椭圆基本知识点总结(可编辑修改word版)

2 椭圆知识点

知识点一：椭圆的定义

平面内一个动点 P 到两个定点 F 1 、 F 2 的距离之和等于常数( PF 1 + PF 2 = 2a > F 1 F 2 ) ,这个

动点 P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若 PF 1 + PF 2 = F 1 F 2 ，则动点 P 的轨迹为线段 F 1F 2 ；

若 PF 1 + PF 2 < F 1F 2 ，则动点 P 的轨迹无图形.

知识点二：椭圆的简单几何性质

椭圆： x a

2 + y 2 b 2 = 1 (a > b > 0) 与 y + x 2 a 2 b 2

= 1 (a > b > 0) 的简单几何性质

2

(x - x )2 + ( y - y )2

1 2 1 2 1 + k 2

1. 椭圆标准方程中的三个量a , b , c 的几何意义

a 2 =

b 2 +

c 2

2. 通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长2 b

a

3. 最大角:p 是椭圆上一点，当p 是椭圆的短轴端点时， ∠F 1 PF 2

为最大角。

4. 焦点三角形的面积 S

= b 2 tan ，其中= ∠F PF

∆PF 1F 2

2

1

2

5. 用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．

(1) 作判断：依据条件判断椭圆的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上． (2) 设方程：

①依据上述判断设方程为 x a 2 + y 2

b 2 =1 (a > b > 0) 或 x b 2 + y 2 a

2 =1 (a > b > 0) ②在不能确定焦点位置的情况下也可设 mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0 且 m ≠n )． (3) 找关系，根据已知条件，建立关于 a ，b ，c 或 m ，n 的方程组． (4) 解方程组，代入所设方程即为所求． 6. 点与椭圆的位置关系:

x 2 + y 2 a 2 b 2 <1,点在椭圆内， x a 2 + y 2 b 2 =1，点在椭圆上， x a 2 + y 2 b 2

>1, 点在椭圆外。 7. 直线与椭圆的位置关系

设直线方程 y ＝kx ＋m ，若直线与椭圆方程联立，消去 y 得关于 x 的一元二次方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．

(1) Δ＞0，直线与椭圆有两个公共点；(2)Δ＝0，直线与椭圆有一个公共点； (3)Δ＜0，直线与椭圆无公共点． 8. 弦长公式：

若直线l : y = kx + b 与圆锥曲线相交与 A 、 B 两点， A （x 1 , y 1 ), B (x 2 , y 2 ) 则弦长

AB = = = 9. 点差法：

= x 1 - x 2

就是在求解圆锥曲线题目中，交代直线与圆锥曲线相交所截的线段中点坐标的时候，利

用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出直线的斜率， 然后利用中点求出直线方程。 步骤:①设直线和圆锥曲线交点为 ， ，其中点坐标为 ，则得到关系式

， ．.

②把

，

分别代入圆锥曲线的解析式，并作差，利用平方差公式对结果进

行因式分解．其结果为m (x 1 - x 2 )(x 1 + x 2 ) + n ( y 1 - y 2 )( y 1 + y 2 ) = 0

③利用 求出直线斜率,代入点斜式得直线方程为 .

(x - x )2

+ (kx - kx )2 1 2 1 2 1 + k 2 (x + x )2

- 4x x 1 2 1 2

2

2 2 2 2