2020年【超级精练】中考数学：位似

位似
三只钟的故事
一只小钟被主人放在了两只旧钟当中，两只旧钟滴答、滴答的走着。

一只旧钟对小钟说：“来吧，你也该工作了。

可是我有点担心，你走完三千两百万次以后，恐怕会吃不消的。

”
“天哪！三千两百万次。

”小钟吃惊不已，“要我做这么大的事？办不到，办不到！”另一支旧钟说：“别听他胡说八道，不用害怕，你只要每秒滴答摆一下就行了。

”
“天下哪有这么简单的事情？”小钟将信将疑，“如果这样，我就试试吧。

”小钟很轻松地每秒滴答摆一下，不知不觉中，一年过去了，它摆了三千两百万次。

成功就是这样，把简单的事做到极致，就能成功。

1.如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．
2.把图1中的四边形ABCD 缩小到原来的
2
1．
3.如图,已知O 是坐标原点，B 、C 两点的坐标分别为(3，-1)、(2,1)． (1)以0点为位似中心在y 轴的左侧将△OBC 放大到两倍(即新 图与原图的相似比为2)，画出图形；
(2)分别写出B 、C 两点的对应点B′、C′的坐标；
(3)如果△OBC 内部一点M 的坐标为(x ，y),写出M 的对应点M′的坐标．
4如图，图中的小方格都是边长为1的正方形， △ABC 与△A′ B′ C′是关于点0为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心点0；
（2）求出△ABC 与△A′B′C′的位似比；
（3）以点0为位似中心，再画一个△A 1B 1C 1，使它与△ABC 的位似比等于1.5．
1.下列两个图形不是位似图形的是( )
2.如图27-36所示，按如下方法将△ABC 的三边缩小为原来的
2
1
，任取一点O ，连AO 、BO 、CO ，并取它们的中点D 、E 、F ，则下列说法： (1)△ABC 与△DEF 是位似形. (2)△ABC ∽△DEF.
(3)△ABC 与△DEF 周长的比为2∶1
(4)△ABC 与△DEF 面积的比为4∶1.其中正确的个数是( )
图27-36
A.1
B.2
C.3
D.4
3.在任意一个三角形内部，画一个小三角形，使其各边与原三角形各边平行，则它们的位似中心是( )
A.一定点
B.原三角形三边垂直平分线的交点
C.原三角形角平分线的交点
D.位置不定的一点 4.下列说法正确的个数是( )
①位似图形一定是相似图形; ②相似图形一定是位似图形;
③两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间;
④若五边形ABCDE 与五边形A ＇B ＇C ＇D ＇E ＇位似，则其中△ABC 与△A ＇B ＇C ＇也是位似的且相似比相等.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
5．如图，以某点为位似中心，将△AOB 进行位似变换得到△CDE ，记△AOB 与△CDE 对应边的比为k ，则位似中心的坐标和k 的值分别为( )
A ．(0，0)，2
B ．(2，2)，
2
1 C ．(2，2)，
2 D ．(2，2)，3
6.有一个正六边形，将其按比例缩小，使得缩小后的正六边形的面积为原正六边形面积的
3
1
，已知原正六边形一边为3，则后来正六边形的边长为( ) A.9 B.3 C.3 D.
3
3
2 7.四边形ABCD 和四边形A ＇B ＇C ＇D ＇是位似图形，O 为位似中心，若OA ∶OA ＇，=1∶2，那么AB ∶A ＇B ＇=________，S 四边形ABCD ∶S 四边形A ＇B ＇C ＇D ＇=________. 8.如图27-34所示，点O 是等边△PQR 的中心，P ，Q ＇，R ＇分别是OP 、OQ 、OR 的中点，则△P ＇Q ＇R ＇与△PQR 是________，点O 是_____，相似比是________.
图27-34 图27-35
9.如图27-35所示，矩形AOBC 与DOEF 是位似图形，且O 为位似中心，相似比为1∶2，若A(0，1)、B(2，0)，则F 点的坐标为________.
10.把△ABC 三点坐标A(0，1)、B(2，0)、C(3，2)分别乘以3得△A ＇B ＇C ＇，的坐标A ＇，(0，3)、B ＇(6，0)、C(9，6)，那么△ABC 与△A ＇B ＇C ＇是______图形，位似中心是_______，相似比为________
11.把△ABC 三点坐标A(0，1)、B(2，0)、C(3，2)分别乘以-3，得△A ＇B ＇C ＇，的坐标A ＇(0，-3)、B(-6，0)、C ＇(-9，-6)，那么△ABC 与△A ＇B ＇C ＇是_____图形，位似中心是_____，相似比为_____.
12．已知：如图，四边形ABCD 的顶点坐标分别为A (－4，2)，B (－2，－4)，C (6，－2)，D (2，4)．试以O 点为位似中心作四边形A 'B 'C 'D ′，使四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′的相似比为1∶2，并写出各对应顶点的坐标．
13.正方形ABCD各顶点的坐标分别为A(1，1)，B(-1，1)，C(-1，2)，D(1，2)，以坐标原
点为位似中心，将正方形ABCD放大，使放大后的正方形A＇B＇C＇D＇的边是正方形边的3倍.
(1)写出A＇B＇C＇D＇的坐标.
(2)直线AC与直线B＇D＇垂直吗?说明理由.
14．已知：如下图，是由一个等边△ABE和一个矩形BCDE拼成的一个图形，其B，C，D点的坐标分别为(1，2)，(1，1)，(3，1)．
(1)求E点和A点的坐标；
(2)试以点P(0，2)为位似中心，作出相似比为3的位似图形A1B1C1D1E1，并写出各对应点
的坐标；
(3)将图形A1B1C1D1E1向右平移4个单位长度后，再作关于x轴的对称图形，得到图形
A2B2C2D2E2，这时它的各顶点坐标分别是多少?
15．在已知三角形内求作内接正方形．
16．在已知半圆内求作内接正方形．
17.如图27-42所示，印刷一张矩形的张贴广告，它的印刷面积是32d m2，两边空白各0.5 dm，
上下空白各1 dm，设印刷部分从上到下长是xdm，四周空白的面积为Sdm2.
(1)求S与x的关系式.
(2)当要求四周空白处的面积为18 dm2时，求用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多
少?
(3)在(2)问的条件下，内外两个矩形是位似图形吗?为什么?
图27-42 .
18．如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′ 位似，位似比
12
k=，四边形A′B′C′D′
和四边形A″B″C″D″位似，位似比
21
k=．四边形A″B″C″D″和四边形ABCD是位似图形吗？位似比是多少？
19．如图，已知△ABC 中，AB =12，BC =8，AC =6，点D 、E 分别在AB 、AC 上，如果以A 、D 、E 为顶点的三角形和以A 、B 、C 为顶点的三角形相似，且相似比为
1
3
． （1）根据题意确定D 、E 的位置，画出简图； （2）求AD 、AE 和DE 的长．
20．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的ABC △是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点B 的坐标为（11--，）．
（1）把ABC △向左平移8格后得到111A B C △，画出111A B C △的图形并写出点1B 的坐标；
（2）把ABC △绕点C 按顺时针方向旋转90后得到22A B C △，画出22A B C △的图形并写出点2B 的坐标；
（3）把ABC △以点A 为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为1:2，画出
33AB C △的图形．
x
y
O A
B
C
位似参考答案
典题探究
1.解：图（1）、（2）和（4）三个图形中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是图（1）中的点A ，图（2）中的点P 和图（4）中的点O ．（图（3）中的点O 不是对应点连线的交点，故图（3）不是位似图形，图（5）也不是位似图形）
2.（1）在四边形ABCD 外任取一点O ； （2）过点O 分别作射线OA ，OB ，OC ，OD ；
（3）分别在射线OA ，OB ，OC ，OD 上取点A ′、B ′、C ′、D ′， 使得
2
1
OD D O OC C O OB B O OA A O ='='='='； （4）顺次连接A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′A ′，得到所要画的四边形A ′B ′C ′D ′，如图2． 3.（1）延长BO 到B′，使B′O=2BO，延长CO 到C′，使C′O=2CO，连结B′、C′.则△OB′C′即为△OBC 的位似图形（如图3）.
（2）观察可知B′(-6,2)，C′(-4,-2) （3）M′(-2x ．-2y).
图3
4.解：(1)连结A′A 并延长，连结C′C 并延长，A′A 的延长线与C′C 的延长线的交点，即为位似中心0. （2）因为
A OA 'O =2
1
，所以△ABC 与△A′B′C′的位似比 1:2 ； （3）如图4，所示,此时
2
3
111===OC OC OB OB OA OA .
图4
演练方阵
1.A
2.D
3.D
4.B 5．C ． 6.C
7. 1∶2 1∶4
8.位似图形 位似中心 1∶2 9. (22， 2)
10.位似 原点O 3 11.位似 原点O 3
12．A ＇(－2，1)，B ＇(－1，－2)，C ＇(3，－ 1)，D ＇(1，2)．
13.(1)A(3，3)、B(-3，3)、C(-3，6)、D(3， 6)或A(-3，-3)、B(3，-3)、C(3，-6)、D(-3，-6)； (2)垂直
14．(1));32,2(),2,3(+A E
(2)).332,6(1+A B 1(3，2)，C 1(3，－1)，D 1(9，－1)，E 1(9，2)； (3)),332,10(2--A B 2(7，－2)，C 2(7，1)，D 2(13，1)，E 2(13，－2)． 15．方法1：利用位似形的性质作图法(图16)
图16
作法：(1)在AB 上任取一点G ＇，作G ＇D ＇⊥BC ；
(2)以G ＇D ＇为边，在△ABC 内作一正方形D ＇E ＇F ＇G ＇； (3)连结BF ＇，延长交AC 于F ；
(4)作FG ∥CB ，交AB 于G ，从F ，G 各作BC 的垂线FE ，GD ，那么DEFG 就是所求作的内接正方形．
方法2：利用代数解析法作图(图17)
图17
(1)作AH (h )⊥BC (a )；
(2)求h ＋a ，a ，h 的比例第四项x ；
- 11 - (3)在AH 上取KH ＝x ；
(4)过K 作GF ∥BC ，交两边于G ，F ，从G ， F 各作BC 的垂线GD ，FE ，那么DEFG 就是所求的内接正方形．
16．提示：
正方形EFGH 即为所求．
17. (1)S=2x+2；(2)长10 dm,宽5 dm ；
(3)提示:说明满足位似图形的三个条件
18．是位似图形，位似比为12
． 19．（1）两种情况，图略；（2）第一种情况：AD =4，AE =2，DE =
83；第二种情况：AD =2，AE =4，DE=83
． 20．（1）画图略，点1B 的坐标为（9,1--）；
（2）画图略，点2B 的坐标为（5,5）；
（3）画图略．。