【学校】九年级数学上学期期末复习试卷2含解析

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2016-2017学年广东省汕头市碧华学校九年级（上）期末数学复习试
卷（2）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．平面直角坐标系内一点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（）
A．（3，﹣2）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）
3．方程x2=4x的解是（）
A．x=4 B．x=2 C．x=4或x=0 D．x=0
4．下列事件是必然事件的是（）
A．瓮中捉鳖B．刻舟求剑C．守株待兔D．水中捞月
5．在半径为13的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图，若油面宽AB=24，则油的最大深度CD为（）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．根据场地和时间等条件，某农场粮食产量2011年为1000吨，2013年为1210吨，如果平均每年增长的百分率均为x，则可列方程为（）
A．1000（1+2x%）=1210 B．1000（1+2x）=1210
C．1000（1+x）2=1210 D．1000（1+x%）2=1210
7．如图，已知⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E是弧AD上任意一点，则∠BEC的度数为（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
8．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）
A．开口向下B．对称轴是x=﹣1
C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点
9．如果反比率函数y=的图象经过点（﹣1，﹣2），则k的值是（）
A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3
10．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1•x2=3，那么二次函数ax2+bx+c（a＞0）的图象有可能是（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．若x1，x2是方程x2+2x﹣3=0的两根，则x1+x2=．
12．一个不透明口袋装有除颜色不同外没有任何区别的6个红球，9个白球，3个黑球，现从中任意摸出一个球，要使摸到黑球的概率为，需要往这个口袋中再放同样的黑球个．13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2．将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C′，则点B转过的路径长为．
14．将抛物线y=﹣（x﹣5）2+3向右平移2个单位，再向下平移3个单位后得到的抛物线的解析式为．
15．如图，⊙O的半径为2，∠OAB=30°，AB切⊙O于B，弦BC∥OA，连结AC．则图中阴影部分的面积S=．
16．如图，⊙P与y轴相切于点C（0，3），与x轴相交于点A（1，0），B（9，0）．双曲线y=恰好经过圆心P，那么k的值是．
三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17．解方程：（x+1）（x+2）=2x+4．
18．如图，圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，求这个圆锥的侧面积和表面积．
19．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比率函数y=（m＜0）图象的两个交点，求反比率函数的解析式，并根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数的值大于反比率函数的值？
四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
20．己知，△ABC；
（1）求作：△ABC 的外接圆⊙O（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）若∠B=60°，AC=8，求⊙O的半径．
21．某校九年级举行毕业典礼，需要从九（1）班的2名男生1名女生、九（2）的1名男生1名女生共5人中选出2名主持人．
（1）用树状图或列表法列出所有可能情形；
（2）求2名主持人来自不同班级的概率；
（3）求2名主持人恰好1男1女的概率．
22．某购物中心服装柜在销售中发现：“蓝猫“牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六•一“国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，最大限度扩大销售量，增加盈
利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．（1）如果要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装因应降价多少元？（2）当降价多少元时，获得的利润最大？最大利润是多少？
五、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
23．将一副直角三角板按图1的方式放置，三角板ACB的直角顶点A在三角板EDF的直角边DE上，点C、D、B、F在同一直线上，点D、B是CF的三等分点，CF=6．
（1）三角板ACB固定不动，将三角板EDF绕点D逆时针旋转，使DE与AC交于点M，DF 与AB交于点N，当EF∥CB时（如图2），DF旋转的度数为；
（2）求图2中的四边形AMDN的周长；
（3）将图2中的三角板EDF绕点D继续逆时针旋转15°得图3，猜想图3中的四边形AMDN 是什么四边形，并证明你的猜想．
24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O 于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．
（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）
（2）求证：OD=OE；
（3）求证：PF是⊙O的切线．
25．如图，抛物线y=x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，△ACD 为等边三角形，以DC为半径的⊙D与y轴的另一交点为E．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）求△CDE的面积；
（3）点P为抛物线对称轴l上一点，点Q为抛物线上一点．若以P、Q、D、B为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q的横坐标．
2016-2017学年广东省汕头市碧华学校九年级（上）期末数学复习试卷（2）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形．故正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选C．
2．平面直角坐标系内一点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（）
A．（3，﹣2）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数解答．
【解答】解：点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3）．
故选：D．
3．方程x2=4x的解是（）
A．x=4 B．x=2 C．x=4或x=0 D．x=0
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】本题可先进行移项得到：x2﹣4x=0，然后提取出公因式x，两式相乘为0，则这两个单项式必有一项为0．
【解答】解：原方程可化为：x2﹣4x=0，提取公因式：x（x﹣4）=0，
∴x=0或x=4．
故选：C．
4．下列事件是必然事件的是（）
A．瓮中捉鳖 B．刻舟求剑 C．守株待兔 D．水中捞月
【考点】随机事件．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：瓮中捉鳖是必然事件，
故选：A．
5．在半径为13的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图，若油面宽AB=24，则油的最大深度CD为（）
A．7 B．8 C．9 D．10
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【分析】连接OA，先求出油槽的半径和油面宽的一半AC的长，再根据勾股定理求出弦心距OC的长，即可求出油的深度．
【解答】解：连接OA，
∵OA=OD=13，AC=AB=×24=12，
∴OC===5，
∴CD=OD﹣OC=13﹣5=8．
故选B．
6．根据场地和时间等条件，某农场粮食产量2011年为1000吨，2013年为1210吨，如果平均每年增长的百分率均为x，则可列方程为（）
A．1000（1+2x%）=1210 B．1000（1+2x）=1210
C．1000（1+x）2=1210 D．1000（1+x%）2=1210
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】如果平均每年增长的百分率均为x，根据某农场粮食产量2011年为1000吨，2013年为1210吨，可列出方程．
【解答】解：设均每年增长的百分率均为x，则
1000（1+x）2=1210．
故选C．
7．如图，已知⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E是弧AD上任意一点，则∠BEC的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．90°
【考点】圆周角定理．
【分析】首先连接OB，OC，由⊙O是正方形ABCD的外接圆，即可求得∠BOC的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BEC 的度数．
【解答】解：连接OB，OC，
∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，
∴∠BOC=90°，
∴∠BEC=∠BOC=45°．
故选B．
8．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）
A．开口向下 B．对称轴是x=﹣1
C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．
【解答】解：二次函数y=（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．
故选：C．
9．如果反比例函数y=的图象经过点（﹣1，﹣2），则k的值是（）
A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3
【考点】待定系数法求反比例函数解析式．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将（﹣1，﹣2）代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数k的方程，通过解方程即可求得k的值．
【解答】解：根据题意，得
﹣2=，即2=k﹣1，
解得，k=3．
故选D．
10．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1•x2=3，那么二次函数ax2+bx+c（a＞0）的图象有可能是（）
A．B．C．
D．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的图象．
【分析】根据二次函数二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两个实数根，利用两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1•x2=3，求得两个实数根，作出判断即可．
【解答】解：∵已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1•x2=3，
∴x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3=0的两个根，
∴（x﹣1）（x﹣3）=0，
解得：x1=1，x2=3
∴二次函数ax2+bx+c（a＞0）与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0）
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．若x1，x2是方程x2+2x﹣3=0的两根，则x1+x2= ﹣2 ．
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=﹣直接代入计算即可．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2+2x﹣3=0的两根，
∴x1+x2=﹣2；
故答案为：﹣2．
12．一个不透明口袋装有除颜色不同外没有任何区别的6个红球，9个白球，3个黑球，现从中任意摸出一个球，要使摸到黑球的概率为，需要往这个口袋中再放同样的黑球 2 个．
【考点】概率公式．
【分析】根据黑球的概率公式得到相应的方程，求解即可．
【解答】解：设需要在这个口袋中再放入x个黑球，得： =，
解得：x=2．
所以需要在这个口袋中再放入2个黑球，
故答案为：2．
13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2．将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C′，则点B转过的路径长为π．
【考点】旋转的性质；弧长的计算．
【分析】先在△ABC中利用∠ABC的余弦计算出BC=2cos30°=，再根据旋转的性质得∠BCB′=60°，然后根据弧长公式计算点B转过的路径长．
【解答】解：在△ABC中，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴cos∠ABC=，
∴BC=2cos30°=2×=，
∵△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C′，
∴∠BCB′=60°，
∴弧BB′的长==π．
故答案为π．
14．将抛物线y=﹣（x﹣5）2+3向右平移2个单位，再向下平移3个单位后得到的抛物线的解析式为y=﹣（x﹣7）2．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标间，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：∵抛物线y=﹣（x﹣5）2+3的顶点坐标为（5，3），
∴向右平移2个单位，再向下平移3个单位后的顶点坐标是（7，0）
∴所得抛物线解析式是y=﹣（x﹣7）2．
故答案为：y=﹣（x﹣7）2．
15．如图，⊙O的半径为2，∠OAB=30°，AB切⊙O于B，弦BC∥OA，连结AC．则图中阴影部分的面积S= ．
【考点】切线的性质；扇形面积的计算．
【分析】连接OC、OB，△OBC与△BCA是同底等高，则它们的面积相等，因此阴影部分的面积实际是扇形OCB的面积；扇形OCB中，已知了半径的长，关键是圆心角∠COB的度数．由切线的性质及已知条件可求得∠AOB；由于OA∥BC，也就求得了∠OBC的度数，进而可在△COB中求出∠COB的度数，由此可根据扇形的面积公式求出阴影部分的面积．
【解答】解：
连接OC、OB，
∵OB是半径，AB是切线，
∴则∠ABO=90°，
∵∠OAB=30°
∴∠AOB=90°﹣30°=60°，
∵BC∥OA，
∴∠OBC=∠AOB=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB=60°，
∵BC∥OA，
∴S△CBA=S△CBO，
∴S阴影=S扇形CBO==，
故答案为：．
16．如图，⊙P与y轴相切于点C（0，3），与x轴相交于点A（1，0），B（9，0）．双曲线y=恰好经过圆心P，那么k的值是15 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；切线的性质．
【分析】过点P作PD⊥x轴于点D，连接PA、PC，根据垂径定理即可求出PD、AD的长度，从而求出点P的坐标．
【解答】解：过点P作PD⊥x轴于点D，连接PA、PC，
∵A（1，0），B（9，0）
∴AB=9﹣1=8，
∴由垂径定理可知：AD=AB=4，
∵⊙P与y轴相切于点C，
∴PC⊥y轴，
∴四边形CPDO是矩形，
∵点C（0，3），
∴PD=OC=3，
∴由勾股定理可知：PA=5，
∴PC=PA=OD=5，
∴P的坐标为（5，3）
∴k=5×3=15
故答案为：15
三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17．解方程：（x+1）（x+2）=2x+4．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】先把一元二次方程化右边变形为2（x+2），再移项使方程的右边变形为0，左边可以提取公因式即可分解因式，利用因式分解法解方程．
【解答】解：原方程可变为：（x+1）（x+2）=2（x+2）．
即（x+2）（x﹣1）=0，
解得：x=﹣2或1．
18．如图，圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，求这个圆锥的侧面积和表面积．
【考点】圆锥的计算．
【分析】应先利用勾股定理求得圆锥的母线长，圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相关数值代入即可求解；
圆锥的表面积=圆锥的侧面积+圆锥的底面积=圆锥的侧面积+π×底面半径2，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：∵圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，
∴圆锥的母线长为10cm，
∴S侧=π×6×10=60πcm2；
∵圆锥的底面积=π×62=36π，
∴S表=60π+36π=96πcm2．
19．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数y=（m＜0）图象的两个交点，求反比例函数的解析式，并根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】把B点坐标代入y=（m＜0），可得到m的值；再根据图象可得，在点A，B之间的一次函数图象在反比例函数图象的上方，据此可得当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数的值大于反比例函数的值．
【解答】解：把B（﹣1，2）代入y=（m＜0），得
m=﹣1×2=﹣2，
∴反比例函数解析式为y=﹣，
根据图象可得，在点A，B之间的一次函数图象在反比例函数图象的上方，
∵A（﹣4，），B（﹣1，2），
∴当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数的值大于反比例函数的值．
四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
20．己知，△ABC；
（1）求作：△ABC 的外接圆⊙O（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）若∠B=60°，AC=8，求⊙O的半径．
【考点】作图—复杂作图；三角形的外接圆与外心．
【分析】（1）利用三角形外接圆的作法得出圆心的位置进而得出即可；
（2）连接OA、OC，由圆周角定理得出∠AOC=120°，进一步由垂径定理得∠AOD=60°，AD=4，最后根据OA=可得答案．
【解答】解：（1）如图所示：⊙O即为所求；
（2）连接OA、OC，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=120°，
又∵OD⊥AC，且AD=CD，AC=8，
∴∠AOD=60°，AD=4，
则OA===，
即⊙O的半径为．
21．某校九年级举行毕业典礼，需要从九（1）班的2名男生1名女生、九（2）的1名男生1名女生共5人中选出2名主持人．
（1）用树状图或列表法列出所有可能情形；
（2）求2名主持人来自不同班级的概率；
（3）求2名主持人恰好1男1女的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由选出的是2名主持人来自不同班级的情况，然后由概率公式即可求得；
（3）由选出的是2名主持人恰好1男1女的情况，然后由概率公式即可求得．
【解答】解：（1）画树状图得：
共有20种等可能的结果，
（2）∵2名主持人来自不同班级的情况有12种，
∴2名主持人来自不同班级的概率为： =；
（3）∵2名主持人恰好1男1女的情况有12种，
∴2名主持人恰好1男1女的概率为： =．
22．某购物中心服装柜在销售中发现：“蓝猫“牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六•一“国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，最大限度扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．
（1）如果要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装因应降价多少元？（2）当降价多少元时，获得的利润最大？最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【分析】（1）设每件童装应降价x元，那么现在可售出（20+2x），利润每件为（40﹣x），然后利用盈利1200元就可以列出方程解决问题；
（2）设每件童装应降价x元，利用（1）的结果知道利润w=（40﹣x）（20+2x），此时w是
关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可求出最大盈利．
【解答】解：（1）设每件童装应降价x元，
根据题意得（40﹣x）（20+2x）=1200，
∴x1=10，x2=20，
根据题意，x1=10不合题意，应取x=20．
答：每件童装应降价20元；
（2）设每件童装降价x元，则可盈利：
w=（40﹣x）（20+2x）
=﹣2x2+60x+800
=﹣2（x﹣15）2+1250，
∵﹣2≤0，
∴当x=15时，盈利最大，最大盈利为1250元．
五、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
23．将一副直角三角板按图1的方式放置，三角板ACB的直角顶点A在三角板EDF的直角边DE上，点C、D、B、F在同一直线上，点D、B是CF的三等分点，CF=6．
（1）三角板ACB固定不动，将三角板EDF绕点D逆时针旋转，使DE与AC交于点M，DF与AB交于点N，当EF∥CB时（如图2），DF旋转的度数为30°；
（2）求图2中的四边形AMDN的周长；
（3）将图2中的三角板EDF绕点D继续逆时针旋转15°得图3，猜想图3中的四边形AMDN 是什么四边形，并证明你的猜想．
【考点】几何变换综合题．
【分析】（1）DF转过的角度是∠FDB，根据EF∥CB，就可以得到∠FDB=∠F，判断A是否在EF上，只要求出直角△DEF的斜边EF上的高就可以；
（2）根据三角形全等得出CM=AN，AM=BN，四边形的周长就是AB和AC的和．
（3）首先求出旋转的角度，然后可以进行判断．
【解答】解：（1）∵EF∥CB，
∴∠FDB=∠F=30°．
即DF旋转的度数是30°，
（2）如图2，∵∠CDM+∠ADE=90°，∠ADN+∠ADE=90°，
∴∠CDM=∠ADN，
在△CDM与△ADN中，
，
∴△CDM≌△ADN（ASA），
∴CM=AN，DM=DN，
同理可证：AM=BN，
∵点D、B是CF的三等分点，CF=6．
∴CD=BD=BF=2，
∴AD⊥BC，AD=CD=BD=2，
∵EF∥CB，
∴DA⊥EF，
∵∠F=30°，
∴DF=2AD=4，AF=2，
∵EF∥CB，
∴==，
∴DN=2﹣2，
∴AM+MD+DN+AN=AM+MC+2DN=AC+2DN=2+4﹣4，
∴四边形AMDN的周长为2+4﹣4．
（3）在图2的位置，将三角板EDF绕点D继续逆时针旋转15°，如图3，
∴∠FDB=45°，
∴∠FDB=∠C，
∴AC∥DF，
∵∠EDF=∠BAC=90°，
∴∠AMD=∠EDF=90°，∠AND=∠CAB=90°，
∵∠DAB=45°，
∴AN=DN，
∴四边形AMDN是正方形．
24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．
（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）
（2）求证：OD=OE；
（3）求证：PF是⊙O的切线．
【考点】切线的判定；弧长的计算．
【分析】（1）根据弧长计算公式l=进行计算即可；
（2）证明△POE≌△ADO可得DO=EO；
（3）连接AP，PC，证出PC为EF的中垂线，再利用△CEP∽△CAP找出角的关系求解．【解答】（1）解：∵AC=12，
∴CO=6，
∴==2π；
答：劣弧PC的长为：2π．
（2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，
∠PEA=90°，∠ADO=90°
在△ADO和△PEO中，
，
∴△POE≌△AOD（AAS），
∴OD=EO；
（3）证明：
法一：
如图，连接AP，PC，
∵OA=OP，
∴∠OAP=∠OPA，
由（2）得OD=EO，
∴∠ODE=∠OED，
又∵∠AOP=∠EOD，
∴∠OPA=∠ODE，
∴AP∥DF，
∵AC是直径，
∴∠APC=90°，
∴∠PQE=90°
∴PC⊥EF，
又∵DP∥BF，
∴∠ODE=∠EFC，
∵∠OED=∠CEF，
∴∠CEF=∠EFC，
∴CE=CF，
∴PC为EF的中垂线，
∴∠EPQ=∠QPF，
∵△CEP∽△CAP
∴∠EPQ=∠EAP，
∴∠QPF=∠EAP，
∴∠QPF=∠OPA，
∵∠OPA+∠OPC=90°，
∴∠QPF+∠OPC=90°，
∴OP⊥PF，
∴PF是⊙O的切线．
法二：
设⊙O的半径为r．
∵OD⊥AB，∠ABC=90°，
∴OD∥BF，∴△ODE∽△CFE
又∵OD=OE，∴FC=EC=r﹣OE=r﹣OD=r﹣BC ∴BF=BC+FC=r+BC
∵PD=r+OD=r+BC
∴PD=BF
又∵PD∥BF，且∠DBF=90°，
∴四边形DBFP是矩形
∴∠OPF=90°
OP⊥PF，
∴PF是⊙O的切线．
25．如图，抛物线y=x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，△ACD 为等边三角形，以DC为半径的⊙D与y轴的另一交点为E．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）求△CDE的面积；
（3）点P为抛物线对称轴l上一点，点Q为抛物线上一点．若以P、Q、D、B为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q的横坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）设y=0，则函数变为一元二次方程，解方程即可求出点A和点B的坐标；（2）连结AE，作DF⊥CE于点F．则CF=CE．在Rt△AOC中，利用勾股定理求出AC的长，进而得到AE，OE，CF的长，再根据三角形的面积公式计算即可；
（3）分两种情况考虑，Q在第一象限，以及第四象限，利用平行四边形的性质及坐标与图形性质求出Q坐标即可．
【解答】解：（1）当y=0时，，
整理得，x2﹣13x+36=0，
解得x1=4，x2=9，
∴A（4，0）、B（9，0）；
（2）连结AE，作DF⊥CE于点F．则CF=CE．
当x=0时，，
∴C（0，），
∴OC=．
∵OA=4，
在Rt△AOC中，AC=．
∵△ACD为等边三角形，
∴∠CDA=60°，
∴∠AEC=∠CDA=30°．
∴AE=2OA=8．
在Rt△AOE中，，
∴CE=OE﹣OC=．
∴CF=CE=．
在Rt△CDF中，．
∴．
（3）存在，
分两种情况考虑：
当Q在第一象限时，若四边形PQDB为平行四边形，
∵抛物线对称轴为直线x=6.5，
∴Q横坐标为10.5或2.5，
当Q在第四象限时Q的横坐标为7.5，
∴点Q的横坐标为10.5、7.5或2.5．
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