微专题Ⅲ “电场与磁场”计算大题解题研究

(3)若粒子正好从 QN 的中点射出磁场时，带电粒子运动轨迹如图乙所示。
由磁场变化规律可知，粒子在 0～32π×10－5 s 即 0～34T 时间内做匀速
圆周运动至 A 点，接着沿－y 方向做匀速直线运动直至电场边界 C 点，
用时 t2＝R＋v y0＝π2×10－5 s＝T4 粒子进入电场后做匀减速直线运动至 D 点，由牛顿第二定律得粒子的加速
度大小
a＝qmE＝π8×109 m/s2 粒子从 C 点减速至 D 再反向加速至 C 所需的时间 t3＝2av＝2×π8×2×101904 s＝π2×10－5 s＝T4 接下来，粒子沿＋y 方向匀速运动至 A 所需时间仍为 t2，磁场刚 好恢复，粒子将在洛伦兹力的作用下从 A 做匀速圆周运动，再经32π ×10－5 s 时间，粒子将运动到 F 点，此后将重复前面的运动过程。所 以粒子连续通过电场边界 MN 有两种可能。
分步解析——应用思维流程，繁化简、难化易
(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，有 qvB＝mvR2
解得半径 R＝0.2 m
粒子在磁场中运动时，到 x 轴的最大距离
ym＝2R＝0.4 m。
(2)如图(a)所示，粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期
T＝
2πR v
＝
2π×0.2 2×104
s＝
2π×10－5 s
第一种可能是：由 C 点先沿－y 方向到 D 再返回经过 C，所需时间为 t＝t3 ＝π2×10－5 s
第二种可能是：由 C 点先沿＋y 方向运动至 A 点开始做匀速圆周运动一圈 半后，从 G 点沿－y 方向做匀速直线运动至 MN，所需时间为
t′＝T4＋32T＋T4＝2T＝4π×10－5 s。
(3)由上问可知，粒子每完成一次周期性的运动，将向－x 方
解析：(1)带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，由类平抛运动规律可知 x＝v0t ①
y＝12at2＝q2Emt2
②
粒子射入磁场时的速度方向与 PQ 的夹角为 60°，有
tan 30°＝vvxy＝vat0
③
粒子发射位置到 P 点的距离 s＝ x2＋y2
④
联立①②③④式解得 s＝ 163qmEv02。
⑤
(2)带电粒子在磁场中运动的速度
v＝cosv30 ຫໍສະໝຸດ °＝23v0 3⑥
带电粒子在磁场中运动的两个临界轨迹(分别从 Q、N 点射出)如图甲所示 l
由几何关系可知，最小半径 rmin＝cos230°＝ 33l ⑦ 2
最大半径 rmax＝cos27l5°＝( 3＋1)l ⑧ 带电粒子在磁场中做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，由向心力公式可知 qvB ＝mvr2 ⑨ 由题意知 rmin＜r＜rmax⑩ 联立⑥⑦⑧⑨⑩式解得磁感应强度大小的取值范围为3＋2mv30ql＜B＜2mqlv0。
(1)粒子在磁场中运动时距x轴的最大距离； (2)粒子连续两次通过电场边界MN所需的时间； (3)粒子最终打在挡板上的位置到坐标原点O的距离。 [思维流程] 带电粒子在电磁场中的运动问题一般具有多过程运动特点，解决此类问题常采 用以粒子运动的轨迹为主线，将多过程拆解成一个个单过程，然后针对每个过程来 研究受力情况和运动情况，特别是关注临界极值、多解等问题。
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[典例] (2022·许昌模拟)如图甲所示，在 y≥0 的区域内有垂直纸面向里的匀强 磁场，其磁感应强度 B 随时间 t 变化的规律如图乙所示；与 x 轴平行的虚线 MN 下方 有沿＋y 方向的匀强电场，电场强度 E＝π8×103 N/C。在 y 轴上放置一足够大的挡板。 t＝0 时刻，一个带正电粒子从 P 点以 v＝2× 104 m/s 的速度沿＋x 方向射入磁场。已 知电场边界 MN 到 x 轴的距离为π1－02 m，P 点到坐标原点 O 的距离为 1.1 m，粒子的 比荷mq ＝106 C/kg，不计粒子的重力。求：
1．(2021·全国甲卷)如图，长度均为 l 的两块挡板竖直相对放置，间距 也为 l，两挡板上边缘 P 和 M 处于同一水平线上，在该水平线的上 方区域有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为 E；两挡板间 有垂直纸面向外、磁感应强度大小可调节的匀强磁场。一质量为 m， 电荷量为 q(q>0)的粒子自电场中某处以大小为 v0 的速度水平向右发射，恰好从 P 点 处射入磁场，从两挡板下边缘 Q 和 N 之间射出磁场，运动过程中粒子未与挡板碰撞。 已知粒子射入磁场时的速度方向与 PQ 的夹角为 60°，不计重力。 (1)求粒子发射位置到 P 点的距离； (2)求磁感应强度大小的取值范围； (3)若粒子正好从 QN 的中点射出磁场，求粒子在磁场中的轨迹与挡板 MN 的最 近距离。
[答案] (1)0.4 m (2)π2×10－5 s 或 4π×10－5 s
2＋ 3 (3) 10 m
考法1 带电粒子在组合场中的运动 个性点拨：在组合场中，电场、磁场分区域存在，场的方向、粒子初速度的 方向不同，其运动规律、轨迹也不相同。找出粒子在场与场交界处的速度、位置 关系往往是解题的关键。
向平移 2R[即图(a)中所示从 P 点移到 F 点]，lOP＝1.1 m＝5.5R， 故粒子打在挡板前的一次运动如图(b)所示，其中 I 是粒子开始
做圆周运动的起点，J 是粒子打在挡板上的位置，K 是最后一
段圆周运动的圆心，Q 是 I 点与 K 点连线与 y 轴的交点。 由题意知，lQI＝lOP－5R＝0.1 m lKQ＝R－lQI＝0.1 m＝R2，则 lJQ＝ R2－lKQ2＝ 23R J 点到原点 O 的距离 lJO＝R＋ 23R＝2＋10 3 m。
如本题可拆解成以下几个过程： (1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，周期 T＝2qπBm＝2π×10－5 s。 (2)粒子运动34T，磁场消失，粒子沿－y 方向向下做匀速直线运动。 (3)粒子进入下方电场后先做匀减速运动，后做反向匀加速运动直到射出电场。 (4)粒子射出电场后沿＋y 方向做匀速直线运动，进入第一象限。 (5)判断磁场恢复的时刻与粒子运动所对应的位置，从而判断粒子以后的运动情况。