桂林电子科技大学2013年考研真题601高等代数
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桂林电子科技大学 2013 年研究生统一入学考试试题
科目代码：601 科目名称：高等代数
请注意：答案必须写在答题纸上（写在试卷上无效）
一、 （本题 10 分）计算 n 阶行列式
a0 1 D 1 1
1 a1 0 0
1 0 a2 0
1 0 0 , 其中 ai 0 ， i 1, 2, an
2
,n.
， 2 ，
， k 1 （ k 0 ）线性无关.
(2) 设 A 是 n 阶正定矩阵， B 是 n 阶实对称矩阵，证明：必存在 n 阶可逆矩阵 G 使得
GT AG E ， GT BG diag{1, 2 ,
其中 E 是 n 阶单位矩阵， 1 , 2 ,
n } ，
n 是 A B 0 的 n 个实根.
二、 （本题 10 分）设 f ( x ) ， g ( x) 是两多项式，且 f ( x3 ) xg ( x3 ) 可被 x x 1整除. 证明
f (1) g (1) 0.
三、 （本题 20 分） a , b 取何值时，线性方程组
x1 x2 x3 x4 x5 1 3x 2 x x x 3x a 1 2 3 4 5 x2 2 x3 2 x4 6 x5 3 5 x1 4 x2 3 x3 3 x4 x5 b
有解？并在有解的情况下求一般解. 四、 （本题 15 分）已知二次型
2 2 f ( x1, x2 , x3 ) 2x12 3x2 3x3 2ax2 x3 , a 0 2 2 2 通过正交变换 X QY 后，化成标准形 f y1 2 y2 5 y3 , 求参数 a 及所用的正交变换.
1 2 3 A 1 0 3 . 2 1 5
（1）求 在基 1 1 ， 2 1 2 ， 3 1 2 3 下的矩阵表示； （2）求 在基 1 , 2 , 3 下的核与值域. 八、 （本题 20 分）设 是欧氏空间中一单位向量, 定义
( ) 2( , ).
证明： （1） 是正交变换. 这样的正交变换称为镜面反射； （2） 是第二类的； （3）如果 n 维欧氏空间中, 正交变换 以 1 作为一个特征值, 且属于特征值 1 的特征子空间 V1 的维数为 n 1 , 那么 是镜面反射. 九、 （本题 20 分） (1) 设 是线性空间 V 上的线性变换，如果 k 1 0 ，但 k 0 . 证明： ，
五、 （本题 20 分）设三阶矩阵
2 0 1 A 0 2 0 . 2 2 1
(1) 求 A 的不变因子，初等因子； (2) 求 A 的 Jordan 标准形.
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页
六、 （本题 15 分）设 R
22
的两个子空间为
x W1 A 1 x3
求 W1 W2 B2 x1 x2 x3 x4 0 ， W2 L B1, B2 ， B1 ， x4 2 3 0 1
W2 的基与维数.
3 3
七、 （本题 20 分）设 是线性空间 R 上的线性变换，它在 R 中基 1 , 2 , 3 下的矩阵表示为
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科目代码：601 科目名称：高等代数
请注意：答案必须写在答题纸上（写在试卷上无效）
一、 （本题 10 分）计算 n 阶行列式
a0 1 D 1 1
1 a1 0 0
1 0 a2 0
1 0 0 , 其中 ai 0 ， i 1, 2, an
2
,n.
， 2 ，
， k 1 （ k 0 ）线性无关.
(2) 设 A 是 n 阶正定矩阵， B 是 n 阶实对称矩阵，证明：必存在 n 阶可逆矩阵 G 使得
GT AG E ， GT BG diag{1, 2 ,
其中 E 是 n 阶单位矩阵， 1 , 2 ,
n } ，
n 是 A B 0 的 n 个实根.
二、 （本题 10 分）设 f ( x ) ， g ( x) 是两多项式，且 f ( x3 ) xg ( x3 ) 可被 x x 1整除. 证明
f (1) g (1) 0.
三、 （本题 20 分） a , b 取何值时，线性方程组
x1 x2 x3 x4 x5 1 3x 2 x x x 3x a 1 2 3 4 5 x2 2 x3 2 x4 6 x5 3 5 x1 4 x2 3 x3 3 x4 x5 b
有解？并在有解的情况下求一般解. 四、 （本题 15 分）已知二次型
2 2 f ( x1, x2 , x3 ) 2x12 3x2 3x3 2ax2 x3 , a 0 2 2 2 通过正交变换 X QY 后，化成标准形 f y1 2 y2 5 y3 , 求参数 a 及所用的正交变换.
1 2 3 A 1 0 3 . 2 1 5
（1）求 在基 1 1 ， 2 1 2 ， 3 1 2 3 下的矩阵表示； （2）求 在基 1 , 2 , 3 下的核与值域. 八、 （本题 20 分）设 是欧氏空间中一单位向量, 定义
( ) 2( , ).
证明： （1） 是正交变换. 这样的正交变换称为镜面反射； （2） 是第二类的； （3）如果 n 维欧氏空间中, 正交变换 以 1 作为一个特征值, 且属于特征值 1 的特征子空间 V1 的维数为 n 1 , 那么 是镜面反射. 九、 （本题 20 分） (1) 设 是线性空间 V 上的线性变换，如果 k 1 0 ，但 k 0 . 证明： ，
五、 （本题 20 分）设三阶矩阵
2 0 1 A 0 2 0 . 2 2 1
(1) 求 A 的不变因子，初等因子； (2) 求 A 的 Jordan 标准形.
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六、 （本题 15 分）设 R
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的两个子空间为
x W1 A 1 x3
求 W1 W2 B2 x1 x2 x3 x4 0 ， W2 L B1, B2 ， B1 ， x4 2 3 0 1
W2 的基与维数.
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七、 （本题 20 分）设 是线性空间 R 上的线性变换，它在 R 中基 1 , 2 , 3 下的矩阵表示为
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