椭圆基本知识点总结终审稿)

椭圆基本知识点总结公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

椭圆知识点

知识点一：椭圆的定义

平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的简单几何性质

椭圆：12222=+b y a x )0(>>b a 与 122

22=+b

x a y )0(>>b a 的简单几何性质

标准方程

122

22=+b y a x )0(>>b a 122

22=+b

x a y )0(>>b a 图形

性质 焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F

),0(1c F -，),0(2c F

焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤

b x ≤，a y ≤

对称性

关于x 轴、y 轴和原点对称

顶点

)0,(a ±，),0(b ±

),0(a ±，)0,(b ±

轴长

长轴长=a 2，短轴长=b 2

离心率

)10(<<=

e a

c

e c a F A F A -==2211；c a F A F A +==1221；c a PF c a +≤≤-1；

(p 是椭圆上一点)

1．椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义

222c b a +=

2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长a

b 2

2

3.最大角:p 是椭圆上一点，当p 是椭圆的短轴端点时，21PF F ∠ 为最大角。

4.焦点三角形的面积2

tan

2

21θ

b S F PF =∆，其中21PF F ∠=θ

5. 用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．

(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上． (2)设方程：

①依据上述判断设方程为2222b y a x +=1)0(>>b a 或22

22a

y b x +=1)0(>>b a

②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )．

(3)找关系，根据已知条件，建立关于a ，b ，c 或m ，n 的方程组． (4)解方程组，代入所设方程即为所求． 6.点与椭圆的位置关系:

2222b y a x +<1,点在椭圆内，2222b y a x +=1，点在椭圆上，22

22b y a x +>1, 点在椭圆外。 7.直线与椭圆的位置关系

设直线方程y ＝kx ＋m ，若直线与椭圆方程联立，消去y 得关于x 的一元二次方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．

(1)Δ＞0，直线与椭圆有两个公共点；(2)Δ＝0，直线与椭圆有一个公共点； (3)Δ＜0，直线与椭圆无公共点． 8.弦长公式：

若直线b kx y l +=:与圆锥曲线相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则弦长

221221)()(y y x x AB -+-=221221)()(kx kx x x -+-= 2121x x k -+= 2122124)(1x x x x k -++=

9.点差法：

就是在求解圆锥曲线题目中，交代直线与圆锥曲线相交所截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。 步骤:①设直线和圆锥曲线交点为?，，其中点坐标为，则得到关系式

，

．.

②把?，分别代入圆锥曲线的解析式，并作差，利用平方差公式对结

果进行因式分解．其结果为0))(())((21212121=+-++-y y y y n x x x x m ③利用?

求出直线斜率,代入点斜式得直线方程为

.