椭圆知识点总结

椭圆的知识点总结（一）
一、椭圆的定义
1、椭圆的第一定义：平面内与两定点F 1、F 2的距离和等于常数(2a ，且2a>|F 1F 2|）点的轨迹叫做椭圆。

说明：两个定点F 1（c ，0）、F 2（-c ，0）叫做椭圆的焦点；
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（2c ）；
建立合适的坐标系，椭圆截与两焦点连线重合的直线所得的弦为长轴，长为2a ，椭圆截垂直平分两焦点连线的直线所得弦为短轴，长为2b 。

2、椭圆的第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e ，当0<e<1时，点的轨迹是椭圆。

说明：定点为椭圆的焦点F （c ，0），定直线为椭圆的准线L=2
c
a ；
e 为椭圆的离心率，e=
a
c ； 椭圆上一点到焦点的距离可以转化为到准线的距离。

二、椭圆的方程
1、椭圆的标准方程
● 焦点在x 轴，22
22x 1y a b +=（a>b>0）
● 焦点在y 轴，22
22x 1y b a
+=（a>b>0）
椭圆上任意一点到F 1，F 2距离的和为2a ，F 1，F 2之间的距离为2c 。

而公式中的b²=a²-c²，b 是为了书写方便设定的参数，同时在椭圆的图像中，b 代表短轴的一半。

● 当焦点位置不明确时，方程可设为2
2
m 1x ny +=（m>0，n>0，且m≠n ），即标准方程
的统一形式。

● 根据椭圆的第一定义推导标准方程：
考虑焦点在x 轴的情况（焦点在y 轴的情况类似），根据椭圆的第一定义，建立坐标系，以F 1，F 2的连线为x 轴，F 1，F 2的中垂线为y 轴。

1222222222222
222222242222,)F -,0F ,022()44()444()()
22p x y c c a a x c y a x c y a xc
a x c y a xc a x a xc a c a y a a xc x c a ==-++=--+=-⎡⎤-+=-⎣⎦-++=-+设点坐标为（，坐标为（），坐标为（）222224222222222222422222422224222222222222222222
22)()
1x a c a y a x c b a c a x a a b a y a x a b a x a a b a y a x a x b a b a y x b x b a y a b x y a b
++=+=-+-+=+-+-+=+--+=-+=+=令，代入，有
（
● 根据椭圆的第二定义推导标准方程：
222
2
2
2224222
2222222
22
22222
22
2222222
2
2
2
2
2
222
22(,)()()
2(2)
22a a 1p x y c a
c a x c y x a c
c a a x xc c y x x a c c c x xc c y x xc a a c x c y x a a
b c a b x b y x a a
x y a b
=
-+=--++=-+-++=-+++=+=--+-+=++=设点，根据椭圆的第二定义，有令，代入，有需要注意的是，椭圆有两个焦点2a c
±
，因此也对应着两条准线，分别为y=左焦点对左准线，右焦点对右准线。

2、椭圆的参数方程 x=acosθ；y=bsinθ
求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时，用参数坐标可将问题转化为三角函数问 题求解。

三、椭圆的性质
1、椭圆的周长
椭圆的周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半径与长半径之和与该椭圆系数的积（包括正圆）
椭圆的周长没有精确的初等公式，它是一个与离心率有关的无穷收敛级数，公式为：
k 2121221C (4)k k k k k k l a C e π→∞-=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
∑
其中，a 为椭圆的长半轴，e 为离心率。

当精度要求不高时，一般采用近似公式进行计算，近似公式为：
24()l b a b π≈+-
椭圆周长的推导过程：
202220
k 21212sin cos 44cos 4sin 4
2
21C (4)a k k k
k k k k k k
k x a y b l a e l a d C l a C e π
π
θθ
θθ
π
θθπ-→∞
-========
⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
⎰
⎰⎰∑首先建立椭圆的参数方程根据椭圆的对称性因为又于是应用牛顿二项式定理，展开并逐项积分，得
2、椭圆的面积
① 椭圆的面积公式：S=ab π 公式的推导：
222
22
22b cos 1cos 22211
2((())(sin sin()))
2224a
a S ydx
a d a
b d ab ab
π
ππ
π
θθ
θθ
θ
θ
πππππ---==+==⨯--+--=⎰⎰⎰同样首先建立参数方程
x=asin y=bcos 根据椭圆的对称性，有
当a=b 时，S=πa 2，可以看出，此时椭圆的面积公式变成了圆的面积公式，即圆可以看做是椭圆的特例。

② 焦点三角形的面积公式：2
S=c y =b tan
2
θ
椭圆上的一点P 与椭圆两个焦点构成的三角形的面积为2
S=c y =b tan 2
θ
3、椭圆的弦长公式
设过椭圆的直线方程为y=kx+b ，则直线与椭圆相交所得的弦长为：
222
121212122
1
d 1(1)()41k x x k x x x x y y k ⎡⎤=+-=++-=+
-⎣⎦ 公式的推导：
22
22221212222121222122
12
22121222
122221212222121211
a A B ()()()()(1)()1d ()()(1)()(1)(2)(1)(24x y y kx
b b
x x y y x x k x x k x x k
x x x x y y k x x k x x x x k x x x x x =++=-+-=-+-=+-=+-=-+-=+-=++-=+++-1122设直线方程为，椭圆方程为设交点坐标为（x ,y ），（x ,y ）则弦长
d=2221212)=(1)[()4]x k x x x x ++-下略
可以看出，弦长公式与交点坐标密切相关，因此在解题中可先联立直线方程与椭圆方程，得出关于x 的一元二次方程，不用解出具体的根，而是应用韦达定理得到x 1+x 2，x 1x 2的值，代入弦长公式即可求出弦长。

4、椭圆的焦半径公式
焦半径：连结圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线）上一点与对应焦点的线段的长度，叫做圆锥曲线焦半径。

焦半径公式：r (a ex r a ex =+=-（左焦点）；右焦点）
公式的推导：
2
2
21()e
r a x c a e ex c a c ex c a a ex
P a ex
=-⨯=-=⨯-=-=+2设点P(x,y)在第一象限，根据椭圆的第二定义，点P 与右焦点的焦半径为：r 同理，点与左焦点的焦半径为：
5、椭圆的通径
通径：过焦点且垂直于长轴的弦。

通径公式：
22
22222
22242
2
2
b22
,11b222
l a
x c c y a b y c b b a a
b y a b y a l y a
==+==-===±
==推导：令代入椭圆方程，得通径
6、最大角
P 是椭圆上一点，当P 是椭圆的短轴端点时，∠F 1PF 2为最大角。

推导：
1222212121222222222222
222222222(,)F PF (2)2cos ,P 4()()()()cos 422()(())cos 22()4cos ()22()4()4()44()2P x y c r r r r r r c a ex a ex a ex a ex c a ex a ex a ex c a ex a ex ex c a ex c ex θθθθ=+-=-++--+=+--+-=
--+-=
--=-设点，对于三角形，使用余弦定理其中，为点对应的焦半径
2
2
22
2
2
12()4b 2()x cos 0F PF P a ex a ex x θθθ-=-+-=∠在（0，a ）范围内，随着的减小，减小，增大，
因此，当时，最大，即最大，此时，点位于短轴的端点。