苏教版必修四第二章 平面向量 第四讲 向量的数量积 (习题+解析)

苏教版必修四第二章平面向量第四讲向量的数量积（习题+解析）
***9. 已知a ＝（3，－1），b ＝（21，2
3
），且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋（t 2－3）b ，y ＝－ka ＋tb ，且x ⊥y ，试求t t k 2
+的最小值。

1. ①②④ 解析：①错，因为不存在这样的运算，向量间只能作加、减、乘运算，此题应分子、分母先分开算；②错，因为（a ·b ）2＝（|a |·|b |cos θ）2＝a 2·b 2cos 2θ不一定与a 2·b 2相等；④错，因为a 与c 方向未必一致。

2. －31 解析：由|a |＝|a ＋2b |，两边平方，得|a |2＝（a ＋2b ）2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ，所以a ·b ＝－|b |2
，又|a |＝3|b |，所以cos 〈a ，b b
a b a 2
3b
b -＝－3
1。

3. 5 解析：∵∠ABO ＝90°，∴AB ⊥OB ，∴OB ·AB ＝0,
又AB ＝OB －OA ＝（2,2）－（－1，t ）＝（3,2－t ），
∴（2,2）·（3,2－t ）＝6＋2（2－t ）＝0， ∴t ＝5。

4. －41 解析：选CA ，CB 为基底，则AD ＝－CA
＋2
1CB ， 5. 32π 解析：设c ＝（x ，y ），则（a ＋b ）·c ＝（－1，－2）·（x ，y ）＝－x －2y ＝25，∴x ＋2y ＝－2
5，又|a |＝|c |＝5，且a ·c ＝x ＋2y ＝|a ||c |·cos
α，故cos α＝－21，α∈[0，π]，α＝3
2
π。

6. （3,0） 解析：设点P 坐标为（x,0），则AP ＝（x －2，－2），BP ＝（x －4，－1），AP ·BP ＝（x －2）（x －4）＋（－2）×（－1）＝x 2－6x ＋10＝（x －3）2＋1，当x ＝3时，AP ·BP 有最小值1，
∴点P 的坐标为（3,0）。

7. 解：∵（ka －b ）⊥（a ＋2b ）， ∴（ka －b ）·（a ＋2b ）＝0，ka 2＋（2k －1）a ·b －2b 2＝0，k ×52＋（2k －1）×5×4×cos 60°－2×42＝0，
∴k ＝1514，即k ＝1514
时，向量ka －b 与向量a ＋2b 垂直。

8. 解：因为向量a ＋λb 与a ＋b 的夹角为锐角，所以（a ＋λb ）·（a ＋b ）＝a 2＋（1＋λ）a ·b ＋λb 2＝12λ＋5＞0，
由此解得λ＞－125
，若向量a ＋λb 与a ＋b 同向，则存在唯一的正数k ，使得a ＋λb ＝k （a ＋b ）成立，有k ＝λ＝1，
要保证向量a ＋λb 与a ＋b 不同向，则必须λ≠1.
综上所述，当λ＞－125
且λ≠1时，向量a ＋λb 与a ＋b 的夹角为锐角。

9. 解：∵a ＝（3，－1），b ＝（2
1，2
3
），
∴|a |＝
2
2)1()3(-+＝2，
|b |＝
22)2
3()21(+＝1，
又∵a ·b ＝3×21＋（－1）×2
3
＝0，∴a ⊥b ， 由x ⊥y 得[a ＋（t 2－3）b ]·（－ka ＋tb ）＝0， 即－ka 2＋（t 3－3t ）b 2＋（t －kt 2＋3k ）a ·b ＝0，
∴－k |a |2＋（t 3－3t ）|b |2＝0.
将|a |＝2，|b |＝1代入上式，得－4k ＋t 3－3t ＝0，
解得k ＝4
33
t
t -， ∴
t t k 2
+＝41 （t 2＋4t －3）＝41 （t ＋2）2
－4
7， 故当t ＝－2时，
t
t k 2
+取得最小值，为－4
7。