第23章旋转习题课
人教版九年级数学上册第23章 旋转 旋转作图
（题图）
本节课你收获了哪些？ （如何作出旋转后的图形）
同学们，选择不同的旋转中心、旋转角，可以设计出不同的美 丽图案，多动动你们灵活的小手，设计独一 无二的图案吧!
教材习题: 完成课本62页练习和习题4题，63页7题. 作业本作业: 完成 对应练习. 实践性作业: 随意画一个基本图形，将它作一定的旋转变换，设 计一个美丽的图案.
自主探究
1.请同学们阅读课本60页例题 回答问题：
①旋转中心是哪个点? (点A) ②如何作出△ADE旋转后的图形? (在CB的延长线上取点E',使BE'=DE,连接AE',则△ABE'为旋转后的图形) ③还有其他方法可以作出△ADE旋转后的图形吗? (答案不唯一，如：在CB的延长线上取点E',使∠AE'B=∠AED,则△ABE'为旋转 后的图形)
请同学们在硬纸板上挖一个三角形洞，再令挖一个小洞O 作为旋
转中心，硬纸板下面放一张白纸，先在纸上描出挖掉的这个三角 形的图案(△ABC)，然后围绕旋转中心转动硬纸板，再描出这个挖 掉的三角形(△A'B'C')，观察这两个三角形.
你能得到什么结论？
这些图形有什么特点？ 它们是如何设计出来的呢？
如果把钟表的指针看成四边形AOBC，如图，它绕点O旋转得到 四边形DOEF.在这个过程中： （1）旋转中心是哪一点？（点O） （2）经过旋转，点A，B分别旋转到什么位置？ （点A旋转到点D，点B旋转到点E） （3）图中有哪些相等的线段？ （AO=DO,AC=DF,OB=OE,BC=EF） （4）∠AOD和∠BOE有什么数量关系？ （∠AOD=∠BOE）
(答案不唯一，略)
小组讨论 1.如图，△AOB绕点O旋转后，点G是点B的对应点， 利用旋转的 性质，你能作出△AOB旋转后的三角形吗? (略)
人教版九年级上数学第23章《旋转》第4课时 23.1.2《旋转作图》导学案【习题课】
第二十三章《旋转》第4课时 23.1.2《旋转作图》习题课【知识点1 】旋转作图1.旋转作图的步骤和方法：(1)确定旋转中心, 及 ; (2)作出图形的关键点经过旋转后的 ;(3)按一定的顺序连接对应点。
2. (中考·泰安)如图,在正方形网格中,线段A'B'是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的,点A'与A 对应,则角α的大小为( )A.30°B.60°C.90°D.120°3.如图,在4×4的正方形网格中,△MNP绕某点旋转一定的角度,得到△M1M1P1,则其旋转中心是( )A.点AB.点BC.点CD.点D【知识点2 】旋转的应用4.把一个图案进行旋转变换,选择不同的旋转中心、不同的 ,会有不同的效果。
5.如图所示的四个图案,能通过基本图形旋转得到的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个6.利用对称性可设计出美丽的图案.在边长为1的方格纸中,有如图所示的四边形(顶点都在格点上).(1)先作出该四边形关于直线l成轴对称的图形,再作出你所作的图形连同原四边形绕点按顺时针方向旋转90°后的图形;(2)完成上述设计后,整个图案的面积等于。
【题型1 】旋转变换在作图中的应用7.(2017黑龙江)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的三个顶点都在格点上,点A,B,C的坐标分别为A(-1,3),B(一3,1),(一1,1).请解答下列问题:(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并写出点B1的坐标;(2)画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2,并求出点A1走过的路径长。
【题型2 】旋转变换在解题中的应用8.如图,点O是等边三角形ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=α,将△BOC绕点C按顺入时针方向旋转60°得到△ADC,连接OD。
(1)求证:△COD是等边三角形;(2)当α=150°时,试判断△AOD的形状;(3)探究:当α为多少度时,△AOD是等腰三角形?。
人教版九年级上册数学第二十三章《旋转》练习题(附答案)
人教版九年级上册数学第二十三章《旋转》练习题一、单选题1.在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.4.下列图形中，只是中心对称图形而不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.5.如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.6.如图，在4×4正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影，若再从图中选一个涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么不符合条件的小正方形是（）A. ①B. ②C. ③D. ④7.下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.8.下列图案中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转46°得到Rt△A′B′C，点A在边B′C 上，则∠ACB的大小为（）A. 23°B. 44°C. 46°D. 54°10.下列图形，是中心对称图形的是( )A. B. C. D.11.将△ABC绕原点旋转180°得到△A′B′C′，设点A的坐标为(a,b)，则点A′的坐标为（）A. (−a,−b)B. (a,−b)C. (−a,b)D. (a,b)12.下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A. 平行四边形B. 线段C. 等边三角形D. 抛物线13.下列图形中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.14.道路千万条，安全第一条，下列交通标志是中心对称图形的为（）A. B. C. D.15.下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.二、填空题16.如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝6，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为________.17.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2．将△ABC绕点B逆时针旋转60°，得到△A1BC1，则AC边的中点D与其对应点D1的距离是________．18.如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，若BD＝3，CD＝2．则△ABC的面积为________．19.已知点A（﹣2，3）与A1关于点P（0，2）成中心对称，A1的坐标是________ ．20.如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为________度．21.一个长方形绕它的一条边旋转一周形成的几何体为________，将一个直角三角形绕着一条直角边旋转一周得到的几何体为________．22.如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中̂，则图中阴影部分的面积为________．点C的运动路径为CC′23.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，将△ABC绕着点C逆时针旋转后得到的△A′B′C的斜边A′B′经过点A，那么∠ACA'的度数是________ 度．24.如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐标为________．25.如图，已知半⊙O的直径AB＝8，将半⊙O绕A点逆时针旋转，使点B落在点B'处，AB'与半⊙O交于点C，若图中阴影部分的面积是8π，则弧BC的长为________．26.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，且AC=BC.点D是△ABC内的一点，将△ACD以点C为中心顺时针旋转90°得到△BCE，若点A、D、E共线，则∠AEB的度数为________.27.如图，如果边长为1的等边△PQR沿着边长为1的正方形ABCD的外部的边如图位置开始顺时针连续滚动，当它滚动4次时，点P所经过的路程是________．28.如图，在△ACB中，∠BAC=50°，AC=2，AB=3，现将△ACB绕点A逆时针旋转50°得到△AC1B1，则阴影部分的面积为________．29.点（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标为________．30.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45后，得到△COD，如果∠AOB=15，则∠AOD的度数是________.三、解答题31.在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B在x轴上，将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O、B的对应点分别是点E、F．（1）若点B的坐标是（﹣4，0），请在图中画出△AEF，并写出点E、F的坐标．（2）当点F落在x轴的上方时，试写出一个符合条件的点B的坐标．∠ABC(0°＜∠CBE＜32.(1)如图1，在△ABC中，BA＝BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝121∠ABC)，以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针旋转，得到△BE′A(点C与点A重合，点E到点E′处)连接2DE′.求证：DE′＝DE.∠ABC(0°＜∠CBE (2)如图2，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝12＜∠45°)．求证：DE2＝AD2＋EC2.33.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．①若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；②若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；③将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，写出△A3B3C3的各顶点的坐标．34.如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（﹣3，5），C（﹣4，1）．①把△ABC向右平移2个单位得△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标；②把△ABC绕原点O旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．35.如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．36.如图，按要求涂阴影：（1）将图形①平移到图形②；（2）将图形②沿图中虚线翻折到图形③；（3）将图形③绕其右下方的顶点旋转180°得到图形④．37.以给出的图形“○,○,△,△, =”(两个相同的圆、两个相同的等边三角形、两条线段)为构件,各设计一个构思独特且有意义的轴对称图形或中心对称图形.举例:如图,左框中是符合要求的一个图形.你还能构思出其他的图形吗?请在右框中画出与之不同的图形.38.在平面直角坐标系中，∆ABC的顶点坐标是A（-7,1）、B（1,1）、C（1,7），线段DE的端点坐标是D（7，-1）、E（-1，-7）（1）试说明如何平移线段AC，使其与线段ED重合将线段AC先向______（上，下）平移_______个单位，再向_______（左，右）平移_______个单位；（2）将∆ABC绕坐标原点逆时针旋转，使AC的对应边为DE，请直接写出点B的对应点F的坐标；（3）画出（2）中的∆DEF，并和∆ABC 同时绕坐标原点O逆时针旋转90o，画出旋转后的图形.39.如图，已知反比例函数y=m（m是常数，m≠0），一次函数y＝ax＋b（a、b为常数，a≠0），其中一x次函数与x轴，y轴的交点分别是A（－4，0），B（0，2）．（1）求一次函数的关系式；（2）反比例函数图象上有一点P满足：①PA⊥x轴；②PO＝√17（O为坐标原点），求反比例函数的关系式；（3）求点P关于原点的对称点Q的坐标，判断点Q是否在该反比例函数的图象上．40.已知|2﹣m|+（n+3）2=0，点P1、P2分别是点P（m，n）关于y轴和原点的对称点，求点P1、P2的坐标．四、综合题41.在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．（1）试在图中做出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；（2）若点B的坐标为（﹣3，5），试在图中画出直角坐标系，并标出A、C两点的坐标；（3）根据（2）的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，并标出B2、C2两点的坐标．42.将□OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点C（-6，0），点A在第一象限，OA=2，∠A=60°，AB 与y轴交于点N.（1）如图①，求点A的坐标：（2）如图②，将平行四边形OABC绕点O逆时针旋转得到平行四边形OA'B'C'，当点A的对应点A'落在y 轴正半轴上时，求旋转角及点B的对应点B'的坐标：（3）将平行四边形OABC绕点A旋转得到平行四边形DAEF，使点B的对应点E落在直线OA上，请在图③中画出旋转后的图形，并直接写出OE、AB、BC之间的关系.43.在数学课上，老师要求学生探究如下问题：（1）如图1，在等边三角形ABC内有一点P，PA＝2，PB＝√3，PC＝1，试求∠BPC的度数．李明同学一时没有思路，当他认真分析题目信息后，发现以PA、PB、PC的长为边的三角形是直角三角形，他突然有了正确的思路：如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A．连接PP'，易得△P′PB 是正三角形，△P′PA是直角三角形，则得∠BPC＝________；（2）如图3，在正方形ABCD内有一点P，PA＝√5，PB＝√2，PC＝1，试求∠BPC的度数．（3）在图3中，若在正方形ABCD内有另一点Q，QA＝a，QB＝b，QC＝c（a＞b，a＞c），试猜想当a，b，c满足什么条件时，∠BQC的度数与第（2）问中∠BPC的度数相等，请直接写出结论．44.如图1，四边形ABCD是边长为3√2的正方形，矩形AEFG中AE=4，∠AFE=30°。
初中数学人教版九年级上册：第23章《旋转》全章教案
初中数学人教版九年级上册实用资料第二十三章旋转23．1图形的旋转1．了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题．2．通过复习平移、轴对称的有关概念及性质，从生活中的数学开始，经历观察，产生概念，应用概念解决一些实际问题．3．旋转的基本性质．重点旋转及对应点的有关概念及其应用．难点旋转的基本性质．一、复习引入(学生活动)请同学们完成下面各题．1．将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形．2．如图，已知△ABC和直线l，请你画出△ABC关于l的对称图形△A′B′C′.3．圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其它的吗？(口述)老师点评并总结：(1)平移的有关概念及性质．(2)如何画一个图形关于一条直线(对称轴)的对称图形并口述它具有的一些性质．(3)什么叫轴对称图形？二、探索新知我们前面已经复习平移等有关内容，生活中是否还有其它运动变化呢？回答是肯定的，下面我们就来研究．1．请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋转围绕什么点呢？从现在到下课时针转了多少度？分针转了多少度？秒针转了多少度？(口答)老师点评：时针、分针、秒针在不停地转动，它们都绕时钟的中心．从现在到下课时针转了________度，分针转了________度，秒针转了________度．2．再看我自制的好像风车风轮的玩具，它可以不停地转动．如何转到新的位置？(老师点评略)3．第1，2两题有什么共同特点呢？共同特点是如果我们把时钟、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度．像这样，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点．下面我们来运用这些概念来解决一些问题．例1如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：(1)旋转中心是什么？旋转角是什么？(2)经过旋转，点A，B分别移动到什么位置？解：(1)旋转中心是O，∠AOE，∠BOF等都是旋转角．(2)经过旋转，点A和点B分别移动到点E和点F的位置．自主探究：请看我手里拿着的硬纸板，我在硬纸板上挖下一个三角形的洞，再挖一个点O作为旋转中心，把挖好的硬纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案(△ABC)，然后围绕旋转中心O转动硬纸板，在黑板上再描出这个挖掉的三角形(△A′B′C′)，移去硬纸板．(分组讨论)根据图回答下面问题(一组推荐一人上台说明)1．线段OA与OA′，OB与OB′，OC与OC′有什么关系？2．∠AOA′，∠BOB′，∠COC′有什么关系？3．△ABC与△A′B′C′的形状和大小有什么关系？老师点评：1.OA＝OA′，OB＝OB′，OC＝OC′，也就是对应点到旋转中心的距离相等．2．∠AOA′＝∠BOB′＝∠COC′，我们把这三个相等的角，即对应点与旋转中心所连线段的夹角称为旋转角．3．△ABC和△A′B′C′形状相同和大小相等，即全等．综合以上的实验操作得出：(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前、后的图形全等．例2如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B的对应点的位置，以及旋转后的三角形．分析：绕C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是∠ACD，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB′＝∠ACD，又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB＝CB′，就可确定B′的位置，如图所示．解：(1)连接CD；(2)以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE＝∠ACD；(3)在射线CE上截取CB′＝CB，则B′即为所求的B的对应点；(4)连接DB′，则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形．三、课堂小结(学生总结，老师点评)本节课应掌握：1．对应点到旋转中心的距离相等；2．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；3．旋转前、后的图形全等及其它们的应用．四、作业布置教材第62～63页习题4，5，6.23．2中心对称23．2.1中心对称1．正确认识什么是中心对称、对称中心，理解关于中心对称图形的性质特点．2．能根据中心对称的性质，作出一个图形关于某点成中心对称的对称图形．重点中心对称的概念及性质．难点中心对称性质的推导及理解．复习引入问题：作出下图的两个图形绕点O旋转180°后的图案，并回答下列的问题：1．以O为旋转中心，旋转180°后两个图形是否重合？2．各对应点绕O旋转180°后，这三点是否在一条直线上？老师点评：可以发现，如图所示的两个图案绕O旋转180°后都是重合的，即甲图与乙图重合，△OAB与△COD重合．像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．探索新知(老师)在黑板上画一个三角形ABC，分两种情况作两个图形：(1)作△ABC一顶点为对称中心的对称图形；(2)作关于一定点O为对称中心的对称图形．第一步，画出△ABC.第二步，以△ABC的C点(或O点)为中心，旋转180°画出△A′B′C和△A′B′C′，如图(1)和图(2)所示．从图(1)中可以得出△ABC与△A′B′C是全等三角形；分别连接对称点AA′，BB′，CC′，点O在这些线段上且O平分这些线段．下面，我们就以图(2)为例来证明这两个结论．证明：(1)在△ABC和△A′B′C′中，OA＝OA′，OB＝OB′，∠AOB＝∠A′OB′，∴△AOB ≌△A′OB′，∴AB＝A′B′，同理可证：AC＝A′C′，BC＝B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′；(2)点A′是点A绕点O旋转180°后得到的，即线段OA绕点O旋转180°得到线段OA′，所以点O在线段AA′上，且OA＝OA′，即点O是线段AA′的中点．同样地，点O也在线段BB′和CC′上，且OB＝OB′，OC＝OC′，即点O是BB′和CC′的中点．因此，我们就得到1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．2．关于中心对称的两个图形是全等图形．例题精讲例1如图，已知△ABC和点O，画出△DEF，使△DEF和△ABC关于点O成中心对称．分析：中心对称就是旋转180°，关于点O成中心对称就是绕O旋转180°，因此，我们连AO，BO，CO并延长，取与它们相等的线段即可得到．解：(1)连接AO并延长AO到D，使OD＝OA，于是得到点A的对称点D，如图所示．(2)同样画出点B和点C的对称点E和F.(3)顺次连接DE，EF，FD，则△DEF即为所求的三角形．例2(学生练习，老师点评)如图，已知四边形ABCD和点O，画四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于点O成中心对称(只保留作图痕迹，不要求写出作法)．课堂小结(学生总结，老师点评)本节课应掌握：中心对称的两条基本性质：1．关于中心对称的两个图形，对应点所连线都经过对称中心，而且被对称中心所平分；2．关于中心对称的两个图形是全等图形及其它们的应用．作业布置教材第66页练习23.2.2中心对称图形了解中心对称图形的概念及中心对称图形的对称中心的概念，掌握这两个概念的应用．复习两个图形关于中心对称的有关概念，利用这个所学知识探索一个图形是中心对称图形的有关概念及其他的运用．重点中心对称图形的有关概念及其它们的运用．难点区别关于中心对称的两个图形和中心对称图形．一、复习引入1．(老师口问)口答：关于中心对称的两个图形具有什么性质？(老师口述)：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．关于中心对称的两个图形是全等图形．2．(学生活动)作图题．(1)作出线段AO关于O点的对称图形，如图所示．(2)作出三角形AOB关于O点的对称图形，如图所示．延长AO使OC＝AO，延长BO使OD＝BO，连接CD，则△COD即为所求，如图所示．二、探索新知从另一个角度看，上面的(1)题就是将线段AB绕它的中点旋转180°，因为OA＝OB，所以，就是线段AB绕它的中点旋转180°后与它本身重合．上面的(2)题，连接AD，BC，则刚才的关于中心O对称的两个图形就成了平行四边形，如图所示．∵AO＝OC，BO＝OD，∠AOB＝∠COD∴△AOB≌△COD∴AB＝CD也就是，ABCD绕它的两条对角线交点O旋转180°后与它本身重合．因此，像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．(学生活动)例1从刚才讲的线段、平行四边形都是中心对称图形外，每一位同学举出三个图形，它们也是中心对称图形．老师点评：老师边提问学生边解答的特点．(学生活动)例2请说出中心对称图形具有什么特点？老师点评：中心对称图形具有匀称美观、平稳的特点．例3求证：如图，任何具有对称中心的四边形是平行四边形．分析：中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点，也是对应点间的线段中点，因此，直接可得到对角线互相平分．证明：如图，O是四边形ABCD的对称中心，根据中心对称性质，线段AC，BD必过点O，且AO＝CO，BO＝DO，即四边形ABCD的对角线互相平分，因此，四边形ABCD 是平行四边形．三、课堂小结(学生归纳，老师点评)本节课应掌握：1．中心对称图形的有关概念；2．应用中心对称图形解决有关问题．四、作业布置教材第70页习题8，9，10.23.2.3关于原点对称的点的坐标理解点P与点P′关于原点对称时它们的横纵坐标的关系，掌握P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)的运用．复习轴对称、旋转，尤其是中心对称，知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其运用．重点两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点P′(－x，－y)及其运用．难点运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题．一、复习引入(学生活动)请同学们完成下面三题．1．已知点A和直线l，如图，请画出点A关于l对称的点A′.2．如图，△ABC是正三角形，以点A为中心，把△ABC顺时针旋转60°，画出旋转后的图形．3．如图△ABO，绕点O旋转180°，画出旋转后的图形．老师点评：老师通过巡查，根据学生解答情况进行点评．(略)二、探索新知(学生活动)如图，在直角坐标系中，已知A(－3，1)，B(－4，0)，C(0，3)，D(2，2)，E(3，－3)，F(－2，－2)，作出A，B，C，D，E，F点关于原点O的中心对称点，并写出它们的坐标，并回答：这些坐标与已知点的坐标有什么关系？老师点评：画法：(1)连接AO并延长AO；(2)在射线AO上截取OA′＝OA；(3)过A作AD′⊥x轴于点D′，过A′作A′D″⊥x轴于点D″.∵△AD′O与△A′D″O全等，∴AD′＝A′D″，OA＝OA′，∴A′(3，－1)，同理可得B，C，D，E，F这些点关于原点的中心对称点的坐标．(学生活动)分组讨论(每四人一组)：讨论的内容：关于原点作中心对称时，①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？②坐标与坐标之间符号又有什么特点？提问几个同学口述上面的问题．老师点评：(1)从上可知，横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等．(2)坐标符号相反，即P(x，y)关于原点O的对称点P′(－x，－y)．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点O的对称点为P′(－x，－y)．例1如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB关于原点对称的图形．分析：要作出线段AB关于原点的对称线段，只要作出点A、点B关于原点的对称点A′，B′即可．解：点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)，因此，线段AB的两个端点A(0，1)，B(3，0)关于原点的对称点分别为A′(0，－1)，B(－3，0)．连接A′B′.则就可得到与线段AB关于原点对称的线段A′B′.(学生活动)例2已知△ABC，A(1，2)，B(－1，3)，C(－2，4)，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出△ABC关于原点对称的图形．老师点评分析：先在直角坐标系中画出A，B，C三点并连接组成△ABC，要作出△ABC 关于原点O的对称三角形，只需作出△ABC中的A，B，C三点关于原点的对称点，依次连接，便可得到所求作的△A′B′C′.三、巩固练习教材第69页练习．四、课堂小结点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)．五、作业布置教材第70页习题3，4.23．3课题学习图案设计利用平移、轴对称和旋转的这些图形变换中的一种或组合进行图案设计，设计出称心如意的图案．通过复习平移、轴对称、旋转的知识，然后利用这些知识让学生开动脑筋，敝开胸怀大胆联想，设计出一幅幅美丽的图案．重点设计图案．难点如何利用平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或它们的组合得出图案．一、复习引入(学生活动)请同学们独立完成下面的各题．1．如图，已知线段CD是线段AB平移后的图形，D是B点的对称点，作出线段AB，并回答AB与CD有什么位置关系．错误!错误!,第2题图)错误!,第3题图) 2．如图，已知线段CD，作出线段CD关于对称轴l的对称线段C′D′，并说明CD与对称线段C′D′之间有什么关系？3．如图，已知线段CD，作出线段CD关于D点旋转90°的旋转后的图形，并说明这两条线段之间有什么关系？老师点评：1．AB与CD平行且相等；2．过D点作DE⊥l，垂足为E并延长，使ED′＝ED，同理作出C′点，连接C′D′，则C′D′即为所求．CD的延长线与C′D′的延长线相交于一点，这一点在l上并且CD＝C′D′.3．以D点为旋转中心，旋转后CD⊥C′D，垂足为D，并且CD＝C′D.二、探索新知请用以上所讲的平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或几种组合完成下面的图案设计．例1(学生活动)学生亲自动手操作题．按下面的步骤，请每一位同学完成一个别致的图案．(1)准备一张正三角形纸片(课前准备)(如图a)；(2)把纸片任意撕成两部分(如图b，如图c)；(3)将撕好的如图b沿正三角形的一边作轴对称，得到新的图形；(4)将(3)得到的图形以正三角形的一个顶点作为旋转中心旋转，得到如图(d)(如图c保持不动)；(5)把如图(d)平移到如图(c)的右边，得到如图(e)；(6)对如图(e)进行适当的修饰，使得到一个别致美丽的如图(f)的图案．老师必要时可以给予一定的指导．三、课堂小结本节课应掌握：利用平移、轴对称和旋转的图形变换中的一种或组合设计图案．11。
初中数学人教版九年级上册第二十三章 旋转23.3 课题学习 图案设计-章节测试习题(2)
章节测试题1.【题文】如图所示，△ABC外侧有正方形ABDE与正方形ACFG，请你设计一个方案，将△ABC旋转一个角度，使得△AEG与由△ABC旋转得到的三角形的一边重合，另一边在同一条直线上．【答案】见解答【分析】根据正方形的性质，得出数量关系，再根据旋转的性质设计方案．【解答】由正方形的性质可得：AB=AE，AC=AG，∠BAC=∠BAE=∠EAG=∠GAC，可设计方案为：（1）将△ABC绕点A逆时针方向旋转90°，这时AC与AG重合，AB旋转到AC的原位，与AE在同一直线上；（2）将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°，这时AB与AE重合，AC旋转到AB的原位，与AG在同一直线上．2.【答题】如图所示，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O经过4次旋转而得到，则每一次旋转的角度大小为______．【答案】72°【分析】本题考查了利用旋转设计图案．【解答】3.【答题】彩陶、玉器、青铜器等器物以及壁画、织锦上美轮美奂的纹样，穿越时空，向人们呈现出古代中国丰富多彩的物质与精神世界，各种纹样经常通过平移、旋转、轴对称以及其它几何构架连接在一起，形成复杂而精美的图案．以下图案纹样中，从整体观察（个别细微之处的细节忽略不计），大致运用了旋转进行构图的是（）．A. B.C. D.【答案】B【分析】本题考查了旋转的概念．【解答】是轴对称图案，故不符合题意；是旋转图案，符合题意；是其它几何构架图案，故不符合题意；是平移图案，故不符合题意；选B．4.【答题】如图1，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠ADE都是直角，点C在AE上，△ABC绕着A点经过逆时针旋转后能够与△ADE重合得到图1，再将图1作为“基本图形”绕着A点经过逆时针连续旋转得到图2．两次旋转的角度分别为（）A. 45°，90°B. 90°，45°C. 60°，30°D. 30°，60°【答案】A【分析】本题考查了旋转的性质．【解答】根据图1可知，∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠CAB=45°，即△ABC绕点A逆时针旋转45°可到△ADE；如右图，∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠DAE=∠CAB=45°，∴∠FAB=∠DAE+∠CAB=90°，即图1可以逆时针连续旋转90°得到图2．选A．5.【答题】风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕图案中心旋转°后能与原来的图案重合，那么的值可能是（）A. 45B. 60C. 90D. 120【答案】D【分析】本题考查了旋转的概念．【解答】该图形被平分成三部分，旋转120°的整数倍，就可以与自身重合，故n 的最小值为120．选D．6.【答题】在下图右侧的四个三角形中，不能由左侧的三角形经过旋转或平移得到的是（）A. AB. BC. CD. D【答案】B【分析】本题考查了旋转的性质．【解答】A、可由△ABC逆时针旋转一个角度得到；B、可由△ABC翻折得到；C、可由△ABC逆时针旋转一个角度得到；D、可由△ABC逆时针旋转一个角度得到．选B．7.【答题】下列各图中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是（）A. AB. BC. CD. D【答案】C【分析】本题考查了旋转的概念．【解答】A只能通过旋转180°得到；B只能通过平移得到；D只能通过旋转得到；C能用平移，又能用旋转得到，选C．8.【答题】如图所示的图案是由六个全等的菱形拼成的，它也可以看作是以一个图案为“基本图案”，通过旋转得到的．以下图案中，不能作为“基本图案”的一个是（）A. AB. BC. CD. D【答案】B【分析】本题考查了图形的旋转变化，认真观察旋转得到的图案，找到旋转中心，即可判断．【解答】A、顺时针，连续旋转60度，三次即可得到．B、不能作为“基本图案”．C、旋转180度，即可得到．D、旋转60度即可．选B．9.【答题】如下四个图案，它们绕中心旋转一定的度数后都能和原来的图形相互重合，其中有一个图案与其余图案旋转的度数不同的是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查了旋转角，解题的关键是根据图形特点，正确计算出各个图形的最小旋转度数．【解答】A、360÷6=60°；B、360°÷3=120°；C、360°÷6=60°；D、360°÷6=60°．B的旋转角度与其它三个不同，选B．10.【答题】下列图形均可由“基本图案”通过变换得到：（只填序号）（1）可以平移但不能旋转的是______；（2）可以旋转但不能平移的是______；（3）既可以平移，也可以旋转的是______．【答案】①④②⑤③【分析】本题考查了利用移、旋转、轴对称变换设计图案．【解答】①可以看作由左边图案向右平移得到的；②可以看作一个菱形绕一个顶点旋转得到的；③既可以看作一个圆向右平移得到的，也可以看作两个圆组成的图案旋转得到的；④可以看作上面基本图案向下平移得到的；⑤可以看作上面图案绕中心旋转得到的．故可以平移但不能旋转的是①④；可以旋转但不能平移的是②⑤；既可以平移，也可以旋转的是③．故答案为（1）①④，（2）②⑤，（3）③11.【答题】如图，正方形ABCD可以看作由什么“基本图形”经过怎样的变化形成的？______．【答案】把△ABO绕O点连续旋转90°，180°，270°可以得到正方形ABCD【分析】本题考查了利用旋转设计图案．【解答】观察图形可知把△ABO绕O点连续旋转90°，180°，270°可以得到正方形ABCD．故答案为：把△ABO绕O点连续旋转90°，180°，270°可以得到正方形ABCD．12.【答题】正六边形可以看成由基本图形______经过______次旋转而成．【答案】正三角形 5【分析】本题考查了旋转的性质．【解答】根据图形可得：正六边形可以看成由基本图形正三角形经过5次旋转而成．13.【答题】如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转______次，每次旋转______度形成的．【答案】7 45【分析】本题考查了利用旋转设计图案．【解答】利用旋转中的三个要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度）设计图案，进而判断出基本图形和旋转次数与角度．故如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转7次，每次旋转45度形成的，故答案为：7；45．14.【答题】如图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数是______．【答案】45°【分析】本题考查了旋转的性质．【解答】∵中心角是由8个度数相等的角组成，∴每次旋转的度数可以为360°÷8=45°，故答案为：45°．15.【题文】如图中的图案是由一个怎样的基本图形经过旋转、轴对称和平移得到的呢？【答案】见解答【分析】可选择不同的基本图形，一般选择基本图形是能使图形的形成过程好说明为原则．【解答】此图形可看作基本图形经过轴对称形成的．16.【题文】如图，网格中每个小正方形的边长为1，点C（0，1），点B（-1，3）．（1）利用网格画出直角坐标系（要求标出x轴，y轴和原点），则点A的坐标为______；（2）以△ABC为基本图形，利用旋转设计一个图案，说明你的创意为______．【答案】A（-4，3）见解答．【分析】（1）根据点C的坐标确定原点，则可以画出直角坐标系，把点B向左平移3个单位长度得到点A；（2）把△ABC绕点C顺时针旋转3次，即可得到一个风车的图案．【解答】（1）直角坐标系如图所示，则A的坐标为（-4，3）；（2）如图，把△ABC绕点C顺时针旋转3次90°，180°，270°，即可得到一个风车的图案．17.【题文】如图，在网格中有一个四边形图案．（1）请你画出此图案绕点O按顺时针方向旋转90°，180°，270°的图案，你会得到一个美丽的图案，千万不要将阴影位置涂错；（2）若网格中每个小正方形的边长为1，旋转后点A的对应点依次为A1，A2，A3，求四边形AA1A2A3的面积；（3）这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论．【答案】（1）画图见解答；（2）34；（3）AB2+BC2=AC2【分析】（1）将此图案的各顶点绕点O顺时针方向旋转90°，180°，270°后找到它们的对应点，顺次连接得到的图案，就是所要求画的图案．（2）观察画出的图形，可发现S四边形AA1A2A3=S四边形AB1B2B3-4S△BAA3依次代入求值．（3）这个图案就是我们几何中的著名的勾股定理．【解答】（1）如图．（2）-4=（3+5）2-4××3×5=34，故四边形AA1A2A3的面积是34．（3）由图可知：（a+c）2=4×ac+b2，整理得：c2+a2=b2，即：AB2+BC2=AC2．这就是著名的勾股定理．18.【题文】如图，在正方形网格中有一边长为4的平行四边形ABCD，请将其剪拼成一个有一边长为6的矩形．（要求：在答题卡的图中画出裁剪线即可）【答案】作图见解答．【分析】如图先过D点向下剪出一个三角形放在平行四边形的左边，再在剪去D 点下面两格的小正方形放在右面，就组成了矩形．【解答】如图：19.【题文】如图，从正三角形出发，利用旋转，作一个飞鸟图．请你也利用正三角形用旋转设计一个图案．【答案】图案见解答．【分析】先以等边三角形的一边为基础画一个基本图形，再绕等边三角形的两个顶点分别旋转60°后删除原等边三角形即可．【解答】如图所示：20.【题文】某公司为了节约开支，购买了质量相同的两种颜色的残缺地砖，准备用来装修地面，现已加工成如图1所示的等腰直角三角形，王聪同学设计了如图2所示的四种图案．（1）你喜欢哪种图案？并简述该图案的形成过程．（2）请你利用所学过的知识再设计一幅与上述不同的图案．【答案】（1）见解答（2）见解答【分析】（1）答案不唯一，如：我喜欢图案（4）．图案形成的过程也不唯一，如：图案（4）的形成过程是：以同行或同列的两个小正方形组成的长方形为“基本图案”，绕大正方形的中心旋转180°得到．（2）答案不唯一，利用旋转或对称的相关知识完成即可．图形见解答．【解答】（1）答案不唯一，如：我喜欢图案（4）．图案（4）的形成过程是：以同行或同列的两个小正方形组成的长方形为“基本图案”，绕大正方形的中心旋转180°得到．（2）如图所示．。
人教版九年级上册数学第23章 旋转 旋转的性质
(2) 若 OA ＝ 8 ， OC ＝ 6 ， OB ＝ 10 ， 判 断 △OMC的形状并证明．
解：△OMC是直角三角形． 证明如下： ∵△AOB≌△CMB，∴CM＝AO＝8. ∵BO＝BM，∠OBM＝60°， ∴△OBM是等边三角形．∴OM＝OB＝10.
在△OMC中，OM2＝100， OC2＋CM2＝62＋82＝100， ∴OM2＝OC2＋CM2. ∴△OMC是直角三角形．
R版九年级上
第二十三章旋转
23.1图形的旋转 第2课时 旋转的性质
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1C 2D 3D 4B
5 60;4
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6 见习题
7 见习题
1 ． 【2020·苏 州 】 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， ∠ BAC ＝ 108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到 △AB′C′.若点B′恰好落在BC边上，且AB′＝CB′， 则∠C′的度数为( ) A．18°B．20°C．C24°D．28°
7．【2020·金昌】如图，点M，N分别在正方形ABCD的 边BC，CD上，且∠MAN＝45°.把△ADN绕点A顺 时针旋转90°得到△ABE.
(1)求证：△AEM≌△ANM；
证明：由旋转的性质得△ADN≌△ABE， ∴∠DAN＝∠BAE，AE＝AN. ∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°， ∴∠MAE＝∠BAE＋∠BAM＝∠DAN＋∠BAM＝45°. ∴∠MAE＝∠MAN. 又∵AM＝AM， ∴△AEM≌△ANM(方框中“∵CB＝AD，” 和“∴四边形…”之间作补充，下列正确的是( )
B A．嘉淇推理严谨，不必补充 B．应补充：且AB＝CD C．应补充：且AB∥CD D．应补充：且OA＝OC
5 ． 如 图 ， 点 P 是 等 边 三 角 形 ABC 的 边 BC 上 一 点 ， 把
23.1.2旋转的性质在证明线段关系中的应用-2020秋人教版九年级数学上册点拨训练习题课件(共11张PPT)
(1)如图①，连接 AE，DB，试判断线段 AE 和 DB 的数量和位置 关系，并说明理由；
解：AE＝DB，AE⊥DB. 理由：由题意可知，CA＝CB，CE＝CD，∠ACE＝∠BCD＝90°， ∴Rt△ACE≌Rt△BCD(SAS)．
∴AE＝DB. 如图①，延长 DB 交 AE 于点 M. ∵Rt△ACE≌Rt△BCD，∴∠AEC＝∠BDC. 又∵∠AEC＋∠EAC＝90°， ∴∠BDC＋∠EAC＝90°. ∴在△AMD 中，∠AMD＝180°－90°＝90°. ∴AE⊥DB.
∴∠EBD＝∠ADF. 又∵DB＝DF， ∴△EBD≌△ADF(SAS)． ∴∠E＝∠FAD，DE＝AF. ∵∠E＝45°，∴∠FAD＝45°. 又∵∠EDC＝45°，∴∠AND＝90°. ∴DE⊥AF.
4．如图，已知△ABC 是等边三角形，点 E 在线段 AB 上，点 D 在射线 CB 上，且 ED＝EC，将△BCE 绕点 C 顺时针旋转 60° 至△ACF，连接 EF.求证：AB＝AF＋BD.
人教版 九年级上
第二十三章 旋转
第1节 图形的旋转 第2课时 旋转的性质在证明线段关系
中的应用
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1．如图，正方形 ABCD 和正方形 CEFG，将ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方形 CEFG 绕点 C 旋转．求证：BE＝DG.
证明：∵∠BCE＝90°＋∠DCE，∠DCG＝90°＋∠DCE， ∴∠BCE＝∠DCG. 又∵BC＝CD，CE＝CG， ∴△BCE≌△DCG(SAS)． ∴BE＝DG.
2．如图，在△ABC 中，∠CAB＝67°，将△ABC 绕点 A 逆时针 旋转 46°得到△AB′C′.求证：CC′∥AB. 证明：∵旋转角∠CAC′＝46°，AC＝AC′， ∴∠ACC′＝180°－ 2 46°＝67°. 又∵∠CAB＝67°， ∴∠ACC′＝∠CAB. ∴CC′∥AB.
2022九年级数学上册 第23章 旋转考点集训习题课件 (新版)新人教版
(1)画出与△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
(2)画出将A1B1C1绕点C1按顺时针旋转90°所得的△A2B2C1.
考点四 利用旋转进行计算或证明
9.如图，在△ABC中，∠BAC＝32°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得 到△AB′C′，边B′C′与AC平行，那么∠B的度数为( )
A A.28° B.30° C.32° D.38°
10.(2021•哈尔滨)如图，将△ABC绕点C逆时针旋转，得到△A′B′C，其中点 A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，点B′落在边AC上，连接A′B，假 设∠ACB＝45°，AC＝3，BC＝2，那么A′B的长为________.
11.如图，四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后，得到△ABE， 点A，E，D在同一直线上.假设AF＝5，AB＝9.
5.下面四个图案依次是我国汉字中的“福禄寿喜〞的艺术字图.这四个图案中 是中心对称图形的是( C ) A.①② B.②③ C.②④ D.②③④
考点三 关于原点对称的点及平面直角坐标系中的旋转
6.(2021•巴中)在平面直角坐标系中，点A(－4，3)与点B关于原点对称，那么
点B的坐标为( A.(－4，－3)
A. ，-
B.(1，0)
C.-
，-
D.(0，－1)
3.(2021•梧州)如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形 ABCD绕点A逆时针方向旋转，得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交 于点P，那么DP的长是________.
4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC绕点A顺时针方 向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′ B.
(2)∵∠MBB′＝∠MBA，∴BM⊥AB′，且 AM＝B′M.由题意，得 AB2＝4，∴AB′ ＝AB＝2，AM＝1，∴C′M＝12AB′＝1.由勾股定理，得 BM＝ AB2－AM2＝ 3， ∴C′B＝ 3－1.
人教版九年级上册数学同步练习课件-第23章 旋转-23.1 一节一练图形的旋转
▪ 16．如图，在△OBD中，OD＝BD，△OBD 绕点O逆时针旋转一定角度后得到△OAC， 此时B、D、C三点正好在一条直线上，且点 D是BC的中点．
▪ (1)求∠COD的度数；
▪ (2)求证：四边形ODAC是菱形．
18
思维训练
▪ 17．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD ＝60°，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC 于点F.
21
3
▪ 3．【内蒙古鄂尔多斯中考】如图是一副三角
尺ABC和DEF拼成的图案，若将三角尺DEF 绕点M按顺时针方向旋转，则边DE与边ABC第
一次平行时，旋转角的度数是
()
▪ A．75° B．60° 4
▪3 4．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得 到△AED，若AB＝3，则BE＝_____.
5
▪ 5．如图，把边长为1的正方形ABCD绕点A逆 时针旋转45°得到正方形AB′C′D2′，2 边B′C′与 DC交于点O，则四边形AB′OD的周长为 _______.
14
▪ 14．如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点 B逆时针旋转60°得到的，且AB⊥BC，BE ＝CE，连接DE.
▪ (1)求证：△BDE≌△BCE；
(1) 略 (2) 解 ： 四 边 形 ABED 为 菱 形 ． 理 由 ： 由 (1) 得
▪ (2)试判断四边形ABED的形状，并说明理 △BDE≌△BCE.∵△BAD是由△BEC旋转得到的，∴△BAD≌△BEC，∴BA＝BE， 由． AD＝EC＝ED．又∵BE＝CE，∴BE＝ED＝AD＝AB，∴四边形ABED为菱形．
7
▪ 8．如图，将等边△OAB绕点O按逆时针方向 旋转150°，得到△O150A′B′(点A′、B′分别是点 A、B的对应点)，则∠1＝_______°.
合浦县第二中学九年级数学上册第二十三章旋转23.3课题学习图案设计练习新版新人教版7
23.3 课题学习图案设计基础题知识点1 分析图案形成过程1．下列基本图形中，经过平移、旋转或轴对称变换后，不能得到如图的是( )A. B.C. D.2．在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是( )3．如图所示的图案是由六个全等的菱形拼成的，它也可以看作是以一个图案为“基本图案”，通过旋转得到的．以下图案中，不能作为“基本图案”的是( )A. B. C. D.4．如图所示，这个图案可以看作是以“基本图案”——原图案的四分之一经过变换形成的，但一定不能通过________变换得到．( )A．旋转B．轴对称C．平移D．对称和旋转5．下列这些美丽的图案都是在“几何画板”软件中利用旋转的知识在一个图案的基础上加工而成的，每一个图案都可以看作是它的“基本图案”绕着它的旋转中心旋转得来的，旋转的角度为( )A．30° B．60° C．90° D．120°知识点2 设计图案6．如图，在4×3的网格上，由个数相同的白色方块与黑色方块组成一幅图案，请仿照此图案，在下列网格中设计符合要求的图案(注：①不得与原图案相同；②黑、白方块的个数要相同)．(1)是轴对称图形又是中心对称图形；(2)是轴对称图形但不是中心对称图形；(3)是中心对称图形但不是轴对称图形．(1)(2)(3)7．以给出的图形“○、○、△、△、＝”(两个相同的圆、两个相同的三角形、两条平行线)为构件，各设计一个构思独特且有意义的轴对称图形和中心对称图形．举例：如图所示，左框中是符合要求的一个图形．你还能构思出其他的图形吗？请在右框中画出与之不同的图形．中档题8．(长沙中考)下列四个图形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是( )9．观察如图所摆放的五朵梅花，变换中间的一朵梅花，得到四角的梅花，下列说法错误的是( )A．左上角梅花只需沿对角线平移即可B．右上角梅花沿对角线平移后，顺时针旋转90°C．右下角梅花沿对角线平移后，以下底边为对称轴对称得到的D．左下角梅花先沿对角线平移后，顺时针旋转90°10．正五角星绕着它的中心至少旋转________可以与原图形重合．11．如图是两张全等的图案，它们完全重合地叠放在一起，按住下面的图案不动，将上面图案绕点O顺时针旋转，至少旋转________度后，两张图案构成的图形是中心对称图形．12．如图是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在坐标纸上将该图形绕原点顺时针依次旋转90°，180°，270°，并画出它在各象限内的图形．13．如图1是由2个白色和2个黑色全等正方形组成的“L”型图案，请你分别在图2，图3上按下列要求画图：(1)在图2中，添1个白色或黑色正方形，使它成中心对称图案；(2)在图3中，先改变1个正方形的位置，再添1个白色或黑色正方形，使它既成中心对称图案，又成轴对称图案．14．如图是由14个全等的三角形组成的图案，是由阴影部分的三角形通过平移、轴对称或旋转而得到的，试分析这个图案形成的过程．综合题15．山西民间建筑的门窗图案中，隐含着丰富的数学艺术之美．图1是其中一个代表，该窗格图案是以图2为基本图案经过图形变换得到的．图3是图2放大后的一部分，虚线给出了作图提示．请用圆规和直尺画图．(1)根据图2将图3补充完整；(2)在图4的正方形中，用圆弧和线段设计一个美观的轴对称或中心对称图形．参考答案基础题1.C2.C3.B4.C5.C6.答案不唯一，图略．7.答案不唯一，下面各举一例：(1)只是轴对称图形；(2)只是中心对称图形；(3)既是轴对称图形又是中心对称图形．中档题8.A 9.D 10.72°11.6012.图略．13.(1)图略．(2)图略．14.可以看成按如下步骤形成的：①以一个三角形的一条边为对称轴作与它轴对称的图形；②将所得的图形以一边的中点为旋转中心旋转180°；③以①，②所得的两组图形为基本图形作轴对称图形；④再以此为基本图形绕某一点为中心旋转180°.综合题15．图略．抛物线形问题学习目的【知识与技能】能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的知识解决实际问题.【过程与方法】经历运用二次函数解决实际问题的探究过程，进一步体验运用数学方法描述变量之间的依赖关系，体会二次函数是解决实际问题的重要模型，提高运用数学知识解决实际问题的能力.【情感态度】1.体验函数是有效的描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具.2.敢于面对在解决实际问题时碰到的困难，积累运用知识解决问题的成功经验.学习重点用抛物线的知识解决拱桥类问题.学习难点将实际问题转化为抛物线的知识来解决.自学过程一、情境导入，初步认识1、如图所示的抛物线的解析式可设为______，若AB∥x轴，且AB=4，OC=1，则点A的坐标为_____，点B的坐标为_________；代入解析式可得出此抛物线的解析式为 __________ .某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示。
第23章：旋转课堂(教案)2023-2024学年人教版九年级数学上册
（2）设计实际操作活动，让学生动手测量旋转角度，加强对测量方法的掌握。
（3）通过观察和讨论，引导学生识别旋转对称图形，总结旋转对称性的特点。
（4）通过具体实例，指导学生寻找旋转对称轴，掌握寻找方法。
（3）旋转对称图形的识别：学生可能难以判断一个图形是否具有旋转对称性，尤其是复杂的图形。例如，一个五角星具有旋转对称性，但学生可能不清楚旋转角度是多少。
（4）旋转对称轴的确定：在确定旋转对称轴时，学生可能不知道如何寻找或验证。例如，一个矩形有两条旋转对称轴，学生需要学会如何找出这两条轴。
（5）旋转知识在解决实际问题中的应用：将旋转知识应用于实际问题，学生可能不知道如何入手。例如，在建筑设计中，如何运用旋转对称性来设计美观且实用的结构。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“旋转变换在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-掌握旋转角度的计算方法
3.知识点三：旋转对称图形与旋转对称轴
-认识旋转对称图形
-理解旋转对称轴的概念
-学会判断旋转对称图形及其旋转对称轴
4.知识点四：旋转的应用
-了解旋转在现实生活中的应用
-学会运用旋转变换解决实际问题
5.课堂练习：旋转相关习题练习，巩固所学知识。
二、核心素养目标
1.培养学生的空间观念：通过旋转变换的学习，使学生能够观察、想象、分析几何图形在空间中的位置关系和运动变化，提高空间想象力。
人教版九年级数学上册第23章 旋转 旋转及其性质
点 B的对应点的坐标为 ___________
（ ，3） .
1.本节课我们学习了哪些知识？
(旋转的概念；旋转的性质)
2.旋转的三要素是什么？
(旋转中心、旋转角、旋转方向)
同学们，我们又学习了一个新的变换，相信大家和之
(1)△A'B'C'可以看成由△ABC经过怎样的运动得到 的?
(2)△A'B'C'和△ABC的形状和大小有什么关系?
(旋转)
(形状相同，大小相等)
(3)请画出点A旋转到点A'所经过的路线.思考点A的运动路线，由此能得
到OA与OA'有什么关系?
(图略；相等)
(4)你还能发现哪些有同样关系的线段?
(OC=OC' OB=OB', AB=A'B', AC=A'C', BC=B'C')
因为四边形ABCD是正方形，
所以 ∠ = ∠ + ∠ = °, = , ∠ = ∠ = °,所
以∠FAB=∠EAD,∠FBA=90°=∠D,所以△ ≅△ ,所以 =
=
+ = 所以 =
+ = .
前的变换放在一起理解会有不同的收获.
教材习题:完成课本59页练习2,3题以及61页练习1，2，3题.
作业本作业:完成 对应练习.
实践性作业:试着用数学语言描述家中钟表时针的运动过程.
A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
变式：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，过点A作 ⊥ 交CB的延长线
人教版九年级上册数学第23章 旋转 旋转作图
关键点选择 关键点旋转 旋转后关键点连线
结束
旋转
有时，旋转中心以及旋转方向 与角度不是明显告知的，需要 化未知为已知
线段的端点、多边形顶点、折线的连 接点、线段与曲线的连接点、圆或圆 弧或扇形的圆心
注意连接顺序
课后作业
作业1 必做:请完成教材课后习题 补充:
作业2
在图形的旋转过程中，判断旋转中心的位置，要
看旋转中心是在图形上还是不在图形上；
若在图形上，哪一点在旋转的过程中位置没有改
变，哪一点就是旋转中心；
若不在图形上，对应点连线的垂直平分线的交点
就是旋转中心.
感悟新知
如图（1），E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为
例中1心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形.
第二十三章旋转
23.1图形的旋转
第2课时旋转作图
学习目标
1 课时讲解 旋转作图
旋转的应用
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
我们上节课已经学习了旋转的概念、旋转的性质，这 为我们本节课学习奠定了一定的基础.这节课我们就应 用上节课所学的知识展现你的艺术风采.
感悟新知
知识点 1 旋转作图
知2－练
O
图（1）
O
图（2）
感悟新知
总结
知2－讲
本题是将基本图形按旋转图形的作法，分别按七个 角度作旋转图形.作旋转图形时注意旋转三要素：旋 转中心、旋转方向、旋转角.
感悟新知
知2ห้องสมุดไป่ตู้练
1 如图，在图①②③中，能通过旋转得到右侧图形 的有( ) B
2 A．①②B．①③ 3 C．②③D．①②③
中国人民大学附属中学九年级数学上册第二十三章《旋转》习题(课后培优)
一、选择题1．观察下列“风车”的平面图案，其中既是轴对称又是中心对称图形的有（ ） A ． B ． C ． D ． 2．如图，在ABC 中，,90AB AC BAC =∠=︒，直角EPF ∠的顶点P 是BC 的中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，当EPF ∠在ABC 内绕点P 旋转时，下列结论错误的是（ ）A ．AE CF =B ．EPF 为等腰直角三角形C ．EP AP =D ．2ABC AEPF S S =四边形3．如图，在等边△ABC 中，AC=8，点O 在AC 上，且AO=3，点P 是边AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是（ ）．A ．4B ．5C ．6D ．84．以下四幅图案，其中图案是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，已知平行四边形ABCD 中，AE BC ⊥于点,E 以点B 为中心，取旋转角等于,ABC ∠把BAE △顺时针旋转，得到BA E ''，连接DA '．若60,50ADC ADA '∠=︒∠=︒，则DA E ''∠的大小为（ ）A ．130︒B ．150︒C ．160︒D ．170︒ 6．若点P(－m ，m －3)关于原点对称的点是第二象限内的点，则m 满足( ) A ．m ＞3 B ．0＜m≤3 C ．m ＜0 D ．m ＜0或m ＞3 7．如图，△ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后得到ACP '△，如果AP =2，那么PP '的长等于（ ）A ．32B ．23C ．22D ．48．如图，四边形ABCD 中，∠DAB ＝30°，连接AC ，将ABC 绕点B 逆时针旋转60°，点C 与对应点D 重合，得到EBD ，若AB ＝5，AD ＝4，则AC 的长度为（ ）A ．5B ．6C 26D 419．如图，在等边ABC 中，点О在AC 上，且3,6AO CO ==，点P 是AB 上一动点，连接,OP 将线段OP 绕点О逆时针旋转60︒得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是（ ）A．4B．5C．6D．810．下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．戴口罩讲卫生B．勤洗手勤通风C．有症状早就医D．少出门少聚集11．已知等边△ABC的边长为8，点P是边BC上的动点，将△ABP绕A逆时针转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是 ( )A．2 B．23C．4 D．不能确定''，且点B刚好落在A B''上，若∠A=35°，12．如图，将△ABC绕顶点C旋转得到△A B C∠BCA'=40°，则∠A BA'等于( )A．45°B．40°C．35°D．30°13．如图：在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，现将△ABC绕点C逆时针旋转至△EFC，使点E恰巧落在AB上，连接BF，则BF的长度为（）A ．3B ．2C ．1D ．214．如图，点E ，F ，G ，H 分别为四边形ABCD 四条边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则关于四边形EFGH ，下列说法正确的是（ ）A ．不是平行四边形B ．不是中心对称图形C ．一定是中心对称图形D ．当AC ＝BD 时，它为矩形15．如图，△ABC 的顶点在网格中，现将△ABC 绕格点O 顺时针旋转α角（0°＜α＜360°），使旋转后所得三角形的顶点也在格点上，则当旋转前后的图形形成轴对称图形时，符合条件的α角的度有（ ）A ．1个B ．3个C ．6个D ．8个二、填空题16．在平面直角坐标中，点()1,2P -关于原对称的点的坐标为_______________________． 17．如图，点E 在正方形ABCD 的边CB 上，将DCE 绕点D 顺时针旋转90˚到ADF 的位置，连接EF ，过点D 作EF 的垂线，垂足为点H ，于AB 交于点G ，若4AG =，3BG =，则BE 的长为___________．18．如图，在等边△ABC 中，AC=10，点O 在AC 上，且AO=4，点P 是AB 上一动点，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60º得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是________．19．如图，△AOB中，∠B=30°，将△AOB绕点O顺时针旋转得到△A′OB′，若∠A′=40°，则∠B′= °，∠AOB= ．20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2cm，AB＝3cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△FBE，则点E与点C之间的距离是_________cm．21．将点P（-2，3）向右平移3个单位得到点P1，点P2与点P1关于原点对称，则P2的坐标是______22．如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转_____次，每次旋转_____度形成的．23．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为________．24．如图，小正方形方格的边长都是1，点A、B、C、D、O都是小正方形的顶点．若COD是由AOB绕点O按顺时针方向旋转一次得到的，则至少需要旋转______°．25．如图，△ABC 中，∠BAC ＝20°，△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AED ，连接对应点C 、D ，AE 垂直平分CD 于点F ，则旋转角度是_____°．26．若点()3,5B n +与点()4,A m 关于原点O 中心对称，则m n +=______________．三、解答题27．点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使65BOC ∠=︒，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处．（1）如图1，将三角板MON 的一边ON 与射线OB 重合时，求MOC ∠的度数；（2）如图2，将三角板MON 绕点O 逆时针旋转一定角度，此时OC 是MOB ∠的角平分线，求旋转角BON ∠的度数，CON ∠的度数；（3）将三角板MON 绕点O 逆时针旋转至图3时，5NOC ∠=︒，求AOM ∠．28．如图，ABC ∆三个顶点的坐标分别是()1,1A ，()4,2B ，()3,4C ．（1）请画出ABC ∆向左平移5个单位长度后得到的111A B C ∆；并写出1A 、1B 、1C 的坐标；（2）请画出ABC ∆关于原点对称的222A B C ∆；并写出2A 、2B 、2C 的坐标．29．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(－4，4)，C(－2，1)．（1）将△ABC 绕点O 顺时针旋转90°后得到△A B C '''，请在图中画出△A B C '''．（2）以点O 为对称中心，画出与△ABC 对称的△A B C ''''''，并写出A B C ''''''、、的坐标．30．解下列方程：（1）x 2-2x-24=0 （2）用配方法解方程：x 2+6x ﹣1=0．。
九年级上册人教版数学《学练优 湖北专版》习题讲评 第23章 第23课时 旋转的定义
5．如图，在正方形 ABCD 中，将△ ABD 旋转得到 △ A′BD′，此时 BA′恰好与 BD 重合，在这个旋转过程中：
(1)旋转中心是点 B； (2)旋转方向是顺时针； (3)旋转角是∠∠AABBDD 和∠∠AA′B′BDD′，′ 旋转角度是 45°．
知识点 2 对应角和对应边 ☞ 例 2 如图，△ ABC 和△ ADE 都是等腰直角三角形， ∠C 和∠AED 是直角，点 E 在 AB 上，如果△ ABC 经过 旋转能与△ ADE 重合，那么： (1)旋转中心是点点AA，旋转方向是逆逆时时针针，旋转角 是 4545 °； (2)线段 AB 的对应线段是 AD ，线段 DE 的对应线段 是 BBC C； (3)∠C 的对应角是∠AEDD， ∠D 的对应角是∠∠BB．
变式 2 如图，将△ MPN 绕点 O 旋转 n°(0＜n＜180) 得到△ M′P′N′，则：
(1)旋转中心是点点OO，旋转方向是逆时针针； (2)旋转角＝∠MOM′＝∠POP′＝∠NNOONN′′＝nn °； (3)连接 MM′，当 n＝90 时，△ MOM′是等等腰腰直直角角三 角形．
知识点 3 同一旋转中，旋转角相等 ☞ 例 3 如图，△ ABC 是等边三角形，P 是三角形内一 点，△ ABP 经过逆时针旋转到达△ ACQ 的位置，则： (1)旋转中心是点点AA； (2)旋转角的度数是 606°0° ； (3)△ APQ 是等等边边三角形．
3．旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角．
知识点 1 旋转的三要素 ☞ 例 1 如图，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 60°后 得到线段 OB，在旋转的过程中： (1)旋转中心是点点OO； (2)旋转方向是顺顺时时针针 ； (3)旋转角是∠∠AAOOB B，它是 660 0°.
23.1 图形的旋转备课素材
第二十三章旋转23.1图形的旋转素材一新课导入设计类比导入悬念激趣向学生展示有关的图片(如图23－1－1)：(1)时钟上的秒针在不停地转动(并介绍顺时针方向和逆时针方向)；(2)大风车的转动；(3)飞速转动的电风扇的叶片；(4)汽车上的雨刮器；(5)由平面图形转动而产生的奇妙图案．图23－1－1[说明与建议] 说明：让学生切身感受到我们身边除了平移、轴对称等图形变换之外，生产、生活中广泛存在着转动现象，从而产生对这种变换进一步探究的强烈欲望．建议：把班级学生分为几组，通过小组竞赛形式举出生活中见到的平移、轴对称和旋转现象，并进一步分析平移、轴对称和旋转的区别，从而真正理解旋转的概念．(1)请同学们观察图23－1－2，点A，线段AB，∠ABO分别转到了什么位置？图23－1－2(2)请找出图中其他的对应点、对应线段、对应角，并指出旋转中心和旋转角度．如图23－1－2，△ABO绕点O旋转得到△CDO，则：点B的对应点是点__D__；线段OB的对应线段是线段__OD__；线段AB的对应线段是线段__CD__；∠A的对应角是__∠C__；∠B的对应角是__∠D__；旋转中心是点__O__；旋转角是__∠AOC或∠BOD__．[说明与建议] 说明：设计意图是让学生进入本节课的两个学习目标：①点明图形旋转中对应点、对应线段及对应角的概念；②让学生及时巩固并理解旋转及其相关概念，并为下面探究旋转的性质作好物质与精神上的准备．建议：教师通过实物三角尺在黑板上作图并旋转三角尺展示或者通过FLASH(或几何画板)模拟演示后，让学生讨论解决．(1)填空：__平移__变换__轴对称__变换图23－1－3图23－1－4(2)思考：如图23－1－5，你能由其中一个花瓣通过平移或轴对称变换得到整个美丽的紫荆花吗？图23－1－5(3)试一试：如图23－1－6，请同学们尝试用自己的语言来描述以下旋转．图23－1－6图①：在同一平面内，点__A__绕着定点O旋转某一角度得到点B；图②：在同一平面内，线段__AB__绕着定点O旋转某一角度得到线段CD；图③：在同一平面内，三角形__ABC__绕着定点O旋转某一角度得到三角形DEF.[说明与建议] 说明：通过对平移、轴对称的回顾，引出旋转的概念，加强新旧知识之间的联系，类比旧知识的学习方法来学习新知识．建议：本环节学生先独立尝试，然后同学之间讨论交流、总结，在此过程中培养学生的抽象概括能力，同时让学生体会到合作交流的必要性，随后，给出旋转的定义．素材二教材母题挖掘——第63页习题23.1第10题图23－1－7如图23－1－7，△ABD，△AEC都是等边三角形．BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？【模型建立】本题把△ABE绕着点A顺时针旋转60°到△ADC，则BE＝DC.当图中含有两个形状相同的图形(比如两个等边三角形，两个正方形，两个等腰直角三角形等)时，可以根据旋转的性质，找到经过旋转变换前后的两个图形，从而利用旋转的相关性质解决问题．【变式变形】1．如图23－1－8，若△ABD，△AEC都是等腰直角三角形，∠BAD＝∠CAE＝90°，那么BE＝DC吗？[答案：BE＝DC]2．如图23－1－9，若四边形ABFD、四边形ACGE都是正方形，那么：(1)BE＝DC成立吗？(2)BE⊥DC吗？[答案：(1)成立(2)BE⊥DC]23－1－823－1－923－1－1023－1－113．如图23－1－10，若点A在线段BC上，△ABD，△AEC 都是等边三角形，那么BE＝DC吗？[答案：BE＝DC]4．在3题的条件下，若AD与BE交于点F，AE与CD交于点G，如图23－1－11.(1)AF＝AG吗？(2)△AFG是等边三角形吗？为什么？[答案：(1)AF＝AG(2)△AFG是等边三角形理由略]素材三考情考向分析[命题角度1] 分析旋转现象考查方式有：①识别旋转变换；②求旋转角度．其中通过对旋转现象的分析求旋转角度是常见题型，这类问题一般要利用旋转前后对应点与旋转中心所夹的角等于旋转角解题．图23－1－12例[遂宁中考]如图23－1－12，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为(B) A．30°B．60°C．90°D．150°[命题角度2] 利用旋转的性质进行计算或证明此类考题一般要利用旋转的性质求一些边长、角的度数或进行证明．这类题目一般结合[教材母题挖掘]．[命题角度3] 旋转作图此类考题常见的考查方法有两种：第一种是作已知图形旋转后的图形；第二种是在网格中作旋转图形．旋转作图的依据是图形上每一点都绕着旋转中心沿相同的方向转动了相同的角度，对应点到旋转中心的距离相等，这是旋转的基本规律．对于旋转作图，确定关键点的对应点是作图的关键．如教材P60例题，P62习题23.1 T3，T4，P63习题23.1 T9等．素材四教材习题答案P59练习1．请你举出一些现实生活、生产中旋转的实例，并指出旋转中心和旋转角．解：略．2．时钟的时针在不停地旋转，从上午6时到上午9时，时针旋转的旋转角是多少度？从上午9时到上午10时呢？解：时针1小时转30°，从上午6时到9时，时针要旋转30°×3＝90°；从上午9时到上午10时，时针要旋转30°.3．如图，杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆的旋转中心在哪里？旋转角是哪个角？解：杠杆的旋转中心在点O，旋转角是∠AOA′或∠BOB′.P61练习1．如图，小明坐在秋千上，秋千旋转了80°.请在图中小明身上任意选一点P，利用旋转性质，标出点P的对应点．(1)这两个点到旋转中心的距离有怎样的关系？(2)这两个点与旋转中心所连线段的夹角是多少度？解：如图所示：(1)这两个点到旋转中心的距离相等．(2)这两个点与旋转中心所连线段的夹角是80°.2．如图，用左面的三角形经过怎样的旋转，可以得到右面的图形？解：如图，作等边△BOC，然后以△ABC为基本图形，绕点O顺时针旋转120°两次，就可以得到右面的图形．3．找出图中扳手拧螺母时的旋转中心和旋转角．解：图中扳手拧螺母时的旋转中心为O，旋转角为∠AOA′.P62练习把一个三角形进行旋转：(1)选择不同的旋转中心、不同的旋转角，看看旋转的效果；(2)改变三角形的形状，看看旋转的效果．解：略．P62习题23.1复习巩固1．任意画一个△ABC，作下列旋转：(1)以点A为中心，把△ABC逆时针旋转40°；(2)以点B为中心，把△ABC顺时针旋转60°；(3)在△ABC外任取一点为中心，把△ABC顺时针旋转120°；(4)以AC的中点为中心，把△ABC旋转180°.解：画△ABC旋转后的图形，关键是分别作出点A、B、C旋转后的对应点．图略．2．说出如图所示的压水机压水时的旋转中心和旋转角．解：压水机的旋转中心为把手柄与机体的连接点，旋转角为把手柄旋转的角度．3．△ABC中，AB＝AC，P是BC边上任意一点．以点A为中心，取旋转角等于∠BAC，把△ABP逆时针旋转，画出旋转后的图形．解：如图，旋转后得到的三角形为△ACQ.4．分别画出△ABC绕点O逆时针旋转90°和180°后的图形．解：5．下面的图形是由一个基本的图形经过旋转得到的，分别指出它们的旋转中心和旋转角．解：左图中，点O为旋转中心，旋转角为60°，由基本图形旋转五次得到；右图中，点O是旋转中心，旋转角为90°，由基本图形旋转三次得到．综合运用6．把图中的五角星图案，绕着它的中心O旋转．旋转角至少为多少度时，旋转后的五角星能与自身重合？对等边三角形进行类似的讨论．解：由于五角星的五个顶点到中心O的距离相等，且相邻顶点与中心的夹角为360°÷5＝72°，所以五角星绕点O旋转72°、144°、216°、288°、360°后都能与自身重合；同理等边三角形可以绕中心旋转120°、240°、360°后都能与自身重合．7．图中的风车图案，可以由哪个基本的图形、经过什么样的旋转得到？解：，以点O为旋转中心，将基本图形逆时针旋转90°，旋转三次得到．8．如图，用一个等腰三角形，经过旋转，制作一个五角星图案．(提示：选择旋转中心，计算旋转角．)解：如图，作△BOC，使∠BCO＝∠CBO＝54°，接着以△ABC为基本图形，绕O点顺时针旋转72°四次，即可得到一个五角星图案．9．如图，△ABC中，∠C＝90°.(1)将△ABC绕点B逆时针旋转90°，画出旋转后的三角形；(2)若BC＝3，AC＝4，点A旋转后的对应点A′，求A′A的长．解：(1)如图，旋转后的三角形为△(2)△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB＝5.又∵∠A′BA＝90°，∴A′A＝5 2.拓广探索10．如图，△ABD，△AEC都是等边三角形．BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？解：BE＝DC.理由：∵△AEC是等边三角形，∴AE＝AC，∠EAC＝60°.同理AB＝AD，∠BAD＝60°，∴以点A为旋转中心，将△EAB顺时针旋转60°就得到△CAD，∴△EAB ≌△CAD，∴BE＝DC.11．以原点为中心，把点A(4，5)逆时针旋转90°，得到点B.求点B的坐标．解：如图：点B的坐标为(－5，4)．素材五图书增值练习当堂检测旋转的概念及性质1. （2012·枣庄）如图，该图形围绕点O按下列角度旋转后，不能．．与其自身重合的是（）A．72°B．108°C．144°D．216°2. 如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C，若∠A＝40°，∠B′＝110°，则∠BCA′的度数是（）A．110°B．80°C．40°D．30°３. 如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=3，那么PP′的长等于（）Ａ．３2Ｂ．２3Ｃ．４2Ｄ．３34. 从1点到1点25分，分针转了＿＿＿度，时针转了＿＿＿度，1点25分时针与分针的夹角是＿＿＿度．5. 如图所示，△ABC是直角三角形，延长AB到D，使BD=BC，在BC上取BE=AB，连接DE．△ABC旋转后能与△EBD重合，那么：（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转角是多少度？（3）AC与ED的关系怎样？参考答案１. B 2. B 3. A4. 150° 12.5° 107.5°5. （1）旋转中心是点B．（2）旋转角是90°．（3）AC与DE垂直且相等．当堂检测旋转作图1. 如图可以看作是一个三角形旋转若干次而生成的,则每次旋转的度数可以是( )A.90°B.60°C.45°D.30°2. 如图，在方格纸中，△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是（）A.把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，再向下平移2格B.把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格C.把△ABC向下平移4格，再绕点C逆时针方向旋转180°D.把△ABC向下平移5格，再绕点C顺时针方向旋转180°3. 如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1．则其旋转中心一定是__________．4.如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A′CB′，若AC⊥A′B′，则∠BAC＝＿＿＿＿.5. （2012•营口）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（-2，-1）、B（-1，1）、C（0，-2）．（1）点B关于坐标原点O对称的点的坐标为_______ ；（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A1B1C .参考答案1. C2. B3. Ｂ4.解：∵AC⊥A′B′，∴∠COA＇=90°∵△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A′CB′,∴∠AOA＇=40°，∠BAC=∠A＇,∴∠A＇=180°―∠COA＇―∠AOA＇=180°―90°―40°=50°.∴∠BAC=∠A＇=50°.5. 解：（1）点B关于坐标原点O对称的点的坐标为（1，-1）；（2）所画图形如下：能力培优专题一利用旋转的概念和性质求角的度数以及点的坐标及直线解析式1. Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=50°，点D在边BC上，BD=2CD（如图）．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m= .2.【2011·牡丹江】平行四边形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOB=60°，AO=1，AC=2，把平行四边形AOBC绕点O逆时针旋转，使点A落在y轴上，则旋转后点C的对应点C′的坐标为．专题二利用旋转的概念和性质确定旋转中心、以及作旋转图形3.如图，四边形EFGH是由四边形ABCD经过旋转得到的．如果用有序数对（2，1）表示方格纸上A点的位置，用（1，2）表示B点的位置，那么四边形ABCD旋转得到四边形EFGH 时的旋转中心用有序数对表示是__________．4.如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，坐标为（a，b），直线l的解析式为y=2x-4．（1）画出点P以点O为旋转中心逆时针旋转90°后的对应点P′；（2）猜想点P′的坐标，并证明你的结论；（3）求出直线l绕点O逆时针旋转90°后的直线l′的解析式．专题三利用旋转的概念和性质判定三角形形状、线段之间位置与数量关系5.如图，在□ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF.当P为射线CD上任意一点（P不与C重合）时，连接EP；绕点E逆时针旋转90°得到线段EG．判断直线FG与直线CD的位置关系，并加以证明.6.【2011•南通】已知：如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连接EF，将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△''F OE（如图2）. （1）探究AE′与BF′的数量关系，并给予证明；（2）当α＝30°时，求证：△AOE′为直角三角形.7.【2011·咸宁】（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH 之间的数量关系，并说明理由．（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=32，求AG，MN的长．知识要点：1.旋转的定义：把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转.2.旋转的三个要素：旋转中心、旋转角、旋转方向.3.旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段间的夹角为旋转角；（3）旋转前、后的图形全等. 温馨提示：1.旋转可以得到相等的角、边，所以为证明三角形全等提供了有力的条件.2.旋转可以将分散的边角集中于一点或集中于同一个三角形.同理，旋转也可以将集中的条件分散.方法技巧：1.确定旋转中心的方法：两组对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心.2.旋转出等腰三角形；旋转90°出等腰直角三角形；旋转60°出等边三角形.3.图形绕原点旋转90°前后对应点的坐标之间的关系：横变纵，纵变横，符号看象限.即：P（a，b）→绕原点顺时针旋转90°→P(b，－a)；P（a，b）→绕原点逆时针旋转90°→P(－b，a).参考答案1. 80°或120°【解析】（1）如图，点B恰好落在边AB上的点B′时，有DB=DB′.∴旋转角m=∠BDB′=180°－∠DB′B－∠B=180°－2∠B=80°；（2）如图，点B恰好落在边AC上的点B″时，有DB=DB″.在Rt△B″CD中，∵DB″=DB=2CD，∴∠CDB″=60°，旋转角∠BDB″=180°-∠CDB″=120°．2.（3，2），（-3，-2）【解析】如图：∵∠AOB=60°，把平行四边形AOBC绕点0逆时针旋转，使点A落在y轴上，∴∠A′EC′=90°.∵∠A′C′B=60°，∴∠A′C′E=30°.∵A′E=1，A′C′=2，∴EC′=3，A′E=1，∴C′（3，2）.同理可得点C″（-3，-2）．3.（5，2）【解析】连接CG，作其垂直平分线；连接EA，作其垂直平分线；两垂直平分线的交点就是旋转中心.4.【解】（1）如图所示；（2）P′（－b，a）．证明：过P点分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，过P′点分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为B′、A′.∵∠POP′=90°，∴∠AOP=∠A′OP′.又∵OP=OP′，∴Rt△AOP≌Rt△A′OP′.∴OA=OA′，AP=A′P′.∴OA′=OA=a，OB′=P′A′=PA=OB=b .∵P′在第二象限，∴P′的坐标为（－b ，a ）；（3）由图象知直线l 与x 轴交点为M （2，0），与y 轴交点为N （0，－4）．由（2）得：点M （2，0）、N （0，－4）绕O 点逆时针旋转90°得到的对应点分别是M′（0，2）、N′（4，0）， ∴直线M′N′就是直线l 绕O 点逆时针旋转90°得到的对应直线， 解得直线l′的解析式为y=－12x+2． 5.【解】直线FG 与直线CD 的位置关系为互相垂直． 证明：如图，设直线FG 与直线CD 的交点为H ．∵线段EC 、EP 分别绕点E 逆时针旋转90°依次得到线段EF 、EG ，∴∠PEG=∠CEF=90°，EG=EP ，EF=EC ． ∵∠GEF=90°-∠PEF ，∠PEC=90°-∠PEF ，∴∠GEF=∠PEC ． ∴△GEF ≌△PEC ．∴∠GFE=∠PCE ． ∵EC ⊥CD ，∴∠PCE=90°.∴∠GFE=90°．∴∠EFH=90°．∴∠FHC =90°．∴FG ⊥CD ．6.【解】（1）AE ′＝BF′.证明：如图2，∵在正方形ABCD 中， AC ⊥BD,∴∠''F OE ＝∠AOD ＝∠AOB ＝90°. 即∠AOE′＋∠AOF′＝∠BOF′＋∠AOF′.∴∠AOE′＝∠BOF′.∵OA ＝OB ＝OD ，OE′＝2OD ，OF′＝2OA,∴OE′＝OF′.∴△OAE′≌△OBF′.∴AE′＝BF.（2）作△AOE′的中线AM ，如图3.则OE′＝2OM ＝2OD ＝2OA. ∴OA ＝OM.∵α＝30°,∴∠AOM ＝60°.∴△AOM 为等边三角形.∴MA ＝MO ＝ME′，∠'AE M ＝∠'E AM .∵∠'AE M ＋∠'E AM ＝∠AMO,即2∠'AE M ＝60°.∴∠'AE M ＝30°.∴∠'AE M ＋∠AOE′＝30°＋60°＝90°，∴△AOE′为直角三角形.7.【解】（1）在Rt △ABE 和Rt △AGE 中，AG AB =，AE AE =，∴△ABE ≌△AGE ．∴GAE BAE ∠=∠．同理，DAF GAF ∠=∠．∴︒=∠=∠4521BAD EAF ． （2）222DH ND MN +=．∵DAH BAM ∠=∠，︒=∠+∠45DAN BAM ，∴︒=∠+∠=∠45DAN DAH HAN ．∴MAN HAN ∠=∠．∵AH AM =，AN AN =，∴△AMN ≌△AHN ．∴HN MN =．∵︒=∠90BAD ，AD AB =，∴︒=∠=∠45ADB ABD ．∴︒=∠+∠=∠90ADB HDA HDN ．∴222DH ND NH +=．∴222DH ND MN +=．（3）如图，由（1）知，EG BE =，FG DF =．设x AG =，则4-=x CE ，6-=x CF ．∵222EF CF CE =+，∴22210)6()4(=-+-x x ．解这个方程，得121=x ，22-=x （舍去负根）． ∴12=AG ．∴2122222==+=AG AD AB BD ．在（2）中，222DH ND MN +=，DH BM =，∴222BM ND MN +=．设a MN =，则222)23()23212(+--=a a ．∴25=a ．即25=MN ．素材六 数学素养提升对称——自然美的基础在丰富多彩的物质世界中，对于各式各样的物体的外形，我们经常可以碰到完美匀称的例子．它们引起人们的注意，令人赏心悦目．每一朵花，每一只蝴蝶，每一枚贝壳都使人着迷；蜂房的建筑艺术，向日葵上种子的排列，以及植物茎上叶子的螺旋状分布都令我们惊讶．仔细的观察表明，对称性蕴含在上述各种事例之中，它从最简单到最复杂的表现形式，是大自然形式的基础．图１ 图２花朵具有旋转对称的特征．花朵绕花心旋转适当位置，每一花瓣会占据它相邻花瓣原来的位置，花朵就自相重合．旋转时达到自相重合的最小角称为元角．不同的花这个角不一样．例如梅花为72°，水仙花为60°．“对称”在生物学上指生物体在对应的部位上有相同的构造，分两侧对称（如蝴蝶），辐射对称（放射虫、太阳虫等）．我国最早记载了雪花是六角星形．其实，雪花形状千奇百怪，但又万变不离其宗（六角星）．既是中心对称，又是轴对称．很多植物是螺旋对称的，即旋转某一个角度后，沿轴平移可以和自己的初始位置重合．例如树叶沿茎杆呈螺旋状排列，向四面八方伸展，不致彼此遮挡为生存所必需的阳光．这种有趣的现象叫叶序．向日葵的花序或者松球鳞片的螺线形排列是叶序的另一种表现形式．“晶体闪烁对称的光辉”，这是俄国学者费多洛夫的名言．无怪乎在古典童话故事中，奇妙的宝石交织着温馨的幻境，精美绝伦，雍容华贵．在王冠上，以其熠熠光彩向世人炫耀，保持永久不衰的魅力．旋转错例分析旋转属于图形变换的一种，它是由旋转中心、旋转角和旋转方向三个因素决定，并且在旋转过程中旋转中心保持不变，对应点到旋转中心的距离相等，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角，利用平移、旋转、轴对称这三种变换中的一种或几种的组合，可进行图案设计，但是稍不注意，就会出现这样或那样的错误，下面通过具体的错例，给同学们带来一定的帮助.错例1 如图，△DEC是由△ABC经过旋转得到的.试判断旋转中心和旋转角及旋转方向.错解：△DEC是由△ABC绕旋转中心C按逆时针方向旋转∠ACE的度数形成的.错例解析：错解的原因在于没有正确找出对应线段，从而把旋转的角度弄错了.正解：△DEC是由△ABC绕旋转中心C按逆时针方向旋转∠ACD（或∠BCE）的度数形成的.错例2 如左图，已知等边△ABC，画△ABC绕点C顺时针旋转120°后的△A/ B/C.错解：如中间图.错例解析：旋转是指一个图形上的所有各点都要按照旋转的三要素来进行，错解看似是按照旋转的三要素来进行的，其实BC边并没有按照要求进行，它的旋转角度为0°.正解：如右图所示.错例3 如图，△AEC是由四个能够完全重合的等腰直角三角形拼成的，认真观察后判断下列说法是否正确：A.三角形②与三角形①关于直线BF成轴对称B.将三角形①旋转能得到三角形②与三角形③，且旋转中心都为点FC.将三角形①平移或旋转能得到三角形④，将三角形①作轴对称变换不能得到三角形④错解：A错，B、C都对错例解析：错解产生的原因是没有理解轴对称、平移和旋转的意义：将一个图形整体沿某一方向平行移动一段距离的图形运动叫做平移变换；成轴对称的两个图形沿某条直线折叠后能完全重合；把一个图形绕某一点转动一个角度的变换叫做旋转.正解：A说法正确；B说法前半句正确，后半句错误，正确应为：将三角形①旋转能得到三角形②与三角形③，三角形②可由三角形①绕点B顺时针旋转90°得到，三角形③可由三角形①绕点F逆时针旋转90°得到；C说法错误，正确应为：将三角形①沿AF方向平移能得到三角形④，将三角形①沿CF所在直线折叠能得到三角形④，将三角形①旋转不能得到三角形④.错例4 如图，仔细观察这个图案，并分析这个图案如何由基本图案“”经过变换形成.错解：以右下角顶点为中心将基本图案按顺时针方向依次旋转90°，180°，270°得到右下所示的图案，将此图案向右作轴对称，再将这个图案向下作轴对称即可得到.错例解析：错解中，得到右下所示的图案的过程是正确的，由右下所示图案得到所给图案的过程是错误的.错误产生的原因是未能发现所给图案的本质特征.将所给图案分成左上、左下、右上、右下四部分，发现这四部分全等，通过平移可互相得到.正解：以右下角顶点为中心将基本图案按顺时针方向依次旋转90°，180°，270°得到右下所示的图案，再以此图案为基本图案，分别向右、向下、向右下方平移，便可得到所给的图案.。
新听课记录2024秋季九年级人教版数学上册第二十三章旋转《复习题23》
教学设计：新2024秋季九年级人教版数学上册第二十三章旋转《复习题23》一、教学目标（核心素养）1、知识与技能：通过复习题23的解答，巩固学生对旋转概念、性质、作图方法以及旋转在解决实际问题中应用的理解，提高学生的空间想象能力和解题能力。
2、数学思维：培养学生运用旋转知识解决实际问题的能力，提升学生的逻辑推理、图形变换和数学建模思维。
3、情感态度：激发学生对数学学习的兴趣，增强学习数学的自信心，培养合作学习的意识和探究精神。
二、教学重点•旋转的基本概念和性质。
•旋转作图的步骤和方法。
•旋转在解决实际问题中的应用。
三、教学难点•如何引导学生将旋转知识灵活应用于解决实际问题中。
•提升学生空间想象能力，准确进行旋转作图。
四、教学资源•多媒体课件（包含旋转概念回顾、例题解析、复习题展示）。
•教材及配套习题册。
•旋转作图工具（如直尺、圆规）。
•小组讨论题卡，用于合作探究。
五、教学方法•复习导入法：通过回顾旋转的基本概念和性质，引出复习题23。
•讲解示范法：教师讲解例题，示范解题过程，特别是旋转作图的步骤和方法。
•练习巩固法：学生独立或小组合作完成复习题，巩固所学知识。
•讨论交流法：组织小组讨论，分享解题思路和经验，相互启发。
六、教学过程1. 导入新课（5分钟）•复习回顾：利用多媒体课件，快速回顾旋转的基本概念（定义、性质）、旋转作图的基本步骤和方法，以及旋转在几何证明和解决实际问题中的应用实例。
•引入复习题：明确本节课的任务——解答复习题23，强调复习的重要性和目的。
2. 新课教学（30分钟）•例题解析（10分钟）：•选取几道具有代表性的例题，涉及旋转概念的理解、旋转作图的实践以及旋转在解决实际问题中的应用。
•教师详细讲解解题过程，特别是旋转作图的步骤和注意事项，引导学生观察图形变换的规律。
•复习题解答（20分钟）：•学生独立或小组合作完成复习题23中的题目。
•教师巡视指导，鼓励学生尝试多种解题方法，特别是对于难度较大的题目，引导学生分析题目条件，找出旋转元素，设计解题策略。
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【针对第19题训练 】 4、将图形 按顺时针方向旋转90°后的图形是( B )
图23－11
数学·新课标（RJ）
5、如图23－12，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等 长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以 A为中心( D )
图23－12
A．顺时针旋转60°得到
C．逆时针旋转60°得到
解：(1)①证明：连接 DB.在 Rt△ABC 中，AB＝BC，AD＝ DC.所以 DB＝DC＝AD，∠BDC＝90° . 方法一：因为∠MDB＋ ∠BDN＝ ∠CDN＋ ∠BDN＝ 90° ，所 以 ∠MDB＝ ∠NDC.又因为 ∠ABD＝ ∠C＝ 45° ，所以 △BMD 与 △CND 能够完全重合，所以 DM＝DN. 方法二： 因为∠A＝∠DBN＝45° ， ∠ADM＋∠MDB＝∠BDN ＋∠MDB＝ 90° ，所以∠ADM＝ ∠BDN，所以△ADM 与 △BDN 能够完全重合，所以 DM＝DN.②四边形 DMBN 的面积不发生变 化． 由①知△BMD 与△CND 能够完全重合， 所以 S△BMD＝S△CND，
数学·新课标（RJ）
考查 意图
图形的旋转变换是课程改革下出现的新内容，和图形的旋转变换 有关的中考试题不仅格调清新，形式灵活，富有时代气息，而且能 较好地展示观察与发现、操作与创造的思维过程．它既考查了同学 们的动手操作能力和空间思维能力，又培养了创新意识和综合运用 知识的能力，因此成为近年来中考命题的热点． 易 1 、 2、 3、 4 5 、 6、 7、 8 9、10、11 图形的旋转 4、5、6、7、10、11
所以 S 1 S△ABC＝ . 4
四边形
1 DMBN ＝ S△DBN ＋ S△DMB ＝ S△DBN ＋ S△DNC ＝ S△DBC ＝ 2
(2)DM＝DN 仍然成立，理由：连接 DB.在 Rt△ABC 中，AB ＝BC， AD＝DC， 所以 DB＝DC， ∠BDC＝90° ， 所以∠DCB＝∠DBC ＝ 45° ， 所 以 ∠DBM ＝ ∠DCN ＝ 135° . 因 为 ∠NDC ＋ ∠CDM ＝ ∠BDM＋ ∠CDM＝ 90° ，所以 ∠CDN＝ ∠BDM，所以 △BMD 与 △CND 能够完全重合，所以 DM＝DN. (3)仍然成立．
7、如图23－15，已知△ABC.
图23－15
数学·新课标（RJ）
10 (1)AC的长等于________ ；
(2) 若将△ ABC 向右平移 2 个单位得到△ A′B′C′，则点 A 的 对应点A′的坐标是________ (1,2) ； (3)若将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C1， 则A点的对应点A1的坐标是________ (3,0) ．
1、从一副扑克牌中抽出如下四张牌，其中是中心对称图形 的有( B )
图23－9
A．1张 B．2张
C．3张 D．4张
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
数学·新课标（RJ）
2、下列图形中，不是中心对称图形的是( D )
A．圆 B．菱形
C．平行四边形 D．等边三角形
3 、下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是
( B )
图23－10
8、在如图23－16所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1 个单位的正方形，△ ABC的三个顶点都在格点上 (每个小方格的 顶点叫格点)． (1)画出△ABC向下平移4个单位后的△A1B1C1；
(2)画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A2B2C2.
图23－16
解：如图23－17：
图23－17
9 、如图 23 － 18 ，已知△ ABC 中， AB ＝ BC ＝ 1 ，∠ ABC ＝ 90°，把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在 AC的中
点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三 角板DEF绕D点按逆时针方向旋转．
(1)在图23－18(a)中，DE交AB于M，DF交BC于 N.①试说明 DM＝DN；②在这一过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠 部分为四边形 DMBN，请说明四边形 DMBN的面积是否发生变 化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出 其面积；
【典型思想方法分析 】 图形变换中的转化思想 利用图形变换中的全等关系，通过变换把一个图形转移到一 个新的位置，使图形的条件得以重新分布和结合，把分散的关 系集中并转化为与结论有关的条件，实现化难为易，化未知为
已知，化新问题为旧问题，从而解决问题．
数学·新课标（RJ）
数学·新课标（RJ）
(2) 继续旋转至图 (b) 的位置，延长 AB 交 DE 于 M ，延长 BC交 DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不 成立，请说明理由； (3) 继续旋转至图 (c) 的位置，延长 FD 交 BC 于 N ，延长 ED 交 AB于M，DM＝DN是否仍然成立(不用说理)?
图23－14
在OD上截取OA′＝OA，
过点A作AC⊥x轴，垂足为C，
过点A′作A′C′⊥x轴，垂足为C′， 由点A的坐标可知AC＝2，OC＝3， 又∠AOC＋∠A′OC′＝90°， ∴∠AOC＝∠OA′C′，
∴△AOC≌△OA′C′，
∴A′C′＝OC＝3，OC′＝AC＝2. 故点A的对应点A′的坐标为(2,3)．
B．顺时针旋转120°得到
D．逆时针旋转120°得到
6、在方格纸上建立如图 23－13所示的平面直角坐标系，将 △ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O，求点A的对 应点A′的坐标．
图23－13
解： 如图 23 － 14 所示，以 OA为始边， O 为顶点，作 ∠ AOD ＝90°，
难易 度
中 难
知识 与技 能
轴对称图形和中心对称图形
与旋转变换有关的作图问题 对称变换的综合应用
1、 2、 3
7、 8 6、 7、 8
思想 方法
转化思想 数形结合思想
9 5、6、7、11
亮点
9题突破了传统的为了作图而考作图，融作图、计算、探究于一 体，层层深入，对学生的动手和探究能力要求较高； 10题通过对几何图形的分析，借助勾股定理来解决实际问题，让 学生明确“数形结合”思想的重要性.