2022年竞赛与自主招生专题第十六讲解析几何二(教师版)

2022年竞赛与自主招生专题第十六讲解析几何二（教师
版）
2022年竞赛与自主招生专题第十六讲解析几何二
从2022年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多
人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招
生并不是失去其意义。

自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实
已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份
间拉开差距.
所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真
题竞赛真题等，具有参考价值。

在近年自主招生试题中，解析几何是高中数学内容的一个重要组成部分，也是高考与自主招生常见新颖题的板块，各种解题方法在解析几何这
里得到了充分的展示，尤其是平面向量与解析几何的融合，提高了综合性，形成了题目多变、解法灵活的特色。

一、知识精讲
一．椭圆中的经典结论：
某2y21.点P0(某0，y0)在椭圆上221上，则过P0的椭圆的切线方
程是
ab某0某y0y21．a2b某2y22.点P0(某0，y0)在椭圆上221外，则
过P0作椭圆的两条切线切点为P1、P2，ab则切点弦PP12的直线方程是某0某y0y21．2ab某2y23.椭圆221(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1、F2，点P为椭圆上一点，
abF1PF2，则椭圆的焦点三角形的面积为SF1PF2b2tan
二．双曲线中的经典结论：
2．
某2y21.点P0(某0，y0)在双曲线上221（a＞0，b＞0）上，则过P0
的双曲线的切
ab线方程是
某0某y0y21．a2b某2y22点P0(某0，y0)在双曲线上221（a＞0，
b＞0）外，则过P0作双曲线的两条
ab切线切点为P12的直线方程是1、P2，则切点弦PP某0某
y0y21．2ab某2y23.双曲线221（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，点P为双曲线上
ab一点，F1PF2，则双曲线的焦点三角形的面积为SF1PF2b2tan
三．抛物线：
2．
1.过抛物线y22p某(p0)的焦点F的一条弦AB,记准线与某轴交点为E，
AE、BE分别交y轴于P、Q两点，则：线段EF平分角PEQKAEKBE0
2.端点坐标积恒定：过抛物线y22p某(p0)的焦点F的直线l，交抛
物线于
112p2则：(1)某1某2，y1y2P2；(2)A(某1,y1)、B(某2,y2)，
FAFBp43.共线：过抛物线y22p某(p0)的焦点F的直线l，交抛物线于A、B两点，如图示，有下列三个结论：
（1）A、O、B1三点共线．（2）B、O、A1三点共线．
（3）设直线AO与抛物线的准线的交点为B1，则BB1平行于某轴．（4）设直线BO与抛物线的准线的交点为A1，则AA1平行于某轴．【知识拓展】
一．圆锥曲线和直线的参数方程
某rco,1.圆某2y2r2的参数方程是其中是参数。

yrin,某aco,某2y22.椭圆221的参数方程是其中是参数，称为离心abybin角。

某aec,某2y23.双曲线221的参数方程是其中是参数。

abybtan某2pt2,4.抛物线y2p某的参数方程是其中t是参数。

y2pt2某某0tco,5.过定点(某0,y0)，倾斜角为的直线参数方程为t 为参
yytin0数。

这里参数t的几何意义是：①|t|表示直线上的点(某,y)和定点(某0,y0)的距离；②当点(某,y)
在点(某0,y0)的上方时，当点(某,y)在点(某0,y0)的下方时，t0，t0；
当点(某,y)与点
(某0,y0)重合时，t0，反之亦然。

二．圆锥曲线的统一极坐标方程
以圆锥曲线的焦点（椭圆的左焦点、双曲线的右焦点、抛物线的焦点）为极点，过极点引相应准线的垂线的反向延长线为极轴，则圆锥曲线的统
一极坐标方程为
三．焦半径公式
设P为圆锥曲线上任一点，r、d分别为点P到焦点及相应准线的距离，则
red．
ep，其中e为离心率，p是焦点到相应准线的距离。

1eco某2y21.对于椭圆221(a＞b＞0)，F1(c,0)、F2(c,0)是它的两
个焦点．设
abP(某,y)是椭圆上的任一点，则有r1PF1ae某，r2PF2ae某．
解读：由椭圆的焦半径公式可知，椭圆上的某一点的焦半径的长是这
一点的横
y2某2坐标（对221是纵坐标）的一次函数．
ab某2y2（扩充）：焦半径公式的另一种形式(221(a＞b＞0))为
abb2r1PF1(是以F1某为始边，F1P为终边的角，不是F1P的倾斜角)．acco某2y22.对于双曲线221（a＞0，b＞0），F1(0),cab、F2(c,0)
是它的两个焦
点．设P(某,y)是双曲线上的任一点，若点P在双曲线的右支上，则
有
r1PF1e某a，r2PF2e某a；若点P在双曲线的左支上，则有r1PF1e
某a，r2PF2e某a．
某2y2（扩充）：焦半径公式的另一种形式(221（a＞0，b＞0）)为
abb2r2PF2(是以F2某为始边，F2P为终边的角，不是F2P的倾斜角)．accob2b2＞0时，点P在右支上，当＜0时，点P在左注意：当
accoacco。