椭圆6
第15讲 椭圆中6大最值问题题型总结(解析版)
第15讲 椭圆中6大最值问题题型总结【题型目录】题型一：利用均值不等式求最值题型二：利用焦半径范围求最值题型三：椭圆上一点到定点距离最值问题题型四：椭圆上一点到直线距离最值问题题型五：椭圆有关向量积最值问题题型六：声东击西，利用椭圆定义求最值【典型例题】题型一：利用均值不等式求最值【例1】已知，是椭圆的两个焦点，点M 在C 上，则1F 2F 22:12516x y C +=12MF MF ⋅的最大值为（ ）．A ．13B ．12C ．25D ．16【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆定义可得，利用基本不等式可得结果.1210MF MF +=【详解】由椭圆方程知：；根据椭圆定义知：，5a =12210MF MF a +==（当且仅当时取等号），21212252MF MF MF MF ⎛+⎫∴⋅≤= ⎪⎝⎭12MF MF =的最大值为.12MF MF ∴⋅25故选：C.【例2】（2022·安徽·高二阶段练习）已知椭圆C ：221169x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是椭圆C 上的动点，1m PF =，2n PF =，则14m n +的最小值为（ ）A ．98B ．54C D 【答案】A 【解析】【分析】由椭圆的定义可得8m n +=；利用基本不等式，若0a b >， ，则a b +≥，当且仅当a b =时取等号.【详解】根据椭圆的定义可知，1228a PF PF +==，即8m n +=，因为40m ≥>，40n ≥>，所以()141141419558888n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当83m =，163n =时等号成立.故选：A【题型专练】1.（2022·河南·辉县市第一高级中学高二期末（文））设P 是椭圆22194x y +=上一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则12cos F PF ∠的最小值是（ ）A ．19-B ．1-C ．19D ．12【答案】A 【解析】【分析】利用椭圆的定义以及基本不等式可求得12cos F PF ∠的最小值.【详解】在椭圆22194x y +=中，3a =，2b =，c ==，由椭圆定义可得1226PF PF a +==，122F F c ==，由余弦定理可得()2222212121212121212122cos 22PF PF F F PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF +--⋅+-∠==⋅⋅22121262016161111218922PF PF PF PF -=-≥-=-=-⋅⎛+⎫⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当123PF PF ==时，等号成立，因此，12cos F PF ∠的最小值为19-.故选：A.2．（2022·全国·高二课时练习）已知 P ( m ， n ) 是椭圆上的一个动点，则22+=112x y 22m n+的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．(]0,1[]1,2(]0,2[)2,+∞3.（2022·全国·高三专题练习）已知点P 在椭圆上，22221(0)y x a b a b +=>>12F F 、为椭圆的两个焦点，求的取值范围．12||||F P P F ⋅【答案】.22,b a ⎡⎤⎣⎦题型二：利用焦半径范围求最值【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C ：（）的右焦点，点22221x y a b +=0a b >>(),0F c (),P x y 是椭圆C 上的一个动点．求证：．a c PF a c-≤≤+【例2】（2021·山西吕梁·一模（理））已知为椭圆的左焦点，P 为椭圆上一点，则F 22143x y +=PF 的取值范围为_________．【答案】[1,3]【分析】设出点P 的坐标，由两点间的距离公式求出||PF ，进而根据点在椭圆上将式子化简，最后求出范围.【例3】（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二开学考试（文））已知椭圆，点，22142x y +=()0,1A P为椭圆上一动点，则的最大值为____.PA【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知点是椭圆+=1上的动点（点不在坐标轴上），P 24x 2y P 为椭圆的左，右焦点，为坐标原点；若是的角平分线上的一点，且丄12F F 、O M 12F PF ∠1F M MP，则丨丨的取值范围为（ ）OMA ．（0B ．（0，2）C ．（l ，2）D 2）【题型专练】1.平面内有一长度为4的线段，动点P 满足，则的取值范围是（ ）AB ||||6PA PB +=||PA A ．B ．C ．D ．[1,5][1,6][2,5][2,6]【答案】A【解析】由题可得动点在以为焦点，长轴长为6的椭圆上，P ,A B ，3,2a c ∴==则可得的最小值为，最大值为，||PA 1a c -=5a c +=的取值范围是.∴||PA [1,5]故选：A.2.已知动点在椭圆上，若点的坐标为，点满足，且，则P 2214940x y +=A (30)，M ||1AM = 0PM AM ⋅= 的最小值是 ．||PM【答案】15【解析】由题意知 ，所以，解得，所以40,4922==b a 92=c 3=c ()0,3A 为椭圆的右焦点，由题意知点是以为圆心，为半径上的圆上一动点，且所以M A 1AM PM ⊥1222-=-=PA AMPA PM ，因的最小值为，所以PA437=-=-c a 15142min=-=PM3.已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，，p 22:198x y C +=C 1F 2F 分别是椭圆的左、右焦点，若点在的平分线上，且，则M 12F PF ∠10MF MP ⋅=OM的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．()0,2(0,(0,3-()0,1【答案】D 【解析】【分析】作出辅助线，得到，求出的取值范围，从而求出的取值范围.212OM F N =2F N OM 【详解】如图，直线与直线相交于点N ，1F M 2PF 由于PM 是的平分线，且，即PM ⊥，12F PF ∠10MF MP ⋅=1F N 所以三角形是等腰三角形，1F PN 所以，点M 为中点，1PF PN =1F N 因为O 为的中点，12F F 所以OM 是三角形的中位线，12F F N所以，212OM F N =其中，212112226F N PF PF PF a PF =-=-=-因为P 与的四个顶点不重合，设，则，C (),P m n ()0,3m ∈22198m n +=，193m ==+所以，又，()12,4PF ∈20F N >所以，()20,2F N ∈()210,12OM F N =∈∴的取值范围是.||OM ()0,1故选：D.题型三：椭圆上一点到定点距离最值问题【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的长轴长为，短轴长为，则椭圆上任意一点108P 到椭圆中心的距离的取值范围是（ ）O A ．B ．C ．D ．[]4,5[]6,8[]6,10[]8,10【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知点是椭圆上的任意一点，过点作圆：P 221129x y +=P C 的切线，设其中一个切点为，则的取值范围为（ ）()2211x y +-=M PMA ．B ．C ．D ．4⎤⎦4⎤⎦【例3】（2022·重庆市实验中学高二阶段练习）已知点P 在椭圆22193x y +=上运动，点Q 在圆225(1)8x y -+=上运动，则PQ 的最小值为___________.【解析】【分析】将求PQ最小值的问题，转化为求点P 到圆心()1,0M 距离最小值的问题，结合点P满足椭圆方程，转化为二次函数求最值即可.【详解】不妨设点P 为()00,x y ，[]03,3x ∈-，则2200193x y +=，则220033x y =-设圆225(1)8x y -+=的圆心为M ，则M 坐标为()1,0则PQ的最小值，即为MP的最小值与圆225(1)8x y -+=.又MP ===当[]03,3x ∈-时，MP ≥，当且仅当032x =时取得等号；故PQ ≥=.故答案为.【题型专练】1.（2021·陕西·长安一中高二期中（文））设B 是椭圆的上顶点，点P 在C 上，则22:14x C y +=PB 的最大值为________.2.已知椭圆的焦点，过点引两条互相垂直的两直线、，若222:1(1)x T y a a+=>(20)F -，(01)M ，1l 2l P 为椭圆上任一点，记点到、的距离分别为、，则的最大值为（ ）P 1l 2l 1d 2d 2212d d +A ．2B ．C ．D ．134134254【答案】D【解析】由题意知 ，所以，解得，所以椭圆的方程为，设4,122==c b 52=a 5=a 1522=+y x ，因为，且，所以又因，所以()00,y x P 21l l ⊥()1,0M (),1202022221-+==+y x PM d d 152020=+y x ，202055y x -=所以因为，所以当时，6241255020020202221+--=+-+-=+y y y y y d d 110≤≤-y 410-=y 的最大值为2221d d +4253.（多选题）已知点是椭圆：上的动点，是圆：P C 2213x y +=Q D ()22114x y ++=上的动点，则（ ）A ．椭圆的短轴长为1B ．椭圆C C C ．圆在椭圆的内部D ．的最小D C PQ 【答案】BC 【解析】【分析】AB.利用椭圆的方程求解判断；C.由椭圆方程和圆的方程联立，利用判别式法判断；D.利用圆心到点的距离判断.【详解】解：因为椭圆方程为：，2213x y +=所以，故A 错误，B 正确；222223,1,2,c a b c a b e a ===-===由，得，()222213114x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩2824210x x ++=因为，2244821960∆=-⨯⨯=-<所以椭圆与圆无公共点，又圆心在椭圆内部，()1,0-所以圆在椭圆内部，故C 正确；设，()(,P x y x ≤≤，==当时，取得最小则的最小，故D 错误，32x =-PD PQ 12故选：BC4．（全国·高二课前预习）点、分别在圆和椭圆上，则、P Q (222x y+=2214x y +=P Q两点间的最大距离是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆的的焦点为2222:1(0)x y C a b a b +=>>12,,F F P是C 上的动点，直线的一个焦点，的周长为y x =12PF F △4+（1）求椭圆的标准方程；（2）求的最小值和最大值．12PF PF +题型四：椭圆上一点到直线距离最值问题两种思路：法一：设椭圆参数方程，即设椭圆上一点为()θθsin ,cos b a P ，用点到直线的距离公式法二：利用直线与椭圆相切，联立方程，利用判别式0=∆，求出切线，再求两直线间距离【例1】（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）椭圆22143x y +=上的点P 到直线l ：30x y ++=的距离的最小值为（ ）ABCD【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆的形式，运用三角代换法，结合点到直线距离公式、辅助角公式进行求解即可.【详解】由222cos 143x x y y θθ=⎧⎪+=⇒⎨⎪⎩，设(2cos )P θθ，设点P 到直线l ：30x y ++=的距离d ，所以有d ，其中tan (0,))2πϕϕ=∈，所以当2()2k k Z πθϕπ+=-∈时，d 有最小=，故选：C【例2】（2022·全国·高二专题练习）椭圆上的点到直线22143x y +=290l x =：－的距离的最大值为______.【例3】（2021·浙江·慈溪市浒山中学高二阶段练习）设点在椭圆上，点()11,P x y 22182x y +=在直线上，则的最小值为___________.()22,Q x y 280x y +-=212136x x y y -+-【题型专练】1．（2022·甘肃·兰州一中高二期中（文））已知实数x ，y 满足方程，则22220x y +-=x y +的最大值为________．2．（2022·全国·高二专题练习）椭圆：上的点到直线C 22194x y +=P 43180l x y ++=：的距离的最小值为_____.3.（2022·四川遂宁·高二期末（理））如图，设P 是圆229x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上的射影，M 为PD 上的一点，且．23MD PD =(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 方程；(2)求点M 到直线距离的最大值.:290l x y +-=4．（2020·海南·高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为 ，12（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.联立直线方程与椭圆方程，2x y m -=2211612x y +=可得：，()2232448m y y ++=化简可得：，2216123480y my m ++-=题型五：椭圆有关向量积最值问题【例1】（2022·黑龙江·佳木斯一中高二期中）已知P 为椭圆2212524x y +=上任意一点，EF 为圆22:(1)4N x y -+=任意一条直径，则PE PF ⋅的取值范围为（ ）A ．[8，12]B ．[12,20]C ．[12,32]D ．[32,40]【答案】C 【解析】【分析】由题意可得圆心(1,0)N 恰好是椭圆的右焦点，将PE PF ⋅ 化简得24NP-+ ，由椭圆的性质可知[,]NP a c a c ∈-+，从而可求出PE PF ⋅ 的取值范围【详解】由2212524x y +=，得2225,24a b ==，则5,1a b c ===，圆22:(1)4N x y -+=的圆心(1,0)N 恰好是椭圆的右焦点，圆的半径为2，因为()()PE PF NE NP NF NP⋅=-⋅- ()2NE NF NP NE NF NP=⋅-⋅++ 2cos 0NE NF NPπ=⋅-+ 24NP=-+ ，因为P 为椭圆2212524x y +=上任意一点，N 为椭圆的右焦点，所以[,]NP a c a c ∈-+ ，即[4,6]NP ∈ ，所以2[16,36]NP ∈ ，所以24[12,32]NP -+∈ ，所以PE PF ⋅的取值范围为[12,32]，故选：C【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知是椭圆12,F F 22:142x y E +=的两个焦点，P 是椭圆E 上任一点，则的取值范围是____________12⋅ F P F P【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知点满(),P x y =，点A ，B 关于点对称且，则的最大值为（ ）()0,2D -2AB =PA PB ⋅A ．10B ．9C ．8D ．2【题型专练】1.（2022·山东·高三开学考试）在椭圆上有两个动点，为定点，，则2214x y +=,P Q ()1,0E EP EQ ⊥的最小值为（ ）EP QP →→⋅131223故选：C ．2.（2022·全国·高三专题练习多选题）已知椭圆的左､右焦点为､，点22:132x y C +=1F 2F M为椭圆上的点不在轴上），则下列选项中正确的是（ ）(M xA ．椭圆的长轴长为CB ．椭圆的离心率C 13e =C ．△的周长为12MF F 2+D ．的取值范围为12MF MF ⋅[1,2)3．（2022·全国·高三专题练习）已知是椭圆的两个焦点，12,F F 22163x y +=,A B分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点在线段上，则的最小值为__________.P AB 12PF PF ⋅4.（2015·山西大同市·高二期末（理））设、分别是椭圆的左、右焦点，若Q 是该椭圆上的一个动点，则的最大值和最小值分别为A ．与B ．与C ．与D ．与12-22-11-21-【答案】A【详解】试题分析：设，由题得，所以(,)Q x y 12(F F ，12(,),,)QF x y QF x y =-=--，因为在椭圆上，所以所以2212·3QF QF x y =-+(22)x -≤≤(,)Q x y ，所以当有最小值；或222123·31244x x QF QF x =-+-=- (22)x -≤≤0x =2-2x =2-时，有最大值1题型六：声东击西，利用椭圆定义求最值此种类型题目，一般要利用椭圆定义，转化为三点共线问题，利用三角形两边之和大于第三边，或者两边之差小于第三边解决【例1】（2022·辽宁·高二期中）动点M 分别与两定点(5,0)A -，(5,0)B 连线的斜率的乘积为1625-，设点M 的轨迹为曲线C ，已知N ，(3,0)F -，则||||MF MN +的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．D ．12【答案】B 【解析】【分析】求出轨迹方程2212516x y +=，根据椭圆的定义，可得210MF MF +=，当2MF 经过点N 时，MF MN+最短.【详解】设动点M 的坐标为()M x y ， ，则165525y y x x ⋅=-+- 整理后得：2212516x y += ，动点M的轨迹为椭圆，左焦点为()30F -，，右焦点为()230F ， ，210MF MF += ，如下图所示，当2MF 经过点N 时，MF MN+最短，此时210108MF MN MF MN +=-+==故选：B【例2】已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点坐标为，则F 22:11615x y C +=P C Q (4,4)的最大值为（ ）||||PQ PF +A B ．13C ．3D ．5【答案】B 【解析】【分析】利用椭圆的定义求解.【详解】如图所示：，||||||2||2||813PQ PF PQ a PF a QF ''+=+-≤+==故选：B【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C：2212516x y +=内有一点()2,3M ，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆C 上的一点，求：(1)1PM PF -的最大值与最小值；(2)1PM PF +的最大值与最小值．【答案】(1)最大，最小值为(2)最大值为10，最小值为10【解析】【分析】(1)由题意可知：根据三角形的性质，即可求得11||||||||PM PF MF -…然后得到1||||PM PF -的最大值与最小值；(2)利用椭圆的定义表示出1||||PM PF +，根据椭圆的定义及三角形三边的关系，即可求得答案．(1)由椭圆22:12516x y C +=可知5a =，4b =，3c =，则1(3,0)F -，2(3,0)F ，则11||||||||PM PF MF -…，当且仅当P 、M 、1F 三点共线时成立，所以1||||PM PF -…，所以1||||PM PF -和；(2)210a =，2(3,0)F ，2||MF =，设P 是椭圆上任一点，由12||||210PF PF a +==，22||||||PM PF MF -…，12212210PM PF PF MF PF a MF ∴+-+=-=…，等号仅当22||||||PM PF MF =-时成立，此时P 、M 、2F 共线，由22||||||PM PF MF +…，12212210PM PF PF MF PF a MF ∴+++=+=+…，等号仅当22||||||PM PF MF =+时成立，此时P 、M 、2F 共线，故1||||PM PF +的最大值10与最小值为10．【题型专练】1.（2022·全国·高二专题练习）已知点(4,0)A 和(2,2)B ，M 是椭圆221259x y +=上的动点，则||||MA MB +最大值是（ ）A ．10+B ．10-C ．8+D ．8【答案】A 【解析】【分析】设左焦点为(4,0)F -，A 为椭圆右焦点，利用椭圆定义转化||||10||||MA MB MB MF +=+-，然后利用平面几何的性质得最大值．【详解】解：椭圆221259x y +=，所以A 为椭圆右焦点，设左焦点为(4,0)F -，则由椭圆定义||||210MA MF a +==，于是||||10||||MA MB MB MF +=+-.当M 不在直线BF 与椭圆交点上时，M ､F ､B 三点构成三角形，于是||||||MB MF BF -<，而当M 在直线BF 与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有||||||MB MF BF -=-，在第三象限交点时有||||||MB MF BF -=.显然当M 在直线BF 与椭圆第三象限交点时||||MA MB +有最大值，其最大值为||||10||||10||1010MA MB MB MF BF +=+-=+==+.故选：A.2.（2022·全国·高二专题练习）已知F 为椭圆221259x y +=的左焦点，(2,2)B 是其内一点，M为椭圆上的动点，则MF MB+的最大值为__，最小值为__.【答案】 10+10-【解析】【分析】设A 为椭圆右焦点，设左焦点为(4,0)F -，B 在椭圆内，由椭圆定义210MA MF a +==，结合当M 在直线AB 与椭圆交点上时和当M 在直线BA与椭圆交点，分别求得其最大值与最小值，即可求解.【详解】设A 为椭圆右焦点，设左焦点为(4,0)F -，B 在椭圆内，则由椭圆定义210MA MF a +==，当M 在直线AB 与椭圆交点上时，M 在x 轴的上方时，10MF MB AB+=-，取得最小值，最小值为：1010-=-；当M 在直线BA 与椭圆交点，在x 轴的下方时，MF MB+有最大值，其最大值为1010MF MB MF MA AB AB +≤++=+=+.故答案为：10+10-3.（2022·四川·成都七中高二期末（文））已知点()4,0A ，()2,2B 是椭圆221259x y +=内的两个点，M 是椭圆上的动点，则MA MB+的最大值为______．【答案】10+##10+【解析】【分析】结合椭圆的定义求得正确答案.【详解】依题意，椭圆方程为221259x y +=，所以5,3,4a b c ===，所以()4,0A 是椭圆的右焦点，设左焦点为()4,0C -，根据椭圆的定义可知210MA MB a MC MB MB MC+=-+=+-，=，所以MA MB+的最大值为10+故答案为：10+4．（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆内部，点22:12521x y C +=1F 2F ()2,3P Q在椭圆上，则可以是（ ）2QF QP+A ．B ．C ．D ．5101520【答案】ABC 【解析】【分析】作出图形，设直线交椭圆于点、，利用椭圆定义可得1PF C M N 2110QF QP QP QF +=+-，利用点分别与点、重合时取得最小值和最大值可求得Q M N 2QF QP+的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】在椭圆中，，，，则、，如下图所示：C 5a =b =2c =()12,0F -()22,0F设直线交椭圆于点、，1PF C M N 5=由椭圆定义可得，则，故，1210QF QF +=2110QF QF =-2110QF QP QP QF +=+-当点与点重合时，此时取得最小值，即，Q M 2QF QP +()21min 105QF QP PF +=-=当点与点重合时，此时取得最大值，即.Q N 2QF QP+()21max 1015QF QP PF +=+=因此，的取值范围是.2QF QP+[]5,15故选：ABC.。
椭圆教案6篇
椭圆教案6篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如工作计划、工作总结、述职报告、合同协议、演讲致辞、条据文书、心得体会、策划方案、教学资料、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!Moreover, our store provides various types of classic sample essays, such as work plans, work summaries, job reports, contract agreements, speeches, documents, insights, planning plans, teaching materials, other sample essays, and more. If you want to learn about different sample formats and writing methods, please stay tuned!椭圆教案6篇通过准备实用的教案，我们能够更好地把握教学内容和进度，一个成功的教案应该能够培养学生的自主学习能力，下面是本店铺为您分享的椭圆教案6篇，感谢您的参阅。
6. 椭 圆 函 数
§ 6 椭 圆 函 数一、 椭圆函数的定义与性质双周期的半纯函数称为椭圆函数.若ω2和ω'2)0(Im >'ωω是椭圆函数)(z f 的两个基本周期（也称原始周期），对于任意整数n m ,有)()22(z f n m z f ='++ωω 以ωωωω'+'+++2,22,2,z z z z 为顶点（其中z 为任一复数）的平行四边形称为 周期平行四边形.整个z 平面可组成这样的周 期平行四边形网（图12.6）.)(z f 在一个周期平行四边形内（包括两个 邻边及其交点）极点的个数（极点个数与零点个 数相等，n 阶极点算作n 个）称为椭圆函数的阶.阶为s 的椭圆函数称为s 阶椭圆函数.椭圆函数具有以下性质：︒1 周期相同的椭圆函数的和、差、积、商及导数是具有同样周期的椭圆函数. ︒2 不是常数的椭圆函数必有极点.具有相同周期、零点和极点（零点和极点的阶数也相同）的椭圆函数的商是一个常数. 具有相同周期、相同的极点、且在每一极点上的主要部分也相同的椭圆函数相差一个常数.︒3 椭圆函数在它的周期平行四边形内所有极点上留数之和等于零. ︒4 椭圆函数的阶数至少等于2.︒5 在周期平行四边形内，椭圆函数取每一个（有限或无限）值的次数一样，且等于椭圆函数的阶.︒6 椭圆函数在周期平行四边形内所有零点的和与所有极点之和的差等于它的某个周期，即ωω'+=-∑∑==n m ba s k sk kk 2211式中k a 为零点，k b 为极点，n m ,为某一确定整数.二、 雅可比椭圆函数[雅可比椭圆函数的定义与级数表达式] 第一类椭圆积分⎰--=ϖ0222)1)(1(d t k t tz的反函数是双周期的亚纯函数，记作),sn(sn k z z ==ϖ 它具有基本周期：⎰-===2022sin 1d 4)2,(44πθθπϖk k F K⎰'-='='='2022sin 1d 2)2,(22πθθπϖk i k iF K i )1(2k k -='z sn 称为椭圆正弦，式中k 称为模，k '称为补模.若z sn sin =φ则称φ为z 的振幅函数，记作z am =φ.又定义z z 2sn 1cos cn -==φ （称为椭圆余弦）z zz z z 2sn 1sn cn sn tan tn -===φ （称为椭圆正切）z k z 22sn 1dn -=z z z z dn ,tn ,cn ,sn 统称为雅可比椭圆函数.它们都是二阶椭圆函数.764254232!71351351!5141!31sn z k k k z k k z k z z +++-++++-=)(!9122854781228198642K z z k k k k '<-+++++642422!616441!441!211cn z k k z k z z ++-++-=)(!86491240818642K z z k k k '<-++++642242222!6)4416(!4)4(!21dn z k k k z k k z k z ++-++-=)(!8)40891264(86422K z z k k k k '<-++++742252232!7)4416(!5)4(!3am z k k k z k k z k z z ++-++-=)(!9)40891264(96422K z z k k k k '<-++++[特殊点的值][周期·零点·极点·留数][诱导公式表] )sn(z K ni mK ±'+)cn(z K ni mK ±'+)dn(z K ni mK ±'+ [变换公式][基本关系]1cn sn 22=+z z 1sn dn 222=+z k z 222221cn dn k k z k z '=-=- )am()am(z z -=- )sn()sn(z z -=- )cn()cn(z z =- )tn()tn(z z -=- )dn()dn(z z -=- [加法公式]z z z z z k z z z z dn cn sn dn cn sn sn sn sn sn 1dn sn cn dn cn sn )sn(22222ζζζζζζζζζ -=-±=±zz z zz z z k z z z z dn cn sn dn cn sn dn cn sn dn cn sn sn sn 1dn dn sn sn cn cn )cn(222ζζζζζζζζζζζ =-=±zz z z z z z k z z k z z dn cn sn dn cn sn dn cn sn dn cn sn sn sn 1cn cn sn sn dn dn )dn(2222ζζζζζζζζζζζ =-=±[倍数公式]zk zz z z 42sn 1dn cn sn 22sn -=z k z z z k z z z z 422242222sn 1dn sn 21sn 1dn sn cn 2cn --=--=1sn 1cn 2422--=z k zz k z z k z k z z k z z 42222422222sn 1cn sn 21sn 1cn sn dn 2dn --=--=1sn 1dn 2422--=zk z[半数公式]z k z k zz z k z z z z cn dn cn dn )cn 1(dn 1dn 1cn 12sn 2222-+'-=+-=+-=z k z k z k z k z k z k z z z z cn dn )cn 1()cn 1(dn cn dn 1dn cn 2cn 2222222-+'+'=++'-=++= zk z k z k z z z k k z z z z cn dn )dn 1(dn 1dn cn cn 1dn cn 2dn 222222-+'+'=+++'=++=[乘法公式]ζζζζ22222sn sn 1sn sn )sn()sn(z k z z z --=-+ζζζζ222222sn sn 1dn sn cn )cn()cn(z k zz z z --=-+ζζζζ2222222sn sn 1cn sn dn )dn()dn(z k zk z z z --=-+z z 2222cn cn sn sn -=-ζζ [导数与积分公式]z z z z dn cn sn d d =， z z z z dn sn cn d d -=， z z k z zcn sn dn d d 2-=⎰-=)cn ln(dn 1d sn z k z k z z⎰-=)sn ln(dn d cn z ik z kiz z⎰-=)sn ln(cn d dn z i z i z z⎰-=+=zzz z z z z z sn cn dn ln dn cn sn ln sn d ⎰'-'+'=+''=z k z zk z k z z z k k z z sn dn sn dn ln21cn dn sn ln 1cn d ⎰''=+'-''=z zk k z z k z z k k z z cn sn tanarg 21cn sn cn sn tan arg 1dn d三、 外尔斯特拉斯椭圆函数外尔斯特拉斯第一类椭圆积分 ⎰∞---=ωt g t g t z d )4(21323的反函数)(z ℘=ω称为外尔斯特拉斯椭圆函数， ∑⎭⎬⎫⎩⎨⎧'+-'--+=℘n m n m n m z z z ,222)22(1)22(1'1)(ωωωω 式中∑'表示对所有整数0(,==n m n m 除外）求和，在0=z 的邻域内，有+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅+=℘11752353272521)(4832246222432222z g g z g z g z g z z外尔斯特拉斯椭圆函数具有以下性质：︒1 )(z ℘是二阶椭圆函数，在周期平行四边形中有一个二阶极点：=z ωω'+n m 22.︒2 )(z ℘的周期是ω2和n m z n m z ,()()22(:2℘='++℘'ωωω为任何整数）. ︒3 )()(),()(z z z z ℘'-=-℘'-℘=℘。
第五节 椭圆
圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,则a=8,c=4,∴b2
=48,故所求的轨迹方程为 x2 + y2 =1. 64 48
(3)由题意得a=3,b= 7 ,c= 2 , ∴|F1F2|=2 2 ,|AF1|+|AF2|=6.
典例2 (1)已知椭圆 ax22 + by22 =1(a>b>0)的一个焦点是圆x2+y2-6x+8=0的圆
心,且短轴长为8,则椭圆的左顶点为 ( )
A.(-3,0) B.(-4,0) C.(-10,0) D.(-5,0)
(2)(2016课标全国Ⅲ,11,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C: ax22 + by22 =1
ka
OE的中点为N,则N 0, k2a
,由于B,M,N三点共线,所以(a c) ,所以 1 = a c ,即a=3c,所以e= 1 .故选A.
c a
2 ac
3
方法技巧 求椭圆离心率的常用方法: (1)直接求出a,c,利用定义求解; (2)构造a,c的齐次式,解出e.由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程,然 后转化为关于离心率e的一元二次方程求解; (3)通过特殊值或特殊位置求出离心率.
∵|AF2|2=|AF1|2+|F1F2|2-2|AF1|·|F1F2|cos 45°=|AF1|2-4|AF1|+8,
∴(6-|AF1|)2=|AF1|2-4|AF1|+8.
∴|AF1|= 72 .
∴ S
椭圆中6种常考基础题型(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
第19讲椭圆中6种常考基础题型【考点分析】考点一：椭圆的通径过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为22b a．考点二：椭圆中有关三角形的周长问题图一图二如图一所示：21F PF ∆的周长为c a 22+如图一所示：ABC ∆的周长为a 4考点三：椭圆上一点的有关最值①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为a c +，距离的最小值为a c -．考点四：椭圆的离心率椭圆的离心率()10<<=e a c e ，222222221ab a b a ac e -=-==考点五：椭圆焦点三角形的面积为2tan2S b θ=⋅（θ为焦距对应的张角）考点六：中点弦问题（点差法）中点弦问题：若椭圆与直线l 交于AB 两点，M 为AB 中点，且AB k 与OM k 斜率存在时，则22ab K k OM AB -=⋅；（焦点在x 轴上时），当焦点在y 轴上时，22ba K k OMAB -=⋅若AB 过椭圆的中心，P 为椭圆上异于AB 任意一点，22ab K k PB P A -=⋅（焦点在x 轴上时），当焦点在y 轴上时，22ba K k PBP A -=⋅【题型目录】题型一：椭圆的定义有关题型题型二：椭圆的标准方程题型三：椭圆的离心率题型四：椭圆中焦点三角形面积题型五：椭圆中中点弦问题题型六：椭圆中的最值问题【典型例题】题型一：椭圆的定义有关题型【例1】已知△ABC 的周长为10，且顶点()2,0B -，()2,0C ，则顶点A 的轨迹方程是（）A ．221(0)95x y y +=≠B ．221(0)59x y y +=≠C ．221(0)64x y y +=≠D ．221(0)46x y y +=≠【答案】A【解析】∵△ABC 的周长为10，顶点()2,0B -，()2,0C ，∴=4BC ，+=10464AB AC -=>，∴点A 到两个定点的距离之和等于定值，∴点A 的轨迹是椭圆，∵3,2a c ==，∴2945b =-=，又因为,,A B C 三点构成三角形，∴椭圆的方程是()221095x y y +=≠.故选：A ．【例2】如果点(),M x y =M 的轨迹是（）．A ．不存在B ．椭圆C ．线段D ．双曲线【答案】B=(),M x y 到点(0,3),(0,3)-的距离之和为3(3)6--=<M 的轨迹是椭圆，故选：B【例3】设1F ，2F 分别为椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上，且1223PF PF += ，则12F PF ∠=（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π【答案】D【解析】因32221==+PO PF PF ，所以213OF OF PO ===，所以︒=∠9021PF F 【例4】1F 、2F 是椭圆22:1259x yC +=的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，1||6PF =，过1F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为M ，则||OM 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【详解】如图，直线1F M 与直线2PF 相交于点N ，由于PM 是12F PF ∠的平分线，且PM ⊥1F N ，所以三角形1F PN 是等腰三角形，所以1PF PN =，点M 为1F N 中点，因为O 为12F F 的中点，所以OM 是三角形12F F N 的中位线，所以212OM F N =，其中212112226F N PF PF PF a PF =-=-=-，因61=PF ，所以62=N F ，所以3=OM ，所以选C【例5】已知椭圆22:12516x y C +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN +=（）A ．10B ．15C ．20D ．25【答案】C【解析】设MN 的中点为G ，椭圆的左右焦点分别为21,F F ，则G 为MN 的中点，1F 为MA 的中点，所以12GF AN =，同理22GF BN =，所以()204221==+=+a GF GF BN AN【例6】方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在x 轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是（）A ．0k >B ．12k <<C ．1k >D ．01k <<【答案】B【解析】方程x 2＋ky 2＝2可变形为：22122x y k+=，表示焦点在x 轴上的椭圆，则有：202k<<，解得k 1>.易知当12k <<时，k 1>，当k 1>时未必有12k <<，所以12k <<是k 1>的充分但不必要条件.故选B.【例7】点1F ，2F 为椭圆C ：22143x y+=的两个焦点，点P 为椭圆C 内部的动点，则12PF F △周长的取值范围为（）A ．()2,6B ．[)4,6C ．()4,6D ．[)4,8【答案】C【解析】由椭圆C ：22143x y +=，得：2,1a c ==，当点P 在椭圆上时，12PF F △周长最大，为226a c +=，当点P 在x 轴上时，去最小值，为44c =，又因点P 为椭圆C 内部的动点，所以12PF F △周长的取值范围为()4,6.故选：C.【例8】椭圆22193x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，如果1PF 的中点在y 轴上，那么1||PF 是2||PF 的（）A ．7倍B ．6倍C ．5倍D ．4倍【答案】C【解析】由题意知：212F F PF ⊥，所以13322===a b PF ，因6221==+a PF PF ，所以51=PF ，所以521=PF PF【题型专练】1.已知△ABC 的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A 的轨迹方程是（）A ．2213620x y +=（x≠0）B ．2212036x y +=（x≠0）C ．221620x y +=（x≠0）D ．221206x y +=（x≠0）【答案】B【解析】∵△ABC 的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），∴BC ＝8，AB +AC ＝20﹣8＝12，∵12＞8∴点A 到两个定点的距离之和等于定值，∴点A 的轨迹是椭圆，∵a ＝6，c ＝4∴b 2＝20，∴椭圆的方程是()22102036x y x +=≠故选B ．2.焦点在x 轴上的椭圆222125x y a +=焦距为8，两个焦点为12,F F ，弦AB 过点1F ，则2ABF ∆的周长为（）A ．20B ．28C ．D ．【答案】D【解析】由题意知252=b ，因为222c b a +=，所以16252+=a ，解得41=a ，所以2ABF ∆的周长为4144=a ，故选：D3.（2021新高考1卷）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A.13B.12C.9D.6【答案】C【解析】因2121262MF MF a MF MF ⋅≥==+，所以921≤⋅MF MF 4.已知椭圆22192x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在椭圆上，若1||4MF =，则12F MF ∠=（）A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆方程求得12F F =1226MF MF a +==，求得1||4MF =，所以22MF =，在12F MF △中，再由余弦定理列出方程，求得121cos 2F MF ∠=-，即可求解．【详解】解：由题意，椭圆方程22192x y +=，可得3,a b c ===所以焦点12(F F ，又由椭圆的定义，可得1226MF MF a +==，因为1||4MF =，所以22MF =，在12F MF △中，由余弦定理可得222121212122cos F F MF MF MF MF F MF =+-∠,所以2221242242cos F MF =+-⨯⨯∠，解得121cos 2F MF ∠=-，又由12(0,180)F MF ∠∈，所以12120F MF ∠= .故选:C ．5.设1F ，2F 为椭圆22194x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则21PF PF 的值为（）A ．513B ．45C ．27D ．49【答案】C 【解析】【分析】由中位线定理以及椭圆方程得出243PF =，再由椭圆的定义得出1PF ，再求21PF PF 的值.【详解】由椭圆的定义可知，1226PF PF a +==，由中位线定理可知，212PF F F ⊥，将x =22194x y+=中，解得43y =±，即243PF =，1414633PF =-=，故214323147PF PF =⨯=故选：C6.已知曲线22:1C mx ny +=A ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上C ．若0m n =>，则CD ．若0m =，0n >，则C 是两条直线【答案】AD【解析】由题意得：11122=+ny m x ，所以当0>>n m ，则nm 110<<，所以表示焦点在y 轴上的椭圆，所以A 对，B 错，当0>=n m 时，曲线C 为ny x 122=+，所以表示圆，半径为n 1，当0,0>=n m 时，曲线C 为ny 12=，所以n y 1±=，所以表示两条直线，故选：AD7.已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（）AB．CD．【答案】C 【解析】【分析】设线段2PF 的中点为M ，连接1PF 、1MF ，利用圆的几何性质可得出12F M PF ⊥，求得11222PF F F c ===，利用椭圆的定义可求得2PF ，可判断出12PF F △的形状，即可得解.【详解】在椭圆22143x y +=中，2a =，b =，1c =，设线段2PF 的中点为M ，连接1PF 、1MF ，则12F F 为圆O 的一条直径，则12F M PF ⊥，因为M 为2PF 的中点，则11222PF F F c ===，则2122PF a PF =-=，所以，12PF F △为等边三角形，由图可知，直线2PF 的倾斜角为3π.故选：C.8.在平面直角坐标系xOy 中，若△ABC 的顶点(0,2)A -和(0,2)C ，顶点B 在椭圆181222=+xy 上，则sin sin sin A C B +的值是（）AB ．2C ．D ．4【答案】A 【解析】【分析】由题设易知,A C 为椭圆的两个焦点，结合椭圆定义及焦点三角形性质有||||2AB CB a +=，||2AC c =，最后应用正弦定理的边角关系即可求目标式的值.【详解】由题设知：,A C 为椭圆的两个焦点，而B 在椭圆上，所以||||2AB CB a +==||24AC c ==，由正弦定理边角关系知：|||||sin sin sin |A A CB CB A BC +=+故选：A9.已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A ．13B ．12C ．9D ．6【答案】C【解析】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．故选：C ．10.已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上且在x 轴的下方，若线段2PF 的中点在以原点O 为圆心，2OF 为半径的圆上，则直线2PF 的倾斜角为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π【答案】C 【解析】【分析】设线段2PF 的中点为M ，连接1PF 、1MF ，利用圆的几何性质可得出12F M PF ⊥，求得11222PF F F c ===，利用椭圆的定义可求得2PF ，可判断出12PF F △的形状，即可得解.【详解】在椭圆22143x y +=中，2a =，b =，1c =，设线段2PF 的中点为M ，连接1PF 、1MF ，则12F F 为圆O 的一条直径，则12F M PF ⊥，因为M 为2PF 的中点，则11222PF F F c ===，则2122PF a PF =-=，所以，12PF F △为等边三角形，由图可知，直线2PF 的倾斜角为3π.故选：C.11．已知A 为椭圆2212516x y +=上一点，F 为椭圆一焦点，AF 的中点为P ，O 为坐标原点，若2OP =则AF =（）A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】B【解析】不妨设椭圆2212516x y +=左焦点为F ，右焦点为E ，因为AE 的中点为P ，EF 的中点为O ，所以24AE OP ==，又由210AE AF a +==，可得1046AF =-=.故选：B .12.已知椭圆C ：22194x y +=的左右焦点分别是12,F F ，过2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且118AF BF +=，则AB =（）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】A【解析】由椭圆22:194x y C +=知：a =3，由椭圆的定义得：121226,26AF AF a BF BF a +==+==，所以11412AF BF AB a ++==，又因为118AF BF +=，所以AB 4=，故选：A题型二：椭圆的标准方程【例1】已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>右焦点为)，其上下顶点分别为1C ，2C ，点()1,0A ，12AC AC ⊥，则该椭圆的标准方程为（）A ．22134x y +=B ．22143x y +=C ．2213y x +=D ．2213x y +=【例2】已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，椭圆C 的一顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，12AF F △焦距为2，过1F ，且垂直于2AF 的直线与椭圆C 交于D ，E 两点，则ADE ∆的周长是（）A ．B ．8C ．D ．16【例3】如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(F -为椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上一点，满足||||OP OF =，且||4PF =，则椭圆C 的方程为（）A ．221255x y +=B ．2214525x y +=C ．2213010x y +=D ．2213616x y +=故选：D【例4】阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C 的对称轴为坐标轴，焦点在y 轴上，且椭圆C 的离心率为53，面积为12π，则椭圆C 的方程为（）A ．221188x y +=B ．22198y x +=C ．221188y x +=D ．22184y x +=【例5】过椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>右焦点F 的直线l ：20x y --=交C 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（）A ．22184x y +=B ．22195x y +=C ．22173x y +=D ．221106x y +=【例6】已知12,F F 分别是椭圆221(0)x y a b a b +=>>的左､右焦点，A ，B 分别为椭圆的上，下顶点，过椭圆的右焦点2F 的直线交椭圆于C ，D 两点，1FCD 的周长为8，且直线AC ，BC 的斜率之积为14-，则椭圆的方程为（）A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．2214x y +=D ．22143x y +=【例7】已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||3||AF F B =，15||4||AB BF =，则C 的方程为（）A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【题型专练】1．已知1F 、2F 是椭圆C ：22221x ya b+=()0a b >>的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，B 在x 轴上，20AB AF ⋅= 且122AF AB AF =+.若坐标原点O 到直线AB 的距离为3，则椭圆C 的方程为（）A ．2214x y +=B ．22143x y +=C ．221169x y +=D ．2211612x y +=1612故选：D2．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，其左､右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，点P 为该椭圆上一点，且满足12π3F PF ∠=，若12F PF △的内切圆的面积为π，则该椭圆的方程为（）A ．221129x y +=B ．2211612x y +=C ．2212418x y +=D ．2213224x y +=3．已知椭圆的两个焦点为1(F ，2F ，M 是椭圆上一点，若12MF MF ⊥，128MF MF ⋅=，则该椭圆的方程是（）A ．22172x y +=B ．22127x y +=C ．22194x y +=D ．22149x y +=4．已知1(1,0)F -，2(1,0)F 是椭圆C 的两个焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，3AB =，则椭圆C 的标准方程为（）A ．2213y x +=B ．2213x y +=C ．22143x y +=D ．22132x y +=方法二：由题意，设椭圆C 的标准方程为所以a ＝2或12a =-（舍去），所以2a 故椭圆C 的标准方程为22143x y +=．故选：C.5．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为)，右顶点为A ，O 为坐标原点，过OA 的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C 于M ，N 两点，若四边形OMAN 是正方形，则C 的方程为（）A ．2213x y +=B ．22153x y +=C ．22175x y +=D．22197x y +=6．已知椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线0x y -=与椭圆C 相交于不同的两点,A B ，若P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（）A ．2213x y +=B ．22142x y +=C ．22153x y +=D ．22163x y +=7．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近”的方法得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，P 是C 上一点，213PF PF =，123F PF π∠=，C 的面积为12π，则C 的标准方程为（）A ．221364x y +=B ．22112x y +=C ．221169x y +=D ．22143x y +=8．已知椭圆C ：22=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为M ，N ，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点(异于M 、N )，△AF 1B 的周长为AM 与AN 的斜率之积为－23，则椭圆C的标准方程为（）A ．22=134y x +B ．22=134x y +C ．22=13x y +D ．22=132x y +9．已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，过2F 的直线交于C 与A ，B ，若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为（）A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22198x y +=1F 题型三：椭圆的离心率【例1】已知1F ，2F 为椭圆22221x ya b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点，以原点O 为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y 轴右侧的两个交点为A ，B ，若1ABF 为等边三角形，则椭圆的离心率为（）A1B 1C ．12D 又1290F AF ∠=，∴21,3AF c AF c ==，∴32c c a +=，可得2331c a ==+故选：B ．【例2】已知椭圆C ：()21024b b+=<<的左焦点为1F ，直线()0y kx k =≠与C 交于点M ，N .若1120MF N ︒∠=，1183MF NF ⋅=，则椭圆C 的离心率为（）A ．12B ．22C D 因为O 为12,MN F F 的中点，所以四边形所以12MF NF =，12NF MF =，由椭圆的定义可得：又因为1183MF NF ⋅=，所以1MF 【例3】已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>上存在两点,M N 关于直线3310--=x y 对称，且线段MN 中点的纵坐标为53，则椭圆C 的离心率是（）A B C ．23D【例4】已知椭圆C ：221a b+=()0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 做倾斜角为6π的直线与椭圆相交于A ，B 两点，若222,AF F B =，则椭圆C 的离心率e 为（）AB ．34C ．35D【例5】设B 是椭圆()22:10C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A ．,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎝⎦【例6】12,F F 是椭圆C 的两个焦点，P 是椭圆C 上异于顶点的一点，I 是12PF F △的内切圆圆心，若12PF F △的面积等于12IF F △的面积的3倍，则椭圆C 的离心率为（）A ．13B ．12C ．2D ．2a b如图，设()()()12,,,0,,0,P m n F c F c ∴-三角形由椭圆的定义可得22l a c=+122222PF F S cn cnr l a c a c∴===++ ，又2121113,2322P I F F F F cn S S c n a =∴⨯⨯=⨯⨯ 故选：B【例7】用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆.著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切.给出下列三个结论：①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；②椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等；③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.其中，所有正确结论的序号是（）A ．①B ．②③C ．①②D ．①③【答案】C【分析】根据切线长定理可以证明椭圆上任意一点到12,F F 的距离之和为定值，即12,F F 是焦点再运用勾股定理证明短轴长，最后构造三角形，运用三角函数表示离心率即可.【详解】如图：在椭圆上任意一点P 作平行于12O O 的直线，与球1O 交于F 点，与球2O 交于E 点，则PE ，2PF 是过点P 作球2O 的两条公切线，2PE PF =，同理1PF PF =，是椭圆的焦点；①正确；【例8】国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于34-，则椭圆的离心率为（）A ．34B ．58C ．12D ．4【题型专练】1．直线:l y =与椭圆2222:1x y C a b+=交于,P Q 两点，F 是椭圆C 的右焦点，且0PF QF ⋅= ，则椭圆的离心率为（）A ．4-B ．3C 1D ．2【详解】的左焦点为F '，由对称性可知：四边形PF QF '为平行四边形，PF QF '∴=2PF PF QF a '=+=；2．设12,F F 分别是椭圆221x ya b+=的左、右焦点，若椭圆上存在点A ，使12120F AF ∠=︒且123AF AF =，则椭圆的离心率为（）AB C D3.设椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M ，N 在C 上（M 位于第-象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若1222||,F F MN MF ==，则C 的离心率为（）A ．4B ．37C ．12D ．377122a +故选：B4．如图，直径为4的球放地面上，球上方有一点光源P ，则球在地面上的投影为以球与地面切点F 为一个焦点的椭圆，已知是12A A 椭圆的长轴，1PA 垂直于地面且与球相切，16PA =，则椭圆的离心率为（）A ．12B ．23C ．13D ．2【答案】A【分析】根据给定条件，结合球的性质作出截面12PA A ，再结合三角形内切圆性质求出12A A 长即可作答.【详解】依题意，平面12PA A 截球O 得球面大圆，如图，12Rt PA A 是球O 大圆的外切三角形，其中112,PA A A 切圆O 于点E ，F ，=5．如图圆柱12O O 的底面半径为1，母线长为6，以上下底面为大圆的半球在圆柱12O O 内部，现用一垂直于轴截面ABB A ''的平面α去截圆柱12O O ，且与上下两半球相切，求截得的圆锥曲线的离心率为（）A ．3B ．3C D ．3半径为1，12O O 平面α与底面夹角余弦值为圆柱的底面半径为1,∴又 椭圆所在平面与圆柱底面所成角余弦值为以G 为原点建立上图所示平面直角坐标系，12,332FH a EF a ∴===，则椭圆标准方程为2222c a b =-=，故离心率故选：A.6．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为坐标平面上一点，且满足120PF PF ⋅=的点P 均在椭圆C 的内部，则椭圆C 的离心率的取值范围为（）A ．2⎛ ⎝⎭B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭7．已知点A ，P ，Q 为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上不重合的三点，且点P ，Q 关于原点对称，若12AP AQ k k ⋅=-，则椭圆C 的离心率为（）A ．2B C D8．已知椭圆22:1(0)x yC a ba b+=>>的一个焦点为F，椭圆C上存在点P，使得PF OP⊥，则椭圆C的离心率取值范围是（）A．2⎛⎝⎦B．,12⎫⎪⎪⎣⎭C．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭故选：B题型四：椭圆中焦点三角形面积【例1】已知椭圆()222210+=>>x y C a b a b：的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 上一点，12π3F PF ∠=，若12F PF △的面积为C 的短袖长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【例2】（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知12,F F 为椭圆C ：221164x y+=的两个焦点，P ，Q为C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为________．【答案】8【解析】因为,P Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQ F F =，所以四边形12PFQF 为矩形，设12||,||PF m PF n ==，则228,48m n m n +=+=，所以22264()2482m n m mn n mn =+=++=+，8mn =，即四边形12PFQF 面积等于8.故答案为：8.【题型专练】1.设P 为椭圆221259x y +=上一点，1,F 2F 为左右焦点，若1260F PF ︒∠=，则P 点的纵坐标为（）A．4B．4±C．4D．4±【答案】B 【分析】根据椭圆中焦点三角形的面积公式2tan 2S b θ=求解即可.【详解】由题知12609tan2F PF S ︒=⨯= 设P 点的纵坐标为h则12421F F h h ⋅⋅=±⇒=.故选：B2．已知()()1200F c F c -，，，是椭圆E 的两个焦点，P 是E 上的一点，若120PF PF ⋅=，且122=△PF F S c ，则E 的离心率为（）ABC ．2D 3．已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅ 12，则12F PF △的面积为（）A．B．CD ．9题型五：椭圆中中点弦问题【例1】已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的长轴为4，直线230x y +-=与椭圆C 相交于A 、B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M ，则椭圆C 的方程为（）A ．221168x y +=B ．22142x y +=C ．2211612x y +=D ．22143x y +=【例2】平行四边形ABCD 内接于椭圆221x y a b +=()0a b >>，椭圆的离心率为2，直线AB 的斜率为1，则直线AD 的斜率为（）A ．1-4B ．1-2C ．2D ．-1设E 为AD 中点，由于O 为BD 中点，所以因为1133(,),(,)A x y D x y 在椭圆上，【例3】椭圆2294144x y +=内有一点(2,3)P ，过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这条弦所在的直线方程为（）A ．23120x y +-=B ．32120x y +-=C ．941440x y +-=D ．491440x y +-=【例4】已知椭圆E ：143+=上有三点A ，B ，C ，线段AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，O为坐标原点，直线OD ，OE ，OF 的斜率都存在，分别记为1k ，2k ，3k ，且123k k k ++=直线AB ，BC ，AC 的斜率都存在，分别记为AB k ，BC k ，AC k ，则111AB BC ACk k k ++=（）AB ．C ．-D ．1-【例5】离心率为2的椭圆()222210x y a b a b +=>>与直线y kx =的两个交点分别为A ，B ，P 是椭圆不同于A 、B 、P 的一点，且PA 、PB 的倾斜角分别为α，β，若120αβ+=︒，则()cos αβ-=（）A ．16-B ．13-C ．13D ．16【例6】（2022·全国·高考真题）已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||MA NB MN ==l 的方程为___________．【例7】（2022·全国甲（理）T10）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（）A.32B.22C.12D.13【答案】A 【解析】【分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a =-+，再根据2211221x y a b+=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】解：(),0A a -，设()11,P x y ，则()11,Q x y -，则1111,AP AQ y y k k x a x a==+-+，故21112211114AP AQy y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+，又2211221x y a b +=，则()2221212b a x y a -=，所以()2221222114b a x a x a -=-+，即2214b a =，所以椭圆C的离心率2c e a ===.故选：A.【例8】椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为椭圆的右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的最大值为__________．【答案】63【解析】因为,B A 关于原点对称，所以B 也在椭圆上，设左焦点为F '，根据椭圆的定义：||2AF AF a '+=，因为||BF AF'=，所以||||2AF BF a +=，O 是直角三角形ABF 斜边的中点，所以||2,||2sin ,||2cos AB c AF c BF c αα===，所以2(sin cos )2c a αα+=，所以11sin cos 4c a πααα==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由于,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当12πα=时，离心率的最大值为63，故答案为63．【题型专练】1．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，()0,2P ，()0,2Q -过点P 的直线1l 与椭圆交于A ，B ，过点Q 的直线2l 与椭圆交于C ，D ，且满足12l l ∕∕，设AB 和CD 的中点分别为M ，N ，若四边形PMQN 为矩形，且面积为则该椭圆的离心率为（）A ．13B ．23C．3D ．32.椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（）A ．1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】B【详解】由题意，椭圆C ：22143x y +=的左、右顶点分别为12(2,0),(2,0)A A -，设00(,)P x y ，则()2200344y x =-，又由1220002200034PA PA y y y k k x a x a x a ⋅=⨯=-+--，可得1234PA PA k k -=，因为[]12,1PA k ∈--，即23421PA k --≤≤-，可得23384PA k ≤≤，所以直线2PA 斜率的取值范围33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B3．已知椭圆22:184x y C +=，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M ，则OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积（）A ．1-B ．1C ．12D ．12-【答案】D，进而联立方程求解中点4．点A ，B 在椭圆2212x y +=上，点11,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2OA OB OM +=，则直线AB 的方程是（）A ．12y x =-B ．522y x =-+C ．32y x =-+D ．322y x =-5．已知椭圆143x y +=上有三个点A ､B ､C ，AB ，BC ，AC 的中点分别为D ､E ､F ，AB ，BC ，AC 的斜率都存在且不为0，若34OD OE OF k k k ++=-(O 为坐标原点)，则111AB BC ACk k k ++=（）A ．1B ．-1C ．34-D ．34【答案】A的斜率转化为6．直线:20l x y-=经过椭圆22+1(0)x y a ba b=>>的左焦点F，且与椭圆交于,A B两点，若M为线段AB中点，||||MF OM=，则椭圆的标准方程为（）A．22+163x y=B．22+185x y=C．2214x y+=D．22+1129x y=7．已知三角形ABC 的三个顶点都在椭圆：143x y +=上，设它的三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，M ，且三条边所在线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且1k ，2k ，3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD ，OE ，OM 的斜率之和为1.则123111k k k ++=（）A ．43-B ．3-C ．1813-D ．32-8．已知过点()1,1M 的直线l 与椭圆22184x y +=交于,A B 两点，且满足,AM BM =则直线l 的方程为（）A ．30x y -+=B ．230x y +-=C ．2230x y -+=D ．230x y +-=题型六：椭圆中的最值问题【例1】已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的上、下焦点分别是1F ，2F ，点P 在椭圆C 上则下列结论正确的是（）A ．12PF PF ⋅有最大值无最小值B ．12PF PF ⋅无最大值有最小值C ．12PF PF ⋅既有最大值也有最小值D ．12PF PF ⋅既无最大值也无最小值【例2】若点O 和点F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为（）A ．()a a c +B ．()b a c +C ．()a a c -D ．()b ac -【例3】已知点P 是椭圆4x +2y =1上的动点（点P 不在坐标轴上），12F F 、为椭圆的左，右焦点，O 为坐标原点；若M 是12F PF ∠的角平分线上的一点，且1F M 丄MP ，则丨OM 丨的取值范围为（）A ．（0B ．（0，2）C ．（l ，2）D ．2）【答案】A=因为1F M MP ⊥，因为PM 为12F PF ∠的角平分线，所以，PN 因为O 为12F F 的中点，所以，212OM F N =设点00(,)P x y ，由已知可得2a =，1b =，c 则022x -<<且00x ≠，且有220114y x =-，()2221000032331PF x y x x =++=+++-【例4】已知点P 在椭圆193x y +=上运动，点Q 在圆22(1)8x y -+=上运动，则PQ 的最小值为（）A ．2B ．2C ．24-D ．4【答案】D【分析】先求出点P 到圆心(1,0)A 的距离的最小值，然后减去圆的半径可得答案。
学案6：2.2.2 椭圆的简单几何性质
2.2.2 椭圆的简单几何性质【课标点击】1.掌握椭圆的中心、顶点、长短轴、离心率的概念2.理解椭圆的范围和对称性【预习导学】►基础梳理1．椭圆的两个标准方程的几何性质与特征比较.2.椭圆的离心率e.(1)因为a>c>0，所以0<e<1．(2)e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁．(3)当e＝0时，即c＝0，a＝b时，两焦点重合，椭圆方程变成x2＋y2＝a2，成为一个圆．(4)当e＝1时，即a＝c，b＝0时，椭圆压扁成一条线段．(5)离心率e刻画的是椭圆的扁平程度，与焦点所在轴无关．3．直线与椭圆．设直线方程y＝kx＋m，若直线与椭圆方程联立，消去y得关于x的一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．(1)Δ＞0，直线与椭圆有两个公共点；(2)Δ＝0，直线与椭圆有一个公共点；(3)Δ＜0，直线与椭圆无公共点．►自测自评1．椭圆x 26＋y 2＝1的长轴端点的坐标为( )A ．(－1，0)，(1，0)B ．(－6，0)，(6，0)C ．(0，－6)，(0，6)D ．(－6，0)(6，0)2．离心率为32，焦点在x 轴上，且过点(2，0)的椭圆标准方程为( )A.x 24＋y 2＝1 B.x 24＋y 2＝1或x 2＋y 24＝1 C ．x 2＋4y 2＝1D.x 24＋y 2＝1或x 24＋y 216＝13．椭圆x 216＋y 28＝12►随堂巩固1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长，短轴长，离心率依次是( )A ．5，3，45B ．10，6，45C ．5，3，35D ．10，6，352．已知椭圆的焦点在x 轴上，离心率为12，且长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 2＝1 D.x 216＋y 24＝1 3．在一椭圆中以焦点F 1，F 2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率e 等于________．4．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞c )过点(0，4)，离心率为35.(1)求C 得方程；(2)求过点(3，0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．5．如图所示F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．►课时训练1．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1(0＜k ＜9)的关系为( )A ．有相等的长轴B ．有相等的短轴C ．有相同的焦点D ．有相等的焦距2．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m ＞0)，则此椭圆的离心率为( ) A.13 B.33 C.22 D.123．若椭圆x 216＋y 2m ＝1的离心率为13，则m 的值为( )A.1289B.1289或18 C ．18 D.1283或64．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是( )A.x 2144＋y 2128＝1B.x 236＋y 220＝1 C.x 232＋y 236＝1 D.x 236＋y 232＝1 5．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b2＝k (k ＞0)具有( )A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴6．已知点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan∠PF 1F 2＝12，则该椭圆的离心率等于( )A.13B.12C.23D.537．已知椭圆上一点P 到两个焦点的距离的和为4，其中一个焦点的坐标为(3，0)，则椭圆的离心率为________．8．椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是________________________________________________________________________．9．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为________．10．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率e ＝23，短轴长为85，求椭圆的方程．11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12，且椭圆经过点N (2，－3)．(1)求椭圆C 的方程；(2)求椭圆以M (－1，2)为中点的弦所在直线的方程．12．已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M 、N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．►体验高考1．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2离心率为33，过F 2的直线l交C 与A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则椭圆C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1C.x212＋y28＝1 D.x 212＋y 24＝1 2．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．3．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E于A ，B 两点，|AF 1|＝3|BF 1|.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．4．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .答 案►自测自评 1．【答案】D 2．【答案】A3．【答案】解：∵x 216＋y 28＝1中，a 2＝16，b 2＝8，∴c 2＝a 2－b 2＝8.∴e ＝c a ＝224＝22.►随堂巩固 1．【答案】B 2．【答案】A【解析】圆：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径r ＝4⇒a ＝2，又因为e ＝c a ＝12，c ＝1，所以a2＝4，b 2＝3，故选A.3．【解析】由题可知b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，a ＝2c .∴e ＝c a ＝22.【答案】224．【答案】解：(1)将(0，4)代入C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4.又e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3，0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x225＋（x －3）225＝1，即x 2－3x －8＝0，解得x 1＝3－412，x 2＝3＋412，∴AB 的中点坐标x 0＝x 1＋x 22＝32，y 0＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.5．【答案】解：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a ，b ，c .则焦点为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，M 点的坐标为(c ，23b )，则△MF 1F 2为直角三角形．∴|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 3＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a ，所以b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53.►课时训练1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】A【解析】将x 2a 2＋y 2b 2＝k (k ＞0)化为x 2a 2k ＋y 2b 2k＝1.则c 2＝(a 2－b 2)k ，∴e 2＝（a 2－b 2）k a 2k ＝c 2a2.6．【答案】D7.【答案】328．【答案】x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝1.9．【解析】若点P 在第二象限，则由题意可得P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，又∠F 1PF 2＝60°，所以2cb 2a＝tan 60°＝3，化简得3c 2＋2ac －3a 2＝0，即3e 2＋2e －3＝0，e ∈(0，1)，解得e ＝33，故填33. 【答案】3310．【答案】解：∵2b ＝85，∴b ＝4 5. 又c a ＝23，由a 2－c 2＝b 2， 得a 2＝144，b 2＝80. ∴x 2144＋y 280＝1或y 2144＋x 280＝1. 11．【答案】解：(1)由椭圆经过点N (2，－3)， 得22a 2＋（－3）2b2＝1 又e ＝c a ＝12，解得a 2＝16，b 2＝12.∴椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)显然M 在椭圆内，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是以M 为中点的弦的两个端点， 则x 2116＋y 2112＝1，x 2216＋y 2212＝1. 相减得（x 2－x 1）（x 2＋x 1）16＋（y 2－y 1）（y 2＋y 1）12＝0.整理得k AB ＝－12·（x 1＋x 2）16·（y 1＋y 2）＝38，则所求直线的方程为y －2＝38(x ＋1)，即3x －8y ＋19＝012．【答案】解：(1)依题意可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1，则右焦点F 的坐标为(a 2－1，0)，由题意得|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3.故所求椭圆的标准的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设P (x P ，y p )、M (x M ，y M )、N (x N ，y N )，其中P 为弦MN 的中点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋mx 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0. ∵Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)＞0， 即m 2＜3k 2＋1 ①，x M ＋x N ＝－6mk 3k 2＋1，∴x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1.∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk，又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ，因而－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1 ②，把②式代入①式得m 2＜2m ，解得0＜m ＜2，由②式得k 2＝2m －13＞0，解得m ＞12，综上所述，求得m 的取值范围为12＜m ＜2.►体验高考 1．【答案】A A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 【解析】∵△AF 1B 的周长为43，∴4a ＝43，∴a ＝3，∵e ＝c a ＝33，∴c ＝1，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.2．【解析】由题意，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2＝a 2－b 2.不妨设点B 在第一象限，由AB ⊥x 轴，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，A ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . 由于AB //y 轴，|F 1O |＝|OF 2|，∴点D 为线段BF 1的中点，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 22a ，由于AD ⊥F 1B ，知F 1B →·DA →＝0，则⎝⎛⎭⎪⎫2c ，b 2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－3b 22a ＝2c 2－3b 42a 2＝0，即2ac ＝3b 2，∴2ac ＝3(a 2－c 2)， 又e ＝c a，且e ∈(0，1)， ∴3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33(e ＝－3舍去)． 【答案】333．【答案】解：(1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4， 得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1. ∵△ABF 2的周长为16.∴4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8， 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k ＞0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ， 由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k ， 在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|·cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )，化简可得(a ＋k )·(a －3k )＝0，而a ＋k ＞0，故a ＝3k . 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k ，因此|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2，可得AF 1⊥AF 2.∴△AF 1F 2为等腰直角三角形，∴c ＝22a ，e ＝22.4．【解析】解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a由k MN ＝34，得b 22ac ＝34，则2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2//y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4.于是b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a ＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，即b ＝27.∴a ＝7，b ＝27.。
专题6：椭圆的离心率问题26页
专题6：椭圆的离心率问题一、单选题1．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，I ，G 分别为12PF F ∆的内心和重心，当IG x ⊥轴时，椭圆的离心率为A ．13B ．12C D 2．第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD （如图），且两切线斜率之积等于916-，则椭圆的离心率为（ ）A ．34B ．4C ．916D 3．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点和上顶点分别为点()(),0F c b c >和点A ，直线:65280l x y --=交椭圆于,P Q 两点，若F 恰好为APQ 的重心，则椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．3C D4．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且123F PF π∠=，若12F PF ∆的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当4R r =时，椭圆的离心率为（ ）A ．45B ．23C ．12D ．155．已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共交点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率倒数之和的最大值为A．3B ．4C ．2D ．6．已知12(,0)(,0)F c F c -，为椭圆22221x y a b+=的两个焦点，P （不在x轴上）为椭圆上一点，且满足212PF PF c ⋅=，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．32⎢⎣⎭B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3⎫⎪⎣⎭D ．0,2⎛ ⎝⎭7．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12F F ，，点Q 为椭圆上一点. 12QF F 的重心为G ，内心为I ，且12GI F F λ=，则该椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．13D ．3二、填空题8．已知椭圆C ：2222x y a b+=1（a >b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆C 上不与左右顶点重合的动点，设I ，G 分别为△PF 1F 2的内心和重心.当直线IG 的倾斜角不随着点P 的运动而变化时，椭圆C 的离心率为_____.9．如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin 双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球1O ，球2O 的半径分别为3和1，球心距离128OO =,截面分别与球1O ，球2O 切于点E ，F ，（E ，F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．10．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，P 是椭圆上不同于A ，B 的一点，设直线AP ，BP 的斜率分别为m ，n ，则当2233(ln ||ln ||)a m n ⎛⎫-+++ ⎪取得最小值时，椭圆C 的离心率是______.11．已知椭圆C :22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点为F ，经过坐标原点O的直线交椭圆于A ． B 两点，M 、N 分别为线段AF 、BF 的中点，若存在以MN 为直径的圆恰经过坐标原点O ，则椭圆的离心率的取值范围为___.12．已知斜率为1的直线l 经过椭圆2222:1x y M a b+=的左焦点，且与椭圆M 交于A ，B 两点，若椭圆M 上存在点C ，使得ABC 的重心恰好是坐标原点，则椭圆M 的离心率e =______.13．已知中心在原点的椭圆C 的一个端点为)A ，直线:21l y x =+.若C 上存在相异的两点M ，N 关于l 对称，则椭圆C 离心率的取值范围是___________.14．已知点P 为直线40ax y +-=上一点，,PA PB 是椭圆()222:10x C y a a+=>的两条切线，若恰好存在一点P 使得PA PB ⊥，则椭圆C 的离心率为__________.15．已知点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，过点P 的一条直线与圆2222x y a b +=+相交于, A B 两点，若存在点P ，使得22||||PA PB a b ⋅=-，则椭圆的离心率取值范围为_________.16．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>左顶点为A ，O 为坐标原点，若椭圆上存在点M 使OM MA ⊥，则椭圆的离心率e 的取值范围是______.17．已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且124F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为___________.18．已知椭圆221112211:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222222222:1(0,0)x y C a b a b -=>>有相同的焦点F 1、F 2，点P 是两曲线的一个公共点，12,e e 分别是两曲线的离心率，若PF 1⊥PF 2，则22124e e +的最小值为__________．参考答案1．A【分析】结合图像，利用P 点坐标以及重心性质，得到G 点坐标，再由题目条件GI x ⊥轴，得到I 点横坐标，然后两次运用角平分线的相关性质得到MNME 的比值，再结合MIN ∆与MPE ∆相似，即可求得I 点纵坐标，也就是内切圆半径，再利用等面积法建立关于,,a b c 的关系式，从而求得椭圆离心率.【解析】如图，令P 点在第一象限（由椭圆对称性，其他位置同理），连接PO ，显然G 点在PO 上，连接PI 并延长交x 轴于点M ，连接GI 并延长交x 轴于点N ，GI x ⊥轴，过点P 作PE 垂直于x 轴于点E ，设点00(,)P x y ，12(,0),(,0)F c F c -，则00,OE x PE y ==，因为G 为12PF F ∆的重心，所以00(,)33x y G ， 因为IG x ⊥轴，所以I 点横坐标也为03x ，03xON =，因为PM 为12F PF ∠的角平分线，则有01212122()()23x PF PF F N NF FO ON OF ON ON -=-=+--==， 又因为12+2PF PF a =，所以可得0012,33x xPF a PF a =+=-，又由角平分线的性质可得，0110223=3x a F M PF x F M PF a +=-，而12=F M c OM F M c OM +- 所以得03cx OM a=，所以0()3a c x MN ON OM a -=-=，0(3)3a c x ME OE OM a-=-=，所以3INMN a c PEMEa c -==-，即0()3a c y IN a c-=-， 因为1212121211()22PF F S PF PF F F IN F F PE ∆=++= 即00()11(22)(2)232a c y a c c y a c -+=-，解得13c a =，所以答案为A. 【点评】本题主要考查离心率求解，关键是利用等面积法建立关于,,a b c 的关系式，同时也考查了重心坐标公式，以及内心的性质应用，属于难题.椭圆离心率求解方法主要有：（1）根据题目条件求出,a c ，利用离心率公式直接求解.（2）建立,,a b c 的齐次等式，转化为关于e 的方程求解，同时注意数形结合. 2．B【分析】分别设内外层椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>、22221(1)()()x y m ma mb +=>，进而设切线AC 、BD 分别为1()y k x ma =+、2y k x mb =+，联立方程组整理并结合0∆=求1k 、2k 关于a 、b 、m 的关系式，再结合已知得到a 、b 的齐次方程求离心率即可.【解析】若内层椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由离心率相同，可设外层椭圆方程为22221(1)()()x y m ma mb +=>，∴(,0),(0,)A ma B mb -，设切线AC 为1()y k x ma =+，切线BD 为2y k x mb =+，∴12222()1y k x ma x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22223224222111()20a k b x ma k x m a k a b +++-=，由0∆=知：32222224222111(2)4()()0ma k a k b m a k a b -+-=，整理得2212211b k a m =⋅-，同理，222221y k x mb x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得22222(1)b k m a =⋅-，∴4221249()()16b k k a ==-，即22916b a =，故4c e a ===. 故选：B.【点评】关键点点睛：根据内外椭圆的离心率相同设椭圆方程，并写出切线方程，联立方程结合0∆=及已知条件，得到椭圆参数的齐次方程求离心率. 3．C【分析】由题设()(),0,0,F c A b ，利用F 为APQ 的重心，求出线段PQ 的中点为3,22c b B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将B 代入直线方程得592802b c +-=，再利用点差法可得225a bc =，结合222a b c =+，可求出,,a b c ，进而求出离心率. 【解析】由题设()()()()1122,0,0,,,,,F c A b P x y Q x y ，则线段PQ 的中点为()00,B x y ，由三角形重心的性质知2AF FB =，即()00,2,()c b x c y -=-，解得：003,22c bx y ==-即3,22c bB ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入直线:65280l x y --=，得592802b c +-=①.又B 为线段PQ 的中点，则12123,x x c y y b +=+=-，又,P Q 为椭圆上两点，2222112222221,1x y x y a b a b∴+=+=，以上两式相减得()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-+=，所以221212221212365PQy y x x b b c k x x a y y a b -+==-⋅=-⨯=-+-，化简得225a bc =② 由①②及222a b c =+，解得：42a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即离心率5e =. 故选：C.【点评】本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ；②构造,a c 的齐次式，求出e ；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解． 4．B【分析】利用正弦定理得到R =再利用椭圆的定义，设1PF m =，2PF n =，得到2m n a +=，结合余弦定理22242cos3c m n mn π=+-，得到22230a c ac --=，即得解.【解析】椭圆的焦点为()1,0F c -，()2,0F c ，122F F c =根据正弦定理可得121222sin 3sin3F F c R F PF π===∠∴R =，14r R ==. 设1PF m =，2PF n =，则2m n a +=， 由余弦定理得22242cos 3c m n mn π=+- ()22343m n mn a mn =+-=-，∴()2243a c mn -=，∴)12221sin 233F PFa c S mn π∆-==， 又12F PF S ∆=()()1226a c m n c r +++⋅=，∴))2236a c a c -+=即22230a c ac --=， 故2320e e +-=，解得：23e =或1e =-（舍）. 故选：B .【点评】本题考查了椭圆的性质综合应用，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题. 5．A【分析】设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，双曲线方程为22221(0,0)x y m n m n+=>>，焦距为2c 由椭圆和双曲线的定义，不妨设P 在第一象限，求出1212||,||,(,PF PF F F 为焦点），在12PF F ∆中利用余弦定理，求出,,a m c 关系，进而得出椭圆与双曲线的离心率关系，利用三角换元，结合正弦函数的有界性，即可求解.【解析】设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，双曲线方程为22221(0,0)x y m n m n-=>>，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -22222c a b m n =-=+不妨设P 在第一象限，121222PF PF aPF PF m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，得12PF a m PF a m ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩， 在12PF F ∆中，22212121212||||||2||||cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠，即2222222343,4a m c a m c c=++=，设椭圆和双曲线的离心率分别为12221213,,4e e e e +=，设12112cos 1,cos 2sin sin 2e θθθθ=>>=<<< 取π0θ3，12112cos )3e e πθθθ+=+=+， 当6πθ=时，1211e e +取得最大值为3. 故选:A.【点评】本题考查椭圆与双曲线的定义和性质，利用余弦定理和三角换元是解题的关键，属于较难题. 6．A【分析】首先根据椭圆定义可知122PF PF a +=，根据余弦定理2222121212122cos 4PF PF PF PF F PF F F c +-⋅∠==，再根据21212cos PF PF F PF c ⋅∠=，根据这三个式子的变形得到21222cos 123c F PF a c∠=<-和22223a c a ∴-≤，最后求离心率. 【解析】由椭圆的定义，得122PF PF a +=，平方得222121224PF PF PF PF a ++=①.由212PF PF c ⋅=，21212cos PF PF F PF c ∴⋅∠=②，12F PF ∠是锐角，由余弦定理得2222121212122cos 4PF PF PF PF F PF F F c +-⋅∠==③， -③得()22121221cos 44PF PF F PF a c +∠=- ④由②④，得21222cos 123c F PF a c ∠=<-，12F PF ∠是锐角，2220123c a c <<- ， 即22230a c ->且22223c a c <-∴ 2e <. 由②③可知222126PF PF c += ⑤由①⑤可得221223PF PF a c =- ，2122122PF PF PF PF a ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，22223a c a ∴-≤，即223a c ≤，e ∴≥.则椭圆离心率的取值范围是32⎣⎭.故选：A.【点评】本题考查求椭圆的离心率，已知考查转化与化归的思想和变形，计算能力，属于中档题型，本题的关键和难点是三个式子的变形，得到关于,a c 的不等式关系. 7．A【分析】由题意，设Q （x 0，y 0），由G 为△F 1QF 2的重心，得G 点坐标为（03x ，03y ），利用面积相等可得，12×2c•|y 0|=12（2a+2c ）|03y |，从而求椭圆的离心率．【解析】椭圆()222210x y a b a b+=＞＞的左右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），设Q （x 0，y 0），∵G 为△F 1QF 2的重心，∴G 点坐标为 G （03x ，03y ），∵12GI F F λ=，则GI ∥12F F ，∴I 的纵坐标为03y，又∵|QF 1|+|QF 2|=2a ，|F 1F 2|=2c ， ∴12F QF S=12•|F 1F 2|•|y 0|，又∵I 为△F 1QF 2的内心，∴|03y |即为内切圆的半径，内心I 把△F 1QF 2分为三个底分别为△F 1MF 2的三边，高为内切圆半径的小三角形，∴12F QF S=12（|QF 1|+|F 1F 2|+|QF 2|）|03y |， 即12×2c•|y 0|=12（2a+2c ）|03y |，∴2c=a ，∴椭圆C 的离心率为e=12， ∴该椭圆的离心率12，故选：A ．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形的重心与内心的性质、三角形面积计算公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．8．13【分析】首先找到特殊位置，即取P 在上顶点时，内心和重心都在y 轴上，由于内心和重心连线的斜率不随着点P 的运动而变化，可得：GI 始终垂直于x 轴，可得内切圆半径为3a ca c-⋅-y 0，再利用等面积法列式解方程可得：13c a=.【解析】当直线IG 的倾斜角不随着点P 的运动而变化时，取P 特殊情况在上顶点时，内切圆的圆心在y 轴上，重心也在y 轴上， 由此可得不论P 在何处，GI 始终垂直于x 轴， 设内切圆与边的切点分别为Q ，N ，A ，如图所示：设P 在第一象限，坐标为：（x 0，y 0）连接PO ，则重心G 在PO 上， 连接PI 并延长交x 轴于M 点，连接GI 并延长交x 轴于N ， 则GN ⊥x 轴，作PE 垂直于x 轴交于E ，可得重心G （03x ，03y ）所以I 的横坐标也为03x ，|ON |03x =，由内切圆的性质可得，PG =P A ，F 1Q =F 1N ，NF 2=AF 2， 所以PF 1﹣PF 2=（PG +QF 1）﹣（P A +AF 2）=F 1N ﹣NF 2=（F 1O +ON ）﹣（OF 2﹣ON ）=2ON 023x =， 而PF 1+PF 2=2a ，所以PF 1=a 03x +，PF 2=a 03x -， 由角平分线的性质可得01102233x a PF F M c OM x PF MF c OM a ++===--，所以可得OM 03cx a=，所以可得MN =ON ﹣OM ()000333a c x x cx a a-=-=， 所以ME =OE ﹣OM =x 0()00333a c x cx a a--=， 所以3IN MN a c PE OE a c -==-，即IN 3a c a c -=⋅-PE 3a ca c -=⋅-y 0， 1212PF F S =（PF 1+F 1F 2+PF 2）⋅IN 1212F F PE =⋅，即12（2a +2c ）001232a c y c y a c -⋅⋅=⋅⋅-， 所以整理为：13c a =，故答案为：13.【点评】本题考查了求椭圆的离心率，考查了内心和重心的概念，考查了转化思想和较强的计算能力，其方法为根据条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，化简可得.本题属于难题.9【分析】利用已知条件和几何关系找出圆锥母线与轴的夹角为α ，截面与轴的夹角为β 的余弦值，即可得出椭圆离心率．【解析】如图，圆锥面与其内切球1O ，2O 分别相切与,A B ，连接12,O A O B ,则1O A AB ⊥，2O B AB ⊥，过2O 作21O D O A 垂直于D ，连接12,O E O F ，EF 交12O O 于点C设圆锥母线与轴的夹角为α ，截面与轴的夹角为β.在21Rt O DO 中，1312DO ，22282215O D11221515cos84O O O D 128O O = 128CO O C 12EO C FO C22128O CO CO EO F 解得2=2O C 222222213CFO FO C即23cos2CFO C则椭圆的离心率cos 252cos515e【点评】“双球模型”椭圆离心率等于截面与轴的交角的余弦cos β与圆锥母线与轴的夹角的余弦cos α之比，即coscose．10．2【分析】设出P 的坐标,得到mn (用a ,b 表示)，求出2a a a b ln m ln n ln mn ln b b b a ++=+=+，令1a t b =>，则()3222363f t t t t lnt =-+-，利用导数求得使()f t 取最小值的t ，可得2ab=，则椭圆离心率可求 ．【解析】解：(),0A a -，(),0B a ，设0(P x ，0)y ，则()2220202b a x y a -=，则00y m x a =+，00y n x a =-，2202220y b mn x a a ∴==--，∴()22333a ln m ln n b mn mn⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭ 3222222223623633a b a a a b ln ln b b b a b b b a a a ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪--⎪⎝⎭， 令1at b=>，则()3222363f t t t t lnt =-+-．()()()2322232436t t t t t f t t t-+-+-'==， ∴当2t =时， 函数()f t 取得最小值()2f ．∴ 2a b =．e ∴==，【点评】关键点点睛：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、关键利用导数研究函数的单调性极值与最值．11．2，1)【分析】设AB 方程为y kx =，联立方程组求出A ，B 坐标，进而得出M ，N 的坐标，由OM ON ⊥列方程得到关于k 的方程，令此方程有解得出a ，b ，c 的关系，从而得出离心率的范围．【解析】设直线AB 的方程为y kx =，联立方程组22221y kxx y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元得222222()a k b x a b +=，A ∴，B，又(,0)C c ，M ，N 是AF ，BF 的中点，2c M ∴+，，2c N，以MN 为直径的圆恰经过坐标原点O ，OM ON ∴⊥，222)0222c c abk a k -∴+=+，即222222222222044()4()c a b a b k a k b a k b --=++， 222222222()0c a k b a b a b k ∴+--=，2222222224()a c a b k a b b c b ∴-=-=，即22224()a c b k b -=，存在符合条件的直线AB ，使得OM ON ⊥，∴关于k 的方程22224()a c b k b -=有解，22c b ∴>，即222c a c >-，222c a ∴>，∴2212c a>，c e a ∴=>，又1e <，∴12e <<． 故答案为：(2，1)．【点评】离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，求离心率范围应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的不等式，从而求出e 的范围. 12．5【分析】设点A ，B ，C 坐标分别为(),1,2,3i i x y i =，则根据题意有12312300x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩，分别将点A ，B ，C 的坐标代入椭圆方程得12122212x x y y a b +=-，然后联立直线l 与椭圆方程，利用韦达定理得到12x x 和12y y 的值，代入12122212x x y y a b +=-得到关于,,a b c 的齐次式，然后解出离心率.【解析】设A ，B ，C 坐标分别为(),1,2,3i i x y i =，因为ABC 的重心恰好是坐标原点，则12312300x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩，则()()312312x x x y y y ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩，代入椭圆方程可得()()221212221x x y y a b +++=， 其中22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以12122212x x y y a b +=-……① 因为直线l 的斜率为1，且过左焦点，则l 的方程为：x y c =-，联立方程22221x y cx y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 可得：()2222420a b y b cy b +--=，所以212222b c y y a b +=+，41222b y y a b-=+……②所以()()()4421212121222c b x x y c y c y y c y y c a b-=--=-++=+……③，将②③代入①得22225c e a ==，从而5e =.故答案为：5【点评】本题考查椭圆的离心率求解问题，难度较大.解答时,注意A ，B ，C 三点坐标之间的关系，注意韦达定理在解题中的运用.13．11⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】由题意，设椭圆()22:10,33x y C λλλ+=>≠，()11,M x y ，()22,N x y ，M ，N 的中点为()00,P x y ，由()00,P x y 在C 内，可得不等式220013x y λ+<，从而得到关于λ的不等式，解不等式可得λ的取值范围，从而求得离心率的范围.【解析】由题意，设椭圆()22:10,33x y C λλλ+=>≠，()11,M x y ，()22,N x y ，M ，N 的中点为()00,P x y ，则221113x y λ+=，222213x y λ+=，两式相减得，()()()()1212121203x x x x y y y y λ+-+-+=，而1202x x x +=，1202y yy +=. 所以，MN 所在直线的斜率211202112033MN y y x x xk x x y y y λλ-+==-=--+， 由M ，N 关于l 对称，直线MN l ⊥，故00132x y λ-=-①，又()00,P x y 在l 上，所以0021y x =+②，联立①与②的方程，解得，0326x λ=-，03y λλ=-.由题意，()00,P x y 在C 内，可得220013x y λ+<，化简2428330λλ-+>，即()()232110λλ-->，解得302λ<<或112λ>. 令椭圆C 的离心率为e ，当302λ<<时，C 的焦点在x 上，233e λ-=，即233e λ=-，故230332e <-<，所以12e <<； 当112λ>时，C 的焦点在y 上，23e λλ-=，即231e λ=-，故231112e >-1e <<.<，所以C 的离心率的取值范围是11,1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：11⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【点评】本题考查椭圆与直线方程、离心率等综合知识以及推理论证与运算求解能力.14 【分析】首先设(,)P m n ，过点P 切线为()y n k x m -=-，根据直线与椭圆相切，联立0∆=得到2222()210a m k mnk n -++-=，因为PA PB ⊥，得到121k k =-，即2221m n a +=+.从而得到(0,0)到直线40ax y +-=的距离为a =.【解析】设(,)P m n ，过点P 切线为()y n k x m -=-，由题知：联立222222222()(1)2()[()1]01y n k x m k a x ka n km x a n km x y a-=-⎧⎪⇒++-+--=⎨+=⎪⎩， 因为直线与椭圆相切，所以2422222=4()4(1)[()1]0k a n km a k a n km ∆--+--=， 整理得：2222()210a m k mnk n -++-=. 设切线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，因为PA PB ⊥，所以212221=1n k k a m-=--，即2221m na +=+.所以点P 在以(0,0)即(0,0)到直线40ax y +-=.d ==a =又因为1b =，所以c =e ==.【点评】本题主要考查离心率的求法，同时考查了直线与椭圆的位置关系，属于难题.15．⎫⎪⎪⎣⎭【分析】设()00,P x y ，设出直线AB 的参数方程，利用参数的几何意义可得22||||,PA PB b a ⎡⎤∈⎣⎦,由题意得到222a b ，据此求得离心率的取值范围.【解析】设()00,P x y ，直线AB 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩，(t 为参数)代入圆2222x y a b +=+，化简得：()2222200002cos sin 0t x y t x y a b αα++++--=， ()22222222120000||||PA PB t t x y a b a b x y ∴==+--=+-+， 222200,x y b a ⎡⎤+∈⎣⎦， 22||||,PA PB b a ⎡⎤∴∈⎣⎦，存在点P ，使得22||||PA PB a b ⋅=-，222a b b ∴-，即222a b ， 222a c ∴，212e ∴，12e ≤<，故答案为：2⎫⎪⎪⎣⎭【点评】本题主要考查了椭圆离心率取值范围的求解，考查直线、圆与椭圆的综合运用，考查直线参数方程的运用，属于中档题.16．,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【分析】M 的轨迹方程为：()222,024a a x y y ⎛⎫++=≠ ⎪⎝⎭，联立方程化简得到222220a b x ax b a-++=，根据对应函数的对称轴计算得到答案. 【解析】椭圆上存在点M 使OM MA ⊥，即M 的轨迹方程为：()222,024a a x y y ⎛⎫++=≠ ⎪⎝⎭.联立方程2222222124x y a b a ax y ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪++= ⎪⎪⎝⎭⎩ ，化简得到222220a b x ax b a -++=. 易知：x a =-是方程的解，且0x =时，222220a bx ax b a-++>.方程在(),0a -上有解，只需满足：22202ax a a b a >=->-- ，解得c e a =>.故答案为：⎫⎪⎪⎝⎭.【点评】本题考查了椭圆的离心率问题，确定M 的轨迹方程是解题的关键. 17．2【分析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的半实轴长2a ，焦距2c ．由椭圆及双曲线定义用1a ，2a 表示出1||PF ，2||PF ，在△12F PF 中根据余弦定理可得到1a ，2a 与c 的关系，转化为离心率，再由基本不等式得结论．【解析】解：如图，设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的半实轴长为2a ， 则根据椭圆及双曲线的定义：121||||2PF PF a +=，122||||2PF PF a -=，112||PF a a ∴=+，212||PF a a =-，设12||2F F c =，124F PF π∠=，则：在△12PF F 中由余弦定理得，222121212124()()2()()cos4c a a a a a a a a π=++--+-，化简得：22212(2(24a a c +=，124+=，又1212122e e ，∴1212e e ，即1222e e ，即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为2． ．【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，求出焦点三角形的边长，属于中档题． 18．92【解析】【分析】由题意设焦距为2c ，椭圆长轴长为2a 1，双曲线实轴为2a 2，令P 在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推志出a 12+a 22=2c 2，由此能求出4e 12+e 22的最小值．【解析】由题意设焦距为2c ,椭圆长轴长为12a ,双曲线实轴为22a ，令P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义1222PF PF a -=，① 由椭圆定义1212PF PF a +=，② 又∵PF 1⊥PF 2， ∴22212||4PF PF c +=，③①2+②2,得22221212||22PF PF a a +=+，④将④代入③,得222122a a c +=，∴[)90,110.故答案为：92.【点评】本题主要考查了双曲线与椭圆离心率的计算，用到了双曲线和椭圆的定义及基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，属于中档题.。
(完整版)椭圆基本知识点总结
椭圆知识点知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+b y a x )0(>>b a 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的简单几何性质标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+b x a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤对称性关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 )0,(a ±，),0(b ±),0(a ±，)0,(b ±轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2离心率)10(<<=e ace c a F A F A -==2211；c a F A F A +==1221；c a PF c a +≤≤-1； (p 是椭圆上一点)1．椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义222c b a +=2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长ab 223.最大角:p 是椭圆上一点，当p 是椭圆的短轴端点时，21PF F ∠ 为最大角。
4.焦点三角形的面积2tan221θb S F PF =∆，其中21PF F ∠=θ5. 用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上． (2)设方程：①依据上述判断设方程为2222by a x +=1)0(>>b a 或2222a y b x +=1)0(>>b a②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )． (3)找关系，根据已知条件，建立关于a ，b ，c 或m ，n 的方程组． (4)解方程组，代入所设方程即为所求． 6.点与椭圆的位置关系: 2222b y a x +<1,点在椭圆内，2222b y a x +=1，点在椭圆上，2222b y a x +>1, 点在椭圆外。
椭圆专题讲解
椭圆第一课时：椭圆标准方程，定义法求轨迹一、知识要点：1.椭圆的定义： 实际上,当2121F F PF PF >+时为 ; 当2121F F PF PF =+时为 ; 当2121F F PF PF <+时 .2.二、典型例题例1、A 、B 两点相距4个单位长度，试求（1）平面内到A 、B 两点距离和为6的所有点组成的集合；（2）平面内到A 、B 两点距离和为4的所有点组成的集合；（3）平面内到A 、B 两点距离和为2的所有点组成的集合。
变式1：已知△ABC 中AB 长为4，周长为10，求C 的轨迹变式2：△ABC 的三边,,a b c 成等差数列，且满足a b c >>，A 、C 两点的坐标分别是)1,0(、)1,0(-，求顶点B 的轨迹方程。
例2、已知圆O 11)2(22=++y x 圆O 2()49222=+-y x ，若动圆P 与一个内切与另一个外切，试求P 轨迹。
变式1：若将上题中圆O 2方程改为()25222=+-y x 呢？变式2：如图，P 为圆B ：(x ＋2)2＋y 2＝36上一动点，点A 坐标为(2,0)，线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ，求点Q 的轨迹方程．例3、（1）椭圆焦距为6，且b a 2=，则其标准方程为 ;（2）椭圆方程为1322=+y x ，则其焦点坐标为 ，右顶点坐标为 ； （3）椭圆方程为1222=+y x ，则其焦点坐标为 ，右顶点坐标为 ；变式1：若方程()()15122=-++y k x k 表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 需满足 ，若其表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 需满足 ，若其表示圆，则k 需满足 ，若其表示椭圆则k 需满足 ，例4、已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点⎝⎛⎭⎫52，－32，求它的标准方程。
（两种方法）变式1：求适合下列条件的椭圆的标准方程： （１） 长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)；（２）（３） 经过点P (-，Q 2)-两点；例5、A 为圆422=+y x 上的一点，过A 做AB 垂直于x 轴，交于B ，C 为AB 中点，试求点C 轨迹。
椭圆标准方程的教案6篇
椭圆标准方程的教案6篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如心得体会、演讲致辞、合同协议、规章制度、条据文书、应急预案、策划方案、教学资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!Moreover, our store provides various types of classic sample essays, such as insights, speeches, contract agreements, rules and regulations, policy documents, emergency plans, planning plans, teaching materials, complete essays, and other sample essays. If you want to learn about different sample formats and writing methods, please pay attention!椭圆标准方程的教案6篇教案的编写需要充分考虑学生的学习特点和需求，教案能够帮助教师更好地设计评价方式，准确评估学生的学习成果和进步，本店铺今天就为您带来了椭圆标准方程的教案6篇，相信一定会对你有所帮助。
第一讲 椭圆中常用的结论及解法技巧(学生版)
第一讲椭圆中常用结论及解法技巧【知识要点】一．椭圆三大定义定义1．到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆．几何性质：椭圆上任一点到两焦点的距离之和为定值．定义2．到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为定值（小于1）的点的轨迹是椭圆．几何性质：椭圆上任一点到左（右）焦点的距离与到左（右）准线的距离之比为离心率e ．定义3．到两个定点的斜率之积为定值（小于0且不等于1-）的点的轨迹是椭圆．几何性质：椭圆上任一点到左右（上下）两顶点的斜率之积为22ab -．二．椭圆经典结论汇总1．AB 是椭圆()012222>>=+b a by a x 的不平行于对称轴的弦，),(00y x M 为AB 的中点，则22a b k k ABOM -=⋅，即0202y a x b k AB -=．等价形式：21,A A 是椭圆()012222>>=+b a by a x 上关于原点对称的任意两点，B 是椭圆上其它任意一点，直线B A B A 21,的斜率存在，则2221ab k k BA B A -=⋅．2．椭圆()012222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上任意一点θ=∠21PF F 则（1）2122||||1cos b PF PF θ=+；（2）椭圆的焦点角形的面积为2tan 221θb S PF F =∆．3．过椭圆()012222>>=+b a b y a x 上任一点),(00y x A 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于C B ,两点，则直线BC 有定向且022y a x b k BC=（常数）．4．P 为椭圆()012222>>=+b a b y a x 上任一点，21,F F 为二焦点，A 为椭圆内一定点，则||2||||||2112AF a PF PA AF a +≤+≤-，当且仅当P F A ,,2三点共线时，等号成立．5．已知椭圆()012222>>=+b a by a x ，O 为坐标原点，Q P ,为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥，（1）22221111||||OP OQ a b +=+；（2）22||||OQ OP +的最大值为22224a b a b +；（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b+．6．椭圆()012222>>=+b a by a x 的焦半径公式：)),(),0,(),0,((,||,||00210201y x M c F c F ex a MF ex a MF --=+=7．若),(000y x P 在椭圆12222=+by a x 内，则被0P 所平分的中点弦的方程是222202020by a x b y y a x x +=+．8．若),(000y x P 在椭圆12222=+by a x 内，则过0P 的弦中点的轨迹方程是20202222byy a x x b y a x +=+．9．若),(000y x P 在椭圆12222=+by a x 上，则过0P 的椭圆的切线方程是12020=+b y y a x x ．10．若),(000y x P 在椭圆12222=+by a x 外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为21,P P ，则切点弦21P P 的直线方程是12020=+byy a x x ．11．设椭圆()012222>>=+b a by a x 的两个焦点为P F F ,,21（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在21F PF ∆中，记12F PF α∠=，12PF F β∠=，12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+．12．若P 为椭圆()012222>>=+b a b y a x 上异于长轴端点的任一点，21,F F 是焦点，12PF F α∠=,21PF F β∠=，则2tan 2tan βα=+-c a c a ．13．设B A ,是椭圆()012222>>=+b a by a x 的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=，PBA β∠=，BPA γ∠=，e c 、分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-；(2)2tan tan 1e αβ=-；(3)22222cot PAB a b S b a γ∆=-．14．椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e ．15．椭圆()012222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上任意一点θ=∠21PF F ，椭圆的焦点角形的内心为I ，P I y e e y +=1，c a PI -=2cos ||θ．16．点P 处的切线PT 平分21F PF ∆在点P 处的外角．17．若椭圆()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，左准线为l ，则当120-≤<e时，可在椭圆上求一点P ，使得1PF 是P 到对应准线距离d 与2PF 的比例中项．18．过椭圆()012222>>=+b a by a x 的右焦点F 作直线交该椭圆右支于N M ,两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则2||||eMN PF =．19．已知椭圆()012222>>=+b a by a x ，B A ,是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ，则22220a b a b x a a---<<．20．椭圆()012222>>=+b a by a x 的两个顶点为()()0,,0,21a A a A -，与y 轴平行的直线交椭圆于21,P P 时11P A 与22P A 交点的轨迹方程是12222=-by a x ．【例题解析】【例1】已知21,F F 分别是椭圆()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且0)(11=+⋅→→→OP OF PF （O 为坐标原点），若||2||21→→=PF PF ，则椭圆的离心率为（）A．36-B．236-C．56-D．256-【例2】已知定圆1)5(:221=++y x C ，225)5(:222=+-y x C ，定点)1,4(M ，动圆C 满足与1C 外切且与2C 内切，则||||1CC CM +的最大值为（）A．216+B．216-C．316+D．316-【例3】过原点的一条直线与椭圆()012222>>=+b a by a x 交于B A ,两点，以线段AB 为直径的圆过该椭圆的右焦点2F ，若]4,12[2ππ∈∠ABF ，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．)1,22[B．]36,22[C．)1,36[D．]23,22[【例4】已知椭圆()012222>>=+b a by a x 上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若BF AF ⊥，设α=∠ABF ，且4,6[ππα∈，则该椭圆离心率e 的取值范围为（）A．]13,22[-B．)1,22[C．]23,22[D．]36,33[【例5】已知21,F F 是椭圆13422=+y x 的左右焦点，点M 的坐标为)23,1(-，则21MF F ∠的角平分线所在直线的斜率为()A．2-B．1-C．3-D．2-【例6】已知椭圆：()012222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆上的一点，2PF 与椭圆交于Q 。
椭圆专题：椭圆中焦点三角形的6种常见考法高二数学上学期同步讲与练(选择性必修第一册)(原卷版)
椭圆专题：椭圆中焦点三角形的6种常见考法焦点三角形的定义与常用性质1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。
一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立12+AF AF ，2212+AF AF ，12AF AF 之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题（设12∠F AF 为 ）2、常用性质性质1：122+=AF AF a ，122+=BF BF a （两个定义）拓展：12∆AF F 的周长为121222++=+AF AF F F a c1∆ABF 的周长为12124+++=AF AF BF BF a性质2：222212121242cos ==+-c F F AF AF AF AF θ（余弦定理）性质3：当A 为短轴的端点时，12∠F AF 最大推导：由性质2得，()222221212121212244c cos 22+--+-==AFAF AF AF c AF AF AF AF AF AF θ()222121212224221--==-a AF AF cb AF AF AF AF .∵212212+=22⎛⎫≤ ⎪⎝⎭AF AF AF AF a ，当且仅当12=AF AF 时，即点A 是短轴端点时取等号，∴2221222cos 11=-≥-b b AF AF aθ.又∵cos =y θ在()0,π上单调递减，∴当A 为短轴的端点时，12∠F AF 最大。
性质4：122121sin tan 22∆===AF F A S AF AF b c y θθ当=A y b ，即A 为短轴的端点时，12∆AF F 的面积最大，最大值为bc推导：由性质3的推导过程得2122cos 1=-b AF AF θ∴21221cos =+b AF AF θ，∴122221222sincos 11222sin sin tan 221cos 22cos 2∆==⋅⋅=⋅=+AF F b S AF AF b b θθθθθθθ题型一椭圆中焦点三角形的周长问题【例1】已知∆ABC 的顶点B ，C 在椭圆2211216x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 边上，则∆ABC的周长是（）A．23B．3C．8D．16【变式1-1】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F ，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若2∆ABF 的周长为16，则=a （）A．2B．4C．6D．8【变式1-2】椭圆C ：2221(0)x y a a+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上异于左右顶点的任意一点，1PF 、2PF 的中点分别为M 、N ，O 为坐标原点，四边形OMPN 的周长为4，则12∆PF F 的周长是_____．【变式1-3】已知椭圆的方程为22194x y +=，过椭圆中心的直线交椭圆于A 、B 两点，2F 是椭圆的右焦点，则2ABF 的周长的最小值为______．题型二椭圆中焦点三角形的面积问题【例2】椭圆C ：2214924x y +=的焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若18PF =，则12PF F △的面积为（）A．48B．40C．28D．24【变式2-1】设12,F F 是椭圆2211224x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且1213cos F PF ∠=.则12PF F △的面积为（）A．6B．C．8D．【变式2-2】已知1F 、2F 为椭圆22:14x y Γ+=的左、右焦点，M 为Γ上的点，则12MF F △面积的最大值为（）B．2C．D．4【变式2-3】已知点P 为椭圆C ：22195x y +=上一点，点1F ，2F 分别为椭圆C 的左､右焦点，若122PF PF =，则12PF F △的内切圆半径为（）B．155题型三椭圆中焦点三角形的个数问题【例3】已知点1F 、2F 为椭圆22143x y+=的左、右焦点，若点P 为椭圆上一动点，则使得123F PF π∠=的点P 的个数为（）A．0B．2C．4D．不能确定【变式3-1】设椭圆22:184x y Γ+=的左、右两焦点分别为1F ，2F ，P 是Γ上的点，则使得12PF F △是直角三角形的点P 的个数为_________.【变式3-2】已知1F 、2F 为椭圆22143x y+=的左、右焦点，若M 为椭圆上一点，且12MF F △的内切圆的周长等于π，则满足条件的点M 的个数为（）A．2B．4C．0D．不确定【变式3-3】若1F 、2F 分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，M 是椭圆上的任意一点，且12MF F △的内切圆的周长为3π，则满足条件的点M 的个数为（）A．2B．4C．6D．不确定题型四椭圆中焦点三角形的顶点坐标问题【例4】已知1F 、2F 为双曲线C :221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，21PF F ∠=︒60，则P 到x 轴的距离为（）A.2B.2【变式4-1】已知椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若12PF F △为直角三角形，则点P 到x 轴的距离为（）或94B．3D．94【变式4-2】椭圆22194x y +=的焦点F 1，F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P横坐标的取值范围是（）A．B．）C．（﹣5，5）D．（﹣5，5）【变式4-3】椭圆22:14x C y +=的左右焦点分别为12,F F ，点M 为其上的动点，当12F MF ∠为钝角时，点M 的纵坐标的取值范围是____________.题型五椭圆中焦点三角形的中位线问题【例5】设1F ，2F 为椭圆22194x y+=的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则21PF PF 的值为（）A．513B．45C．27D．49【变式5-1】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（）B．D．【变式5-2】已知椭圆22:194x y C +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为,A B ，线段MN 的中点在椭圆C 上，则AN BN +的值为（）A．6B．12C．18D．24【变式5-3】如图，若P 为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上一点，()F -为椭圆的焦点，若以椭圆短轴为直径的圆与PF 相切于中点，则椭圆C 的方程为___________.题型六椭圆中焦点三角形的角平分线问题【例6】已知1F ，2F 是椭圆C ：22214x y b+=的左、右焦点，离心率为12，点A 的坐标为3(1,)2，则12F AF ∠的平分线所在直线的斜率为（）A．2B．1【变式6-1】已知12F F ，是椭圆221369x y+=的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，过1F 引12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最近距离为（）A．5B．4C．3D．2【变式6-2】已知椭圆()2221024x y b b+=<<，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，()2,1M ，1MF 平分角12PF F ∠，2MF 是角21PF F ∠的外角平分线，则1MPF 与2MPF 的面积之和为()A．1B．32C．2D．3【变式6-3】已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点，P 是椭圆上任一点，从2F 引12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为（）A．圆B．两个圆C．椭圆D．两个椭圆。
高中数学椭圆总结(全)
椭圆一．知识清单 1.椭圆的两种定义：①平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()2122F F a a >的动点P 的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。
其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。
②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P|e dPF =，0＜e ＜1的常数}。
（1=e 为抛物线；1>e 为双曲线）（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化，定点为焦点，定直线为准线）.2 标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。
其中22b a c -=（一个Rt 三角形）（2）焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。
其中22b a c -=注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -=并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。
3 参数方程：焦点在x 轴，⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）4 一般方程：)0,0(122>>=+B A By Ax5.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b ＞0）有以下性质：坐标系下的性质：① 范围：|x|≤a ，|y|≤b ；② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）；③ 顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ；（a 半长轴长，b 半短轴长）；④椭圆的准线方程：对于12222=+by a x ，左准线c a x l 21:-=；右准线c x l 22:= 对于12222=+bx a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c y l 22:=焦点到准线的距离cb c c a c c a p 2222=-=-=（焦参数） 椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称⑤焦半径公式：P （x 0，y 0）为椭圆上任一点。
椭圆的标准方程邬6
2
2
(a > b > 0 )
它也是椭圆的标准方程. 它也是椭圆的标准方程.
椭圆的标准方程
定 义 y 图 形 |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0) y
M F1
F 2 M
o
F2
x
o
F1
x
方 程 焦 点 a,b,c之间
的关系
x2 y 2 + 2 = 1 (a > b > 0) 2 a b
F(±c,0) F(±
MF1 + MF2 = 2a
F1 F2 = 2c
2a > 2c > 0时, 为椭圆
2,椭圆的标准方程 ,
求曲线方程的方法步骤是什么? 求曲线方程的方法步骤是什么? 建系: 建立适当的直角坐标系; 建系: 建立适当的直角坐标系; ( )是曲线上任意一点; 设点: 设M(x,y)是曲线上任意一点; 列式: 建立关于x,y的方程 列式: 建立关于 的方程 f(x,y)=0; ; 化简: 化简方程f(x,y)=0. 化简: 化简方程 证明: 说明曲线上的点都符合条 证明: 纯粹性); );符合条件的点都在 件(纯粹性);符合条件的点都在 曲线上(完备性) 曲线上(完备性).
演示1 演示
椭圆及其标准方程
演示2 演示
《椭圆》课件 2003年 11月
1,椭圆的定义: ,椭圆的定义:
F1
M
F2
平面内到两个定点 的距离之和 平面内到两个定点F1,F2的距离之和等 常数(大于|F 椭圆. )的点的轨迹叫做椭圆 于常数(大于 1F2|)的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点, 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离 焦点 叫做椭圆的焦距 焦距. 叫做椭圆的焦距.
高二数学椭圆标准方程6
2 2
a c 0 a c 0 令 a 2 c 2 b2 , b 0
∴ b 2 x 2 a 2 y 2 a 2b 2
则，椭圆的方程为：
x y 1 2 2 a b
2
2
推导椭圆的标准方程
求曲线方程的基本步骤？
F1
y
0
F2
x
建系 设点 找等量关系 坐标化 化简、检验
4
( x c ) 2 y 2 2a ( x c ) 2 y 2
a cx a ( x c ) y
2 2
2
a 2a cx c x a x 2a cx a c a y
2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
2
∴
(a c ) x a y a (a c )
( x 2 y 2 c 2 ) 2 4c 2 x 2 4a 4 ( x 2 y 2 c 2 ) 2 4a 2 ( x 2 y 2 c 2 )
4c 2 x 2 4a 4 4a 2 ( x 2 y 2 c 2 )
(a c ) x a y a (a c )
2 2
y2 x2 2 1( a b 0) 2 a b
2. 标准方程的简单应用 一种方法（待定系数系法）
两种思想（数形结合、分类讨论）
椭圆的定义
PF1 PF2 2a ( 2a 2c 0)
图形
2 x 2 y 1( a b 0) a2 b 2
标准方程 焦点坐标 a,b,c的关系 焦点位置的 判断
2 2 2
1、填空：
x2 y2 (1)已知椭圆的方程为 25 16 1 ，则a=___ 5 ， 4 ，c=____ 3 ，焦点坐标为____________ b=___ (3,0)、(-3,0)
椭圆准线的六种作图方法
椭圆准线的六种作图方法
1、等值线法：等值线法是一种椭圆准线作图的最常用方法，它是
依据特定格式的椭圆准线数据，将这些椭圆准线上的点与特定的地理
点相连接而形成等值线的作法。
2、参数表达式法：参数表达式法是一种利用椭圆准线的参数表达
式来求解椭圆准线的方法，通过建立一个参数字典，将椭圆准线的节
点按照某种特定的方向连接，从而得到椭圆准线的图形。
3、对数变换法：对数变换法是一种利用特定的几何学变换手段，
将椭圆投影平面上的点置换到x-y-z三维坐标系中，然后通过对x-y-z
三维坐标系中的椭圆准线求解来作图的方法。
4、数值积分法：数值积分法是一种以数值椭圆函数表示椭圆准线，再利用数值积分运算法来获得椭圆准线上每一点坐标的方法。
5、延伸归纳法：延伸归纳法是一种以前存在的椭圆准线数据派生
新的椭圆准线图形，以此作出新的椭圆准线图形的方法。
6、球坐标法：球坐标法是一种以球形椭圆函数参数化椭圆准线，
再利用特定的三维坐标系归纳方法求解椭圆准线图形的方法。
它是一
种比较特殊的椭圆准线作图方法，适用于在球形椭圆上作图的场合。
第6节 椭圆综合探究-【触摸数学】GeoGebra高中数学实验探究与应用教程
第6节 椭圆综合探究椭圆中值得探究的问题很多，如：如何构造一个椭圆，椭圆具有何种几何性质，还包括了定点、定值、最值的综合研究．【实验1】椭圆的构造椭圆的构造方法较多，前文已经作了介绍．本节将对这些方法做一个回顾和总结． 【探究问题1】设)0,(),0,(21c F c F -（c 称为半焦距，21,F F 称为焦点，0>c ），若动点M 满足21MF MF +是个定值)(2c a a >，则点M 的轨迹是个椭圆．【探究步骤】1.创设参数c ，范围为()5,0，增量1.0，在GGB 的绘图区中绘制)0,(),0,(21c F c F -；2.创设参数r ，范围为()5,0，增量1.0，选择“圆（圆心和半径长）”工具，点击点1F ，在弹出对话框中输入半径r ，得到圆1F ；3.创设参数a ，范围为()5,0，增量1.0，选择“圆（圆心和半径长）”工具，点击点2F ，在弹出对话框中输入半径r a -2，得到圆2F ；4.选择两圆的交点M ，显然地，点M 满足了a MF MF 221=+，跟踪点M ；5.拉动滑杆r ，观察点M 的轨迹．6.选择“轨迹”工具，点击点M 和滑杆r ，作出点M 的轨迹，即是焦点在x 轴上的椭圆． 关于此种情形下椭圆方程的推导，不再详述．借助这个课件对椭圆定义中的c a >的规定作探讨．7.隐藏除椭圆外的其它无关元素；8.拉动滑杆a ，在c a >的前提下，使a 值与c 值慢慢靠近，发现了什么？此时椭圆的焦距没有改变，但随着a 值与c 值慢慢靠近，椭圆变得越来越扁，当c a =时，轨迹变成了一条线段，当c a <时，轨迹就不存在了．如果要使轨迹为椭圆，必须有c a >这一前提条件．在刚才的数学实验中，还发现另一个现象：随着a 值与c 值慢慢靠近，椭圆变得越来越扁．习惯上，用离心率ace =来衡量椭圆的圆扁程度．因为c a >，所以椭圆的离心率10<<e ．当1→e 和0→e 时，椭圆的圆扁程度有何变化呢？9.在指令栏输入“a c /”，得到离心率的值；10.拉动滑杆c ，让c 值从０慢慢增加到a ，可以观察到，此时椭圆将从圆变得越来越扁，故1→e ，椭圆变得越来越扁，而0→e 时，椭圆变得越来越圆．【说明】步骤3设置参数a 时，为了后面研究c a c a <=,时轨迹方便，并未设定c a >，如想设置c a >，可在参数a 的范围设置时，把最小值设为c ．【探究问题2】除了可以如【探究问题1】所示，把椭圆看成是到两个定点距离之和等于定长（定长大于两定点间距离）的点的轨迹．还可以引入椭圆的第二定义．设c a x 2±=为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的准线（焦点在y 轴上的椭圆，准线也类似设置）．则椭圆还可以看到是动点到焦点的距离与它到相应准线的距离之比等于离心率的点的轨迹．双曲线和抛物线也有类似性质，所以这个第二定义又称为圆锥曲线的统一定义．按此定义作出椭圆的图象，已经在第二章第6节的【实验3】作过，此处不再重复． 【探究问题3】除以上两个定义，还可以这样构造椭圆：取关于原点对称的两个定点',A A ，作⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-))'(()'())(()(A x x k m A y y A x x k A y y 的交点，当0<m 时，所构造交点的轨迹也是椭圆．此时，这两条直线除了分别过定点',A A ，还有一个明显特征：它们的斜率之积等于一个负常数（如果0>m ，则轨迹为双曲线）．这个探究过程，在第二章第６节的【实验1】已经完成． 【探究问题4】对圆122=+y x 实施)0(''>⎩⎨⎧==λλy y x x （其中)',')(,(y x y x 分别表示变换前和变换后两对应点的坐标）变换，设变换前任一点A ，在变换后对应的点为'A ，则A 与'A 横坐标相等，'A 点的纵坐标变为点A 纵坐标的λ倍．当1>λ时，它实施的是纵向拉伸的变换，得到的是焦点在y 轴上的椭圆，当10<<λ时，它实施的是纵向压缩的变换，得到的是焦点在x 轴上的椭圆．对于此问题的探究，在第二章第6节的【实验2】已经完成． 【探究问题5】以)2,4(),2,4(),2,4(),2,4(----为顶点，构造矩形ABCD ，又设点)40)(22,4(),0,(),2,0(),2,0(<<--a aF a E HG ，试探究直线HF GE ,交点的轨迹方程．【探究步骤】1.作以)2,4(),2,4(),2,4(),2,4(----为顶点的矩形ABCD ；2.作出)22,4(),0,(),2,0(),2,0(a F a E H G --，其中设置参数a 的范围为()4,0，增量为1.0；3.作直线HF GE ,交点I ，把点I 设置为红色，适当加粗，并跟踪点I ；4.拉动滑杆a ，观察点I 的轨迹，可以发现此时点I 的轨迹类似于41个椭圆．求解如下： 由)22,4(),0,(),2,0(),2,0(a F a E H G --，可得直线GE 的方程为022=--a ay x ，直线HF 的方程为0168=-+y ax ，由⎩⎨⎧=-+=--0168022y ax a ay x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=222162321632a ay a a x 消去参数a ，得到动点I 的轨迹方程为)0,0(141622>>=+y x y x ． 【说明】1.考虑到40<<a ，所作轨迹只是椭圆的一部分，但可以参照此方法把剩余部分作出来，感兴趣的读者可以一试．2.此方法适合于用尺规作图的方式作椭圆，在数学软件产生之前，要作一个标准的椭圆，这是一种很好的办法．3.本例交点I 是两条直线的交点，因而求交点轨迹方程时，通常联立两直线方程，求出交点的坐标，然后通过消参的方法求得轨迹方程，此方法是参数法求轨迹的思路，但因其轨迹是两直线相交而来，所以有时也被称为交轨法．【探究问题5】已知圆4:22=+y x M ，圆1:22=+y x N ，设点A 是圆M 上任一点，作射线OA 交圆N 于B ，过A 作x 轴的垂线m ，过B 作y 轴的垂线n ，设n m ,交于点C ，求点C 的轨迹方程．上述问题在第五章第4节【拓展探究4】已经做过探究，其轨迹也是椭圆，它的本质是利用参数法作椭圆．列举椭圆的几种常见构造方法，目的是为了丰富读者对椭圆的认识．椭圆的作法还有很多，感兴趣的读者可以自行研究．【实验2】椭圆的综合探究 【探究问题6】已知直线m x y l +-=21:与椭圆13422=+y x 相交于B A ,两点，与以21F F 为直径的圆交于D C ,两点（21,F F 为椭圆的左右焦点）若435=CDAB ，求直线l 的方程． 【探究步骤】1.在指令栏输入“13/2^4/2^=+y x ”，作出椭圆13422=+y x ； 2.在指令栏输入“12^2^=+y x ”，作出以21F F 为直径的圆； 3.作直线m x y l +-=21:，并作出它和椭圆、圆的交点D C B A ,,,； 4.测量CD AB ,，并计算CDAB 的值；5.拉动滑杆m ，观察当m 为何值时，435=CDAB 即比值大约为2.165． 符合条件的m 值大约为6.0±．由题设，以21F F 为直径的圆的方程为122=+y x ， ∴圆心到直线l 的距离52m d =，22541212m d CD -=-=∴，设),(),,(2211y x B y x A ，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=1342122y x m x y ，得0322=-+-m mx x ， 可求得24215m AB -=，由435=CD AB，得145422=--mm ，解得.33±=m 所以直线l 的方程为3321±-=x y ． 此结果和观测值有一定误差，这是实验精度不高造成的． 【探究问题7】点)0,(),0,(21c F c F -分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左，右焦点，过点1F 作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P ，过点2F 作直线2PF 的垂线交直线ca x 2=于点Q .求证：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．【探究步骤】1.设置参数b a ,，其中b 的范围为)5,0(，a 的范围为()5,b ；2.在指令栏输入“12^/2^2^/2^=+b y a x ”，作出椭圆C ；3.在指令栏输入“)0,5.0)^2^2^((b a --”和“)0,5.0)^2^2^((b a -”作出点)0,(),0,(21c F c F -；4.输入“5.0)^2^2^/(2^b a a -”，计算出数值d ，然后再输入“d x =”，作出椭圆的右准线；5.过点1F 作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P ，过点2F 作直线2PF 的垂线交直线ca x 2=于点Q ；6.作直线PQ ；7.拉动滑杆a 和滑杆b ，检验是否不论椭圆如何变化，直线PQ 与椭圆C 只有一个交点． 经检验，情况属实，但必须给出数学证明．由题设可得：直线PQ 的方程为ca c c a x a ab a y 22222---=--整理得a x a c y +=， 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+a x a c y b y a x 12222得0222=++c cx x c x -=∴， 所以直线PQ 与椭圆C 只有一个交点． 本题的结论可以看作椭圆的一个几何性质． 【探究问题8】已知椭圆149:22=+y x C ，点M 与C 的焦点不重合．M 关于C 的焦点的对称点分别为B A ,，若线段MN 的中点D 在C 上，求BN AN +的值．【探究步骤】1.作出椭圆14922=+y x C 及任一点M ；2.作出点)0,5(±，即为椭圆的左右焦点21,F F ；3.作出点M 分别关于左右焦点21,F F 的对称点B A ,；4.在椭圆上任取一点D ，作出点M 关于点D 的对称点N ；5.作出线段BN AN ,，测量它们的长度，并求出长度之和．6.拉动点M ，观测BN AN +的值．观测发现，无论点M 在何位置（无论是椭圆内，椭圆上，还是椭圆外），BN AN +的值恒为常数12.如果只是经过上述作图过程，可能看不出为什么BN AN +为定值．把图形如图5.6-1作进一步完善，容易得到D F 1是MAN ∆的中位线，所以D F AN 12=，同理D F 2是MBN ∆的中位线，所以D F BN 22=，故12)(221=+=+D F D F BN AN ，命题得证． 在做解析几何研究时，须充分注意一些平面几何的结论在解题中的应用．【探究问题9】已知椭圆42:22=+y x C ,设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2=y 上，且OB OA ⊥，试判断直线AB 与圆222=+y x 的位置关系，并证明结论．【探究步骤】1.在GGB 指令栏输入“42^*22^=+y x ”，绘制出椭圆C ；2.作出直线2=y ；3.在椭圆C 上任取一点A ，连结OA ，过点O 作OA OB ⊥，交直线2=y 于点B ；4.作出直线AB 与圆222=+y x ；5.拉动点A ，观察直线AB 与圆222=+y x 的位置关系．观察发现，无论点A 在什么位置，总有直线AB 与圆222=+y x 相切． 这是因为：如果设点B A ,的坐标分别为)2,(),,(00t y x ，（1）若t x =0，由OB OA ⊥，得0200=+y t x ，得220t y -=，故)2,(2t t A -，把点A坐标代入4222=+y x ，得44242=⋅+t t ，得2±=t ，故直线AB 的方程为2±=x ，图5.6-1此时直线2±=x 与圆222=+y x 相切．（2）若t x ≠0，则直线AB 的方程为)(2200t x tx y y ---=-．即02)()2(0000=-+---ty x y t x x y ，圆心O 到直线AB 的距离202000)()2(2t x y ty x d -+--=.又020202,42x y t y x -==+， 故2216844422202040022022020020=+++=++++=x x x x x x y y x x y x d综合（1）（2）得无论点A 在什么位置，总有直线AB 与圆222=+y x 相切． 【探究问题10】已知椭圆1222=+y x C ：的左、右焦点为21F F ，，过2F 的直线l 与椭圆C 交于B A ,两点，试探究AB F 1∆内切圆半径的最大值．【探究步骤】1.作出椭圆1222=+y x C ：及它的左、右焦点21F F ，；2.作出题中的直线l ，并作它和椭圆C 交点B A ,；3.作出AB F 1∆及其内心C ；4.作出内心C 到AB F 1∆边的垂线段CD ，并测量CD ；5.拉动点A ，观察随着点A 的改变，CD 的变化，并最终确定CD 的最大值． 实验可得，CD 的最大值大约为5.0． 【思考】上面给出的是实验探究过程，相比之下，数学探究可能更繁琐，如：在数学上，如何比较方便地表示出内切圆的半径呢？如图5.6-2，假设本题内切圆半径为,r 内切圆的圆心为C ，B A ,两点的坐标分别为),(),,(2211y x y x ．首先注意到当直线l 的斜率为0时，显然不符合题意．故可设l 的图5.6-2方程为1+=my x ，由⎩⎨⎧=-++=022122y x my x 得012)2(22=-++my y m2122221212221211++⨯⨯=-=∴∆m m y y F F S ABF 而CAB B CF A CF AB F S S S S ∆∆∆∆++=111r ⋅⨯=2421， 21111212222≤+1++=++=∴m m m m r ， 当且仅当11122+=+m m ，即0=m 时取等号．故内切圆半径的最大值为21． 椭圆中可供探究的内容还有很多，将在下面的章节继续探究．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
椭圆61.已知椭圆的中心在原点O ，短半轴的端点到其右焦点()2,0F 的距离为10，过焦点F 作直线l ，交椭圆于,A B 两点． （Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；（Ⅱ）若椭圆上有一点C ，使四边形AOBC 恰好为平行四边形，求直线l 的斜率．1.解：（Ⅰ）由已知，可设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，则 10a =，2c =． 所以 221046b a c =-=-=，所以 椭圆方程为221106x y +=． （Ⅱ）若直线l x ⊥轴，则平行四边形AOBC 中，点C 与点O 关于直线l 对称，此时点C 坐标为()2,0c ．因为2c a > ，所以点C 在椭圆外，所以直线l 与x 轴不垂直． 于是，设直线l 的方程为()2y k x =-，点()11,A x y ，()22,B x y ，则()221,1062,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得，()2222352020300k x k x k +-+-= 21222035k x x k+=+， 所以 1221235ky y k +=-+． 因为 四边形AOBC 为平行四边形，所以 OA OB OC +=，所以 点C 的坐标为2222012,3535k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 所以 22222201235351106k k k k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=， 解得21k =，所以1k =±．2.已知点(4,0)M 、(1,0)N ，若动点P 满足6||MN MP NP =⋅． （1）求动点P 的轨迹曲线C 的方程；（2）在曲线C 上求一点Q ，使点Q 到直线：2120x y +-=的距离最小． （1）设点P 坐标为(,)x y ，则(3,0)MN =-，(4,)MP x y =-，(1,)NP x y =-，22|(1)|NP x y =-+.因为6||MN MP NP =⋅，所以223(4)06(1)x x y --+=-+，化简得22143x y +=. 所以动点P 的轨迹为22143x y += (2) 设与椭圆22143x y +=相切并且直线2120x y +-=平行的直线l 的方程为：20(12)x y c c ++=≠-由2214320x y x y c ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩得2216123120y cy c ++-= 22(12)416(312)04c c c ∴∆=-⋅⋅-=∴=±故当4c =-时，直线l 与已知直线的距离d 最小， 并且22|412|8855512d -+===+ 将4c =-代入2216123120y cy c ++-=中得()224129230y y y -+=-=32y ∴=代入240x y +-=中得1x = 即点Q 坐标为3(1,)2.3.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，向量AB 与OM 是共线向量(如图)。
（1）求椭圆的离心率e ；（2）设Q 是椭圆上任意一点， F 1、F 2分别是左、右焦点，求∠F 1QF 2 的取值范围；yMB13.解：（1）∵ab yc x c F MM 21,),0,(=-=-则，∴ac b k OM2-=。
∵AB OM abk AB 与,-=是共线向量，∴a b ac b -=-2， ∴b =c, 故22=e 。
（2）112212,,,FQ r F Q r F QF θ==∠=设 12122,2,r r a F F c ∴+== 2221212221212122124cos 2()2421r r c r r r r r r c r r a r r θ+-=+--==-221210()2a r r ≥-=+ 当且仅当21r r =时，cos θ=0，∴θ]2,0[π∈4..已知椭圆C ：)0b a (1by a x 2222>>=+，其左、右两焦点分别为21F F 、.直线L 经过椭圆C的右焦点2F ,且与椭圆交于A 、B 两点. 若A 、B 、2F 构成周长为42的2ABF ∆，椭圆上的点离焦点2F 最远距离为12+，且弦AB 的长为324，求椭圆和直线L 的方程.4.解：依题意，设该椭圆的焦距为2c ，则'3'c b a 12c a 24a 4222-------⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=得a=2,b=c=1所以椭圆方程为1y 2x 22=+ 由已知设直线L 的方程为y=k(x-1)，由1F M02k 2x k 4x )k 21'61y 2x )1x (k y 222222=-+-+-----⎪⎩⎪⎨⎧=+-=得（ 设其两根为21x ,x 则'8324)k 1](x x 4)x x [(k 212k 2x x k 21k4x x 0)k 21)(1k (8k 1622122122212221224-------⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+-++-=+=+>+--=∆ 代人得1k 2=,即k =±1所以所求椭圆方程为,1y 2x 22=+直线方程为y=x-1或y=-x+1- 5.已知椭圆C 的两个焦点为12(1,0),(1,0)F F -，点2(1,)2A 在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点(2,0)B ，设点P 是椭圆C 上任一点，求1PF PB ⋅的取值范围.5.解：（1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>由椭圆定义，222212222||||(11)()(11)()2222a AF AF =+=+++-+=∴2,a =2221,1c b a c =∴=-=. 故所求的椭圆方程为2212x y +=.（2）设1(,).(1,),(2,)P x y PF x y PB x y =---=--∴2221(1,)(2,)(1)(2)2PF PB x y x y x x y x x y ⋅=---⋅--=---+=--+∵点P 在椭圆上，∴2212x y =-∴2211131(1)222PF PB x x x ⋅=--=--∵22x -≤≤∴1,x =1PF PB ⋅有最小值32-；2x =-，1PF PB ⋅有最大值21(2)2122⨯-+-= ∴1322PF PB -≤⋅≤，∴1PF PB ⋅的范围是3[,2]2- 6.已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为8，离心率为21， （1）求椭圆的标准方程；（2）在椭圆上任取一点P ，求P 到直线:l 0122=--y x 的距离的最小值. 20.解：（1）由题意知21,82==a c a 12416,2,42=-===∴b c a ∴椭圆的方程为1121622=+y x （2）法一：设与l 平行且与椭圆相切的直线方程为02=+-m y x联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-112160222y x m y x 消去y 得：0482422=-++m mx x令0)48(16422=--=∆m m 得8±=m 当8-=m 时所得直线082:1=--y x l当P 为1l 与椭圆的切点时距离最小，此时距离等于直线1l 与直线l 的距离.直线1l 与直线l 距离554)2(1|)8(12|22=-+---=d∴椭圆上任一点P 与:l 2120x y --=lxyo距离的最小值为554 .7.（本小题满分14分）如图椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上顶点为A ，左顶点为B, F 为右焦点, 过F 作平行于AB 的直线交椭圆于C 、D 两点. 作平行四边形OCED, E 恰在椭圆上。
（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若平行四边形OCED 的面积为6, 求椭圆的方程.7.解∵焦点为F(c, 0), AB 斜率为a b , 故CD 方程为y=a b(x －c). 于椭圆联立后消去y 得2x 2－2c x －b 2=0. ∵CD 的中点为G(a bc c 2,2-), 点E(c, －abc)在椭圆上,∴将E(c, －abc)代入椭圆方程并整理得2c 2=a 2, ∴e =22=a c .(Ⅱ)由(Ⅰ)知CD 的方程为y=22(x －c), b =c, a =2c. 与椭圆联立消去y 得2x 2－2c x －c 2=0. ∵平行四边形OCED 的面积为S=c|y C －y D |=22c DC D C x x x x 42-+）（ =22c 6262222==+c c c , ∴c=2, a =2, b =2. 故椭圆方程为12422=+y x8.已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存过点P (2,1)的直线1l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ，满足2PA PB PM ⋅=？ 若存在，求出直线1l 的方程；若不存在，请说明理由． 8.(1)设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意得22222191412a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得224,3a b ==，故椭圆C 的方程为22143x y+=．(2)若存在直线1l 满足条件的方程为1(2)1y k x =-+，代入椭圆C 的方程得22211111(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=．因为直线1l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ，设,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，所以2221[8(21)]4(34)(16168)32(63)0.k k k k k k ∆=---+--=+> 所以21->k ． 又21111121222118(21)16168,3434k k k k x x x x k k ---+==++，因为2PA PB PM ⋅=，即12125(2)(2)(1)(1)4x x y y --+--=， 所以2212(2)(2)(1)||x x k PM --+=54=． 即2121215[2()4](1)4x x x x k -+++=． 所以222121111222111161688(21)445[24](1)3434344k k k k k k k k k ---+-⋅++==+++，解得112k =±． 因为,A B 为不同的两点，所以12k =．于是存在直线1l 满足条件，其方程为12y x =．。