浙教版数学九年级上册第4章 相似三角形达标测试卷(含答案)

第4章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．若m ＋n n ＝52，则mn 等于( )A ．52B ．23C ．25D ．322．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为( )A ．1：4B ．1：2C ．2：1D ．4：13．如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a ，b 与l 1，l 2，l 3分别相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .若AB ＝3，DE ＝2，BC ＝6，则EF ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB ＝8，A ′B ′＝6，则BCB ′C ′＝( )A ．2B ．43C ．3D ．1695．如图，以点O 为位似中心，把△ABC 放大为原图形的2倍得到△A ′B ′C ′，以下说法中错误的是( )A ．△ABC ∽△A ′B ′C ′ B ．点C 、点O 、点C ′在同一直线上 C ．AO ：AA ′＝1：2D ．AB ∥A ′B ′6．如图，为估算某河的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上，若测得BE ＝20 m ，CE ＝10 m ，CD ＝20 m ，则河的宽度AB 等于( )A ．60 mB ．40 mC ．30 mD ．20 m7．如图，小正方形的边长均为1，则下列选项中的三角形与△ABC 相似的是( )8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，点E 是AD 的中点，CF ⊥BE 于点F ，则CF 等于( ) A ．2 B ．2.4 C ．2.5 D ．2.259．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝18，BC ＝12，正方形DEFG 的顶点E ，F 在△ABC内，顶点D ，G 分别在AB ，AC 上，AD ＝AG ，DG ＝6，则点F 到BC 的距离为( )A ．1B ．2C ．122－6D ．62－610．如图，在钝角三角形ABC 中，分别以AB 和AC 为斜边向△ABC 的外侧作等腰直角三角形ABE 和等腰直角三角形ACF ，EM 平分 ∠AEB 交AB 于点M ，取BC 的中点D ，AC 的中点N ，连结DN ，DE ，DF .下列结论：①EM ＝DN ；②S △CND ＝13S 四边形ABDN ；③DE ＝DF ；④DE ⊥DF .其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二、填空题(每题3分，共24分) 11．已知b a ＝713，则a a ＋b＝________.12．如图，在△ABC 中，若DE ∥BC ，AD ＝2，BD ＝4，DE ＝1.5，则BC 的长为__________．13．如图，已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且BC >AC .若S 1表示以BC 为边的正方形的面积，S 2表示长为AD (AD ＝AB )、宽为AC 的矩形的面积，则S 1与S 2的大小关系为________．14．如图，在平面直角坐标系中，有点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，位似比为13，在第一象限内把线段AB缩小后得到CD，则点C的坐标为________．15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，在△ACD中，∠ACD＝90°，∠D＝30°，则BEEC的值是________．16．如图，身高为1.7 m的小明AB站在河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD在水中的倒影为C′D，A，E，C′在一条直线上．已知河BD的宽度为12 m，BE＝3 m，则树CD的高度为________．17．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP 相似，则BM的长为________．18．如图，正三角形ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正三角形AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1，再以正三角形AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正三角形AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2……以此类推，则S n＝____________.(用含n的式子表示)三、解答题(19，21题每题8分，24题14分，其余每题12分，共66分) 19．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，试求出x及α的大小．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－2，1)，C(－5，2)．(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘－2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2；(3)求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比．(不写解答过程，直接写出结果)21．如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，分别延长FD和CB交于点G.(1)求证：△ADE≌△CFE；(2)若GB＝2，BC＝4，BD＝1，求AB的长．22．如图，一条河的两岸BC与DE互相平行，两岸各有一排景观灯(图中黑点代表景观灯)，每排相邻两个景观灯的间隔都是10 m，在与河岸DE的距离为16 m的A处(AD⊥DE)看对岸BC，看到对岸BC上的两个景观灯的灯杆恰好被河岸DE上两个景观灯的灯杆遮住．河岸DE上的这两个景观灯之间有1个景观灯，河岸BC上被遮住的两个景观灯之间有4个景观灯，求这条河的宽度．23．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝24，BC＝12，点E沿BC边从点B开始向点C以每秒2个单位长度的速度运动；点F沿CD边从点C开始向点D 以每秒4个单位长度的速度运动．如果E，F同时出发，用t(0≤t≤6)秒表示运动的时间．请解答下列问题：(1)当t为何值时，△CEF是等腰直角三角形？(2)当t为何值时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似？24．如图，E，F分别是正方形ABCD的边DC，CB上的点，且DE＝CF，以AE 为边作正方形AEHG，HE与BC交于点Q，连结DF.(1)求证：△ADE≌△DCF.(2)若E是CD的中点，求证：Q为CF的中点．(3)连结AQ，设S△CEQ＝S1，S△AED＝S2，S△EAQ＝S3，在(2)的条件下，判断S1＋S2＝S3是否成立？并说明理由．答案一、1．D2．B3．C4．B5．C 6．B点拨：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABC＝∠DCE＝90°.又∵∠AEB＝∠DEC，∴△ABE∽△DCE.∴ABDC＝BECE，即AB20＝2010.∴AB＝40 m.7．A8．B9．D点拨：如图，过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC 于点H.∵AB＝AC，AD＝AG，∴AD∶AB＝AG∶AC.又∵∠BAC＝∠DAG，∴△ADG∽△ABC.∴∠ADG＝∠B.∴DG∥BC.∴AN⊥DG.∵四边形DEFG是正方形，∴FG⊥DG.∴FH⊥BC.∵AB＝AC＝18，BC＝12，∴BM＝12BC＝6.∴AM＝AB2－BM2＝12 2.∵ANAM＝DGBC，即AN122＝612，∴AN＝6 2.∴MN＝AM－AN＝6 2. 易得四边形GHMN为矩形，∴GH＝MN＝6 2.∴FH＝GH－GF＝6 2－6.故选D.10．D 点拨：∵△ABE 是等腰直角三角形，EM 平分∠AEB ，∴EM 是AB 边上的中线．∴EM ＝12AB .∵点D ，点N 分别是BC ，AC 的中点，∴DN 是△ABC 的中位线．∴DN ＝12AB ，DN ∥AB .∴EM ＝DN .①正确． ∵DN ∥AB ，∴△CDN ∽△CBA . ∴S △CND S △CAB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DN AB 2＝14. ∴S △CND ＝13S 四边形ABDN .②正确．如图，连结DM ，FN ，则DM 是△ABC 的中位线，∴DM ＝12AC ，DM ∥AC . ∴四边形AMDN 是平行四边形． ∴∠AMD ＝∠AND .易知∠ANF ＝90°，∠AME ＝90°， ∴∠EMD ＝∠DNF . ∵FN 是AC 边上的中线， ∴FN ＝12AC .∴DM ＝FN . 又∵EM ＝DN ， ∴△DEM ≌△FDN .∴DE ＝DF ，∠FDN ＝∠DEM .③正确． ∵∠MDN ＋∠AMD ＝180°，∴∠EDF ＝∠MDN －(∠EDM ＋∠FDN )＝180°－∠AMD －(∠EDM ＋∠DEM )＝180°－(∠AMD ＋∠EDM ＋∠DEM )＝180°－(180°－∠AME )＝180°－(180°－90°)＝90°.∴DE ⊥DF .④正确．故选D . 二、11．1320 点拨：∵b a ＝713，∴设a ＝13x ，b ＝7x ， 则a a ＋b ＝13x 13x ＋7x＝1320.12．4.5 13．S1＝S2 14．(2，1)15.3 316．5.1 m17．163或318.32×⎝⎛⎭⎪⎫34n点拨：在正三角形ABC中，AB1⊥BC，∴BB1＝12BC＝1.在Rt△ABB1中，AB1＝AB2－BB21＝22－12＝3，根据题意可得△AB2B1∽△AB1B，记△AB1B的面积为S，∴S1S＝⎝⎛⎭⎪⎫322.∴S1＝34S.同理可得S2＝34S1，S3＝34S2，S4＝34S3，….又∵S＝12×1×3＝32，∴S1＝34S＝32×34，S2＝34S1＝32×⎝⎛⎭⎪⎫342，S3＝34S2＝32×⎝⎛⎭⎪⎫343，S4＝34S3＝32×⎝⎛⎭⎪⎫344，…，S n＝32×⎝⎛⎭⎪⎫34n.三、19．解：因为四边形ABCD∽四边形EFGH，所以∠H＝∠D＝95°，则α＝360°－95°－118°－67°＝80°.再由x∶7＝12∶6，解得x＝14.20．解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．(2)如图，△A2B2C2即为所求．(3)S△A1B1C1∶S△A2B2C2＝1∶4.21．(1)证明：∵AB∥FC，∴∠A＝∠ECF.又∵∠AED＝∠CEF，且DE＝FE，∴△ADE≌△CFE.(2)解：方法一：∵AB∥FC，∴△GBD∽△GCF.∴GBGC＝BDCF.∴22＋4＝1CF.∴CF＝3.由(1)得△ADE≌△CFE，∴AD＝CF＝3，∴AB＝AD＋BD＝3＋1＝4.方法二：如图，取BC的中点H，连结EH.∵△ADE≌△CFE，∴AE＝CE.∴EH是△ABC的中位线．∴EH∥AB，且EH＝12AB.∴△GBD∽△GHE.∴DBEH＝GBGH.∴1EH＝22＋2.∴EH＝2.∴AB＝2EH＝4.22．解：由题意可得DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC .所以AD AB ＝DE BC ，即AD AD ＋DB＝DE BC . 因为AD ＝16 m ，BC ＝50 m ，DE ＝20 m ，所以1616＋DB＝2050. 所以DB ＝24 m.所以这条河的宽度为24 m.23．解：(1)由题意可知BE ＝2t ，CF ＝4t ，CE ＝12－2t .因为△CEF 是等腰直角三角形，∠ECF 是直角，所以CE ＝CF . 所以12－2t ＝4t ，解得t ＝2.所以当t ＝2时，△CEF 是等腰直角三角形．(2)根据题意，可分为两种情况：①若△EFC ∽△ACD ，则EC AD ＝FC CD ，所以12－2t 12＝4t 24，解得t ＝3，即当t ＝3时，△EFC ∽△ACD .②若△FEC ∽△ACD ，则FC AD ＝EC CD ，所以4t 12＝12－2t 24，解得t ＝1.2，即当t ＝1.2时，△FEC ∽△ACD .因此，当t 为3或1.2时，以点E ，C ，F 为顶点的三角形与△ACD 相似．24．(1)证明：因为AD ＝DC ，∠ADE ＝∠DCF ＝90°，DE ＝CF ，所以△ADE ≌△DCF .(2)证明：因为四边形AEHG 是正方形，所以∠AEH ＝90°.所以∠QEC ＋∠AED ＝90°.又因为∠AED ＋∠EAD ＝90°，所以∠QEC ＝∠EAD .因为∠C ＝∠ADE ＝90°，所以△ECQ ∽△ADE .所以CQ DE ＝EC AD .因为E 是CD 的中点，所以EC ＝DE ＝12CD ＝12AD .所以EC AD ＝12.因为DE ＝CF ，所以CQ DE ＝CQ CF ＝12.即Q 是CF 的中点．(3)解：S 1＋S 2＝S 3成立．理由如下：因为△ECQ ∽△ADE ，所以CQ DE ＝QE AE .所以CQ CE ＝QE AE .因为∠C ＝∠AEQ ＝90°，所以△ECQ ∽△AEQ .所以△AEQ ∽△ECQ ∽△ADE .所以S 1S 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫EQ AQ 2，S 2S 3＝⎝⎛⎭⎪⎫AE AQ 2. 所以S 1S 3＋S 2S 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫EQ AQ 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AE AQ 2＝EQ 2＋AE 2AQ 2. 在Rt △AEQ 中，由勾股定理，得EQ 2＋AE 2＝AQ 2，所以S 1S 3＋S 2S 3＝1，即S 1＋S 2＝S 3.。