【华东师大版】九年级数学下期中试题(带答案)(1)

一、选择题
1．如图，已知△ABC 和△EDC 是以点C 为位似中心的位似图形，且△ABC 和△EDC 的周长之比为1：2，点C 的坐标为（﹣2，0），若点A 的坐标为（﹣4，3），则点E 的坐标为（ ）
A ．（52，﹣6）
B ．（4，﹣6）
C ．（2，﹣6）
D ．3
(,6)2
- 2．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，AD ：BD=5：3，CF=6，则DE 的长为（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12 3．如果两个相似三角形的对应高之比是1:2，那么它们的周长比是（ ）
A ．1:2
B ．1:4
C ．1:2
D ．2:1 4．如图，在ABCD 中，7AB =，3BC =，ABC ∠的平分线交CD 于点F ，交的延长线于点
E ，若2B
F =，则线段EF 的长为（ ）
A ．4
B ．3
C ．83
D ．74 5．如图，要使ABC ACD ∆∆，需补充的条件不能是（ ）
A ．ADC AC
B ∠=∠
B ．AB
C AC
D ∠=∠ C ．AD AC AC AB
= D ．AD BC AC DC ⋅=⋅ 6．如图，11AOB 与22A OB 位似，位似中心为O 且11AOB 与
22A OB 在原点O 的两侧，若11AOB 与
22A OB 的周长之比为1：2，点1A 的坐标为()1,2-，则点1A 的对应点2A 的坐标为（ ）
A ．()1,4-
B ．()2,4-
C ．()4,2-
D ．()2,1- 7．如图，正比例函数y ax =的图象与反比例函数k y x =
的图象相交于A ，B 两点，其中点A 的横坐标为2，则不等式k ax x
<的解集为（ ）
A ．2x <-或2x >
B ．2x <-或02x <<
C ．20x -<<或02x <<
D ．20x -<<或2x > 8．如图，直线1122y x =+与双曲线26y x
=交于()2A m ，、()6B n -，两点，则当12y y <时，x 的取值范围是()
A ．6x <-或2x >
B ．60x -<<或2x >
C ．6x <-或02x <<
D ．62x -<<
9．如图，函数k y x =与2(0)y kx k =-+≠在同一平面直角坐标系中的图像大致( ) A ． B ．
C ．
D ．
10．如图，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴的正半轴上，反比例函数k y x =
在第一象限内的图象经过点D ，交BC 于点E ．若4AB =，
2CE BE =，34
AD OA =，则线段BC 的长度为（ ）
A ．1
B ．32
C ．2
D ．2311．已知点()1,3M -在双曲线k y x =
上，则下列各点一定在该双曲线上的是（ ） A ．()3,1- B ．()1,3-- C ．()1,3 D ．()3,1 12．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点P (x ，y )，我们把的P '(1x
，1y )称为点P 的“倒影点”．直线y =﹣2x +1上有两点A 、B ，它们的倒影点A '、B '均在反比例函数
y k x =的图象上，若AB 5=，则k 的值为( )
A ．8
3- B ．43- C ．5 D ．10
二、填空题
13．如图，D E 、分别是ABC 的边AB BC 、上的点，且//,
DE AC AE CD 、相交于点O ，若:1:25DOE COA S S =△△，则BE CE
的值是________．
14．如图所示，在△ABC 中DE ∥BC ，若2EFB EFD S S ∆∆=，则 DE:BC=______．
15．如图，一个半径为2的圆P 与x 正半轴相切，过原点O 作圆P 的切线OT ，切点为T ，直线PT 分别交x y ，轴的正半轴于A B 、两点，且P 是线段AB 的三等分点，则圆心P 的坐标为__________．
16．如图，Rt △ABC 中，AC ＝5，BC ＝12，O 为BC 上一点，⊙O 分别与边AB 、AC 切于E 、
C，则⊙O半径是________．
17．如图，边长为1的正方形OABC中顶点B在一双曲线上，请在图中画出一条过点B的直线，使之与双曲线的另一支交于点D，且满足线段BD最短，则BD=________．
18．如图，点M是反比例函数
k
y
x
=（0
k>）的图像上一点，MP x
⊥轴，垂足为点
P，如果MOP
△的面积为7，那么k的值是___________．
19．如图，点A在曲线y＝3
x
(x＞0)上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，OA的垂直平分线
交OB、OA于点C、D，当AB＝1时，△ABC的周长为_____．
20．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点A在
反比例函数
221
a a
y
x
++
=的图象上.若点C的坐标为(2,2)
--，则a的值为_______．
三、解答题
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数122
y x =-的图象分别交x 、y 轴于点A 、B ，抛物线2y x bx c =++经过点A 、B ，点P 为第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）过点P 作//PM y 轴，分别交直线AB 、x 轴于点C 、D ，若以点P 、B 、C 为顶点的三角形与以点A 、C 、D 为顶点的三角形相似，求点P 的坐标．
（3）当2PBA OAB ∠=∠时，求点P 的坐标．
22．如图，在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在BC ，AB 上，且60ADE ∠=︒． 求证：ADC ∽DEB ．
23．如图，AB 是
O 的直径，C ，D 是O 上两点，且AD 平分CAB ∠，作DE AB
⊥于E ．
（1）求证：//AC OD ；
（2）求证：12OE AC =． 24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数()1y kx b k 0=+≠的图象与反比例函数()2m y m 0x
=≠ 的图象相交于第一、三象限内的()()A 3,5,B a,3-两点，与x 轴交于点C .
⑴求该反比例函数和一次函数的解析式；
⑵在y 轴上找一点P 使PB PC -最大，求PB PC -的最大值及点P 的坐标； ⑶直接写出当12y y >时，x 的取值范围.
25．如图，已知一次函数1332
y x =
-与反比例函数2k y x =的图象相交于点A (4，n )和M(m ，﹣6)，与x 轴相交于点B ．
（1）求m ，n 的值； （2）观察图象，当y 2≥﹣6且y 2≠0时，自变量x 的取值范围为 ，若y 1﹣y 2＜0时自变量x 的取值范围为 ；
（3）若P 点为x 轴上一点， Q 点为平面直角坐标系中的一点，以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形，求Q 点的坐标．
26．如图，已知一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x
=的图象交于点()3,A a ，点(142,2)B a -．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若一次函数图象与y 轴交于点C ，点D 为点C 关于原点O 的对称点，求ACD △的面积．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
先利用位似的性质得到△ABC 和△EDC 的位似比为1：2，然后利用平移的方法把位似中心平移到原点解决问题．
【详解】
∵△ABC 和△EDC 是以点C 为位似中心的位似图形，
而△ABC 和△EDC 的周长之比为1：2，
∴△ABC 和△EDC 的位似比为1：2，
把C 点向右平移2个单位到原点，则A 点向右平移2个单位的对应点的坐标为（-2，3）， 点（-2，3）以原点为位似中心的对应点的坐标为（4，-6），
把点（4，-6）向左平移2个单位得到（2，-6），
∴E 点坐标为（2，-6）．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．也考查了转化的思想．
2．C
解析：C
【分析】
根据DE ∥BC ，EF ∥AB ，判断出DE BF =，在根据DE ∥BC ，EF ∥AB ，便可以找到分的线段成比例。

AD AE DB EC =，CE CF CA CB
=，便可求解了． 【详解】 解：DE ∥BC ，EF ∥AB ∴ 四边形BFED 是平行四边形
DE BF ∴=
DE ∥BC AD ：BD=5：3
53AD AE DB EC ∴
== 38
CE CA ∴= 又EF ∥AB 38
CE CF CA CB ∴== 又
CF=6 16CB ∴=
10BF BC FC ∴=-=
即DE=10
故选C
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例，以及平行四边形的判定和性质，掌握这些基本知识是解此题的关键．
3．A
解析：A
【分析】
根据相似三角形对应高的比等于相似比，周长的比等于相似比解答．
【详解】
解：∵对应高之比是1：2，
∴相似比=1：2，
∴对应周长之比是1：2．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质，周长的比等于相似比．
4．C
解析：C
【分析】
平行四边形的对边相等且平行，利用平行四边形的性质以及平行线的基本性质求解．
【详解】
解：∵平行四边形ABCD
∴AD ∥CB ，AD=BC=4．
∴∠CBE=∠AEB
∵∠ABC 的平分线交AD 于点E
∴∠ABE=∠CBE
∴∠ABE=∠AEB
∴AE=AB=7
∴DE=AE-AD=7-3=4．
∵AD ∥CB ，
∴△DEF ∽△CBF ∴
EF DE BF BC
= ∴423
EF = 即83
EF = 故选：C ．
【点睛】 本题主要考查了平行四边形的性质和相似三角形的性质和判定，掌握相关知识是解题的关键．
5．D
解析：D
【分析】
要使两三角形相似，已知有一组公共角，则可以再添加一组角相等或添加该角的两边对应成比例．
【详解】
∵∠DAC=∠CAB
∴当∠ACD=∠ABC 或∠ADC=∠ACB 或AD ：AC=AC ：AB 时，△ABC ∽△ACD ．
故选：D
【点睛】
本题考查相似三角形的判定方法的开放性的题，相似三角形的判定方法：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．
6．B
解析：B
【分析】
根据位似变换的概念得到△A 1OB 1∽△A 2OB 2，△A 1OB 1与△A 2OB 2的相似比为1：2，根据位
似变换的性质计算，得到答案．
【详解】
解：∵△A 1OB 1与△A 2OB 2位似，
∴△A 1OB 1∽△A 2OB 2，
∵△A 1OB 1与△A 2OB 2的周长之比为1：2，
∴△A 1OB 1与△A 2OB 2的相似比为1：2，
∵A 1的坐标为（-1，2），△A 1OB 1与△A 2OB 2在原点O 的两侧，
∴点A 1的对应点A 2的坐标为（2，-4），
故选：B ．
【点睛】
本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．
7．B
解析：B
【分析】
先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B 点横坐标，再由函数图象可得k ax x <，求出x 的取值范围即可．
【详解】
∵正比例函数y ax =的图象与反比例函数k y x =
的图象相交于A ，B 两点， ∴A ，B 两点坐标关于原点对称，
∵点A 的横坐标为2，
∴B 点的横坐标为-2， ∵k ax x
<， ∴在第一和第三象限，正比例函数y ax =的图象在反比例函数k y x
=
的图象的下方， ∴2x <-或02x <<，
故选：B ．
【点睛】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是掌握正比例函数与反比例函数图象交点关于原点对称．
8．C
解析：C
【解析】
试题
根据图象可得当12y y <时，
x 的取值范围是：x <−6或0<x <2.
9．B
解析：B
【分析】
先根据反比例函数的图像，判断k 的符号，然后再判断一次函数的图像．
【详解】
A 中，反比例函数经过一、三象限，故k ＞0，则一次函数应经过一、二、四象限，错误；
B 中，反比例函数经过一、三象限，故k ＞0，则一次函数应经过一、二、四象限，正确；
C 中，反比例函数经过二、四象限，故k ＜0，则一次函数应经过一、二、三象限，错误；
D 中，反比例函数经过二、四象限，故k ＜0，则一次函数应经过一、二、三象限，错误； 故选：B ．
【点睛】
本题考查一次函数与反比例函数图像的性质，解题关键是通过函数的系数符号，判断函数图象经过的象限.
10．B
解析：B
【分析】
设OA 为4a ，则根据题干中的比例关系，可得AD=3a ，CE=2a ，BE=a ，从而得出点D 和点E 的坐标(用a 表示)，代入反比例函数可求得a 的值，进而得出BC 长.
【详解】
设OA=4a 根据
2CE BE =，34
AD OA =得：AD=3a ，CE=2a ，BE=a ∴D(4a ，3a)，E(4a+4，a)
将这两点代入解析得； 3444k a a k a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩
解得：a=12
∴BC=AD=
32 故选：B
【点睛】
本题考查反比例函数和矩形的性质，解题关键是用含有字母的式子表示出点D 、E 的坐标，然后代入解析式求解.
11．A
解析：A
先求出k=-3，再依次判断各点的横纵坐标乘积，等于-3即是在该双曲线上，否则不在.
【详解】
∵点()1,3M -在双曲线k y x
=
上， ∴133k =-⨯=-，
∵3(1)3⨯-=-，
∴点(3，-1)在该双曲线上，
∵(1)(3)13313-⨯-=⨯=⨯=，
∴点()1,3--、()1,3、()3,1均不在该双曲线上，
故选：A.
【点睛】
此题考查反比例函数解析式，正确计算k 值是解题的关键. 12．A
解析：A
【分析】
设点A （a ，-2a+1），B （b ，-2b+1）（a ＜b ），则A '(
1a ，112a -)，B '(1b ，112b -)，由
AB =b=a+1，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k 、a 、b 的方程组，解之即可得出k 值．
【详解】
设点A (a ，﹣2a +1)，B (b ，﹣2b +1)(a ＜b )，则A '(1a ，112a -)，B '(1b ，112b
-)．
∵AB
===(b ﹣a )=
∴b ﹣a =1，即b =a +1．
∵点A '，B '均在反比例函数y k x =
的图象上， ∴k 1a =•1112a b =-•112b
-， 解得：k 83=-
． 故选：A ．
【点睛】
此题考查反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及两点间的距离公式，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出关于k 、a 、b 的方程组是解题的关键．
二、填空题
13．【分析】先证明然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出的值继而可求的值最后可求的值【详解】解：又故答案是：【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键 解析：14
【分析】
先证明DOE COA ∽，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出DE AC 的值，继而可求
BE BC 的值，最后可求BE EC
的值． 【详解】 解：
//DE AC ，
DOE COA ∴∽， 又:1:25DOE COA S S =△△，
15
DE AC ∴=， //DE AC ，
BDE BAC ∴∽△△，
15
BE DE BC AC ∴==， 14
BE EC ∴=． 故答案是：14
． 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．
14．1:2【分析】由可得DF ：FB=1:2又由DE ∥BC 可得△DFE 和△BFC 相似确定DE:BC 【详解】解：设为1则为2∵∴DF ：FB=1:2又
∵DE ∥BC ∴△DFE ∽△BFC ∴DE:BC=DF:FB=
解析：1:2
【分析】
由2EFB EFD S S ∆∆=，可得DF ：FB=1:2，又由DE ∥BC ，可得△DFE 和△BFC 相似，确定DE:BC.
【详解】
解：设EFD S ∆为1，则EFB S ∆为2，
∵2EFB EFD S S ∆∆=，
∴DF ：FB=1:2，
又∵DE ∥BC ，
∴△DFE ∽△BFC ，
∴DE:BC=DF:FB=1：2
故答案为1:2
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键在于根据面积比确定边长的比. 15．或【分析】分两种情况①当AP=2BP 时当ＢP=2ＡP 时讨论解答即可【详解】解：P 是线段AB 的三等分点有两种情况：连接OP 过点P 作PC ⊥y 轴设OD=x 则CP=x①当AP=2BP 时∵PD ∥OB ∴∴AD=
解析：或2)
【分析】
分两种情况①当AP=2BP 时，当ＢP=2ＡP 时讨论解答即可．
【详解】
解：P 是线段AB 的三等分点，有两种情况：连接OP ，过点P 作PC ⊥y 轴，
设OD=x ，则CP=x ，
①当AP=2BP 时，
∵PD ∥OB ， ∴=2AP AD PB DO
=， ∴AD=2DO ，即AD=2x ，
在RT △ADP 中，==， ∵23
AP PD AB OB ==，PD=2， ∴OB=3， ∵1122
BOP S BO CP BP OT =⋅=⋅，
∴x ，
解得1x =2x =-舍去)，
∴P(
2)；
②当ＢP=2ＡP 时，
∵PD ∥OB ， ∴1=2
AP AD PB DO =， ∴AD=
12DO ，即AD=12
x ， 在RT △ADP 中，
AP=2222211()2424AD DP x x +=+=+，BP=216x +， ∵13
AP PD AB OB ==，PD=2， ∴OB=６，
∵1122
BOP S BO CP BP OT =⋅=⋅， ∴６x=216x +·x ，
解得125x =，225x =-(舍去)，
∴P(22，2)；
故答案为：P(22，2)或P(22，2)．
【点睛】
本题考查了切线的性质、平行线分线段成比例及勾股定理，解题的关键是分情况讨论． 16．【分析】连接EO 根据切线性质定理得OE ⊥AB 可得到△BEO ∽△BCA 根据相似三角形的性质可求出圆半径的长【详解】解：∵⊙O 分别与边ABAC 切于EC 连接OE 则OE ⊥ABBC ⊥AC ∴∠BEO=∠BCA 又
解析：103
【分析】
连接EO ，根据切线性质定理得OE ⊥AB ，可得到△BEO ∽△BCA ，根据相似三角形的性质，可求出圆半径的长．
【详解】
解：∵⊙O 分别与边AB 、AC 切于E 、C ，
连接OE ，则OE ⊥AB ，BC ⊥AC
∴∠BEO=∠BCA ，又∠B=∠B
∴△BEO ∽△BCA
∴=BO OE AB AC 又AC=5，BC=12，
∴AB=22AC BC =13，
设圆的半径为r ，
∴
12r r =135
－ ∴r=103 ∴圆的半径是
103 ， 故答案为：103
．
【点睛】
此题考查了切线的性质及相似三角形的判定与性质，解题关键在于熟练掌握切线性质定理及相似三角形的性质与判定定理．
17．2【分析】作直线OB 交双曲线另一支于点D 根据双曲线对称性得到BD 最短根据勾股定理和双曲线对称性即可求解【详解】解：如图作直线OB 交双曲线另一支于点D ∵双曲线关于直线y=x 及直线y=−x 对称∵四边形O
解析：2
【分析】
作直线OB ，交双曲线另一支于点D ，根据双曲线对称性得到BD 最短，根据勾股定理和双曲线对称性即可求解．
【详解】
解：如图，作直线OB ，交双曲线另一支于点D ，
∵双曲线关于直线y=x 及直线y=−x 对称，
∵四边形OABC 是正方形，
∴线段BD 在直线y=x 上，
∴易得∠BDD'>90∘
∴BD 最短．
在Rt △OBC 中，OB=222OC BC +=,
∴BD=22 ．
故答案为：22
【点睛】
本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，勾股定理等知识，熟知反比例函数图形的对称性是解题关键．
18．14【分析】根据点是反比例函数（）的图像上一点可得到M 点的坐标；轴垂足为点可知P 点横坐标等于M 点横坐标；再通过的面积建立等式即可计算得到答案【详解】∵是反比例函数（）的图像上一点设横坐标∴∵轴垂足为 解析：14
【分析】
根据点M 是反比例函数k y x
=
（0k >）的图像上一点，可得到M 点的坐标；MP x ⊥轴，垂足为点P ，可知P 点横坐标等于M 点横坐标；再通过MOP △的面积建立等式，即可计算得到答案．
【详解】 ∵M 是反比例函数k y x =
（0k >）的图像上一点 设M 横坐标x a =
∴,k M a a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
∵MP x ⊥轴，垂足为点P
∴P 点横坐标等于M 点横坐标 ∴(),0P a
∴=a OP ，k MP a
= 又∵MP x ⊥轴，垂足为点P
∴=90MPO ∠
∴MOP △为直角三角形
∴11222
k k S OP MP a a =⨯=⨯=△MOP ∵7S =△MOP ∴
=72
k ∴14k = 故答案为：14．
【点睛】
本题考察了反比例函数、直角坐标系、直角三角形的知识；求解的关键的熟练掌握反比例函数、直角三角形性质，结合直角坐标系，从而计算得到答案．
19．4【详解】∵点A 在曲线y=（x ＞0）上AB ⊥x 轴
AB=1∴AB×OB=3∴OB=3∵CD 垂直平分AO ∴OC=AC ∴△ABC 的周长
=AB+BC+AC=1+BC+OC=1+OB=1+3=4故答案为4【点
解析：4
【详解】
∵点A 在曲线y=
3x
（x ＞0）上，AB ⊥x 轴，AB=1， ∴AB×OB=3，
∴OB=3，
∵CD 垂直平分AO ，
∴OC=AC ，
∴△ABC 的周长=AB+BC+AC=1+BC+OC=1+OB=1+3=4，
故答案为4．
【点睛】
运用了线段垂直平分线的性质以及反比例函数的性质．解题时注意运用线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 20．1或-3【分析】由题意根据反比例函数中值的几何意义即函数图像上一点分别作关于xy 轴的垂线与原点所围成的矩形的面积为据此进行分析求解即可【详解】解：由题意图形分成如下几部分∵矩形的对角线为∴即∵根据矩 解析：1或-3
【分析】
由题意根据反比例函数中k 值的几何意义即函数图像上一点分别作关于x 、y 轴的垂线与原点所围成的矩形的面积为k ，据此进行分析求解即可.
【详解】
解：由题意图形分成如下几部分，
∵矩形ABCD 的对角线为BD ，
∴DCB ABD S S =，即164253S S S S S S ++=++，
∵根据矩形性质可知1234,S S S S ==，
∴56S S =，
∵2521S a a =++，点C 的坐标为()2,2--，
∴26214S a a =++=，解得a =1或-3.
故答案为：1或-3.
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
三、解答题
21．（1）2722y x x =
--；（2）3,52⎛⎫- ⎪⎝⎭或7,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）73,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【分析】
（1）本题所求二次函数的解析式含有两个待定字母，一般需要两个点的坐标建立方程组，现在可求A 、B 点坐标，代入列方程组可解答；
（2）根据∠ADC=90°，∠ACD=∠BCP ，可知相似存在两种情况：
①当∠CBP=90°时，如图1，过P 作PN ⊥y 轴于N ，证明△AOB ∽△BNP ，列比例式可得结论；②当∠CPB=90°时，如图2，则B 和P 是对称点，可得P 的纵坐标为-2，代入抛物线的解析式可得结论；
（3）设点A 关于y 轴的对称点为A′，求出直线A′B 的解析式，再联立抛物线的解析式解答即可．
【详解】
解：（1）令0x =，得1222y x =
-=-，则()0,2B -， 令0y =，得1022x =
-，解得4x =， 则()4,0A ，
把()4,0A ，()0,2B -代入()20y ax bx c a =++≠中，
得
1640
2
b c
c
++=
⎧
⎨
=-
⎩
，
解得
7
2
2
b
c
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，
∴抛物线的解析式为：2
7
2
2
y x x
=--．
（2）∵//
PM y轴，
∴90
ADC
∠=︒，
∵ACD BCP
∠=∠，
∴以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，存在两种情况：
①当90
CBP
∠=︒时，如图，过P作PN y
⊥轴于N，
∵90
ABO PBN ABO OAB
∠+∠=∠+∠=︒，
∴PBN OAB
∠=∠，
∵90
AOB BNP
∠=∠=︒，
∴Rt PBN Rt BAO
△△，
∴
PN BN
BO AO
=．
设2
7
,2
2
P x x x
⎛⎫
--
⎪
⎝⎭
．
∴
2
7
22
2
24
x x
x
⎛⎫
----
⎪
⎝⎭
=
，化简得2
3
2
x x
-=．
解得0
x=（舍去）或
3
2
x=．
当
3
2
x=时，
2
2
7373
225
2222
y x x⎛⎫
=--=-⨯-=-
⎪
⎝⎭
．
∴
3
,5
2
P
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
；
②当90CPB ∠=︒时，如下图，则//PB x 轴，所以B 和P 是对称点，
所以当2y =-时，27222
x x --=-，解得0x =（舍去）或72x =． ∴7,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
． 综上，点P 的坐标是3
,52⎛⎫- ⎪⎝⎭或7,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
．
（3）设点A 关于y 轴的对称点为'A ，则'A B AB =．
∴'BAO B AO ∠=∠．
直线'A B 交抛物线于P ．
∴'2PBA BAO BA O BAO ∠=∠+∠=∠．
∵()4,0A ，
∴()'4,0A -．
设直线'A B 的解析式为()0y kx b k =+≠．
∵()0,2B -．
∴4002k b k b -+=⎧⎨⋅+=-⎩
． 解得122
k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩．
∴直线'A B 的解析式为122
y x =--， 由方程组2122722y x y x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
，得230x x -=． 解得0x =（舍去）或3x =．
当3x =时，117232222
y x =--=-⨯-=-． 所以点P 的坐标是73,2⎛⎫-
⎪⎝
⎭． 【点睛】 此题是二次函数的综合题，是中考的压轴题，难度较大，计算量也大，主要考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，相似三角形的性质与判定，并学会构造相似三角形解决问题．
22．见解析
【分析】
根据ABC 是等边三角形，即可得到60B C ∠=∠=︒，再根据 CAD BDE ∠=∠，即可判定~ADC DEB △△．
【详解】
证明：∵ABC 是等边三角形，
∴60B C ∠=∠=︒， ∴60ADB CAD C CAD ∠=∠+∠=∠+︒，
∵60ADE ∠=︒，
∴60ADB BDE ∠=∠+︒，
∴CAD BDE ∠=∠，
∴ADC DEB △△． 【点睛】
本题考察了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握三角形相似的判定条件． 23．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）先根据圆的性质、等腰三角形的性质可得OAD ODA ∠=∠，再根据角平分线的性质可得OAD CAD ∠=∠，从而可得ODA CAD ∠=∠，然后根据平行线的判定即可得证； （2）如图（见解析），先根据圆周角定理可得90ACB ∠=︒，再根据垂直的定义可得90OED ∠=︒，然后根据平行线的性质可得DOE BAC ∠=∠，最后根据相似三角形的判定与性质即可得证．
【详解】
（1）12
OA OD AB ==， OAD ODA ∠=∠∴， AD 平分CAB ∠，
OAD CAD ∴∠=∠，
ODA CAD ∴∠=∠，
//AC OD ∴；
（2）如图，连接BC ，
由圆周角定理得：90ACB ∠=︒，
DE AB ∵⊥，
90OED ∴∠=︒，
由（1）已证：//AC OD ，
DOE BAC ∴∠=∠，
在DOE △和BAC 中，90OED ACB DOE BAC ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩
， DOE BAC ∴~， 12OE OD AC AB ∴==， 12OE AC ∴=．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键． 24．⑴15y x
=，2y x =+；⑵PB PC -的最大值为32()P 0,2 ；⑶5x 0-<<或3x >.
【分析】
（1）利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据一次函数y 1=x+2，求得与y 轴的交点P ，此交点即为所求；
（3）根据AB 两点的横坐标及直线与双曲线的位置关系求x 的取值范围．
【详解】
⑴.∵()A 3,5在反比例函数()2m y m 0x =
≠上 ∴m 3515=⨯=
∴反比例函数的解析式为15y x =
把()B a,3-代入15y x
=
可求得()a 1535=÷-=- ∴()B 5,3--.
把()()A 3,5,B 5,3--代入y kx b =+为3553k b k b +=⎧⎨-+=-⎩ 解得12k b =⎧⎨=⎩
. ∴一次函数的解析式为2y x =+.
⑵PB PC -的最大值就是直线AB 与两坐标轴交点间的距离.
设直线2y x =+与y 轴的交点为P .
令0y =，则20x +=，解得2x =- ，∴()C 2,0-
令0x =，则y 022=+=，，∴()P 0,2 ∴22PB 5552=+=,22PB 2222=+=
∴PB PC -的最大值为522232-= .
⑶根据图象的位置和图象交点的坐标可知：
当12y y >时x 的取值范围为;5x 0-<<或3x >.
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据点的坐标求线段长，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．
25．（1）m =－2，n=3 ；（2）x ≤﹣2或x ＞0；0＜x ＜4或x ＜﹣2； （3）点Q 的坐标为（413，3）或（4133）或（
34，3）或（4，﹣3） 【分析】
（1）把点A 、B 的坐标代入直线的解析式求解即可；
（2）满足条件y 2≥﹣6且y 2≠0时的x 的取值范围即为反比例函数2k y x
=在直线y =﹣6与x 轴之间的图象与第一象限内的图象对应的x 的范围，满足y 1﹣y 2＜0时自变量x 的取值范围即为反比例函数比直线高的图象部分对应的x 的取值范围，据此解答即可；
（3）先求出点B 的坐标，再分三种情况：①AB 、BP 为菱形的边，如图1；②AB 为菱形的对角线，如图2；③AB 为边、BP 为对角线，如图3；分别利用菱形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）把点A (4，n )和M (m , ﹣6)代入一次函数1332
y x =-，
得：34332n =⨯-=，3632m -=-， ∴2m =-，3n =； （2）对2k y x
=
，当y 2≥﹣6且y 2≠0时，自变量x 的取值范围为x ≤﹣2或x ＞0； 若y 1﹣y 2＜0即y 1＜y 2时自变量x 的取值范围为0＜x ＜4或x ＜﹣2； （3）对1332
y x =-，可得点B 的坐标为（2，0）， ①若AB 、BP 为菱形的边，则()()22423013AB =-+-=，
若点P 在点B 右侧，如图1，则BP=AQ=AB=13，
所以点Q 的坐标为（413+，3）；
若点P 在点B 左侧，同理可得点Q 的坐标为（413-，3）；
②若AB 为菱形的对角线，如图2，设点Q 坐标为（n ，3），则BQ=AQ=4－n ， 过点Q 作QF ⊥x 轴于点F ，则BF=2－n ，QF=3，
在Rt △BQF 中，根据勾股定理，得()()222324n n +-=-，解得34n =
， ∴点Q 的坐标为（34
，3）；
③若AB 为边、BP 为对角线，如图3，由菱形的性质知：点Q 、A 关于x 轴对称， ∴点Q 的坐标为（4，﹣3）；
综上，点Q 的坐标为（413，3）或（413+，3）或（
34
，3）或（4，﹣3）． 【点睛】 本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象与性质、菱形的性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握相关知识、灵活应用数形结合的思想是解题的关键． 26．（1）12y x =
；（2）18 【分析】
（1）根据点A 、B 都在反比例函数图象上，得到关于a 的方程，求出a ，即可求出反比例函数解析式；
（2）根据点A 、B 都在一次函数y kx b =+的图象上，运用待定系数法求出直线解析式，进而求出点C 坐标，求出CD 长，即可求出ACD △的面积．
【详解】
解：（1）∵点()3,A a ，点(142,2)B a -在反比例函数m y x =
的图象上， ∴3(142)2a a ⨯=-⨯．
解得4a =．
∴3412m =⨯=．
∴反比例函数的表达式是12y x
=
． （2）∵4a =，
∴点A ，点B 的坐标分别是(3,4),(6,2)．
∵点A ，点B 在一次函数y kx b =+的图象上， ∴43,26.k b k b =+⎧⎨=+⎩
解得2,36.
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩
∴一次函数的表达式是263
y x =-
+． 当0x =时，6y =．
∴点C 的坐标是()0,6．
∴6OC =． ∵点D 是点C 关于原点O 的对称点，
∴2CD OC =．
作AE y ⊥轴于点E ，
∴3AE =．
12
ACD S CD AE =⋅ CO AE =⋅
63=⨯
18=
【点睛】
本题为一次函数与反比例函数综合题，难度不大，解题关键是根据点A 、B 都在反比例函数图象上，得到关键a 的方程，求出a ，得到点A 、B 坐标．。