高中数学椭圆的经典知识总结

高中数学椭圆的经典知识总结

椭圆知识点总结

1. 椭圆的定义：1,2

（1）椭圆：焦点在x 轴上时122

22=+b

y a x （222a b c =+）⇔{

cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为

参数），焦点在y 轴上时22

22b

x a y +＝1（0a b >>）。方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？

（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。

2. 椭圆的几何性质：

（1）椭圆（以122

22=+b

y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个

焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a

=，椭圆⇔01e <<，

e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。⑥通径2

2b a

2.点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200

221x y a b

+>；

（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220

220b y a x +＝1；

（3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200

221x y a b

+<

3．直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交；（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切； （3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离；

如:直线y ―kx ―1=0与椭圆22

15x y m

+

=恒有公共点，则m 的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；

4、焦半径（圆锥曲线上的点P 到焦点F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径0r ed a ex ==±，其中d 表示P 到与F 所对应的准线的距离。

如（1）已知椭圆1

16

25

22

=+

y x

上一点P 到椭圆左焦点的距离为3，则点P 到右准线的距离为____（答：

10/3）；

（2）椭圆13

42

2=+y x 内有一点)1,1(-P ，F 为右焦点，在椭圆上有一点M ，使MF MP 2+ 之值

最小，则点M 的坐标为_______（答：)1,3

6

2(-）

； 5、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：20tan ||2

S b c y θ

==，

当0||y b =即P 为短轴端点时，m ax S 的最大值为bc ；

6、弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，

则AB ＝12x -，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝2121

1y y k

-+

，若弦AB 所

在直线方程设为x ky b =+，则AB 12y y -。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。

7、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆

122

22=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0

202y a x b ；

如（1）如果椭圆22

1369

x y +=弦被点A （4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答：

280x y +-=）

；（2）已知直线y=－x+1与椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>相交于A 、B 两点，且线段AB

的中点在直线L ：x －2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答：2

）；（3）试确定m 的取值范

围，使得椭圆1342

2=+y x 上有不同的两点关于直线m x y +=4对称（答：⎛ ⎝⎭

）；

特别提醒：因为0∆>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0∆>！

椭圆知识点

1．如何确定椭圆的标准方程？

任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。

确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件b a ,；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。

2．椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义

椭圆标准方程中，c b a ,,三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：)0(>>b a ，)0(>>c a ，且

)(222c b a +=。

可借助右图理解记忆：

显然：c b a ,,恰构成一个直角三角形的三条边，其中a 是斜边，b 、c 为两条直

角边。

3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置

椭圆的

焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看2

x ，2y 的分母

的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。

4．方程均不为零）C B A C By Ax ,,(2

2

=+是表示椭圆的条件

方程C By Ax =+2

2

可化为

122=+C

By C Ax ，即12

2=+B

C By A C x ，所以只有A 、B 、C 同号，且A ≠B 时，方程表示椭圆。当

B C A C >时，椭圆的焦点在x 轴上；当B

C

A C <时，椭圆的焦点在y 轴上。 5．求椭圆标准方程的常用方法：

①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数c b a ,,的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；

②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。

6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异

共焦点，则c 相同。与椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为122

2

2=+++m

b y m a x )(2b m ->，此类问题常用待定系数法求解。

7．判断曲线关于x 轴、y 轴、原点对称的依据：

① 若把曲线方程中的x 换成x -，方程不变，则曲线关于y 轴对称；