椭圆知识点总结

【椭圆】

一、椭圆的定义

1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数

)2(2121F F a PF PF >=+ ，这个动点P 的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦

点的距离叫作椭圆的焦距。

注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；

若)(2121

F F PF PF <+,则动点P 的轨迹无图形。

二、椭圆的方程

1、椭圆的标准方程（端点为a 、b ，焦点为c ）

（1）当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ,其中2

22b a c -=；

（2）当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中2

22b a c -=；

2、两种标准方程可用一般形式表示：

221x y m n

+= 或者 mx 2+ny 2=1 三、椭圆的性质（以122

22=+b

y a x )0(>>b a 为例）

1、对称性：

对于椭圆标准方程122

22=+b

y a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形;并且

是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 2、范围:

椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足

a x ≤,

b y ≤。

3、顶点：

①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆122

22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为

)0,(1a A -，)0,(2a A ,),0(1b B -，),0(2b B 。

③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=，b B B 221=。a 和b

分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4、离心率:

① 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a

c

a c e ==

22。 ② 因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(<

22c a b -=越小，因此椭圆越扁;反之，e 越接近于0,c 就越接近0，从而b 越接近于a ，

这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当b a =时，0=c ，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为a y x =+2

2

.

③ 离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。

注意:椭圆122

22=+b

y a x 的图像中线段的几何特征(如下图)：

e PM PF PM PF ==

2

21

1 )2(21a PF PF =+ )2(2

2

1c

a PM PM =+

5、椭圆的第二定义：

平面内与一个定点（焦点）和一条定直线(准线）的距离的比为常数e,（0＜e ＜1）的点的轨迹为椭圆（

e d

PF =|

|）。 即：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形，也即上图中有

e PM PF PM PF ==

2

21

1。

①焦点在x 轴上:122

22

=+b

y

a x （a ＞

b ＞0）准线方程:

c a x 2±

=

②焦点在y 轴上：122

22=+b

x a y （a ＞b ＞0）准线方程：c a y 2

±=

6、椭圆的内外部

(1)点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的内部22

00221x y a b ⇔+<

（2）点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的外部22

00221x y a b ⇔+>

四、椭圆的两个标准方程的区别和联系 标准方程

122

22=+b y a x )0(>>b a 12

2

22=+b x a y )0(>>b a 图形

性质

焦点 )0,(1c F -,)0,(2c F ),0(1c F -,),0(2c F

焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤,b y ≤

b x ≤，a y ≤

对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称

顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ±

轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2

离心率

)10(<<=

e a

c

e 准线方程

c

a x 2

±=

c

a y 2

±=

焦半径

01ex a PF +=,02ex a PF -=

01ey a PF +=,02ey a PF -=

五、其他结论

1、若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y

a b +=

2、若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b

+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点

弦P 1P 2的直线方程是

00221x x y y a b

+= 3、椭圆22

221x y a b += (a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点

12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan

2

F PF S b γ

∆=

4、椭圆22

221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+，20||MF a ex =-（1(,0)F c - ，

2(,0)F c 00(,)M x y )

5、设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF⊥NF .

6、过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF⊥NF。

7、AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点,则2

2OM AB b k k a

⋅=-,

即0

20

2y a x b K AB

-=。

8、若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是

22

00002222x x y y x y a b a b

+=+ 9、若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b

+=+

10、点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角

11、PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点