椭圆知识点总结

椭圆知识点

知识点一：椭圆的定义

平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的简单几何性质

椭圆：12222=+b y a x )0(>>b a 与 122

22=+b

x a y )0(>>b a 的简单几何性质

标准方程

122

22=+b y a x )0(>>b a 12

2

22=+b x a y )0(>>b a 图形

性质

焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F

焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤

b x ≤，a y ≤

对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称

顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ±

轴长

长轴长=a 2，短轴长=b 2 长半轴长=a ，短半轴长=b （注意看清题目）

离心率

)10(<<=

e a

c

e

c a F A F A -==2211；c a F A F A +==1221；c a PF c a +≤≤-1；

(p 是椭圆上一点)（不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围）

注意：①与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；②与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等

知识点三：椭圆相关计算

1．椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义

222c b a +=

2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长a

b 2

2

焦点弦：椭圆过焦点的弦。

3.最大角:p 是椭圆上一点，当p 是椭圆的短轴端点时，21PF F ∠为最大角。

4.椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。

焦点三角形的面积

2tan

221θ

b S F PF =∆，其中21PF F ∠=θ（注意公式的推导）

5.求椭圆标准方程的步骤（待定系数法）．

(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上． (2)设方程：

①依据上述判断设方程为2222b y a x +=1)0(>>b a 或22

22a

y b x +=1)0(>>b a

②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )．

(3)找关系，根据已知条件，建立关于a ，b ，c 或m ，n 的方程组． (4)解方程组，代入所设方程即为所求． 6.点与椭圆的位置关系:

2222b y a x +<1,点在椭圆内；2222b y a x +=1，点在椭圆上；22

22b

y a x +>1, 点在椭圆外。 7.直线与椭圆的位置关系

设直线方程y ＝kx ＋m ，若直线与椭圆方程联立，消去y 得关于x 的一元二次方程：ax 2＋

bx ＋c ＝0(a ≠0)．

(1)Δ＞0，直线与椭圆有两个公共点； (2)Δ＝0，直线与椭圆有一个公共点； (3)Δ＜0，直线与椭圆无公共点． 8.弦长公式：（注意推导和理解）

若直线b kx y l +=:与圆锥曲线相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则弦长

221221)()(y y x x AB -+-=221221)()(kx kx x x -+-= 2121x x k -+=

2122124)(1x x x x k -++==

9.点差法：

就是在求解圆锥曲线题目中，交代直线与圆锥曲线相交所截的线段中点坐标的时候，利用

直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出直线的斜率，然后利用中点求出

直线方程。涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单． 步骤:①设直线和圆锥曲线交点为 ，

，其中点坐标为

，则得到关系

式：

， ．.

②把

，

分别代入圆锥曲线的解析式，并作差，利用平方差公式对结果进行

因式分解．其结果为0))(())((21212121=+-++-y y y y n x x x x m

③利用 求出直线斜率,代入点斜式得直线方程为 .

中点弦的重要结论（不要死记会推导）

10．参数方程cos sin x a y b θ

θ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）θ几何意义：离心角

11、椭圆切线的求法

1）切点（00x y ）已知时，22221(0)x y a b a b +=>> 切线00221x x y y

a b +=

22221(0)y x a b a b +=>> 切线00221y y x x

a b +=

2）切线斜率k 已知时， 22

221(0)x y a b a b +=>> 切线222y kx a k b =+

22

221(0)y x a b a b

+=>> 切线222y kx b k a =+

12、焦半径：椭圆上点到焦点的距离

22

221(0)x y a b a b +=>> 0r a ex =±（加减由长短决定）

22

221(0)y a a b a b

+=>> 0r a ey =±（加减由长短决定）

13．离心率的求法

椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种方

14. 焦点三角形的周长和面积的求法

利用定义求焦点三角形的周长和面积，解焦点三角形常利用椭圆的定义和正弦正理，常

15. 椭圆的范围或最值问题