高中高二数学椭圆知识点整理

课题：椭圆

教学目标：

（1）了解圆锥曲线的来历； （2）理解椭圆的定义；

（3）理解椭圆的两种标准方程； （4）掌握椭圆离心率的计算方法； （5）掌握有关椭圆的参数取值范围的问题；

教学重点：椭圆方程、离心率；

教学难点：与椭圆有关的参数取值问题；

知识清单

一、椭圆的定义：

(1) 椭圆的第一定义:平面内与两定点21F F 、的距离和等于常数

()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 说明：两个定点叫做椭圆的焦点；

两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2.

(2) 椭圆的第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之

比为常数e ，当10<

二、椭圆的数学表达式：

()0222121>>=+F F a a PF PF ;

(){}

.02,22121>>=+=F F a a PF PF P M

三、椭圆的标准方程：

焦点在x 轴: ()0122

22>>=+b a b y a x ；

焦点在y 轴: ()0122

22>>=+b a b

x a y .

说明：a 是长半轴长，b 是短半轴长，焦点始终在长轴所在的数轴上，

且满足.222c b a +=

四、二元二次方程表示椭圆的充要条件

方程()B A C B A C By Ax ≠=+均不为零，且、、22表示椭圆的条件：

上式化为

122=+C

By C Ax ，12

2=+B

C y A C x .所以，只有C B A 、、同号，且B A ≠时，方程表示椭圆；当B

C

A C >时，椭圆的焦点在x 轴上；当B

C

A C <时，椭圆的焦点在y 轴上.

五、椭圆的几何性质（以()0122

22>>=+b a b

y a x 为例）

1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式

1,122

22≤≤b

y a x ，即b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题.

2.对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。

3.顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个：

()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、--

4. 长轴、短轴：21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长；

21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长. 5.离心率

（1）椭圆焦距与长轴的比a

c

e =，()10,0<<∴>>e c a Θ（2）

22F OB Rt ∆,2

22

22

22OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆

的特征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率.（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而

22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接

近于0，从而22c a b -=越大，椭圆越接近圆；当0=e 时，b a c ==,0，两焦点重合，图形是圆.

6.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），通径长为a

b 2

2.

7.设21F F 、为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，当21F F P 、、三点不在同一直线上时，21F F P 、、构成了一个三角形——焦点三角形. 依椭圆的定义知：c F F a PF PF 2,22121==+.

例题选讲

一、选择题

1．椭圆1422=+y x 的离心率为（ ）

A ．

23 B ．43 C ．22 D ．3

2

2．设p 是椭圆22

12516

x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，

则12PF PF +等于（ ）

A ． 4

B ．5

C ． 8

D ．10

3．若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为2

1

，

则m=（ ）

A ．3

B ．2

3

C ．3

8

D ．3

2

4．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 2

3

＋y 2＝1上，顶点A 是椭

圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ）

A ．2 3

B ．6

C ．4 3

D ．12

5．如图，直线022:=+-y x l 过椭圆的左焦点

F 1和 一个顶点B ，该椭圆的离心率为（ ）

A ．5

1 B ．5

2 C ．

55 D ．5

52 6．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的

直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）

A ．

32 B ．33 C ．22 D ．2

3 7．已知以F 1（-2,0），F 2（2,0）

为焦点的椭圆与直线043=++y x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ）

A ．23

B ．62

C ．72

D ．24

二、填空题：

8． 在ABC △中，90A ∠=o ，3tan 4

B =．若以A B ，为焦点的椭圆经过点

C ，则该椭圆的离心率e = ．

9． 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长

轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．

10．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆顶点(4,0)A -和(4,0)C ，

顶点B 在椭圆192522=+y x 上，则sin sin sin A C

B

+= .

11．椭圆4422=+y x 长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作

一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是_______________．

三、解答题

12．已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．

13．已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，

P ，b a 3=，求椭圆 的标准方程．

14．已知方程

1352

2-=-+-k

y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 15．已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，

求α的取值范围