 可采用改进的半 波富氏算法; 当判断系统发生故障后, 可采用本文 介绍的新算法, 以提高计算的精确度。 同时, 该算 法还可以应用于微机监控系统, 故障定位系统中, 具有广泛的使用价值。
除衰减非周期分量对全波富氏算法影响的校正式
应为:
实部= Im (n) co sΥn= an- w a 虚部= Im (n) sinΥn= bn- w b n 次谐波分量的详细计算程序流程图如 图 1。
4 算例
为验证本文介绍的新算法的正确性及计算精 度, 通过设置下列输入信号, 对新算法进行了仿真 计算, 其比较结果见表 1。
从仿真计算的输入信号可看出, 本算例输入 信号中含有衰减非周期分量的初值为 100% 基波 幅值, 之所以设置这样大的衰减非周期分量初值 (在实际中属于比较严重情况) , 是为了人为增大 衰减非周期分量对滤波算法的影响, 来检验新算 法的有效性。通过与全波富氏算法的比较 (表 1) , 可看出, 本文提出的新算法具有很高的计算精 度。
0
∫ =
Im (n) co sΥn +
2 T
T
I 0e- Αtco s (n Ξt) d t
0
(10)
∫ bn =
Im (n) sinΥn +
2 T
T
I 0e- Αt sin (nΞt) d t
0
(11)
令
∫ w a =
2 T
T
I 0e- Αtco s (nΞt) d t
0
(12)
∫ w b =
2 T
未知数只需作为中间变量, 没有必要求出。其计算
过程如下:
利 用式 (16)、(19)、(20) 先消除 A 、B 2 个中 间变量。
令
Q = an′- k aan + k bbn
(21)
R = bn′- k abn - k ban
(22)
X = an″- 2k aan′+ an
(23)
Y = bn″- 2k abn′+ bn
1 全波富氏算法简述
为了分析衰减非周期分量对全波富氏算法的
影响, 设电力系统故障电流有如下形式:
M
∑ i ( t) = I 0e- Αt+ Im (n) co s (nΞt+ Υn) (1) n= 1
上式中 Im (n )、Υn 分别为 n 次谐波的幅值和初
相角。 应用全波富氏算法所得的 n 次谐波分量的实
交流采样算法的计算可以被视为对交流信号 中参数估算的过程, 对算法性能的评价也取决于 它们是否能在较短数据窗中从信号的若干采样值 中获得基波分量或某次谐波分量的精确估计值。 在多种算法中, 除了求解微分方程等少数算法不 受衰减非周期分量的影响外, 绝大部分算法都因 非周期分量的存在而产生相当大的误差。 如目前 广泛采用的全波富氏算法就具有滤除直流分量和 基波整倍数谐波分量的功能, 但对衰减的非周期 分量的过滤效果不佳。然而, 在实际的电力系统发 生故障时, 往往在基波的基础上叠加有衰减的非 周期分量和各种高频分量, 因此, 如何弥补衰减的 非周期分量给全波富氏算法带来的计算误差, 许 多文献提出了不同的解决方法[1～ 5], 但这些方法 中有些精度不高, 有些则算法复杂。
本文在完全保留全波富氏算法原有滤波功能 的基础上对算法进行了改进, 提出一种能完全消 除衰减的非周期分量影响的精确算法, 而对衰减 时间常数 Σ 未作假定和要求, 所需数据窗只是在 原滤波算法基础上增加了两点采样值。 利用本文 新算法可以求出精确的基波分量及谐波分量, 具 有计算简单、计算精度高等优点。
(1) 取第一个数据窗, 使 t∈ [ 0, T ], 利用全 波富氏算法有下式:
an = Im (n) co sΥn + w a
(14)
bn = Im (n) sinΥn + w b
其中令 A = Im (n) co sΥn
(15)
B = Im (n) sinΥn
则式 (14) 可以简化为:
an ′= k aA - k bB + w ae- Α∃T bn ′= k aB - k bA + w be- Α∃T
(19)
(3) 延 迟 2∃T , 取 第 三 个 数 据 窗, 使 t ∈
[ 2∃T , T + 2∃T ], 有:
a n ″= bn ″=
2k a2A 2k a2B -
AB+
2k ak bB + 2k ak bA +
0
= A co s (nΞ ∃T )
(17)
- B sin (n Ξ ∃T ) + w a e- Α∃T
bn = B co s (nΞ ∃T ) + A sin (nΞ ∃T ) + w b e- Α∃T
令
k a = co s (nΞ ∃ 3 ) (18)
k b = sin (nΞ ∃ 3 )
郑州电力高等专科学校 (河南郑州 450004) 杨雪萍 丁书文
摘 要: 分析了衰减非周期分量对富氏算法的影 响, 并在此基础上提出了一种新的滤波算法, 该算 法适用于输入信号中除包含直流分量、整数次谐 波分量外, 还包含衰减非周期分量的情况, 该算法 能弥补任意衰减时间常数 Σ的衰减非周期分量对 全波富氏算法的影响, 从而求得精确的基波分量 和谐波分量。用电磁暂态仿真程序 EM T P 进行了 大量仿真实验, 验证了此算法的优良性能。 关键词: 衰减非周期分量; 富氏算法; 精确算法; 交 流采样 中图分类号: TM 771 文献标识码: A 文章编号: 100329171 (2000) 0620005203
an = A + w a bn = B + w b
(16)
( 2) 取 ∃3 为一个采样周期时间 T s, 延时
∃T , 取第二个数据窗, 使 t∈[ ∃T , T + ∃T ], 有:
an = Im (n) co s (Υn + nΞ ∃T )
∫
+
2 T
T
I 0e- Α(t+ ∃T ) co s (nΞt) d t
部模值 an 和虚部模值 bn 的时域表达式[6]分别为:
∫ an =
2 T
T
i ( t) co s (nΞt) d t
0
(2)
∫ bn =
2 T
T
i ( t) sin (nΞt) d t
0
(3)
式中 T ——基波分量的周期;
Ξ——基波分量的角频率, Ξ= 2Π T 。
这种算法在计算机上实现时, 是对离散的采
在理论上, 移动的数据窗大小即 ∃T 可任意 确定, 但为了提高算法的计算速度以达到快速计
算的目的, 上述的 ∃T 选取为 T S 较合适。 一旦确
定了每个周期的采样点数 N , ∃T 也就随之确定。
同时, 对确定的谐波次数 n 和确定的延时 ∃T , k a、
k b 就成为 2 个常数。 则式 (17) 可化简为: