高二数学椭圆知识点整理
高中椭圆知识点归纳
高中椭圆知识点归纳高中椭圆的知识点归纳如下：1. 椭圆的定义：椭圆由平面上到两个定点的距离之和等于常数2a的点构成，这两个定点称为焦点，距离两焦点的距离称为焦距。
2. 椭圆的性质：- 长轴与短轴：椭圆的长轴是通过两个焦点的直线段，短轴是通过椭圆的中心且垂直于长轴的直线段。
- 坐标表示：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a大于b，a为长轴的长度，b为短轴的长度。
- 焦半径：焦半径是焦点到椭圆上一点的距离，满足焦点到点的距离和为2a。
- 离心率：离心率e是焦距与长轴长度之比，满足e=c/a，其中c为焦点到中心的距离。
- 在x轴上的顶点：椭圆在x轴上两个交点的坐标为（a,0）和（-a,0）。
- 在y轴上的顶点：椭圆在y轴上两个交点的坐标为（0,b）和（0,-b）。
3. 方程的推导与应用：- 椭圆的参数方程：设y=bsinθ，x=acosθ，则θ为参数，椭圆上的点可表示为（acosθ, bsinθ）。
- 椭圆的一般方程：通过平移、旋转和缩放等变换，可以将椭圆的标准方程转化为一般方程Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0。
- 椭圆的焦点坐标和离心率：通过参数方程或一般方程可以求得椭圆的焦点坐标和离心率。
4. 椭圆的性质的证明与推导：- 焦点与直径的关系：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
- 焦半径定理：椭圆上任意一条斜线段端点到两个焦点距离之和是一定的，等于椭圆的长轴长度。
- 切线性质：椭圆上任意一点处的切线与椭圆的法线垂直，并且切线过该点和两个焦点的夹角等于椭圆的离心率对应的角。
5. 椭圆的应用：- 圆锥曲线：椭圆是圆锥曲线的一种，与其他圆锥曲线（双曲线和抛物线）一起应用于机械、天文学、光学等领域。
- 椭圆的轮廓：椭圆形状的物体在光学镜头中常出现，因此椭圆的轮廓具有重要的工程应用。
高二椭圆基础知识点手写
高二椭圆基础知识点手写椭圆是平面上一个固定点F（焦点）和到该点的距离之和等于常数2a（长轴）的动点P的轨迹。
椭圆有许多基础知识点，下面将逐一介绍。
1. 椭圆的定义椭圆是由平面上的一系列点P构成的，其到两个焦点的距离之和等于一个常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。
其中，焦距为c，椭圆长轴为2a，短轴为2b，焦距与长轴、短轴之间的关系为c^2 = a^2 - b^2。
2. 椭圆的标准方程椭圆的标准方程为(x - h)^2/a^2 + (y - k)^2/b^2 = 1，其中(h, k)为椭圆中心的坐标。
3. 椭圆的离心率椭圆的离心率e是一个反映椭圆形状的重要参数，其定义为离心率e=c/a，取值范围为0<e<1。
当e=0时，椭圆退化为圆形；当e=1时，椭圆退化为抛物线。
4. 椭圆的焦点椭圆有两个焦点F1和F2，焦点与中心之间的距离为c。
椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，并且焦点与中心的连线与椭圆的法线垂直。
5. 椭圆的准线椭圆的准线是与焦点所在直线垂直且经过椭圆中心的直线。
6. 椭圆的直径椭圆的直径是通过椭圆中心的两点，同时也是椭圆的两个顶点。
7. 椭圆的短轴椭圆的短轴是椭圆上两个与中心相对的顶点之间的距离。
8. 椭圆的焦半径椭圆的焦半径是从焦点到椭圆上一点的线段，它与到该点的法线构成直角三角形。
9. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为x = h + a*cosθ，y = k + b*sinθ，其中θ为参数，0≤θ≤2π。
10. 椭圆的离心角椭圆上一点与焦点的连线与到该点的切线之间的夹角称为该点的离心角。
总结：椭圆是平面上一点到两个焦点的距离之和等于常数2a的轨迹。
椭圆有许多基础知识点，包括椭圆的定义、标准方程、离心率、焦点、准线、直径、短轴、焦半径、参数方程和离心角等。
掌握这些基础知识点对于高二学生来说是非常重要的，它们是解决椭圆相关问题的基础。
通过理解和掌握这些知识点，我们可以更好地应用于实际问题中，提高解题的准确性和效率。
必修二椭圆知识点总结
必修二椭圆知识点总结一、椭圆的基本概念1. 定义椭圆是一个点到两个给定点的距离之和等于常数的动点轨迹。
这两个给定点称为焦点，距离之和等于常数称为椭圆的离心率。
2. 公式表示椭圆的一般方程为：$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$其中，$(h,k)$为椭圆的中心，$a$和$b$分别为椭圆长轴、短轴的长度。
二、椭圆的性质1. 焦点、离心率和长短轴之间的关系椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于长轴的长度，即$2a=2\sqrt{a^2-b^2}$。
离心率$e$的定义为:$e=\frac{c}{a}$其中，$c$为焦点到中心的距离。
2. 椭圆的对称性椭圆以其中心为中心对称，有两个对称轴，分别为长轴和短轴。
长轴上有两个端点，称为顶点；短轴上也有两个端点。
3. 椭圆的参数方程椭圆可以用参数方程表示为：$x=h+a\cos t$$y=k+b\sin t$其中，$(h,k)$为椭圆的中心，$a$和$b$分别为椭圆长轴、短轴的长度。
4. 椭圆的离心角椭圆上任意一点到两个焦点的连线与椭圆长轴的夹角称为椭圆的离心角。
椭圆的离心角范围在0到$\pi$之间。
三、椭圆的相关定理1. 椭圆的偏心率椭圆的偏心率为：$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$其中，$a$和$b$分别为椭圆长轴、短轴的长度。
2. 椭圆的焦点、半焦距和离心率的关系椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于长轴的长度，即$2a=2\sqrt{a^2-b^2}$。
离心率$e$的定义为:$e=\frac{c}{a}$其中，$c$为焦点到中心的距离。
3. 椭圆的切线方程椭圆上一点处的切线方程为：$\frac{xh}{a^2}+\frac{yk}{b^2}=1$四、椭圆的应用1. 物理学中的应用椭圆在天体运动、热力学等领域都有广泛的应用。
例如，行星绕太阳的运动轨迹就是一个椭圆。
2. 工程学中的应用椭圆在工程学中也有着重要的应用，例如在建筑设计、轨道运输等方面。
高二数学椭圆基础知识点总结大全
高二数学椭圆基础知识点总结大全椭圆是高中数学中的一种重要的曲线，它具有许多独特的性质和特点。
本文将对高二数学中椭圆的基础知识点进行全面总结，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
一、椭圆的定义和特征椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a 的点P的轨迹。
F1和F2被称为椭圆的焦点，a被称为椭圆的半长轴。
椭圆的离心率定义为ε = c/a，其中c为焦点之间的距离。
离心率表示了椭圆的扁平程度，ε<1时为椭圆，ε=1时为抛物线，ε>1时为双曲线。
二、椭圆的方程和参数椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
参数方程为x = a*cosθ，y = b*sinθ，其中θ为参数。
三、椭圆的图形性质1. 椭圆关于x轴和y轴对称；2. 椭圆的长轴和短轴分别与x轴和y轴平行；3. 椭圆的左右焦点分别在x轴上方和下方；4. 椭圆的离心率ε满足0 < ε < 1；5. 椭圆的离心率越小，椭圆越圆。
四、椭圆的参数方程以椭圆的中心为原点，a为半长轴，b为半短轴建立直角坐标系，则椭圆上任意一点P(x, y)的参数方程为：x = a*cosθy = b*sinθ其中0 ≤ θ ≤ 2π。
五、椭圆的焦点和准线1. 椭圆的焦点是椭圆上两个固定点F1和F2，它们满足F1F2 = 2a；2. 椭圆的准线是通过椭圆中心且垂直于长轴的直线。
六、椭圆的方程一般形式当椭圆的中心不在坐标原点时，椭圆的方程为：(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1其中(h, k)为椭圆的中心坐标。
七、椭圆的主要性质1. 椭圆的周长公式为C = 4a(E(ε^2))，其中E为椭圆的第一类完全椭圆积分函数；2. 椭圆的面积公式为S = πab；3. 离心率ε和焦距f之间的关系为ε^2 = 1 - (b^2/a^2) = 1 -(f/a)^2。
八、椭圆在几何和物理中的应用椭圆在几何和物理中有许多应用，如天体运动轨迹的研究、光学系统的设计等。
高二椭圆知识点总结
高二椭圆知识点总结一、椭圆的基本概念1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
具体来说，设两点为F₁和F₂，距离之和为常数2a，那么椭圆E的定义：E = {P∈R² | |PF₁| + |PF₂| = 2a}其中，P为椭圆上的点，F₁和F₂为两个固定点，a为椭圆的半长轴。
1.2 椭圆的几何性质椭圆有如下几何性质：（1）椭圆的离心率：椭圆的形状由离心率e来表征。
（2）椭圆的焦点：椭圆的两个焦点分别为F₁和F₂。
（3）椭圆的半长轴和半短轴：半长轴为椭圆的长轴的一半，半短轴为椭圆的短轴的一半。
1.3 椭圆和圆的关系可以看到，当两个焦点重合时，椭圆变成了圆。
这也说明圆是椭圆的一种特殊情况，也就是说圆是椭圆的特例。
二、椭圆的方程和性质2.1 椭圆的标准方程椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1其中，a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴。
2.2 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为：x = a*cosθy = b*sinθ其中，θ为参数，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
2.3 椭圆的性质椭圆有许多重要的性质，如焦点、离心率、长轴、短轴等。
椭圆的性质对于解析几何的学习非常重要。
在实际应用中，我们可以利用这些性质进行问题的求解和分析。
2.4 椭圆的参数方程与标准方程的转化椭圆的参数方程与标准方程可以相互转化，通过参数方程与三角函数之间的关系，我们可以得到椭圆的标准方程。
三、椭圆的相关计算3.1 椭圆的面积椭圆的面积可以通过参数方程和积分来计算，最终可以得到椭圆的面积公式为：S = πab其中，a和b为椭圆的半长轴和半短轴。
3.2 椭圆的周长椭圆的周长也可以通过参数方程和积分来计算，最终可以得到椭圆的周长公式为：L = 4aE(e)其中，a为椭圆的半长轴，E(e)为椭圆的第二类椭圆积分，e为椭圆的离心率。
3.3 椭圆方程的化简对于一些复杂的椭圆方程，我们可以通过一些方法对椭圆方程进行化简，使得问题的求解变得更加简单。
椭圆高中知识点总结
椭圆高中知识点总结椭圆是一个在数学中经常被研究的几何图形。
它有许多重要的性质和特点，是高中数学中的重要知识点之一、在以下的总结中，我将介绍椭圆的定义、方程、性质、焦点及其应用等方面的知识点。
一、椭圆的定义：椭圆可以通过两个焦点和一个定长的线段来定义。
具体地说，椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于定长的点的集合。
这两个给定点称为焦点，定长称为焦距。
二、椭圆的方程：椭圆的标准方程为：[(x-h)^2/a^2]+[(y-k)^2/b^2]=1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴的长度。
三、椭圆的性质：1.椭圆的长半轴和短半轴之间存在关系：c^2=a^2–b^2，其中c是焦点到椭圆中心的距离。
2.椭圆是对称图形，具有关于x轴和y轴的对称性。
3.椭圆的离心率e满足0<e<1，且离心率越大，椭圆越扁平；离心率为0时，椭圆退化成为一个点。
4.椭圆的周长可以用椭圆的长半轴和短半轴的长度来表示：L=4aE(e)，其中E(e)是椭圆的第一类型椭圆积分。
5. 椭圆的面积可以用椭圆的长半轴和短半轴的长度来表示：S =πab。
四、椭圆的焦点：椭圆上有两个与焦点有关的重要的点，分别是两个焦点的位置。
焦点到椭圆上任一点的距离之和等于椭圆的焦距。
焦距与椭圆的半轴之间的关系为c^2=a^2–b^2五、椭圆的应用：1.椭圆在天文学中被广泛应用，用于描述行星和卫星的轨道形状。
2.椭圆在工程学中用于设计椭圆形的机械零件。
3.椭圆在地理学中用于描述地球的地理形状和地球上的纬度和经度线。
4.椭圆在艺术和建筑设计中被用于创作椭圆形的艺术品和建筑结构。
总结：椭圆是一个广泛应用于数学和其他科学领域的重要几何图形。
通过椭圆的定义、方程、性质和焦点等方面的知识点，我们可以更好地理解和应用椭圆。
椭圆的应用广泛，涉及到天文学、工程学、地理学、艺术和建筑设计等不同领域。
掌握椭圆的相关知识，对于我们理解和应用数学都有很大的帮助。
高中椭圆知识点归纳
高中椭圆知识点归纳一、椭圆的定义1. 椭圆的数学定义- 椭圆是平面上所有到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的集合。
- 椭圆的标准方程。
2. 椭圆的基本要素- 焦点（F1, F2）- 长轴（2a）- 短轴（2b）- 焦距（2c）- 离心率（e）二、椭圆的性质1. 焦点性质- 焦点位于主轴上。
- 焦点到椭圆上任意一点的距离之和是常数，等于长轴的长度。
2. 离心率- 离心率是衡量椭圆形状的一个参数。
- 离心率的计算公式：e = c/a。
3. 椭圆的对称性- 椭圆关于长轴和短轴具有对称性。
三、椭圆的几何关系1. 长轴和短轴的关系- b^2 = a^2 - c^2。
2. 焦点与椭圆的关系- 焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于长轴的长度。
四、椭圆的方程1. 标准方程- 椭圆的标准方程形式为：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1。
2. 椭圆的参数方程- 参数方程的形式：x = a * cos(t), y = b * sin(t)，其中t为参数。
五、椭圆的应用1. 天文学- 行星轨道的描述。
2. 工程学- 轮轴和凸轮设计。
3. 物理学- 电场和磁场中的某些路径。
六、椭圆的图形绘制1. 绘制方法- 使用绘图工具（如圆规）绘制椭圆。
2. 椭圆的变换- 平移和旋转椭圆。
七、椭圆与圆的关系1. 特殊情形- 当离心率为0时，椭圆变为圆。
- 当两个焦点重合时，椭圆退化为抛物线。
八、练习题1. 椭圆方程的求解。
2. 焦点性质的应用。
3. 椭圆的几何关系计算。
以上是关于高中椭圆知识点的归纳文档的大纲和示例内容。
在实际编写文档时，每个部分都应包含详细的解释、公式推导、图示和实例。
此外，文档应使用专业的排版和格式，确保清晰易读，并且方便编辑和打印。
高二椭圆知识点总结
高二椭圆知识点总结椭圆是一个经典的几何图形，它在高二数学中也占据着重要的地位。
本文将对高二椭圆的相关知识点进行总结，包括椭圆的定义、性质、方程、焦点与直径、切线与法线以及与其他几何图形的关系等内容。
1. 椭圆的定义椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和恒定的点的集合。
这两个固定点称为椭圆的焦点，记作F1、F2，它们之间的距离为2a。
椭圆上的任意一点P到两个焦点的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。
2. 椭圆的性质(1) 椭圆的离心率e小于1，且越接近于1，椭圆越扁平。
(2) 椭圆的长轴是通过两个焦点的直线段，记为2a；短轴是通过椭圆中心且垂直于长轴的直线段，记为2b。
(3) 椭圆的离心率e与长轴a、短轴b的关系为e = √(1 - b²/a²)。
(4) 椭圆的面积为πab。
3. 椭圆的方程(1) 标准方程：设椭圆的焦点在坐标原点上，长轴与x轴重合。
则椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1。
(2) 一般方程：设椭圆的焦点在任意位置，且长轴与x轴的夹角为α。
则椭圆的一般方程为(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1，其中(h, k)为椭圆的中心坐标。
4. 椭圆的焦点与直径(1) 椭圆的焦点是确定椭圆形状和大小的重要元素，它们与椭圆的离心率相关。
(2) 椭圆的直径是通过椭圆中心且与椭圆两点重合的直线段，它的长度等于长轴的长度2a。
5. 椭圆的切线与法线(1) 椭圆上任意一点P处的切线是与椭圆相切且经过点P的直线，切线的斜率为y' = -b²x/a²y。
(2) 椭圆上任意一点P处的法线是与切线垂直的直线，它的斜率为y' = a²x/b²y。
6. 椭圆与其他几何图形的关系(1) 椭圆与直线的关系：当直线与椭圆相交时，交点个数有四种情况：无交点、一个交点、两个交点、两个交点且直线与椭圆相切。
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第1讲 课题：椭圆课 型：复习巩固 上课时间：2013年10月3日教学目标：（1）了解圆锥曲线的来历；（2）理解椭圆的定义；（3）理解椭圆的两种标准方程；（4）掌握椭圆离心率的计算方法；（5）掌握有关椭圆的参数取值范围的问题；教学重点：椭圆方程、离心率；教学难点：与椭圆有关的参数取值问题； 知识清单一、椭圆的定义：(1) 椭圆的第一定义:平面内与两定点的距离和等于常数21F F 、(大于）的点的轨迹叫做椭圆.()a 221F F 说明：两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.()c 2(2) 椭圆的第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数，当时，点的轨迹是椭圆. 椭圆上一点到e 10<<e 焦点的距离可以转化为到准线的距离.二、椭圆的数学表达式：;()0222121>>=+F F a a PF PF (){}.02,22121>>=+=F F a a PF PF P M 三、椭圆的标准方程：焦点在轴: ；x ()012222>>=+b a b y a x 焦点在轴: .y ()012222>>=+b a bx a y 说明：是长半轴长，是短半轴长，焦点始终在长轴所在的数轴上，且满足a b .222c b a +=四、二元二次方程表示椭圆的充要条件方程表示椭圆的条件：()B A C B A C By Ax ≠=+均不为零，且、、22上式化为，.所以，只有同号，且122=+CBy C Ax 122=+BC y A C x C B A 、、时，方程表示椭圆；当时，椭圆的焦点在轴上；当B A ≠BCA C >x 时，椭圆的焦点在轴上.BCA C <y 五、椭圆的几何性质（以为例）()012222>>=+b a by a x 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标都适合不等式()y x ,，即说明椭圆位于直线和所围成1,12222≤≤by a x b y a x ≤≤,a x ±=b y ±=的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题.2.对称性:关于原点、轴、轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是x y 椭圆的对称中心。
3.顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个：()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、--4. 长轴、短轴：叫椭圆的长轴，是长半轴长； 叫21A A a a A A ,221=21B B 椭圆的短轴，是短半轴长.b b B B ,221=5.离心率（1）椭圆焦距与长轴的比，（2）ac e =()10,0<<∴>>e c a ,，即.这是椭圆的22F OB Rt ∆2222222OF OB F B +=222c b a +=特征三角形，并且的值是椭圆的离心率.（3）椭圆22cos B OF ∠的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当接近于1时，越接近于，从而越小，椭圆越e c a 22c a b -=扁；当接近于0时，越接近于0，从而越大，e c 22c a b -=椭圆越接近圆；当时，，两焦点重合，图形是0=e b a c ==,0圆.6.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），通径长为.ab 227.设为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，当三点不在21F F 、P 21F F P 、、同一直线上时，构成了一个三角形——焦点三角形. 依椭圆21F F P 、、的定义知：.c F F a PF PF 2,22121==+ 例题选讲 一、选择题1．椭圆的离心率为（ ）1422=+y x A ．B ．C ．D ．234322322．设是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，则p 2212516x y +=12F F ，等于（ ）12PF PF +A ． 4 B ．5C ． 8D ．103．若焦点在轴上的椭圆的离心率为，x 1222=+m y x 21则m=（ ）A ．B ．C ．D ．32338324．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦x3点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ）A ． B ．6 C ． D ．12335．如图，直线过椭圆的左焦点022:=+-y x l F 1和 一个顶点B ，该椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．5152555526．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A ．32B ．33C ．22D ．237．已知以F 1（-2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线 043=++y x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ）A ．B ．C ．D ．23627224二、填空题：8． 在中，，．若以为焦点的椭圆经过ABC △90A ∠= 3tan 4B =A B ，点，则该椭圆的离心率 ．C e =9． 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－2，0），且长轴长是短3轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．10．在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点xOy ABC ∆(4,0)A -(4,0)C 在椭圆上，则 .B 192522=+y x sin sin sin A C B+=11．椭圆长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接4422=+y x 于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是_______________．三、解答题12．已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值．06322=-+m y mx m 13．已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆()03，P b a 3=的标准方程．14．已知方程表示椭圆，求的取值范围．13522-=-+-ky k x k 15．已知表示焦点在轴上的椭圆，求1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤y 的取值范围．α16. 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和两)2,3(-A )1,32(-B 点的椭圆方程．《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数在区间上的平均变化率为：。
()f x 12[,]x x 2121()()f x f x x x -- 2. 导数的定义：设函数在区间上有定义，，若无限趋近()y f x =(,)a b 0(,)x a b ∈x ∆于0时，比值无限趋近于一个常数A ，则称函数在处可00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆()f x 0x x =导，并称该常数A 为函数在处的导数，记作。
函数在处的导()f x 0x x =0()f x '()f x 0x x =数的实质是在该点的瞬时变化率。
3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量；（2）求平均00()()y f x x f x ∆=+∆-变化率：；（3）取极限，当无限趋近与0时，无00()()f x x f x x +∆-∆x ∆00()()f x x f x x+∆-∆限趋近与一个常数A ，则.0()f x A '= 4. 导数的几何意义：函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率。
由此，()f x 0x x =()y f x =00(,())x f x 可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出在x 0处的导数，即为曲线在点处的切线的斜率；()y f x =()y f x =00(,())x f x （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为。
000()()y y f x x x '-=- 当点不在上时，求经过点P 的的切线方程，可设切点坐标，00(,)P x y ()y f x =()y f x =由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。
特别地，如果曲线在()y f x =点处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为00(,())x f x 。
0x x = 5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数，则表示瞬时速度，表()S t ()V S t '=()a v t '=示瞬时加速度。
二、导数的运算1. 常见函数的导数：（1）(k , b 为常数)；（2）(C 为常数)；()kx b k '+=0C '=（3）；（4）；()1x '=2()2x x '=（5）；（6）；32()3x x '=211()x x'=-（7）；（8）（α为常数）；'=1()ααx αx -'=（9）；（10）；()ln (0,1)x x a a a a a '=>≠11(log )log (0,1)ln a a x e a a x x a'==>≠（11）；（12）；()x x e e '=1(ln )x x'=（13）；（14）。
(sin )cos x x '=(cos )sin x x '=- 2. 函数的和、差、积、商的导数：（1）； （2）（C 为常数）；[()()]()()f x g x f x g x '''±=±[()]()Cf x Cf x ''=（3）; （4）[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+。
2()()()()()[(()0)()()f x f xg x f x g x g x g x g x ''-'=≠ 3. 简单复合函数的导数：若，则，即。
(),y f u u ax b ==+xu x y y u '''=⋅x u y y a ''=⋅三、导数的应用1. 求函数的单调性：利用导数求函数单调性的基本方法：设函数在区间内可导，()y f x =(,)a b （1）如果恒，则函数在区间上为增函数；()0f x '>()y f x =(,)a b （2）如果恒，则函数在区间上为减函数；()0f x '<()y f x =(,)a b （3）如果恒，则函数在区间上为常数函数。
()0f x '=()y f x =(,)a b 利用导数求函数单调性的基本步骤：①求函数的定义域；②求导数；()y f x =()f x '③解不等式，解集在定义域内的不间断区间为增区间；④解不等式，解()0f x '>()0f x '<集在定义域内的不间断区间为减区间。