椭圆知识点总结及经典习题
椭圆知识点总结及练习

椭圆知识点总结及典型方法知识点一:椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.知识点二:椭圆的标准方程1.当焦点在x 轴上时,椭圆的标准方程:12222=+by a x )0(>>b a ,其中222b a c -=2.当焦点在y 轴上时,椭圆的标准方程:12222=+bx a y )0(>>b a ,其中222b a c -=;知识点三:椭圆的简单几何性质椭圆:12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质(1)对称性:对于椭圆标准方程12222=+b y a x )0(>>b a :说明:把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变,(2)范围:椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足a x≤,b y ≤。
(3)顶点:①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为 )0,(1a A -,)0,(2a A ,),0(1b B -,),0(2b B③线段21A A ,21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴,a A A 221=,b B B 221=。
a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
(4)离心率:①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e 表示,记ac a c e ==22。
知识点四:椭圆12222=+b y a x 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的区别和联系知识点五: 椭圆的第二定义:平面内与一个定点(焦点)和一定直线(准线)的距离的比为常数e ,(0<e <1)的点的轨迹为椭圆。
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圆锥曲线与方程--椭圆知识点一•椭圆及其标准方程1椭圆的定义:平面内与两定点Fι, F2距离的和等于常数2a ■ F1F21J的点的轨迹叫做椭圆,即点集M={P∣∣PF ι∣+∣PF 2∣=2a,2a>∣F1F2∣=2c};这里两个定点F i, F2叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。
(2a = F1F2时为线段F i F2, 2a C RF?无轨迹)。
2 2 22•标准方程:c= a- b2 2χ+y _ 1①焦点在X轴上:盲TT = 1( a> b> 0);焦点F(± C, 0)a b2 2y X②焦点在y轴上:—2 = 1(a>b>0);焦点F (0, ±C)a b注意:①在两种标准方程中,总有a> b> 0,并且椭圆的焦点总在长轴上;2 2②两种标准方程可用一般形式表示:X y =1或者mχ2+ny2=1m n二•椭圆的简单几何性质:1. 范围2 2(1)椭圆X- y- =1 (a> b> 0)横坐标-a ≤x≤a ,纵坐标-b ≤X≤ba2b22 2(2)椭圆-y2x2 =1 (a>b>0) 横坐标-b ≤X≤b,纵坐标-a ≤x≤aa2b22. 对称性椭圆关于X轴y轴都是对称的,这里,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3. 顶点(1)椭圆的顶点:A (-a , 0), A (a, 0), B (0, -b), B- (0, b)(2)线段AA, BB分别叫做椭圆的长轴长等于2a,短轴长等于2b, a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4 .离心率(1) 我们把椭圆的焦距与长轴长的比 2c ,即E 称为椭圆的离心率,2a ae = O 是圆;e 越接近于O (e 越小),椭圆就越接近于圆 e 越接近于1( e 越大),椭圆越扁;注意:离心率的大小只与椭圆本身的形状有关,与其所处的位置无关 小结一:基本元素 (1) 基本量:a 、b 、c 、e 、(共四个量), 特征三角形 (2) 基本点:顶点、焦点、中心(共七个点) (3) 基本线:对称轴(共两条线) 5 •椭圆的的内外部2 2 x 2 y 2 亠—x o + yo W 1 (1) 点 P(X O , Y O )在椭圆-2 -每=1(a b - 0)的内部 J 2 U21a ba b2 2 x 2 y 2亠XO* y O 彳(2)点 P(x 0, y 0)在椭圆-2 =1(a b 0)的外部 2 TT 1.a ba b6. 几何性质(1) 点P 在椭圆上, 最大角∙ F 1PF 2max =∕F 1B 2F 2,(2) 最大距离,最小距离 7. 直线与椭圆的位置关系(1) 位置关系的判定:联立方程组求根的判别式; (2) 弦长公式: ________________________ (3) 中点弦问题:韦达定理法、点差法记作 e ( 0 < e < 1),例题讲解: 一.椭圆定义:1 •方程-2 2 y^ . X 2 2 y 2 =10化简的结果是 __________________________2•若. ABC 的两个顶点A -4,0 ,B 4,0 , ABC 的周长为18 ,则顶点C 的轨迹方程是 ____________2—=1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为9二•利用标准方程确定参数2 21. 若方程 厶 +丄=1 (1)表示圆,则实数k 的取值是5 _k k _3(2) _____________________________________________________ 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围是 ______________________________________ . ________ (3) _____________________________________________________ 表示焦点在y 型上的椭圆,则实数k 的取值范围是 _______________________________________ . ________ (4) _______________________________________ 表示椭圆,则实数k 的取值范围是 . 2. 椭圆4X 2 25y 2 =100的长轴长等于 _______________ ,短轴长等于 _____________ ,顶点坐标 是 _______________ , ____________ 焦点的坐标是 __________ , ________ 焦距是 _________ ,离心率等于—, ____2 23•椭圆 — -1的焦距为 2 ,贝U m= ______________ 。
最新椭圆知识点总结及经典习题练习

椭圆知识点总结及经典习题练习知识点一:1、平面内与两个定点1F ,2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹称为椭圆.即:|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+. 注意:若)(2121F F PF PF =+,则动点P 的轨迹为线段21F F ;这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距.注意:椭圆122=+b y a x ,122=+bx a y )0(>>b a 的相同点:形状、大小都相同;参数间的关系都有)0(>>b a 和)10(<<=e ac e ,222c b a +=;不同点:两种椭圆的位置不同;它们的焦点坐标也不相同.知识点二:椭圆的标准方程1.当焦点在x 轴上时,椭圆的标准方程:12222=+b y a x )0(>>b a ,其中222ba c -=2.当焦点在y 轴上时,椭圆的标准方程:12222=+bx a y )0(>>b a ,其中222b a c -=;注意:1.只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时, 才能得到椭圆的标准方程;2.在椭圆的两种标准方程中,都有)0(>>b a 和222b a c -=; 3.椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时,椭圆的焦点坐标为)0,(c ,)0,(c -; 当焦点在y 轴上时,椭圆的焦点坐标为),0(c ,),0(c - 知识点三:椭圆的简单几何性质椭圆:12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质(1)对称性:对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a :说明:把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变,所以椭圆12222=+by a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形,并且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心. (2)范围:椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足a x ≤,b y ≤.(3)顶点:①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点.②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为)0,(1a A -,)0,(2a A ,),0(1b B -,),0(2b B③线段21A A ,21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴,a A A 221=,b B B 221=.a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.(4)离心率:①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e 表示,记作ac a c e ==22. ②因为)0(>>c a ,所以e 的取值范围是)10(<<e .e 越接近1,则c 就越接近a ,从而22c a b -=越小,因此椭圆越扁;反之,e 越接近于0,c 就越接近0,从而b 越接近于a ,这时椭圆就越接近于圆. 当且仅当b a =时,0=c ,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为a y x =+22.注意:椭圆12222=+b y a x 的图像中线段的几何特征(如下图):(1))2(21a PF PF =+;e PM PF PM PF ==2211;)2(221c a PM PM =+;(2))(21a BF BF ==;)(21c OF OF ==;2221b a B A B A +==;(3)c a F A F A -==2211;c a F A F A +==1221;c a PF c a +≤≤-1;规律方法:1.如何确定椭圆的标准方程?任何椭圆都有一个对称中心,两条对称轴.当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,椭圆的方程才是标准方程形式.此时,椭圆焦点在坐标轴上.确定一个椭圆的标准方程需要三个条件:两个定形条件b a ,;一个定位条件焦点坐标,由焦点坐标的形式确定标准方程的类型.2.椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义椭圆标准方程中,c b a ,,三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所确定的.分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为:)0(>>b a ,)0(>>c a ,且)(222c b a +=.可借助右图理解记忆:显然:c b a ,,恰构成一个直角三角形的三条边,其中a 是斜边,b 、c为两条直角边.3.如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上,因此已知标准方程,判断焦点位置的方法是:看2x ,2y 的分母的大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上.4.方程均不为零)C B A C By Ax ,,(22=+是表示椭圆的条件方程C By Ax =+22可化为122=+CBy C Ax ,即122=+B C By A C x ,所以只有A 、B 、C 同号,且A ≠B 时,方程表示椭圆.当BCA C >时,椭圆的焦点在x 轴上;当BCA C <时,椭圆的焦点在y 轴上. 5.求椭圆标准方程的常用方法:①待定系数法:由已知条件确定焦点的位置,从而确定椭圆方程的类型,设出标准方程,再由条件确定方程中的参数c b a ,,的值.其主要步骤是“先定型,再定量”;②定义法:由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形,然后再根据定义确定方程.6.共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点,则c 相同.与椭圆12222=+by a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为12222=+++mb y m a x )(2b m ->,此类问题常用待定系数法求解. 7.如何求解与焦点三角形△PF 1F 2(P 为椭圆上的点)有关的计算问题思路分析:与焦点三角形△PF 1F 2有关的计算问题时,常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角形面积公式2121sin 2121PF F PF PF S F PF ∠⨯⨯=∆相结合的方法进行计算解题. 将有关线段2121F F PF PF 、、,有关角21PF F ∠ (21PF F ∠≤21BF F ∠)结合起来,建立21PF PF +、21PF PF ⨯之间的关系. 9.如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系?长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化.离心率)10(<<=e ace ,因为222b a c -=,0>>c a ,用b a 、表示为)10()(12<<-=e ab e .显然:当a b 越小时,)10(<<e e 越大,椭圆形状越扁;当ab越大,)10(<<e e 越小,椭圆形状越趋近于圆. (二)椭圆练习题一、选择题1、与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点,且短轴长为45的椭圆方程是 ( )(A)185y 80x )D (145y 20x )C (125y 20x )B (120y 25x 22222222=+=+=+=+2、椭圆的两个焦点和短轴两个顶点,是一个含60°角的菱形的四个顶点,则椭圆的离心率为( ) (A)21 (B)23 (C)33 (D)21或233、椭圆13622=+y x 中,F 1、F 2为左、右焦点,A 为短轴一端点,弦AB 过左焦点F 1,则∆ABF 2的面积为 ( ) (A )3 (B )233 (C )34 (D )4 4、方程my x ++16m -2522=1表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是 ( )(A)-16<m<25 (B)-16<m<29 (C)29<m<25 (D)m>29 5、已知椭圆1522=+my x 的离心率e =510,则m 的值为 ( )(A)3 (B)3或(C)(D)或6、椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点,则椭圆的长轴长是短轴长的 ( )(A)3倍 (B)2倍 (C)2倍 (D)23倍 7、椭圆ax 2+by 2+ab =0(a <b <0)的焦点坐标为 ( )(A)(0,±b a -) (B)(±b a -,0) (C)(0,±a b -) (D)(±a b -,0) 8、椭圆x 2+4y 2=1的离心率为 ( ) (A)2)D (25)C (22)B (239、从椭圆短轴的一个端点看两焦点的视角是1200,则这个椭圆的离心率e= ( ) (A)23 (B)21 (C)33 (D)31 10、曲线19y 25x 22=+与曲线1m9y m 25x 22=-+-(m<9)一定有 ( ) (A)相等的长轴长 (B)相等的焦距 (C)相等的离心率 (D)相同的准线 二、填空题11.(1)中心在原点,长半轴长与短半轴长的和为92,离心率为0.6的椭圆的方程为________;(2)对称轴是坐标轴,离心率等于23,且过点(2,0)的椭圆的方程是_______12.(1)短轴长为6,且过点(1,4)的椭圆标准方程是__________; (2)顶点(-6,0),(6,0)过点(3,3)的椭圆方程是__________13.已知椭圆2222ay a x +=1的焦距为4,则这个椭圆的焦点在_____轴上,坐标是_____ 14.已知椭圆1422=+y m x 的离率为21,则m= 三、解答题15、求椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的内接矩形面积的最大值16.已知圆22y x +=1,从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段PP′,求线段PP′的中点M 的轨迹.17.△ABC 的两个顶点坐标分别是B (0,6)和C (0,-6),另两边AB 、AC 的斜率的乘积是-94,求顶点A 的轨迹方程.18. (本小题满分15分)已知椭圆的焦点在x 轴上,短轴长为4, (1)求椭圆的标准方程; (2)若直线l 过该椭圆的左焦点,交椭圆于M 、N 两点,且MN 求直线l 的方程.。
椭圆知识点及经典例题汇总

椭圆知识点知识要点小结: 知识点一:椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意:若)(2121F F PF PF =+,则动点P 的轨迹为线段21F F ; 若)(2121F F PF PF <+,则动点P 的轨迹无图形.知识点二:椭圆的标准方程1.当焦点在x 轴上时,椭圆的标准方程:12222=+by a x )0(>>b a ,其中222b a c -=2.当焦点在y 轴上时,椭圆的标准方程:12222=+bx a y )0(>>b a ,其中222b a c -=;3.椭圆的参数方程)(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x注意:1.只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程;2.在椭圆的两种标准方程中,都有)0(>>b a 和222b ac -=; 3.椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时,椭圆的焦点坐标为)0,(c ,)0,(c -; 当焦点在y 轴上时,椭圆的焦点坐标为),0(c ,),0(c -知识点三:椭圆的简单几何性质椭圆:12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质(1)对称性:对于椭圆标准方程12222=+b y a x )0(>>b a :说明:把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变,所以椭圆12222=+by a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形,并且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。
(2)范围:椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足a x ≤,b y ≤。
椭圆的基本知识

椭圆的基本知识一、基本知识点知识点一:椭圆的定义:椭圆三定义,简称和比积 1、定义1:(和)到两定点的距离之和为定值的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距,定值为________。
2、定义2:(比)到定点和定直线的距离之比是定值的点的轨迹叫做椭圆。
定点为焦点,定直线为准线,定值为______。
3、定义3:(积)到两定点连线的斜率之积为定值的点的轨迹是椭圆。
两定点是长轴端点,定值为)01(12<<m e m --=。
知识点二:椭圆的标准方程1、当焦点在x 轴上时,椭圆的标准方程为_______________,其中222b ac -=。
2、当焦点在y 轴上时,椭圆的标准方程为_______________,其中222b ac -=。
知识点三:椭圆的参数方程)0(12222>>b a by a x =+的参数方程为________________。
知识点四:椭圆的一些重要性质(1)对称性:椭圆的标准方程是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形,并且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心就是椭圆的中心。
(2)范围:椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足b y a x ≤≤,。
(3)顶点:①椭圆的对称轴与椭圆的交点为椭圆的顶点;②椭圆)0(12222>>b a by a x =+与坐标轴的四个顶点分别为___________________________。
③椭圆的长轴和短轴。
(4)离心率:①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e 表示,记作aca c e ==22。
②因为0>>c a ,所以e 的取值范围是10<<e 。
(5)焦半径:椭圆上任一点),(00y x P 到焦点的连线段叫做焦半径。
对于焦点在x 轴上的椭圆,左焦半径01ex a r +=,右焦半径02ex a r -=。
椭圆知识点归纳总结和经典例题

椭圆的基本知识1 •椭圆的定义:把平面内与两个定点 F 「F 2的距离之和等于常数(大于 F ,F 2)的点的轨迹叫做椭圆•这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做焦距 (设为2c ).2.椭圆的标准方程:焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形,为了计算简便,可设方程为 虑焦点位置,求出方程 3.求轨迹方程的方法:定义法、待定系数法、相关点法、直接法例1如图,已知一个圆的圆心为坐 标原点,半径为2.从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线的解:段PP ,求线段PP 中点M 的轨迹•关点法)设点Mx , y ), 点Rx o , y o ), 贝 y x =x o , y = 匹 得 x o =x , y o = 2y.2x o 2+ y o 2= 4,得 x 2+ (2 y ) 2= 4,即- y 21.所以点M 的轨迹是一个椭圆42 2 2 24.范围.x < a , y < b ,••• | x| < a , | y| < b . 椭圆位于直线x =± a 和y =± b 围成的矩形里.5.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的.坐标轴是椭圆的对称轴. 原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.6.顶点 只须令x = 0,得y =± b ,点Bi(0, — b )、R(0, b )是椭圆和y 轴的两个交点;令 y = 0,得x =± a ,点A ( —a ,0)、A(a ,0)是椭圆和x 轴的两个交点.椭圆有四个顶点:A ( — a , 0)、A(a , 0)、B(0, — b )、B(0, b ).椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点. 线段AA 、BB 分别叫做椭圆的长轴和短轴 . 长轴的长等于2a .短轴的长等于2b . a 叫做椭圆的 长半轴长.b 叫做椭圆的短半轴长.y| BH | = |BF 2| = | BH| = | BF 2| = a .在 Rt △ OBF 2中,|OF |2= | BaF 2| 2 — | 0团 2, AZ b即 c 2 = a 2 — b 2.x7.椭圆的几何性质:mx2+ny2=1(m>0 n>0)不必考2 2a b2 2a b椭圆的几何性质可分为两类:一类是与坐标系有关的性质,如顶点、焦点、中心坐标;一类是与坐和召Hi¥厂1,J /1 .PjAJ4j对 关T r 轴・,、轴・燮标原点荊称荒于J 鞋*孑轴・坐肺腺点时称(K 点Ai ( —Un 0 ) a HI O) fihCOi —At tO-B — a J » A* a }(CXr-CI) a几点说明:(1)长轴:线段 AA ,长为2a ;短轴:线段B 1B 2,长为2b ;焦点在长轴上。
椭圆练习题带答案,知识点总结(基础版)

椭圆练习题带答案,知识点总结(基础版)椭圆是平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a (其中2a>F1F2)的点的轨迹。
这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
当椭圆焦点在x轴上时,标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)。
当椭圆焦点在y轴上时,标准方程为x^2/b^2+y^2/a^2=1(a>b>0)。
椭圆的范围为-a≤x≤a,-b≤y≤b。
椭圆有x轴和y轴两条对称轴,对称中心为坐标原点O(0,0)。
椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b。
椭圆的顶点坐标为(±a,0),(0,±b)。
椭圆的焦点坐标为(±c,0),其中c^2=a^2-b^2.椭圆的离心率为e=c/a(其中0<e<1)。
a、b、c、e的几何意义:a叫做长半轴长;b叫做短半轴长;c叫做半焦距;a、b、c之间满足a^2=b^2+c^2.e叫做椭圆的离心率,e可以刻画椭圆的扁平程度,e越大,椭圆越扁,e 越小,椭圆越圆。
对于椭圆上任一点P和椭圆的一个焦点F,PF_max=a+c,PF_min=a-c。
当点P在短轴端点位置时,∠F1PF2取最大值(余弦定理)。
椭圆方程常用三角换元为x=acosθ,y=bsinθ。
弦长公式为:设直线y=kx+b交椭圆于P1(x1,y1),P2(x2,y2),则|P1P2|=√(1+k^2(x1-x2)^2)或|P1P2|=√(1+(y1-y2)^2/k^2)(k≠0)。
判断点P(x,y)是否在椭圆内,当且仅当x^2/a^2+y^2/b^21.若椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为c/a,短轴长为4√2,则它的长轴长为2a=6.1.在椭圆$x^2/a^2+y^2=1$的内部,点$A(a,1)$,则$a$的取值范围是$-2<a<2$。
2.已知椭圆方程$x^2/16+y^2/8=1$,焦点为$F_1,F_2$,点$P$在椭圆上且$\angle F_1PF_2=\pi/3$。
专题10 椭圆及其性质(知识梳理+专题过关)(解析版)

专题10椭圆及其性质【知识梳理】知识点一:椭圆的定义平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数2a (122||a F F >)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距,记作2c ,定义用集合语言表示为:{}1212|||||2(2||20)P PF PF a a F F c +=>=>注意:当22a c =时,点的轨迹是线段;当22a c <时,点的轨迹不存在.知识点二:椭圆的方程、图形与性质椭圆的方程、图形与性质所示.焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>>()222210y x a b a b +=>>统一方程221(m 0,n 0,)mx ny m n +=>>≠参数方程cos ,[0,2]sin x a y b θθθπθ=⎧∈⎨=⎩为参数()cos ,[0,2]sin x a y b θθθπθ=⎧∈⎨=⎩为参数()第一定义到两定点21F F 、的距离之和等于常数2a ,即21||||2MF MF a +=(212||a F F >)范围a x a -≤≤且b y b-≤≤b x b -≤≤且a y a-≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A①2max 12122cos 1,b F BF r r θθ=-=∠,(B 为短轴的端点)②1202012|s |,1tan 2|in 2|,PF F c y x S x r b r c y θθ∆⎧⎪===⎨⎪⎩焦点在轴上焦点在轴上12()F PF θ=∠考点1:椭圆的定义与标准方程考点2:椭圆方程的充要条件考点3:椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题考点4:椭圆上两点距离的最值问题考点5:椭圆上两线段的和差最值问题考点6:离心率的值及取值范围考点7:椭圆的简单几何性质问题考点8:利用第一定义求解轨迹【典型例题】考点1:椭圆的定义与标准方程1.(2021·湖北·高二期中)椭圆()2222101x y m m m+=>+的焦点为1F ,2F ,与y 轴的一个交点为A ,若12π3F AF ∠=,则m =()A .1B CD .2【答案】C 【解析】在椭圆()2222101x y m m m+=>+中,a =,b m =,1c =.易知12AF AF a ==.又12π3F AF ∠=,所以12F AF 为等边三角形,即112AF F F =2=,即m =.故选:C.2.(2021·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中)椭圆2251162x y +=上点P 到上焦点的距离为4,则点P 到下焦点的距离为()A .6B .3C .4D .2【答案】A【解析】椭圆2251162x y +=,所以225a =,即5a =,设上焦点为1F ,下焦点为2F ,则12210PF PF a +==,因为14PF =,所以26PF =,即点P 到下焦点的距离为6;故选:A3.(2021·山东山东·高二期中)已知椭圆的两个焦点为(10,F ,(2F ,M 是椭圆上一点,若12MF MF ⊥,128MF MF ⋅=,则该椭圆的方程是()A .22194x y +=B .22149x y +=C .22127x y +=D .22172x y +=【答案】B【解析】由212PF PF a +=,得()222121222124PF PF PF PF PF F a P ++⋅+==,又因为12MF MF ⊥,所以()22212220PF PF c +==,由22121220,8PF PF PF PF +=⋅=,得222121242201636a PF PF PF PF =++⋅=+=,所以29,3a a ==,又2c b =∴=.因为椭圆的焦点在y 轴上,所以椭圆的方程是22149x y +=.故选:B.4.(2021·四川·遂宁中学高二期中(文))与椭圆229436x y +=有相同的焦点,且短半轴长为)A .2212520x y +=B .2212520y x +=C .2214520y x +=D .2218580y x +=【答案】B【解析】椭圆229436x y +=的标准方程为22194y x +=,该椭圆的焦点坐标为(0,,设所求椭圆的长半轴长为a ,则5a =,故所求椭圆的标准方程为2212520y x +=.故选:B.5.(2021·全国·高二期中)设1F 、2F 分别是椭圆E :2221y x b+=(01b <<)的左、右焦点,过1F 的直线l 与椭圆E 相交于A 、B 两点,且222AB AF BF =+,则AB 的长为______.【答案】43【解析】由椭圆的定义得:122AF AF a +=,122BF BF a +=,又222||||||AB AF BF =+,11AB AF BF =+,所以43AB a =,由椭圆222:1y E x b+=知1a =,所以43AB =.故答案为:436.(2021·江苏省南通中学高二期中)求满足下列条件的椭圆的标准方程:(1)焦点在y 轴上,焦距是4,且经过点()3,2M ;(2)离心率为513,且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26.【解析】(1)由焦距是4可得2c =,又焦点在y 轴上,所以焦点坐标为()0,2-,()02,,由椭圆的定义可知28a ==,所以4a =,所以22216412b a c =-=-=,所以椭圆的标准方程为2211612y x +=;(2)由题意知226a =,即13a =,又513c e a ==,所以5c =,所以22222135144b a c =-=-=,当椭圆的焦点在x 轴上时,椭圆的方程为221169144x y +=;当椭圆的焦点在y 轴上时,椭圆的方程为221169144y x +=,所以椭圆的方程为221169144x y +=或221169144y x +=7.(2021·黑龙江·大兴安岭实验中学高二期中)(1)求焦点的坐标分别为(0,3),(0,3)-,且过点16(,3)5P 的椭圆的方程.(2)求中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过两点11(,33P 、1(0,)2Q -的椭圆标准方程.【解析】(1)由题意,椭圆的焦点在y 轴上,设椭圆方程为22221y x a b+=由椭圆定义,210a ==故5,3,4a cb ===故椭圆的标准方程为:2212516y x +=(2)不妨设椭圆的方程为:221mx ny +=经过两点11(,)33P 、1(0,2Q -故11199114m n n ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得5,4m n ==即22541x y +=故椭圆的标准方程为:2211145y x +=8.(2021·吉林油田高级中学高二期中)求满足下列条件的椭圆的标准方程.(1)与椭圆22184x y +=有相同的焦点,且经过点()2,3-;(2)点A,B-,(2,C -,()3,0D 中恰有三个点在椭圆上.【解析】(1)椭圆22184x y +=的焦点坐标为()2,0-,()2,0.所以设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>,由题意得()222222231,4,a ba b ⎧-⎪+=⎨⎪-=⎩解得2216,12.a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆的标准方程为2211612x y +=.(2)根据椭圆的对称性,A,B-两点必在椭圆上,因为点A 和点C的纵坐标为A ,C 两点并不关于y 轴对称,故点C 不在椭圆上.所以点A,B-,()3,0D 三点在椭圆上.设椭圆方程为()2210 ,0mx ny m n +=>>,代入A ,D 两点得381,91,m n m +=⎧⎨=⎩解得1,91.12m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以椭圆的标准方程为221912x y +=.考点2:椭圆方程的充要条件9.(2021·安徽·芜湖一中高二期中)若方程22191x y k k +=--表示椭圆C ,则下面结论正确的是()A .()1,9k ∈B .椭圆C的焦距为C .若椭圆C 的焦点在x 轴上,则()1,5k ∈D .若椭圆C 的焦点在x 轴上,则()5,9k ∈【答案】C【解析】因方程表示椭圆,则有90k ->,10k ->,且91k k -≠-,即()()1,55,9k ∈,A 错误;焦点在x 轴上时,910k k ->->,解得()1,5k ∈,D 错误,C 正确;焦点在x 轴上时,则()291102c k k k =---=-,焦点在y 轴上时,()219210c k k k =---=-,B 错误.故选:C10.(2021·北京工业大学附属中学高二期中)设22:1p mx ny +=表示的是椭圆;:0,0q m n >>,则p 是q 成立的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若221mx ny +=表示的是椭圆,则0,0m n >>且m n ≠,即p q ⇒成立;反例:当1m n ==时,221mx ny +=表示的是圆,即q p ⇒不成立;即p 是q 成立的充分不必要条件,故选:A.11.(2021·上海·高二期中)对于常数m 、n ,“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当0mn >时,方程221mx ny +=的曲线不一定是椭圆,例如:当1m n ==时,方程221mx ny +=的曲线不是椭圆而是圆;或者是m ,n 都是负数,曲线表示的也不是椭圆;故前者不是后者的充分条件;当方程221mx ny +=的曲线是椭圆时,应有m ,n 都大于0,且两个量不相等,得到0mn >;由上可得:“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的必要不充分条件.故选:B.12.(多选题)(2021·江苏·无锡市第一女子中学高二期中)已知曲线22:1C mx ny +=()A .若0m n >>,则C 是椭圆,其焦点在y 轴上B .若0m n >>,则C 是椭圆,其焦点在x 轴上C .若0m n =>,则CD .若0m =,0n >,则C 是两条直线【答案】AD【解析】对于A ,若0m n >>,则221mx ny +=可化为22111x y m n+=,因为0m n >>,所以11m n<,即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆,故A 正确,故B 错误;对于C ,若0m n =>,则221mx ny +=可化为221x y n+=,此时曲线C 表示圆心在原点,半的圆,故C 不正确;对于D ,若0,0m n =>,则221mx ny +=可化为21y n =,y n=,此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线,故D 正确;故选:AD.13.(2021·上海市宝山中学高二期中)已知方程22164x y m m+=+-表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数m 的取值范围是_______;【答案】61m -<<-【解析】由于方程22164x y m m +=+-表示焦点在y 轴上的椭圆,所以4660m m m ->+⎧⎨+>⎩,解得61m -<<-.故答案为:61m -<<-14.(2021·广西·钦州一中高二期中(文))若椭圆22113x y k k+=--的焦点在y 轴上,则实数k的取值范围是___________.【答案】(1,2)【解析】因为椭圆22113x y k k+=--的焦点在y 轴上,所以313010k k k k ->-⎧⎪->⎨⎪->⎩,解得12k <<,即实数k 的取值范围为(1,2).故答案为:(1,2)考点3:椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题15.(2021·全国·高二期中)已知椭圆2214x y +=的左、右焦点为1F ,2F ,点P 为椭圆上动点,则12PF PF +的值是______;12PF PF ⋅的取值范围是______.【答案】4[]2,1-【解析】对椭圆2214x y +=,其2224,1,3a b c ===,焦点坐标分别为())12,F F ,由椭圆定义可得:12PF PF +24a ==;设点P 的坐标为(),x y ,则2214x y =-,且[]2,2x ∈-,故12PF PF ⋅())222123,,324x y x y x y x =-⋅-=+-=-,又[]2,2x ∈-,故[]2322,14x -∈-,即12PF PF ⋅的取值范围为:[]2,1-.故答案为:4;[]2,1-.16.(2021·安徽滁州·高二期中)已知1F 、2F 是椭圆22110020x y +=的两个焦点,M 是椭圆上一点,且12MF MF ⊥,则12F MF △的面积为______.【答案】20【解析】由22110020x y +=,得2100a =,220b =,所以10a =,c ==所以122F F c ==1MF m =,2MF n =,所以220m n a +==,因为12MF MF ⊥,所以22320m n +=,所以()()222280mn m n m n =+-+=,所以12F MF △的面积为12mn 20=.故答案为:20.17.(2021·安徽·高二期中)设12,F F 是椭圆22:1167x yC +=的左,右焦点,点P 在C 上,O 为坐标原点,且||3OP =,则12PF F △的面积为___________.【答案】7【解析】由题意得,4a =,3c =,12132OP F F ==,∴P 在以线段12F F 为直径的圆上,∴12PF PF ⊥,∴222121236PF PF F F +==①,由椭圆的定义知,128PF PF +=②,由①②,解得1214PF PF ⋅=,∴1212172PF F S PF PF =⋅=△.故答案为:7.18.(2021·山东师范大学附中高二期中)已知椭圆221126x y +=的左、右焦点为1F 、2F ,P 在椭圆上,且12PF F △是直角三角形,这样的P 点有______个【答案】6【解析】当P 不是直角顶点时,P 为过焦点与x 轴垂直的直线与椭圆的交点,易知这样的点有4个;当P 是直角顶点时,P 在以12F F为直径的圆上,c =故圆方程为226x y +=,联立方程:222211266x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,解得0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩.综上所述:共有6个点满足条件.故答案为:6.19.(2021·上海市控江中学高二期中)设1F 、2F 分别是椭圆22:12516x yC +=的左、右焦点,点P在椭圆C 上,且满足120PF PF ⋅=,则12PF PF ⋅=___________.【答案】32【解析】由题意,椭圆22:12516x y C +=,可得5,4a b ==,则3c =,根据椭圆的定义,可得1210PF PF +=,又由120PF PF ⋅=,可得12PF PF ⊥,所以22212436PF PF c +==,因为()2221212121221002PF PF PF PF PF PF PF PF +=+-=-,即12100236PF PF -=,解得1232PF PF =.故答案为:32.20.(2021·辽宁·大连市第三十六中学高二期中)已知1F ,2F 是椭圆22:1123x y C +=的两个焦点,点P 在椭圆上,120PF PF ⋅=,则12PF F △的面积是()A .3B .6C.D.【答案】A【解析】因为120PF PF ⋅=,所以12PF PF ⊥,2221212PF PF F F +=,则()221212122PF PF PF PF F F +-⋅=,所以222122226PF PF a c b ⋅=-==,所以1212132PF F S PF PF =⋅=△,故选:A21.(多选题)(2021·江苏·淮阴中学高二期中)已知椭圆22:14x M y +=,若P 在椭圆M 上,1F 、2F 是椭圆M 的左、右焦点,则下列说法正确的有()A .若12PF PF =,则1230PF F ∠=B .12F PF △C .12PF PF -的最大值为D .满足12F PF △是直角三角形的点P 有4个【答案】ABC【解析】在椭圆M 中,2a =,1b =,c =12F F =对于A 选项,当12PF PF =时,则122PF PF a ===,由余弦定理可得222112212112cos 2PF F F PF PF F PF F F +-∠=⋅因为120180PF F <∠<,所以,1230PF F ∠=,A 对;对于B 选项,当点P 为椭圆M 的短轴顶点时,点P 到x 轴的距离最大,所以,12F PF △面积的最大值为122c b bc ⨯⨯==B 对;对于C 选项,因为2a c PF a c -≤≤+,即222PF ≤≤,所以,()12222222PF PF a PF a a c c -=-≤--==C 对;对于D 选项,当112PF F F ⊥或212PF F F ⊥时,12PF F 为直角三角形,此时满足条件的点P 有4个,当P 为直角顶点时,设点()00,P x y ,则220044x y =-,()100F P x y =,()200F P x y =,222120003130F P F P x y y ⋅=-+=-=,所以,0y =03x =±,此时,满足条件的点P 有4个,综上所述,满足12F PF △是直角三角形的点P 有8个,D 错.故选:ABC.22.(多选题)(2021·广东·深圳市高级中学高二期中)已知椭圆M :2212520x y +=的左右焦点分别为12F F 、,左右顶点分别为12A A 、,P 是椭圆上异于12A A 、的任意一点,则下列说法正确的是()A .12PF F △周长为10B .12PF F △面积最大值为10C .存在点P 满足:1290F PF ︒∠=D .若12PF F △面积为P横坐标为【答案】BD【解析】由题意5,a b c ===,1(F,2F,短轴一个端点2B,由题知12210PF PF a +==,故12PF F △周长为10+A 错误;利用椭圆的性质可知12PF F △面积最大值为1102⨯=,故B 正确;因为22221tan 12OF OB F OB ∠===<,所以22045OB F ︒<∠<︒,从而12222290F B F OB F ∠=∠<︒,而P 是椭圆上任一点时,当P 是短轴端点时12F PF ∠最大,因此不存在点P 满足1290F PF ∠=︒,故C 错误;因为121212PF F P P S F F y y =⋅=△4P y =,则21612520P x +=,P x =D 正确.故选:BD .23.(2021·湖南·长沙市明德中学高二期中)椭圆221169x y +=的左、右焦点为1F 、2F ,一直线过1F 交椭圆于A 、B ,则2ABF 的周长为()A .32B .16C .8D .4【答案】B【解析】在椭圆221169x y +=中,4a =,则2ABF 的周长为1212416AF AF BF BF a +++==.故选:B.24.(2021·广东·广州市番禺区实验中学高二期中)已知1F ,2F 是椭圆22:12516x yC +=的两个焦点,点M 在C 上,则12MF MF ⋅的最大值为().A .13B .12C .25D .16【答案】C【解析】由椭圆方程知:5a =;根据椭圆定义知:12210MF MF a +==,21212252MF MF MF MF ⎛+⎫∴⋅≤= ⎪⎝⎭(当且仅当12MF MF =时取等号),12MF MF ∴⋅的最大值为25.故选:C.考点4:椭圆上两点距离的最值问题25.(2021·陕西·长安一中高二期中(文))设B 是椭圆22:14x C y +=的上顶点,点P 在C 上,则PB 的最大值为________.【答案】3【解析】根据题意,易知()0,1B ,设(),P x y ,则2214xy +=,即2244x y =-,故PB =因为11y -≤≤,所以当13y =-时,max PB ==26.(2021·福建宁德·高二期中)点P 为椭圆22159x y +=上一点,F 为焦点,则PF 的最大值为()A .1B .3C .5D .7【答案】C 【解析】22159x y +=,29a ∴=,2254b c =⇒=,即3,2a c ==.所以PF 的最大值为325a c +=+=.故选:C27.(2021·河北·正定一中高二期中)椭圆22195x y +=上任一点P 到点()1,0Q 的距离的最小值为()AB .152C .2D .3【答案】B【解析】设点P 的坐标为(),m n ,其中[3,3]∈-m ,由22195m n +=,可得22559m n =-,又由PQ ====,当94m =时,PQ 取得最小值,最小值为min 2PQ =.故选:B.28.(2021·上海市行知中学高二期中)设1F 、2F 是椭圆2216416x y+=的左右焦点,过1F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点,则22AF BF +的最大值为______.【答案】28【解析】由题意,椭圆2216416x y +=,可得2264,16a b ==,即8,4a b ==,根据椭圆的定义,可得121216,16AF AF BF BF +=+=,则22112232AF BF AF BF AF BF AB +++=++=,所以2232AF BF AB +=-,当AB 垂直于x 轴时,AB 取得最小值,此时22AF BF +取得最大值,此时2221648b AB a ⨯===,所以22AF BF +的最大值为32428-=.故答案为:28.考点5:椭圆上两线段的和差最值问题29.(2021·四川·树德中学高二期中(文))已知点()4,0A ,()2,2B 是椭圆221259x y+=内的两个点,M 是椭圆上的动点,则MA MB +的最大值为______.【答案】10+221259x y +=,所以5,3,4a b c ===,所以()4,0A 是椭圆的右焦点,设左焦点为()4,0C -,根据椭圆的定义可知210MA MB a MC MB MB MC +=-+=+-,MB MC BC -≤==,所以MA MB +的最大值为10+故答案为:10+30.(2021·天津市嘉诚中学高二期中)已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为1F ,2F ,点P 为椭圆上一点,点(4,4)A -,则2||PA PF -的最小值为__________.【答案】1【解析】依题意,椭圆22143x y +=的左焦点1(1,0)F -,右焦点2(1,0)F ,点P 为椭圆上一点,点A 在此椭圆外,由椭圆的定义得21||4||PF PF =-,因此,211||||4||4PA PF PA PF AF -=+-≥-41=-=,当且仅当点P 是线段1AF 与椭圆的交点时取“=”,所以2||PA PF -的最小值为1.故答案为:131.(2021·安徽·池州市第一中学高二期中)已知椭圆C 的方程为221,(2,0),(4,2)95x y B A +=-,M 为C 上任意一点,则||||MA MB -的最小值为___________.【答案】6【解析】由题意,3,a b ==2c =,所以(2,0)B -为左焦点,(2,0)D 为右焦点,所||||||(2||)||||2||26MA MB MA a MD MA MD a AD a -=--=+-≥-=,当且仅当M 、D 、A 共线时取等号.故答案为:6.32.(2021·湖北·黄石市有色第一中学高二期中)设F 1,F 2分别是椭圆225x +216y=1的左、右焦点,P 为椭圆上任一点,点M 的坐标为(6,4),则|PM |+|PF 1|的最大值为____.【答案】15【解析】如图所示:在椭圆225x +216y=1中,a =5,b =4,c =3,所以焦点坐标分别为F 1(-3,0),F 2(3,0).|PM |+|PF 1|=|PM |+(2a -|PF 2|)=10+(|PM |-|PF 2|).∵|PM |-|PF 2|≤|MF 2|,当且仅当P 在直线MF 2上时取等号,∴当点P 与图中的点P 0重合时,有(|PM |-|PF 2|)max =|MF 222(6-3)(40)+-=5,此时|PM |+|PF 1|取最大值,最大值为10+5=15.故答案为:1533.(多选题)(2021·河北·石家庄市第四中学高二期中)已知椭圆22x y E :13620+=的左、右点分别为1F ,2F ,定点()1,4A ,若点P 是椭圆E 上的动点,则1PA PF +的值可能为()A .7B .10C .18D .20【答案】AB【解析】由椭圆方程得6,25,4a b c ===,则由椭圆定义可得1212PF PF +=,∴1221212PA PF PA PF PA PF +=+-=+-,()24,0F ,()2221445AF ∴-+=,255PA PF ∴-- ,则1717PA PF + .故选:AB.34.(2021·河北·石家庄二十三中高二期中)设P 是椭圆2212516x y +=上一点,M ,N 分别是圆221:(3)1C x y ++=和222:(3)4C x y -+=上的点,则PM PN +的最大值为()A .13B .10C .8D .7【答案】A【解析】根据题意作出如图所示的图象,其中1F 、2F 是椭圆的左,右焦点,在1PMF 中可得:1111PF PM PF -≤≤+①,当且仅当P 、M 、1F 三点共线时,等号成立,在2PNF 中可得:2222PF PN PF -≤≤+②,当且仅当P 、N 、2F 三点共线时,等号成立,由①+②得:121233PF PF PM PN PF PF +-≤+≤++,由椭圆方程2212516x y +=可得:225a =,即5a =,由椭圆定义可得:12210PF PF a +==,所以,713PM PN ≤+≤.故选:A.考点6:离心率的值及取值范围35.(2021·贵州·黔西南州金成实验学校高二期中(理))设P 是椭圆C :2221(6x y a a +=>上任意一点,F 为C 的右焦点,PF C 的离心率为_________.【答案】12【解析】P 是椭圆222:1(6x y C a a +=>上任意一点,F 为C 的右焦点,||PF 的最,可得a c -=所以a =即a 所以(226a a =-,解得a =所以12c e a =.故答案为:12.36.(2021·黑龙江·绥化市第一中学高二期中)已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上有一点P ,1F ,2F 是椭圆的左、右焦点,若使得12F PF △为直角三角形的点P 有8个,则椭圆的离心率的范围是______.【答案】⎫⎪⎪⎝⎭【解析】由椭圆的对称性,1221,PF F PF F ∠∠为直角,共有4个位置,12F PF ∠为直角,共有4个位置,于是以12F F 为直径的圆与椭圆有4个交点.又离心率越大椭圆越扁,而当点P 在y轴上时,2,2c b c e a ==,12e ⎫∈⎪⎪⎝⎭.故答案为:2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.37.(2021·广西柳州·高二期中(理))已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ,过F 作一条倾斜角为45的直线与椭圆C 交于,A B 两点,若()3,2M -为线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率是()A3B .12C .25D【答案】A【解析】设点1122(,),(,)A x y B x y ,依题意,2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩,相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=,因直线AB 的倾斜角为45,即直线AB 的斜率为12121y y x x -=-,又()3,2M -为线段AB 的中点,则126x x +=-,124y y +=,因此有22460a b -=,即2223b a =,所以椭圆C的离心率33e a ==.故选:A38.(2021·宁夏·吴忠中学高二期中(文))已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ,点P 为C 上一点,若212PF F F ⊥,且1230PF F ∠=︒,则椭圆C 的离心率为()A .16B.6C .13D【答案】D 【解析】P 点椭圆C 上的点,12+2PF PF a∴=212PF F F ⊥,且1230PF F ∠=︒2124,33PF a PF a ∴==在12PF F △中,2221221F F PF PF +=即22224(2)()()33c a a +=,整理得:2213c a=即213,33e e =∴=故选:D39.(2021·四川·阆中中学高二期中(文))已知1()0F c -,,2(0)F c ,是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点,若椭圆上存在一点P 使得212PF PF c ⋅=,则椭圆C 的离心率的取值范围为()A .33(],B .32[],C .3[312,D .2[1)2【答案】B【解析】设点(,)P x y ,22212(,)(,)=PF PF c x y c x y x c y ⋅=---⋅---+22222222222b c x c b x x c b a a=-+-=-+,因为220x a ≤≤,所以22212b c PF PF b -≤⋅≤,即2222b c c b -≤≤,结合222=b a c -可得221132c a ≤≤,所以3232e ∈⎣⎦.故选:B.40.(2021·江西赣州·高二期中(文))已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>,P 是椭圆C 上的点,()()12,0,,0F c F c -是椭圆C 的左右焦点,若12PF PF ac ⋅≤恒成立,则椭圆C 的离心率e 的取值范围是()A .1,12⎫⎪⎪⎣⎭B .(1⎤⎦C .12⎛⎤- ⎥ ⎝⎦D .)1,1【答案】A【解析】设()()()222002001001200,,,,,,P x y PF c x y PF c x y PF PF x c y ac ∴=--=---∴⋅=-+≤,P 在椭圆上,[]2222222000002221,,,x y a b b x x a a y a b a -∴+=∈-∴=,222222222002a b b x x c y x c ac a -∴-+=-+≤,两边都乘以2a 化简后得:22224302c x a c a a c -+≤,3422220220,a a x a x a c c⎡⎤∴≤+-∈⎣⎦,2342222111152,12,24a a a a c c e e e ⎛⎫∴≤+-∴≤+-⇒-≤ ⎪⎝⎭e ∴≥()0,1e ∈,1,12e ⎫∴∈⎪⎢⎪⎣⎭.故选:A.41.(2021·浙江浙江·高二期中)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两焦点为1F ,2F .若椭圆C 上有一点P 满足1290F PF ∠=︒,则椭圆C 的离心率的最小值为()A 22B .3C .13D 【答案】A【解析】由椭圆的几何性质知当点P 在短轴顶点时,12F PF ∠最大,设短轴顶点为B ,则1290F BF ∠≥︒,得sin 452c a ≥︒=,故选:A42.(2021·江苏·扬州中学高二期中)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为1F 、2F ,P是椭圆上一点,O 为坐标原点,若2POF V 为等边三角形,则椭圆的离心率为()A1B 1-C D 【答案】A【解析】连接1F P ,根据题意,作图如下:因为2POF V 为等边三角形,即可得:12OF OP OF c ===,则122190,60F PF PF F ∠=︒∠=︒则112sin 603PF F F c =︒⨯=,由椭圆定义可知:21223PF a PF a c c =-==,故可得:3131c a =-+.故选:A.考点7:椭圆的简单几何性质问题43.(2021·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高二期中)焦点在x 轴的椭圆2214x y m +=的焦距是4,则m 的值为()A .8B .3C .5或3D .20【答案】A【解析】因为焦点在x 轴,故4m >,而焦距是442m -=即8m =,故选:A.44.(2021·辽宁·高二期中)已知椭圆()2210x my m +=>的焦点在y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m =()A .2B .1C .14D .4【答案】C【解析】因为椭圆()2210x my m +=>的焦点在y 轴上,故01m <<,且椭圆的标准方程为:2211y x m+=,所以221,1a b m==所以141m=⨯,故14m =,故选:C.45.(2021·海南·琼海市嘉积第二中学高二期中)已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ,过2F 且斜率为1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,则AB 等于()A .247B .127C.7D.7【答案】A【解析】设直线AB 方程为1y x =-,联立椭圆方程22143x y+=整理可得:27880x x --=,设()()1122,,,A x y B x y ,则1287x x +=,1287x x ⋅=-,根据弦长公式有:AB ==247.故B ,C ,D 错误.故选:A.46.(2021·安徽·高二期中)已知圆()()222x a y b r -+-=经过椭圆C :22198x y +=的右焦点,上顶点与右顶点,则b =()A .8B .118C .1124D .114【答案】A【解析】椭圆C :22198x y +=,右焦点为()1,0,上顶点为(0,,右顶点为()3,0,代入圆的方程222()()x a y b r -+-=,得()()()()()()22222222210030a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+=⎨⎪⎪-+-=⎩,解得22112815332a b r ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩,所以该圆的方程为()221532832x y ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭.故选:A47.(2021·广西玉林·高二期中(理))已知点P (k ,1),椭圆2294x y +=1,点P 在椭圆外,则实数k 的取值范围为_____.【答案】∞⎛⎫∞⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-【解析】因为点P (k ,1)在椭圆2294x y +=1外,所以2194k +>1,解得k <k >2,故实数k 取值范围为22∞⎛⎛⎫∞⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-,-.故答案为:∞⎛⎫∞⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-考点8:利用第一定义求解轨迹48.(2021·辽宁沈阳·高二期中)已知圆M :()22236x y ++=,定点()2,0N ,A 是圆M 上的一动点,线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ,则P 点的轨迹C 的方程是()A .22143x y +=B .22195x y +=C .22134x y +=D .22159x y +=【答案】B【解析】由题可得圆心()2,0M ,半径为6,P 是垂直平分线上的点,PA PN ∴=,6PM PN PM PA ∴+=+=,∴P 点的轨迹是以,M N 为焦点的椭圆,且26,2a c ==,a 3∴=,2225b a c ∴=-=,故P 点的轨迹方程为22195x y +=.故选:B.49.(2021·吉林油田高级中学高二期中(文))已知ABC 的周长是20,且顶点B 的坐标为(0,4)-,C 的坐标为(0,4),则顶点A 的轨迹方程是()A .221(0)2036x y x -=≠B .221(0)3620x y x +=≠C .221(0)2036x y x +=≠D .221(0)3620x y x -=≠【答案】C【解析】由题意可知20812AC AB BC +=-=>,则点A 的轨迹是焦点在y 轴且中心为原点的椭圆,且点A 不在y 轴上2226,4,6420a c b ===-=,即221(0)2036x y x +=≠故选:C50.(2021·云南省昆明市第十二中学高二期中)一个动圆与圆221:(3)1C x y ++=外切,与圆22:(3)81C x y +-=内切,则这个动圆圆心的轨迹方程为()A .2212516y x +=B .2212516x y +=C .221169y x +=D .221169x y +=【答案】A【解析】设动圆半径为r ,圆心为M ,根据题意可知,2(0,3C )和1(0,3C -),1||1+MC r =,2||9MC r =-,12|C |3(3)6C =--=12||+||91+106MC MC r r =-+=>,故动圆圆心的轨迹为焦点在y 轴上椭圆,且焦点坐标为2(0,3C )和1(0,3C -),其中210,5a a ==,122||6,3c C C c ===,所以222=25916b a c -=-=,故椭圆轨迹方程为:2251162x y +=,故选:A.51.(2021·广东·深圳外国语学校高二期中(理))△ABC 的两个顶点坐标A (-4,0),B (4,0),它的周长是18,则顶点C 的轨迹方程是()A .22+1259x y =B .22+1259y x =(y ≠0)C .()22+10169x y y ≠D .()22+10259x y y ≠【答案】D【解析】因为++18AB AC BC =,所以+10>AC BC AB =,所以顶点C 的轨迹为以A ,B 为焦点的椭圆,去掉A ,B ,C 共线的情况,即2210,4,9a c b ==∴=,所以顶点C 的轨迹方程是()22+10259x y y ≠,故选:D.52.(2021·安徽·肥东县综合高中高二期中(理))已知两圆C 1:(x -4)2+y 2=169,C 2:(x +4)2+y 2=9.动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切,和圆C 2相外切,则动圆圆心M 的轨迹方程是()A .2216448x y -=B .2214864x y +=C .2214864x y -=D .2216448x y +=【答案】D【解析】设动圆的圆心(),M x y ,半径为r圆M 与圆1C :()224169x y -+=内切,与C 2:()2249x y ++=外切.所以1213,3MC r MC r =-=+.1212+168MC MC C C =>=由椭圆的定义,M 的轨迹是以12,C C 为焦点,长轴为16的椭圆.则8,4a c ==,所以2228448b =-=动圆的圆心M 的轨迹方程为:2216448x y +=故选:D53.(2021·宁夏·贺兰县景博中学高二期中(理))已知动点P 与平面上两定点()A ,)B连线的斜率的积为定值-12.则动点P 的轨迹方程为________【答案】(2212x y x +=≠【解析】设动点(),P x y ,则PA k =PB k =12=-,整理得:2212x y +=,又因为动点P 不能与定点()A ,)B重合,故x ≠综上:动点P 的轨迹方程为(2212x y x +=≠故答案为:(2212x y x +=≠54.(2021·福建福州·高二期中)已知动圆P 过定点(3,0)A -,且在定圆22:(3)64B x y -+=的内部与其相内切,则动圆P 的圆心的轨迹方程为____________________.【答案】221167x y +=【解析】设动圆P 和定圆B 内切于点M ,动点P 到定点(3,0)A -和定圆圆心(3,0)B 距离之和恰好等于定圆半径,即||||||||||86PA PB PM PB BM +=+==>,∴点P 的轨迹是以A ,B 为两焦点,半长轴为4的椭圆,b =∴点P 的轨迹方程为221167x y +=,故答案:221167x y +=.55.(2021·黑龙江·哈师大附中高二期中)ABC 中,()12,0B -,()12,0C ,AC ,AB 边上的两条中线之和为39,则ABC 的重心的轨迹方程为___________.【答案】()221016925x y y +=≠【解析】根据题意,设ABC 的重心为G ,因为AC ,AB 边上的两条中线之和为39,所以23926243GB GC +=⨯=>,根据椭圆定义可知,点G 轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆,且13a =,12c =,因此ABC 的重心的轨迹方程为()221016925x y y +=≠.故答案为:()221016925x y y +=≠.56.(2021·安徽·六安一中高二期中)已知圆1C :()2211x y ++=和圆2C :()22125x y -+=,动圆M 同时与圆1C 外切和圆2C 内切,则动圆的圆心M 的轨迹方程为________.【答案】22198x y +=【解析】由圆1C :()2211x y ++=可得圆心()11,0C -,半径11r =,由圆2C :()22125x y -+=可得圆心()21,0C ,半径25r =,设圆M 的半径为r ,因为动圆M 同时与圆1C 外切和圆2C 内切,所以11MC r =+,25MC r =-,所以12121562MC MC r r C C +=++-=>=,所以点M 的轨迹是以()11,0C -,()21,0C 为焦点,26a =的椭圆,所以3a =,1c =,b ==,所以动圆的圆心M 的轨迹方程为:22198x y +=,故答案为:22198x y +=.57.(2021·四川·雅安中学高二期中)平面上一动点(),P x y满足4=,则P 的轨迹方程为__________.【答案】22143x y +=【解析】动点(,)P x y4=,∴动点(,)P x y 到(1,0)A -和(1,0)B 的距离之和等于4||2AB >=,∴动点P 的轨迹是以点,A B 为焦点的椭圆,设其方程为22221(0)x ya b a b+=>>,由题得21,24,2,413c a a b ==∴==-=.∴动点P 的轨迹方程是22143x y +=.故答案为:22143x y +=.58.(2021·天津河西·高二期中)动点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和M 到定直线l :254x =的距离的比是常数45,则动点M 的轨迹方程是___________.【答案】221259x y +=【解析】因为动点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和M 到定直线l :254x =的距离的比是常数45,45=,即()22225254164x y x ⎛⎫⎡⎤-+=- ⎪⎣⎦⎝⎭,整理可得:22925225x y +=,即221259x y +=,故答案为:221259x y +=.。
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圆锥曲线与方程--椭圆知识点一.椭圆及其标准方程1.椭圆的定义:平面内与两定点F 1,F 2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆,即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ,2a >|F 1F 2|=2c};这里两个定点F 1,F 2叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。
(212F F a =时为线段21F F ,212F F a <无轨迹)。
2.标准方程: 222ca b =-①焦点在x 轴上:12222=+by a x (a >b >0); 焦点F (±c ,0)②焦点在y 轴上:12222=+bx a y (a >b >0); 焦点F (0, ±c )注意:①在两种标准方程中,总有a >b >0,并且椭圆的焦点总在长轴上;②两种标准方程可用一般形式表示:221x y m n+= 或者 mx 2+ny 2=1 二.椭圆的简单几何性质: 1.范围(1)椭圆12222=+by a x (a >b >0) 横坐标-a ≤x ≤a ,纵坐标-b ≤x ≤b(2)椭圆12222=+bx a y (a >b >0) 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a2.对称性椭圆关于x 轴y 轴都是对称的,这里,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点(1)椭圆的顶点:A 1(-a ,0),A 2(a ,0),B 1(0,-b ),B 2(0,b )(2)线段A 1A 2,B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ,短轴长等于2b ,a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4.离心率(1)我们把椭圆的焦距与长轴长的比22c a ,即ac称为椭圆的离心率, 记作e (10<<e ),22221()b e a a==-c e 0=是圆;e 越接近于0 (e 越小),椭圆就越接近于圆;e 越接近于1 (e 越大),椭圆越扁;注意:离心率的大小只与椭圆本身的形状有关,与其所处的位置无关。
小结一:基本元素(1)基本量:a 、b 、c 、e 、(共四个量), 特征三角形 (2)基本点:顶点、焦点、中心(共七个点) (3)基本线:对称轴(共两条线) 5.椭圆的的内外部(1)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的内部2200221x y a b ⇔+<. (2)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x ya b a b +=>>的外部2200221x y a b⇔+>.6.几何性质(1)点P 在椭圆上, 最大角()12122max ,F PF F B F ∠=∠ (2)最大距离,最小距离 7.直线与椭圆的位置关系(1)位置关系的判定:联立方程组求根的判别式; (2)弦长公式: (3)中点弦问题:韦达定理法、点差法例题讲解: 一.椭圆定义: 1.方程()()10222222=++++-y x y x 化简的结果是2.若ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -,ABC ∆的周长为18,则顶点C 的轨迹方程是3.已知椭圆22169x y +=1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为二.利用标准方程确定参数1.若方程25x k -+23y k -=1(1)表示圆,则实数k 的取值是 .(2)表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围是 . (3)表示焦点在y 型上的椭圆,则实数k 的取值范围是 . (4)表示椭圆,则实数k 的取值范围是 .2.椭圆22425100x y +=的长轴长等于 ,短轴长等于 , 顶点坐标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ,离心率等于 ,3.椭圆2214x y m+=的焦距为2,则m = 。
4.椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(,那么=k 。
三.待定系数法求椭圆标准方程1.若椭圆经过点(4,0)-,(0,3)-,则该椭圆的标准方程为 。
2.焦点在坐标轴上,且213a =,212c =的椭圆的标准方程为 3.焦点在x 轴上,1:2:=b a ,6=c 椭圆的标准方程为4. 已知三点P (5,2)、1F (-6,0)、2F (6,0),求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程;变式:求与椭圆224936x y +=共焦点,且过点(3,2)-的椭圆方程。
四.焦点三角形1.椭圆221925x y +=的焦点为1F 、2F ,AB 是椭圆过焦点1F 的弦,则2ABF ∆的周长是 。
2.设1F ,2F 为椭圆400251622=+y x 的焦点,P 为椭圆上的任一点,则21F PF ∆的周长是多少?21F PF ∆的面积的最大值是多少?3.设点P 是椭圆2212516x y +=上的一点,12,F F 是焦点,若12F PF ∠是直角,则12F PF ∆的面积为 。
变式:已知椭圆14416922=+y x ,焦点为1F 、2F ,P 是椭圆上一点. 若︒=∠6021PF F , 求21F PF ∆的面积.五.离心率的有关问题1.椭圆1422=+m y x 的离心率为21,则=m 2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为0120,则此椭圆的离心率e 为 3.椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形,则椭圆的离心率为4.设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2,过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若△F 1PF 2为等腰直角三角形,求椭圆的离心率。
5.在ABC △中,3,2||,300===∠∆ABC S AB A .若以A B ,为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的离心率e = .六、最值问题:1、已知椭圆2214x y +=,A(1,0),P 为椭圆上任意一点,求|PA|的最大值 最小值 。
2.椭圆2214x y +=两焦点为F 1、F 2,点P 在椭圆上,则|PF 1|·|PF 2|的最大值为_____,七、弦长、中点弦问题1、已知椭圆1422=+y x 及直m x y +=线. (1)当m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为5102,求直线的方程.2已知椭圆1222=+y x ,(1)求过点(1,0)且被椭圆截得的弦长为22的弦所在直线的方程(2)求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121,P 且被P 平分的弦所在直线的方程;同步测试1已知F 1(-8,0),F 2(8,0),动点P 满足|PF 1|+|PF 2|=16,则点P 的轨迹为( )A 圆B 椭圆C 线段D 直线2、椭圆221169x y -=左右焦点为F 1、F 2,CD 为过F 1的弦,则∆CDF 1的周长为______ 3已知方程22111x y k k+=+-表示椭圆,则k 的取值范围是( ) A -1<k<1 B k>0 C k ≥0 D k>1或k<-14、求满足以下条件的椭圆的标准方程(1)长轴长为10,短轴长为6(2)长轴是短轴的2倍,且过点(2,1) (3) 经过点(5,1),(3,2)5.椭圆22221(0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别是F 1、F 2,过点F 1作x 轴的垂线交椭圆于P 点。
若∠F 1PF 2=60°,则椭圆的离心率为_________6已知椭圆的方程为22143x y +=,P 点是椭圆上的点且1260F PF ∠=︒,求12PF F ∆的面积7.若椭圆的短轴为AB ,它的一个焦点为F 1,则满足△ABF 1为等边三角形的椭圆的离心率为8.椭圆13610022=+y x 上的点P 到它的左焦点的距离是12,那么点P 到它的右焦点的距离是 9.已知椭圆)5(125222>=+a y ax 的两个焦点为1F 、2F ,且821=F F ,弦AB 过点1F ,则△2ABF 的周长10、椭圆32x +22y =1与椭圆22x +32y =λ(λ>0)有(A)相等的焦距 (B)相同的离心率 (C)相同的准线 (D)以上都不对11、椭圆192522=+y x 与125922=-+-λλy x (0<k<9)的关系为(A)相等的焦距 (B)相同的的焦点 (C)相同的准线 (D)有相等的长轴、短轴12.点P 为椭圆1162522=+y x 上的动点,21,F F 为椭圆的左、右焦点,则21PF PF ⋅的最小值为__________ ,此时点P 的坐标为________________.感受高考1.分别过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点F 1、F 2作两条互相垂直的直线l 1、l 2,它们的交点在椭圆的内部,则椭圆的离心率的取值范围是( )A .(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,22 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22,1D.⎝⎛⎦⎥⎤0,222.椭圆x 2100+y 264=1的焦点为F 1、F 2,椭圆上的点P 满足∠F 1PF 2=60°,则△F 1PF 2的面积是( )A.6433B.9133C.1633D.6433.已知椭圆E 的短轴长为6,焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9,则椭圆E 的离心率等于( )4已知点F ,A 分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点、右顶点,B (0,b )满足FB →·AB →=0,则椭圆的离心率等于( )A.3+12B.5-12C.3-12D.5+125.已知椭圆x 24+y 22=1的左右焦点分别为F 1、F 2,过F 2且倾角为45°的直线l 交椭圆于A 、B 两点,以下结论中:①△ABF 1的周长为8;②原点到l 的距离为1;③|AB |=83;正确结论的个数为( )A .3B .2C .1D .06.已知圆(x +2)2+y 2=36的圆心为M ,设A 为圆上任一点,N (2,0),线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ,则动点P 的轨迹是( )A .圆B .椭圆C .双曲线D .抛物线7.过椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点作圆x 2+y 2=b 2的两条切线,切点分别为A ,B ,若∠AOB =90°(O 为坐标原点),则椭圆C 的离心率为________.8若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与曲线x2+y2=a2-b2无公共点,则椭圆的离心率e的取值范围是________.9.已知△ABC顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆x225+y29=1上,则sin A+sin Csin B=________.10.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4.(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y=x+2相切,求椭圆C的焦点坐标;.11.椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率e=12. (1)求椭圆E的方程;。