椭圆知识点复习总结

椭圆知识点总结复习

1. 椭圆的定义：

（1）椭圆：焦点在x 轴上时122

22=+b

y a x （222a b c =+）⇔{

cos sin x a y b ϕϕ==（参

数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时22

22b

x a y +＝1（0a b >>）。方程

22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。

例一：已知线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴，y 轴上，AB=5，M 是AB

上的一个点，且AM=2，点M 随AB 的运动而运动，求点M 的运动轨迹方程

2. 椭圆的几何性质：

（1）椭圆（以122

22=+b

y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；

②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：

两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c

e a

=，椭圆⇔01e <<，e 越小，椭圆越圆；e

越大，椭圆越扁。⑥通径2

2b a

例二：设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上一点P 作x 轴的垂线，恰好过椭圆的一个焦

点1F ，此时椭圆与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且A,B 两点所确定的直线AB 与OP

平行，求离心率e

2.点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200

221x y a b

+>；

（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220

220b y a x +＝1；

（3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200

221x y a b

+<

3．直线与圆锥曲线的位置关系：（往往设而不求） （1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交；（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切； （3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离；

例三：:直线y ―kx ―1=0与椭圆22

15x y m

+

=恒有公共点，则m 的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；

例四：椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>与过点(2,0),(0,1)A B 的直线有且只有一个公共

点T ，且椭圆的离心率2

e =

（1）求椭圆的方程

（2）设12,F F 分别为椭圆的左，右焦点，M 为线段2AF 的中点，求证：1ATM AFT ∠=∠

（3）求证：2

121

2

AT AF F =

. ∆4、焦半径（圆锥曲线上的点P 到焦点F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径0r ed a ex ==±，其中d 表

示P 到与F 所对应的准线的距离。

例五：已知椭圆22

221x y a b

+=上一点P 到椭圆左焦点的距离为3，则点P 到右

准线的距离为____（答：10/3）；

例六：椭圆13

42

2=+y x 内有一点)1,1(-P ，F 为右焦点，在椭圆上有一点M ，

使MF MP 2+ 之值最小，则点M 的坐标为_______（答：)1,3

6

2(-）

； 5、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形） 问题：0||S c y =，当0||y b =即P 为短轴端点时，m ax S 的最大值为bc ； 6、弦长公式：（直线与椭圆的交点坐标设而不求）

若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐

标，则AB ＝12x -，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝

212

1

1y y k -+

，

（若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB 12y y -。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。）

例七：已知椭圆C ：22

142

x y +

=和直线:l y x m =+交于,A B 两点，且2AB =，求直线的方程。

7、圆锥曲线的中点弦问题：（直线和椭圆的交点设而不求）

遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆122

22=+b

y a x 中，

以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0

20

2y a x b ；

例八：如果椭圆22

1369

x y +

=弦被点A （4，2）平分，求这条弦所在的直线方程是（答：280x y +-=）； 例九：（2）已知直线y=－x+1与椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>相交于A 、B 两

点，且线段AB 的中点在直线L ：x －2y=0上，求此椭圆的离心率（答：2

）；

例10：试确定m 的取值范围，使得椭圆13

42

2=+y x 上有不同的两点关于直

线m x y +=4对称（答：⎛ ⎝⎭

）

； 特别提醒：因为0∆>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0∆>！