椭圆的简单几何性质(附练习题答案及知识点回顾)

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椭圆的简单几何性质(附练习题答案及知识点回顾)

椭圆的简单几何性质基础卷1．设a , b , c 分别表示同一椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，则a , b , c 的大小关系是（A ）a >b >c >0 （B ）a >c >b >0 （C ）a >c >0, a >b >0 （D ）c >a >0, c >b >02．椭圆的对称轴为坐标轴，若长、短轴之和为18，焦距为6，那么椭圆的方程为（A ）221916x y += （B ）2212516x y += （C ）2212516x y +=或2211625x y += （D ）2211625x y += 3．已知P 为椭圆221916x y +=上一点，P 到一条准线的距离为P 到相应焦点的距离之比为（A ）54 （B ）45 （C ）417 （D ）7474．椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离，则椭圆的离心率为（A ）23 （B ）33 （C ）316 （D ）6165．在椭圆12222=+by a x 上取三点，其横坐标满足x 1+x 3=2x 2，三点顺次与某一焦点连接的线段长是r 1, r 2, r 3，则有（A ）r 1, r 2, r 3成等差数列（B ）r 1, r 2, r 3成等比数列（C ）123111,,r r r 成等差数列（D ）123111,,r r r 成等比数列 6．椭圆221925x y +=的准线方程是（A ）x =±254 （B ）y =±165 （C ）x =±165 （D ）y =±2547．经过点P (－3, 0), Q (0, －2)的椭圆的标准方程是 .8．对于椭圆C 1: 9x 2+y 2=36与椭圆C 2:2211612x y +=，更接近于圆的一个是 . 9．椭圆12222=+by a x 上的点P (x 0, y 0)到左焦点的距离是r = .10．已知定点A (－2, 3)，F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，在椭圆上求一点M ，使|AM |+2|MF |取得最小值。

椭圆的简单几何性质(最全)

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25 9
尝试遇到困难怎么办? 作出直线 l 及椭圆,
几何画板显示图形
观察图形,数形结合思考.
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直线与椭圆的位置关系：
直线和椭圆方程分别为
y
: Ax By C
y
0
，x a
2 2
y2 b2
1
y
F1 o
F2 x F1 o
F2 x F1 o
F2 x
Ax By C 0
则由 x2 y2
x2 y2 1
4 16
x2 y2 综上所述，椭圆的标准方程是 1
或
x2 y2 1
41
4 16
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练习2：
已知椭圆 x2 y2 1 的离心率 e 1
k 8 9
2
x 解：当椭圆的焦点在轴上时，
k ，求的值
a2 k 8 b2 9
y 由
e
1 2
，得：
k
4
当椭圆的焦点在轴上时，
3、若椭圆的的两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率
为
1。
3
4、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，
3
则其离心率e=______5____
回顾
[1]椭圆标准方程
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
所表示的椭圆的存在范围是什么？
[2]上述方程表示的椭圆有几几个顶点？顶点是谁与谁的交点？
3)c=0(即两个焦点重合）e =0，则 b= a，
椭圆方程变为x2+ y2=a2（圆）
即离心率是反映椭圆扁平程度的一个量。
结论：离心率e越大，椭圆越扁；离心率e越小，椭圆越圆

椭圆的简单几何性质(省级优质课一等奖)

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1
例2: 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点Ｐ（-3，0）、Ｑ（0，-2）；（2）长轴的长等于20，离心率等于3/5 。解：(2) 由已知得， 2a 20, e c 3 ,
a 10, c 6, b2 102 62 64.
a
5
由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为：
小顶点坐标结
焦点坐标半轴长离心率 a、b、c 的关系
对称性
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称 (a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) (b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)
长半轴长为a,短半轴长为b. (a>b)
二、导学导思：
x y 2 1(a b 0) [1]椭圆标准方程 2 a b
所表示的椭圆的范围是什么？ [2] 椭圆有几条对称轴？几个对称中心？ [3]上述方程表示的椭圆有几个顶点？顶点坐标是什么？ [4]2a 和 2b表示什么？ a和 b又表示什么？ [5]椭圆离心率是如何定义的？范围是什么？
B2
A1
b F1
a F2
A2
o c
B1
x
x2 y2 2、椭圆 2 2 1( a b 0)的对称性： a b
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。
x2 y2 从方程上看： 2 2 1(a b 0) a b
（1）把x换成-x方程不变，图象关于 y 轴对称；
（2）把y换成-y方程不变，图象关于 x 轴对称； Y （3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。

椭圆知识点总结及经典习题练习

第二部分圆锥曲线（一）---椭圆知识点一：1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。

注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．注意：椭圆122=+b y a x ，122=+bx a y )0(>>b a 的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有)0(>>b a 和)10(<<=e ac e ，222c b a +=；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。

知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和222b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -；当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c -知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆12222=+by a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

高中数学椭圆的性质及相关题目解析

高中数学椭圆的性质及相关题目解析椭圆是高中数学中一个重要的几何图形，它有着独特的性质和应用。

本文将从椭圆的定义、性质以及相关题目解析等方面进行阐述，帮助高中学生更好地理解和应用椭圆。

一、椭圆的定义与性质椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

其中，F1和F2称为椭圆的焦点，线段F1F2的长度为2c，a和c之间的关系为a > c。

椭圆的长轴是通过焦点的直线段，长度为2a；短轴是与长轴垂直的直线段，长度为2b，且满足a > b > c。

椭圆的离心率e定义为e = c / a，离心率决定了椭圆的形状。

当e < 1时，椭圆是一个封闭曲线；当e = 1时，椭圆变成一个抛物线；当e > 1时，椭圆变成一个双曲线。

椭圆的焦点和准线的性质也是我们需要了解的。

焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长度，即PF1 + PF2 = 2a；准线是与长轴平行且过焦点的直线，焦点到准线的距离等于椭圆的离心率乘以焦点到椭圆上任意一点的距离，即PD =e * PF。

二、椭圆的相关题目解析1. 题目：已知椭圆的长轴长为10，短轴长为8，求椭圆的离心率。

解析：根据椭圆的定义，我们知道a = 5，b = 4。

将a和c的值代入离心率公式e = c / a，可得e = 4 / 5。

2. 题目：已知椭圆的焦点坐标分别为F1(-3, 0)和F2(3, 0)，且焦点到准线的距离为2，求椭圆的方程。

解析：根据椭圆的性质，焦点到准线的距离等于椭圆的离心率乘以焦点到椭圆上任意一点的距离，即2 = e * a。

由于焦点到准线的距离为2，而椭圆的长轴长度为2a，所以a = 1。

再根据焦点的坐标，可得椭圆的中心为O(0, 0)。

因此，椭圆的方程为x^2 + y^2 / 1^2 = 1，即x^2 + y^2 = 1。

3. 题目：已知椭圆的焦点坐标分别为F1(-2, 0)和F2(2, 0)，准线方程为x = 3，求椭圆的方程。

椭圆的简单几何性质(一)

2．2.2椭圆的简单几何性质(一)学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．知识点一椭圆的范围、对称性和顶点坐标思考1观察椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？答案(1)范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；(2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称；(3)特殊点：顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．思考2在画椭圆图象时，怎样才能画的更准确些？答案在画椭圆图象时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a，b)，(a，b)，(－a，－b)，(a，－b)．梳理椭圆的简单几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0) 图形焦点坐标(±c,0)(0，±c)对称性关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)范围 |x |≤a ，|y |≤b |x |≤b ，|y |≤a长轴、短轴长轴A 1A 2长为2a ，短轴B 1B 2长为2b思考如何刻画椭圆的扁圆程度？答案用离心率刻画扁圆程度，e 越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁．梳理 (1)椭圆的焦距与长轴长的比e ＝ca叫椭圆的离心率．(2)对于x 2a 2＋y 2b 2＝1，b 越小，对应的椭圆越扁，反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b越接近于a ，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a ＝b 时，c ＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x 2＋y 2＝a 2.(如图)类型一由椭圆方程研究其简单几何性质例1 求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．解已知方程化成标准方程为x 216＋y 29＝1，于是a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6，离心率e ＝c a ＝74，又知焦点在x 轴上，∴两个焦点坐标分别是(－7，0)和(7，0)，四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)和(0,3)．反思与感悟解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量．跟踪训练1 求椭圆9x 2＋y 2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解椭圆的标准方程为x 29＋y 281＝1，则a ＝9，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝62，长轴长：2a ＝18; 短轴长：2b ＝6；焦点坐标：(0,62)，(0，－62)；顶点坐标：(0,9)，(0，－9)，(3,0)，(－3,0)．离心率：e ＝c a ＝223.类型二椭圆的几何性质的简单应用例2 如图所示，已知椭圆的中心在原点，它在x 轴上的一个焦点F 与短轴两个端点B 1，B 2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A 的距离为10－5，求这个椭圆的方程．解依题意，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由椭圆的对称性知|B 1F |＝|B 2F |，又B 1F ⊥B 2F ，∴△B 1FB 2为等腰直角三角形，∴|OB 2|＝|OF |，即b ＝c ，|F A |＝10－5，即a －c ＝10－5，且a 2＝b 2＋c 2，将上面三式联立，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，a －c ＝10－5，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝10，b ＝ 5.∴所求椭圆方程为x 210＋y 25＝1.反思与感悟确定椭圆的标准方程时，首先要分清其焦点位置，然后，找到关于a ，b ，c 的等量关系，最后确定a 2与b 2的值即可确定其标准方程．跟踪训练2 已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OF A ＝23，求椭圆的标准方程．解 ∵F 是椭圆的焦点，cos ∠OF A ＝23，∴点A 是短轴的端点， ∴|OF |＝c ，|AF |＝a ＝3， ∴c a ＝23， ∴c ＝2，b 2＝32－22＝5，∴椭圆的标准方程是x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1.类型三椭圆的离心率的求解例3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，斜率为k 的直线l 过左焦点F 1且与椭圆的交点为A ，B ，与y 轴的交点为C ，且B 为线段CF 1的中点，若|k |≤142，求椭圆离心率e 的取值范围．解依题意得F 1(－c,0)，直线l ：y ＝k (x ＋c )，则C (0，kc )．因为点B 为CF 1的中点，所以B (－c 2，kc2)．因为点B 在椭圆上，所以(－c 2)2a 2＋(kc 2)2b 2＝1，即c 24a 2＋k 2c 24(a 2－c 2)＝1. 所以e 24＋k 2e 24(1－e 2)＝1，所以k 2＝(4－e 2)(1－e 2)e 2.由|k |≤142，得k 2≤72，即(4－e 2)(1－e 2)e 2≤72，所以2e 4－17e 2＋8≤0. 解得12≤e 2≤8.因为0<e <1，所以12≤e 2<1，即22≤e <1.反思与感悟求e 的范围有以下几个步骤：(1)切入点：已知|k |≤142，求e 的范围，需建立关于e 的不等式．(2)思考点：①e 与k 有什么关系？②建立e 与k 的等量关系式；③利用B 在椭圆上且为CF 1的中点，构建关于e 与k 的等式；④如何求e 的范围？先用e 表示k ，再利用|k |≤142，求e 的取值范围．(3)解题流程：先写出l 的方程，求出B 点的坐标，由点B 在椭圆上，建立e 与k 的关系式，再求e 的范围．跟踪训练3 已知点P (m,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若△PF 1F 2的内切圆的半径为32，则此椭圆的离心率为________．答案 35解析一方面△PF 1F 2的面积为12(2a ＋2c )·r ；另一方面△PF 1F 2的面积为12|y p |·2c ，∵12(2a ＋2c )·r ＝12|y p |·2c ， ∴(a ＋c )·r ＝|y p |·c ， ∴a ＋c c ＝|y p |r. ∴(a c ＋1)＝|y p |r，又y p ＝4，∴a c ＝|y p |r －1＝432－1＝53，∴椭圆的离心率为e ＝c a ＝35.1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．5、3、0.8 B ．10、6、0.8 C ．5、3、0.6 D ．10、6、0.6答案 B解析把椭圆的方程写成标准方程为x 29＋y 225＝1，知a ＝5，b ＝3，c ＝4.∴2a ＝10,2b ＝6，ca＝0.8.2．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2的大小为( )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150° 答案 B解析由椭圆的定义得|PF 2|＝2，因为|F 1F 2|＝29－2＝27，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝42＋22－(27)22×4×2＝－12，因为0°<∠F 1PF 2<180°，所以∠F 1PF 2＝120°.3．若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为10，有一个焦点坐标是(3,0)，则此椭圆的标准方程为________．答案 x 225＋y 216＝1解析据题意a ＝5，c ＝3，故b ＝a 2－c 2＝4，又焦点在x 轴上，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1. 4．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是________________．答案 [4－23，4＋23] 解析因为点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，即在椭圆x 23＋y 28＝1上，所以点(m ，n )满足椭圆的范围|x |≤3，|y |≤22，因此|m |≤3，即－3≤m ≤3，所以2m ＋4∈[4－23，4＋23]． 5. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．答案 (0，±69)解析由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．(1)可以应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题．而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理．(2)椭圆的定义式：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)，在解题中经常将|PF 1|·|PF 2|看成一个整体灵活应用．(3)利用正弦、余弦定理处理△PF 1F 2的有关问题．(4)椭圆上的点到一焦点的最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .一、选择题1．椭圆4x 2＋49y 2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．7,2，357B ．14,4，357C ．7,2，57D ．14,4，－57答案 B解析先将椭圆方程化为标准形式：x 249＋y 24＝1，其中b ＝2，a ＝7，c ＝3 5.2．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A.x 236＋y 216＝1 B.x 216＋y 236＝1 C.x 26＋y 24＝1 D.y 26＋x 24＝1 答案 A解析依题意得：c ＝25， a ＋b ＝10 ，又a 2＝b 2＋c 2从而解得a ＝6，b ＝4. 3．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A. 3B.32C.83D.23答案 B 解析∵a 2＝2，b 2＝m ，e ＝ca＝ 1－b 2a2＝ 1－m 2＝12，∴m ＝32.4．椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是( ) A.2m －1m －1B.－2－m mC.2m mD ．－21－m m －1答案 C解析椭圆方程可简化为x 211＋m ＋y 21m ＝1，由题意知m >0，∴11＋m <1m ，∴a ＝mm ，∴椭圆的长轴长2a ＝2mm.5．已知椭圆的方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝2，离心率e ＝12，则椭圆方程为( ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 23＋y 24＝1 答案 C解析因为|F 1F 2|＝2，离心率e ＝12，所以c ＝1，a ＝2，所以b 2＝3，椭圆方程为x 24＋y 23＝1.6．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( ) A.12 B.23 C.34 D.45 答案 C解析设直线x ＝3a2与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°，在Rt △PF 2M 中，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，|F 2M |＝3a 2－c ，故cos 60°＝|F 2M ||PF 2|＝32a －c2c ＝12，解得c a ＝34，故离心率e ＝34.7．已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．9 答案 B解析由题意知25－m 2＝16，解得m 2＝9，又m >0，所以m ＝3. 二、填空题8．一椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，点P 是椭圆上的一点，线段PF 1与y 轴的交点M 是该线段的中点，若|PF 2|＝|MF 2|，则椭圆的离心率等于________．答案33解析 ∵M 是线段PF 1的中点， ∴OM ∥PF 2， ∴PF 2⊥F 1F 2， ∵|PF 2|＝|MF 2|， ∴设|PF 2|＝|MF 2|＝x ，则|PF 1|＝2x ，则|PF 1|＋|PF 2|＝2x ＋x ＝3x ＝2a ， x ＝2a 3，3x 2＝4c 2，即3(2a3)2＝4c 2，则a 23＝c 2，即a ＝3c ，则离心率e ＝c a ＝c 3c ＝33.9．若椭圆长轴长是短轴长的2倍，且焦距为2，则此椭圆的标准方程为__________．答案 x 243＋y 213＝1或y 243＋x 213＝1解析由题意可知a ＝2b ，c ＝1，所以1＋b 2＝4b 2，故b 2＝13，a 2＝43，则此椭圆的标准方程为x 243＋y 213＝1或x 213＋y 243＝1.10．已知P 点是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上异于顶点的任一点，且∠F 1PF 2＝60°，则这样的点P有________个．答案 4解析依据椭圆的对称性知，四个象限内各有一个符合要求的点．三、解答题11．已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．解 (1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35.(2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1，性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10；②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④离心率：e ＝35. 12.如图，在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，|AB |＝2，|AC |＝22.一曲线E 过点C ，动点P 在曲线E 上运动，且保持|P A |＋|PB |的值不变． (1)建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；(2)试根据(1)所求方程判断曲线是否为椭圆方程，若是，写出其长轴长、焦距、离心率．解 (1)以AB 所在直线为x 轴，方向向右，AB 的中点O 为原点建立直角坐标系，则A (－1,0)，B (1,0)．由题设可得|P A |＋|PB |＝|CA |＋|CB |＝22＋22＋⎝⎛⎭⎫222＝2 2. 又因为22>2＝|AB |，所以可设动点P 的轨迹方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则a ＝2，c ＝1，b＝a 2－c 2＝1，所以曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由曲线E 的方程x 22＋y 2＝1知，其为椭圆方程，且长轴长为22，焦距为2，离心率为22.13．如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1. (1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ |＝λ|PF 1|，且34≤λ＜43，试确定椭圆离心率e 的取值范围．解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此 2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)如图，由PF 1⊥PQ ， |PQ |＝λ|PF 1|，得 |QF 1|＝ |PF 1|2＋|PQ |2 ＝1＋λ2|PF 1|.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，进而|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝4a . 于是(1＋λ＋1＋λ2)|PF 1|＝4a ，解得|PF 1|＝4a1＋λ＋1＋λ2，故|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a (λ＋1＋λ2－1)1＋λ＋1＋λ2.由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋λ＋1＋λ22＋[2a (λ＋1＋λ2－1)1＋λ＋1＋λ2]2＝4c 2，两边除以4a 2，得4(1＋λ＋1＋λ2)2＋(λ＋1＋λ2－1)2(1＋λ＋1＋λ2)2＝e 2.若记t ＝1＋λ＋1＋λ2，则上式变成 e 2＝4＋(t －2)2t 2＝8⎝⎛⎭⎫1t －142＋12. 由34≤λ＜43，并注意到t ＝1＋λ＋1＋λ2关于λ的单调性，得3≤t ＜4，即14＜1t ≤13. 进而12＜e 2≤59，即22＜e ≤53.2．2.2椭圆的简单几何性质(一)(学生版)学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．知识点一椭圆的范围、对称性和顶点坐标思考1观察椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？答案(1)范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；(2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称；(3)特殊点：顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．思考2在画椭圆图象时，怎样才能画的更准确些？答案在画椭圆图象时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a，b)，(a，b)，(－a，－b)，(a，－b)．梳理椭圆的简单几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0) 图形焦点坐标(±c,0)(0，±c)对称性关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 范围|x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a长轴、短轴长轴A1A2长为2a，短轴B1B2长为2b思考如何刻画椭圆的扁圆程度？答案用离心率刻画扁圆程度，e越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁．梳理(1)椭圆的焦距与长轴长的比e＝ca叫椭圆的离心率．(2)对于x2a2＋y2b2＝1，b越小，对应的椭圆越扁，反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a＝b时，c＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x2＋y2＝a2.(如图)类型一由椭圆方程研究其简单几何性质例1求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．反思与感悟解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量．跟踪训练1求椭圆9x2＋y2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．类型二椭圆的几何性质的简单应用例2 如图所示，已知椭圆的中心在原点，它在x 轴上的一个焦点F 与短轴两个端点B 1，B 2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A 的距离为10－5，求这个椭圆的方程．反思与感悟确定椭圆的标准方程时，首先要分清其焦点位置，然后，找到关于a ，b ，c 的等量关系，最后确定a 2与b 2的值即可确定其标准方程．跟踪训练2 已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OF A ＝23，求椭圆的标准方程．类型三椭圆的离心率的求解例3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，斜率为k 的直线l 过左焦点F 1且与椭圆的交点为A ，B ，与y 轴的交点为C ，且B 为线段CF 1的中点，若|k |≤142，求椭圆离心率e 的取值范围．反思与感悟求e 的范围有以下几个步骤：(1)切入点：已知|k |≤142，求e 的范围，需建立关于e 的不等式．(2)思考点：①e 与k 有什么关系？②建立e 与k 的等量关系式；③利用B 在椭圆上且为CF 1的中点，构建关于e 与k 的等式；④如何求e 的范围？先用e 表示k ，再利用|k |≤142，求e 的取值范围．(3)解题流程：先写出l 的方程，求出B 点的坐标，由点B 在椭圆上，建立e 与k 的关系式，再求e 的范围．跟踪训练3 已知点P (m,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若△PF 1F 2的内切圆的半径为32，则此椭圆的离心率为________．1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．5、3、0.8 B ．10、6、0.8 C ．5、3、0.6 D ．10、6、0.62．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2的大小为( )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°3．若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为10，有一个焦点坐标是(3,0)，则此椭圆的标准方程为________．4．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是________________．5. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．(1)可以应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题．而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理．(2)椭圆的定义式：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)，在解题中经常将|PF 1|·|PF 2|看成一个整体灵活应用．(3)利用正弦、余弦定理处理△PF 1F 2的有关问题．(4)椭圆上的点到一焦点的最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .一、选择题1．椭圆4x 2＋49y 2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．7,2，357B ．14,4，357C ．7,2，57D ．14,4，－572．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A.x 236＋y 216＝1 B.x 216＋y 236＝1 C.x 26＋y 24＝1 D.y 26＋x 24＝13．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A. 3B.32C.83D.234．椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是( ) A.2m －1m －1B.－2－m mC.2m mD ．－21－m m －15．已知椭圆的方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝2，离心率e ＝12，则椭圆方程为( ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 23＋y 24＝16．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.457．已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．9二、填空题8．一椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，点P 是椭圆上的一点，线段PF 1与y 轴的交点M 是该线段的中点，若|PF 2|＝|MF 2|，则椭圆的离心率等于________．9．若椭圆长轴长是短轴长的2倍，且焦距为2，则此椭圆的标准方程为__________．10．已知P 点是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上异于顶点的任一点，且∠F 1PF 2＝60°，则这样的点P有________个．三、解答题11．已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．12.如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，|AB|＝2，|AC|＝22.一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|P A|＋|PB|的值不变．(1)建立适当的坐标系，求曲线E的方程；(2)试根据(1)所求方程判断曲线是否为椭圆方程，若是，写出其长轴长、焦距、离心率．13．如图，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|＝2＋2，|PF2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ|＝λ|PF1|，且34≤λ＜43，试确定椭圆离心率e的取值范围．。

椭圆的简单几何性质1有答案

A.(±13,0)B.(0，±10)
C.(0，±13)D.(0，± )
(2)如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍，那么这个椭圆的离心率为()
A. B.
C. D.
【自主解答】(1)由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，故焦点坐标为(0，± ).
(2)设长轴长为2a，短轴长为2b，由题意可知a＝2b，则c＝＝＝ b，所以离心率为e＝＝＝ .
B.(－6,0)，(6,0)
C.(－，0)，( ，0)
D.(0，－ )，(0, )
【解析】椭圆的标准方程为x2＋＝1，焦点在y轴上，其长轴的端点坐标为(0，± ).
【答案】D
(2)已知椭圆＋＝1的一个顶点为(0,5)，试求椭圆的长轴长，短轴长，焦点坐标，离心率及其余的顶点.
【解】∵(0,5)是椭圆＋＝1的顶点，
(2)焦点在y轴上，c＝6，e＝；
(3)短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3；
(4)离心率为，经过点(2,0).
【精彩点拨】本题考查椭圆方程的求法.根据题中所给条件，结合椭圆的几何性质定位(即确定焦点位置)、定量(即确定长轴和短轴的长)，若没有指明焦点位置，要分焦点在x轴上、y轴上进行讨论.
【答案】
5.求满足下列各条件的椭圆的标准方程.
(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 .
【解】(1)由题意知，2c＝8，c＝4，
∴e＝＝＝，∴a＝8，
从而b2＝a2－c2＝48，
∴椭圆的标准方程是＋＝1.
【自主解答】(1)由a＝4，e＝＝知，c＝2，b2＝16－4＝12.

高二上学期数学练习题(7)(椭圆的简单几何性质)有详细答案

高二上学期数学练习题（7）（椭圆的简单几何性质）班级姓名学号一．选择填空题1. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为（）A ．(±13，0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69) 2. 椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为 ( ) A.32 B.34 C.22 D.233. 已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，则椭圆C 的方程为（） A.x 23＋y 2＝1 B ．x 2＋y 23＝1 C.x 23＋y 22＝1 D.x 22＋y 23＝1 4. 已知椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m ＝ ( )．A.14B.12C ．2D ．4 5. 过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为 ( ) A.52 B.33 C.12 D.136. 如图所示，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为( )． A.15 B.25 C.55 D.2557. 已知椭圆x 23＋y 24＝1的上焦点为F ，直线x ＋y －1＝0和x ＋y ＋1＝0与椭圆分别相交于点A ，B 和C ，D ，则AF ＋BF ＋CF ＋DF ＝ ( )． A ．2 3 B ．4 3 C ．4 D ．88. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是63，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1²k 2的值为 ( )． A.12 B ．－12 C.13 D ．－139. 已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B ，若F A →＝3FB →，则|AF →|＝A. 2 B ．2 C. 3 D ．3 （） 10. 椭圆x 225＋y 29＝1上的点P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( )A ．8,2B ．5,4C ．5,1D ．9,1二．填空题11.已知椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是________． 12.已知椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率为12，则k 的值为________．13.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．14.已知中心在原点，对称轴为坐标轴，长半轴长与短半轴长的和为92，离心率为35的椭圆的标准方程为________15.直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是________．16.椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．17.已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝_______18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，A1，A 2，B 1，B 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 则该椭圆的离心率为________．三．解答题19.求椭圆x 24＋y 2＝1的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．20.已知椭圆长轴长是短轴长的2倍，且过点A (2，－6)．求椭圆的标准方程．21.已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为A (－1，0)，B (1，0)，一个顶点为H (2，0)． (1)求椭圆E 的标准方程；(2)对于x 轴上的点P (t ，0)，椭圆E 上存在点M ，使得MP ⊥MH ，求实数t 的取值范围．22.已知直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M 、N 两点，且|MN |＝423.求直线l 的方程．23.已知过点A (－1，1)的直线与椭圆x 28＋y24＝1交于点B 、C ，当直线l 绕点A (－1，1)旋转时，求弦BC 中点M 的轨迹方程．24.如图所示，点A 、B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF . (1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．高二上学期数学练习题（7）（椭圆的简单几何性质）参考答案班级姓名学号（5-12页）一．选择填空题1. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为（）A ．(±13，0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．答案 D 2. 椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为 ( )． A.32 B.34 C.22 D.23解析：将椭圆方程x 2＋4y 2＝1化为标准方程x 2＋y 14＝1，则a 2＝1，b 2＝14，即a ＝1，c ＝a 2－b 2＝32，故离心率e ＝c a ＝32.答案 A 3. 已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，则椭圆C 的方程为（） A.x 23＋y 2＝1 B ．x 2＋y 23＝1 C.x 23＋y 22＝1 D.x 22＋y 23＝1 解析因为c a ＝63，且c ＝2，所以a ＝3，b ＝a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.答案 A4. 已知椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m ＝ ( )．A.14B.12 C ．2 D ．4 解析将椭圆方程化为标准方程为x 2＋y 21m＝1，∵焦点在y 轴上，∴1m >1，∴0<m <1.由方程得a ＝1m ，b ＝1.∵a ＝2b ，∴m ＝14. 答案 A 5. 过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为 ( ) A.52 B.33 C.12 D.13解析：记|F 1F 2|＝2c ，则由题设条件，知|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c3，则椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝2c 2c 3＋4c 3＝33，故选B.答案 B6. 如图所示，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B A.15 B.25 C.55 D.255解析：由条件知，F 1(－2，0)，B (0，1)，∴b ＝1，c ＝2，∴a ＝22＋12＝5，∴e ＝c a ＝25＝255.答案 D7. 已知椭圆x 23＋y 24＝1的上焦点为F ，直线x ＋y －1＝0和x ＋y ＋1＝0与椭圆分别相交于点A ，B 和C ，D ，则AF ＋BF ＋CF ＋DF ＝ ( )． A ．2 3 B ．4 3 C ．4 D ．8 解析如图，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接 AF 1、FD .由椭圆的对称性可知，四边形AFDF 1(其中F 1为椭圆的下焦点)为平行四边形，∴AF 1＝FD ，同理BF 1＝CF ， ∴AF ＋BF ＋CF ＋DF ＝AF ＋BF ＋BF 1＋AF 1＝4a ＝8.答案 D8. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是63，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1²k 2的值为 ( )． A.12 B ．－12 C.13 D ．－13解析设点M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，则y 2＝b 2－b 2x 2a 2，y 12＝b 2－b 2x 12a2，所以k 1·k 2＝y －y 1x －x 1·y ＋y 1x ＋x 1＝y 2－y 12x 2－x 12＝－b 2a 2＝c 2a 2－1＝e 2－1＝－13，即k 1·k 2的值为－13.答案 D 9. 已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B ，若F A →＝3FB →，则|AF →|＝A. 2 B ．2 C. 3 D ．3 （）解析设点A (2，n )，B (x 0，y 0)．由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝1，即c ＝1，∴右焦点F (1，0)．∴由F A →＝3FB →得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)．∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0，∴x 0＝43，y 0＝13n ，将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12³(43)2＋(13n )2＝1.解得n 2＝1，∴|AF →|＝（2－1）2＋n 2＝1＋1＝ 2.所以选A.答案 A 10. 椭圆x 225＋y 29＝1上的点P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( D )A ．8,2B ．5,4C ．5,1D ．9,1二．填空题11.已知椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是________．解析：设椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，焦距为2c ，则b ＝1，a 2＋b 2＝(5)2，即a 2＝4. 所以椭圆的标准方程是x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝1.答案 x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝112.已知椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率为12，则k 的值为________．解析：①当k ＋8>9时，e 2＝c 2a 2＝k ＋8－9k ＋8＝14，k ＝4；②当k ＋8<9时，e 2＝c 2a 2＝9－k －89＝14，k ＝－54.答案4或－5413.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．解析：依题意设椭圆G 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12.∴2a ＝12，即a ＝6.∵椭圆的离心率为32，∴e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴36－b 26＝32，∴b 2＝9.∴椭圆G 的方程为x 236＋y 29＝1.答案 x 236＋y 29＝114.已知中心在原点，对称轴为坐标轴，长半轴长与短半轴长的和为92，离心率为35的椭圆的标准方程为________解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝92，c a ＝35，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝52，b ＝42.但焦点位置不确定．答案 x 250＋y 232＝1或x 232＋y 250＝115.直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1消去y ，整理得(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0，若直线与椭圆有两个公共点，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋m ≠0，Δ＝（4m ）2－4m （3＋m ）>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－3，m <0或m >1.由x 2m ＋y 23＝1表示椭圆知，m >0且m ≠3. 综上可知，m 的取值范围是(1，3)∪(3，＋∞)．答案 (1，3)∪(3，＋∞) 16.椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6. ∴弦长|MN |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（x 1－x 2）2＋（12x 1－12x 2）2＝54[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝54（4＋24）＝35，答案 35。

《椭圆的简单几何性质》知识点总结

椭圆的简单几何性质知识点总结椭圆是一种重要的几何图形，具有一些特殊的性质。

在本篇文档中，我们将总结椭圆的一些简单几何性质。

1. 椭圆的定义椭圆可以通过以下定义来描述：对于给定的两个焦点F1和F2，及其到两个焦点的总距离的一半定为常量2a（长轴），椭圆上每一点到两个焦点的距离之和等于常量2a。

椭圆的另一个参数e（离心率）定义为焦点之间的距离与长轴的比值：e = c/a，其中c是焦点之间的距离。

2. 椭圆的焦点和准线椭圆的焦点F1和F2对称分布在长轴上，并且与椭圆的中心O相等。

准线是通过焦点F1和F2垂直于长轴的直线，交于椭圆的中心O。

准线的长度定为2b（短轴）。

椭圆的离心率e= c/a = √(a^2 - b^2)/a。

3. 椭圆的主轴和副轴椭圆的主轴是长轴，长度为2a。

副轴是短轴，长度为2b。

长轴和短轴是椭圆上的两个对称轴。

4. 椭圆的焦准距椭圆上的任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之和等于2a，即PF1+PF2=2a。

我们把这个距离之和称为焦准距。

对于同一条主轴上的两个点P1和P2，它们到焦点的距离之和相等。

5. 椭圆的离心率椭圆的离心率是一个反映椭圆形状的重要参数。

离心率e定义为焦点之间的距离与长轴的比值：e = c/a。

当离心率小于1时，椭圆是真椭圆；当离心率等于1时，椭圆是半圆；当离心率大于1时，椭圆是伪椭圆。

离心率越接近于0，椭圆形状越扁。

6. 椭圆的方程椭圆的方程可以通过不同的形式来表示，其中最常用的是标准形式和一般形式。

标准形式的椭圆方程为：x2/a2 + y2/b2 = 1，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度。

一般形式的椭圆方程为：Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0，其中A、B、C、D和E为常数。

7. 椭圆的焦距定理椭圆的焦距定理说明了椭圆上的任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之和等于椭圆的主轴长度。

即PF1+PF2=2a。

8. 椭圆的切线椭圆上任意一点P的切线是通过点P且与椭圆仅相交于点P的直线。

椭圆的几何性质(简单性质)

a2=b2+c2
标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长
离心率
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
|x|≤ a,|y|≤ b
x2 b2

y2 a2
1(a
b

0)
|x|≤ b,|y|≤ a
关于x 轴、y 轴成轴对称；
关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b)

(m

n)2
(m2 2

n2 )

2(a 2

c2 ).
m, n 是方程 x2 2ax 2(a2 c2 ) 0 的两个根，
y
P
所以 (2a)2 8(a2 c2 ) ≥ 0 .
2c2 ≥ a2

c2 ≥ 1 a2 2
F1 o
F2
x
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例 3.已知 P 是椭圆上一点, F1, F2 分别是椭圆的左右焦点，且 PF1 PF2 ，求离心率的取值范围．

c2 (a c)2

(a c)2 4(a c)2
1
x2 a2

y2 b2
1
所以c2+10ac-3a2=0, 则e2+10e-3=0，
e 2 7 5.
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【例
4】设
F1，F2
分别是椭圆
x2 4

y2

1的左右焦点，若
P
是该椭
圆上的一个动点，求 PF1 PF 2 的最大值和最小值．
F1 o
F2
x
2a2 2e2 x02 4c2 ,

x02

《椭圆的简单几何性质》知识点总结

《椭圆的简单几何性质》知识点总结椭圆的简单几何性质中的考查点:
（一）、对性质的考查：
1、范围：要注意方程与函数的区别与联系；与椭圆有关的求最值是变量的取值范围；作椭圆的草图。

2、对称性：椭圆的中心及其对称性；判断曲线关于x轴、y轴及原点对称的依据；如果曲线具有关于x轴、y轴及原点对称中的任意两种，那么它也具有另一种对称性；注意椭圆不因坐标轴改变的固有性质。

3、顶点：椭圆的顶点坐标；一般二次曲线的顶点即是曲线与对称轴的交点；椭圆中a、b、c的几何意义（椭圆的特征三角形及离心率的三角函数表示）。

4、离心率：离心率的定义；椭圆离心率的取值范围：（0，1）；椭圆的离心率的变化对椭圆的影响：当e趋向于1时：c趋向于a，此时，椭圆越扁平；当e趋向于0时：c趋向于0，此时，椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，两焦点重合，椭圆变成圆。

（二）、课本例题的变形考查：
1、近日点、远日点的概念：椭圆上任意一点p（x，y）到椭圆一焦1
————来源网络整理，仅供供参考
点距离的最大值：a+c与最小值：a-c及取最值时点p的坐标；
2、椭圆的第二定义及其应用；椭圆的准线方程及两准线间的距离、焦准距：焦半径公式。

3、已知椭圆内一点m，在椭圆上求一点p，使点p到点m与到椭圆准线的距离的和最小的求法。

4、椭圆的参数方程及椭圆的离心角：椭圆的参数方程的简单应用：
5、直线与椭圆的位置关系，直线与椭圆相交时的弦长及弦中点问题。

————来源网络整理，仅供供参考 2。

椭圆的定义及几何性质(含答案)

椭圆的定义及其几何性质[要点梳理]1．椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质椭圆的常用性质(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a为斜边，a2＝b2＋c2．(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a．[基础自测]一、思考辨析判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．()(5)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．()(6)x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)的焦距相同．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√(6)√二、小题查验1．设P是椭圆x225＋y216＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．5 C．8 D．10解析：D[由椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10．]2．已知椭圆x225＋y2m2＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m＝()A．2 B．3 C．4 D．9解析：B[由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3．]3．已知椭圆C：x2a2＋y24＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为()A ．13B ．12C ．22D ．223解析：C [由椭圆x 2a 2＋y 24＝1知b 2＝4，∴b ＝2，c ＝2，∴a ＝b 2＋c 2＝22．∴椭圆的离心率e ＝c a ＝222＝22．]4．过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )A ．x 215＋y 210＝1B ．x 225＋y 220＝1C ．x 210＋y 215＝1D ．x 220＋y 215＝1解析：A [由题意知c 2＝5，可设椭圆方程为x 2λ＋5＋y 2λ＝1(λ>0)，则9λ＋5＋4λ＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，∴所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1．]5．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是__________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧5－k >0，k －3>0，5－k ≠k －3，解得3<k <5且k ≠4．答案：(3，4)∪(4，5) 三、大题突破1．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)与椭圆x 24＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)；(2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5，3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝t 1或y 24＋x 23＝t 2(t 1，t 2＞0)，因为椭圆过点(2，－3)，所以t 1＝224＋（－3）23＝2，或t 2＝（－3）24＋223＝2512.故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1或y 2253＋x 2254＝1.(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b＞0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，（2c ）2＝52－32，解得a ＝4，c ＝2，所以b 2＝12. 故椭圆方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(2，1)，且离心率为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON (O 为坐标原点)的斜率之积为－12.若动点P满足OP →＝OM →＋2ON →，求点P 的轨迹方程．解：(1)因为e ＝22，所以b 2a 2＝12，又椭圆C 经过点(2，1)，所以2a 2＋1b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由OP →＝OM →＋2ON →得x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2，因为点M ，N 在椭圆x 24＋y 22＝1上，所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 1x 2＋4x 22)＋2(y 21＋4y 1y 2＋4y 22)＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM 与ON 的斜率，由题意知， k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以x 2＋2y 2＝20，故点P 的轨迹方程为x 220＋y 210＝1.第1课时椭圆的定义及简单几何性质[考点梳理]1．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A ．x 264－y 248＝1B ．x 248＋y 264＝1C ．x 248－y 264＝1D ．x 264＋y 248＝1[解析] 设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16，又|C 1C 2|＝8＜16，∴动圆圆心M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，则a ＝8，c ＝4，∴b 2＝48，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1．2．F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7B ．74C ．72D ．752[解析] 由题意得a ＝3，b ＝7，c ＝2， ∴|F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6．∵|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|cos 45°＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8， ∴(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8．∴|AF 1|＝72，∴S △AF 1F 2＝12×72×22×22＝72．[答案] (1)D (2)C3．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |，且|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，则|AF 2|＝________．解析：由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3， ∵△ABF 2的周长为16，∴4a ＝16，∴a ＝4．则|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＝8－|AF 1|＝8－3＝5．4．已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________．解析：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2，所以2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，所以b ＝3．答案：(1)5 (2)31．若直线x －2y ＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )A ．x 25＋y 2＝1B ．x 24＋y 25＝1C ．x 25＋y 2＝1或x 24＋y 25＝1D ．x 24＋y 2＝1[解析] C [直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题意知当焦点在x 轴上时，c ＝2，b ＝1， ∴a 2＝5，所求椭圆的标准方程为x 25＋y 2＝1．当焦点在y 轴上时，b ＝2，c ＝1，∴a 2＝5，所求椭圆的标准方程为y 25＋x 24＝1．] 2．一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的标准方程为( )A ．x 28＋y 26＝1B ．x 216＋y 26＝1C ．x 24＋y 22＝1D ．x 28＋y 24＝1[解析] A [设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1．又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2×2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，c a ＝12即a 2＝8，b 2＝6，故椭圆方程为x 28＋y 26＝1．] 3．已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆的两个焦点，过F 1的直线l 交椭圆于M ，N 两点，若△MF 2N 的周长为8，则椭圆方程为( )A ．x 24＋y 23＝1B ．y 24＋x 23＝1C ．x 216＋y 215＝1D ．y 216＋x 215＝1解析：∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆的两个焦点，∴c ＝1．根据椭圆的定义，得△MF 2N 的周长为4a ＝8，得a ＝2，∴b ＝3，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1，故选A ．4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若△OAB (O 为坐标原点)的面积为22，则椭圆C 的方程为( )A ．x 28＋y 24＝1B ．x 22＋y 2＝1C ．x 212＋y 26＝1D ．x 212＋y 28＝1解析：∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点∴设A (x ，x )，B (x ，－x )，则x x ＝22，解得x ＝2，∴A (2，2)．由已知得⎩⎨⎧c a ＝22，4a 2＋2b2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝22，b ＝2．∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1，故选A ．答案：(1)A (2)A[命题角度1] 椭圆的长轴、短轴、焦距1．已知椭圆x 2m －2＋y 210－m＝1的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．5 解析：A [∵椭圆x 2m －2＋y 210－m ＝1的长轴在x 轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，10－m >0，m －2>10－m ，解得6<m <10．∵焦距为4，∴c 2＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8．] [命题角度2] 椭圆的离心率2．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A ．23B ．12C ．13D ．14解析：D [如图，作PB ⊥x 轴于点B ．由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1，由∠F 1F 2P ＝120°，可得|PB |＝3，|BF 2|＝1，故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2， tan ∠P AB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4．所以e ＝c a ＝14．故选D ．]2．已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( ) A ．1－32 B ．2－3 C ．3－12D ．3－1 解析：D [在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°，不妨设椭圆焦点在x 轴上，且焦距|F 1F 2|＝2，则|PF 2|＝1，|FP 1|＝3，由椭圆的定义可知，方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，2a ＝1＋3，2c ＝2，得a ＝1＋32，c ＝1，所以离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1．故选D ．]3．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( ) A ．[32，1) B ．[31，22] C ．[31，1) D ．(0，31]解析：C [如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2， ∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得|PF 2|＝2c ．∴a －c ≤2c <a ＋c ．∴e ＝c a ∈⎣⎡⎭⎫13，1．] [命题角度3] 与椭圆有关的最值或范围问题4．已知F 是椭圆C ：x 29＋y 25＝1的左焦点，P 为C 上一点，A (1，34)，则|P A |＋|PF |的最小值为( )A ．103B ．113C ．4D ．133解析：D [设椭圆C ：x 29＋y 25＝1的右焦点为F ′(2,0)，F (－2,0)，由A ⎝⎛⎭⎫1，43，则|AF ′|＝53，根据椭圆的定义可得|PF |＋|PF ′|＝2a ＝6，所以|P A |＋|PF |＝|P A |＋6－|PF ′|≥6－|AF ′|＝6－53＝133．]5．如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·P A →的最大值为( )A ．1B ．23C ．4D ．43解析：C [设P 点坐标为(x 0，y 0)．由题意知a ＝2，∵e ＝c a ＝12，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3．所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1．∴－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤3．又F (－1,0)，A (2,0)，PF →＝(－1－x 0，－y 0)，P A →＝(2－x 0，－y 0)， ∴PF →·P A →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2．当x 0＝－2时，PF →·P A →取得最大值4．][课时训练]一、选择题1．椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标为( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±9，0)D ．(0，±9) 解析：B [根据椭圆方程可得焦点在y 轴上，且c 2＝a 2－b 2＝25－16＝9，∴c ＝3，故焦点坐标为(0，±3)．故选B.]2．已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( )A ．x 24＋y 23＝1B ．x 28＋y 26＝1C ．x 22＋y 2＝1D ．x 24＋y 2＝1解析：A [依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1，0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1，故选A.] 3．方程kx 2＋4y 2＝4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．k ＞4B ．k ＝4C ．k ＜4D ．0＜k ＜4 解析：D [方程kx 2＋4y 2＝4k表示焦点在x 轴上的椭圆，即方程x 24＋y 2k＝1表示焦点在x轴上的椭圆，可得0＜k ＜4，故选D.]4．若椭圆x 24＋y 2m ＝1上一点到两焦点的距离之和为m －3，则此椭圆的离心率为( )A ．53B ．53或217C ．217D ．37或59解析：A [由题意得，2a ＝m －3>0，即m >3，若a 2＝4，即a ＝2，则m －3＝4，m ＝7>4，不合题意，因此a 2＝m ，即a ＝m ，则2m ＝m －3，解得m ＝9，即a ＝3，c ＝m －4＝5，所以椭圆离心率为e ＝53.故选A.] 5．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点E (0，t )(0<t <b )．已知动点P 在椭圆上，且点P ，E ，F 2不共线，若△PEF 2的周长的最小值为4b ，则椭圆C 的离心率为( ) A ．32 B ．22 C ．12 D ．33解析：A [△PEF 2的周长为|PE |＋|PF 2|＋|EF 2|＝|PE |＋2a －|PF 1|＋|EF 2| ＝2a ＋|EF 2|＋|PE |－|PF 1|≥2a ＋|EF 2|－|EF 1|＝2a ＝4b ，∴e ＝c a ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝1－14＝32，故选A.] 6．在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中，F 1，F 2分别是其左、右焦点，若|PF 1|＝2|PF 2|，则该椭圆离心率的取值范围是( )A ．(31，1)B ．[31，1)C ．(0，31)D ．(0，31] 解析：B [根据椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，将|PF 1|＝2|PF 2|代入，得|PF 2|＝2a 3，根据椭圆的几何性质，知|PF 2|≥a －c ，故2a 3≥a －c ，即a ≤3c ，故c a ≥13，即e ≥13，又e <1，故该椭圆离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫13，1，故选B.]7．过椭圆x 225＋y 216＝1的中心任意作一条直线交椭圆于P ，Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，则 △PQF 周长的最小值是( )A ．14B ．16C ．18D ．20 解析：C [如图，设F 1为椭圆的左焦点，右焦点为F 2，根据椭圆的对称性可知|F 1Q |＝|PF 2|，|OP |＝|OQ |，所以△PQF 1的周长为|PF 1|＋|F 1Q |＋|PQ |＝|PF 1|＋|PF 2|＋2|PO |＝2a ＋2|PO |＝10＋2|PO |，易知2|OP |的最小值为椭圆的短轴长，即点P ，Q 为椭圆的上下顶点时，△PQF 1即△PQF 的周长取得最小值为10＋2×4＝18.]二、填空题8．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，离心率为63，则此椭圆的方程为______________.解析：由题意知抛物线y 2＝16x 的焦点为(4，0)，∴c ＝4， ∵e ＝c a ＝4a ＝63，∴a ＝26，∴b 2＝a 2－c 2＝8，∴椭圆的方程为x 224＋y 28＝1. 答案：x 224＋y 28＝1 9．若x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是____________.解析：将椭圆的方程化为标准形式得y 22k＋x 22＝1，因为x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，所以2k>2，解得0<k <1.答案：(0，1)10．若椭圆的方程为x 210－a ＋y 2a －2＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝________. 解析：由题可知c ＝2.①当焦点在x 轴上时，10－a －(a －2)＝22，解得a ＝4.②当焦点在y 轴上时，a －2－(10－a )＝22，解得a ＝8.故实数a ＝4或8.答案：4或811．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上存在点P ，使得PF 1→·PF 2→＝0，则椭圆离心率的取值范围是 ______________.解析：因为PF 1→·PF 2→＝0，所以∠F 1PF 2＝90°.设P (x 0，y 0)S △PF 1F 2＝b 2＝c |y 0|≤cb ，即b ≤c ，则a 2－c 2≤c 2，解得e 2≥12，即e ≥22，又在椭圆中0<e <1，故椭圆离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫22，1. 答案：⎣⎡⎭⎫22，1三、解答题12．已知动圆M 过定点A (－3，0)，并且内切于定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：设动圆M 的半径为r ，则|MA |＝r ，|MB |＝8－r ，∴|MA |＋|MB |＝8，且8>|AB |＝6，∴动点M 的轨迹是椭圆，且焦点分别是A (－3，0)，B (3，0)，且2a ＝8，∴a ＝4，c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴所求动圆圆心M 的轨迹方程是x 216＋y 27＝1.13．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3，0)和(－3，0)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积．解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝10，c ＝3，因此a ＝5，b ＝4，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1. (2)易知|y P |＝4，又c ＝3，所以S △F 1PF 2＝12|y P |×2c ＝12×4×6＝12. 14．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； (2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34， 2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，c a＝－2(舍去)．故C 的离心率为12. (2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .① 由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |.设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.② 将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a ＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.14．如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ |＝λ|PF 1|，且34≤λ<43，试确定椭圆离心率e 的取值范围．解：(1)由椭圆的定义知，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知得PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1.故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)如图，由PF 1⊥PQ ，|PQ |＝λ|PF 1|，得|QF 1|＝|PF 1|2＋|PQ |2＝1＋λ2|PF 1|.由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，所以|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝4a .于是(1＋λ＋1＋λ2)|PF 1|＝4a ，解得|PF 1|＝4a 1＋λ＋1＋λ2，故|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a (λ＋1＋λ2－1)1＋λ＋1＋λ2. 由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋λ＋1＋λ22＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a (λ＋1＋λ2－1)1＋λ＋1＋λ22＝4c 2，两边除以4a 2，得4(1＋λ＋1＋λ2)2＋(λ＋1＋λ2－1)2(1＋λ＋1＋λ2)2＝e 2. 若记t ＝1＋λ＋1＋λ2，则上式变成e 2＝4＋(t －2)2t 2＝8⎝⎛⎭⎫1t －142＋12. 由34≤λ<43及1＋λ＋1＋λ2关于λ的单调性，得3≤t <4，即14<1t ≤13，进而12<e 2≤59，即22<e ≤53.。

知识讲解_椭圆的简单性质_提高

椭圆的简单性质【要点梳理】要点一：椭圆的简单几何性质我们根据椭圆22221x y a b+=(0)a b >>和它的图象（如图）来研究椭圆的简单几何性质．1．对称性对于椭圆标准方程22221x y a b +=，把x 换成―x ，或把y 换成―y ，或把x 、y 同时换成―x 、―y ，方程都不变，所以椭圆22221x y a b +=是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心．2．范围椭圆上所有的点都位于直线x =±a 和y=±b 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x |≤a ，|y |≤b ． 3．顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点．②椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A 1（―a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，―b ），B 2（0，b ）．③线段A 1A 2，B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b ．a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．4．离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作22c ce a a==． ②因为a ＞c ＞0，所以e 的取值范围是0＜e ＜1．e 越接近1，则c 就越接近a ，从而22b a c =-越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当a =b 时，c =0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x 2+y 2=a 2．要点诠释：椭圆22221x y a b+=的图象中线段的几何特征（如下图）：（1）122PF PF a +=，1212||||||||PF PF e PM PM ==，2122||||a PM PM c+=；（2）12BF BF a ==，12OF OF c ==，2221A B A B a b ==+；（3）1122A F A F a c ==-，1221A F A F a c ==+，1a c PF a c -≤≤+；要点二：椭圆标准方程中的三个量a 、b 、c 的几何意义椭圆标准方程中，a 、b 、c 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a ＞b ＞0，a ＞c ＞0，且a 2=b 2+c 2．可借助下图帮助记忆：a 、b 、c 恰构成一个直角三角形的三条边，其中a 是斜边，b 、c 为两条直角边．和a 、b 、c 有关的椭圆问题常与与焦点三角形12PF F ∆有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式121211sin 2PF F S PF PF F PF ∆=⋅∠相结合的方法进行计算与解题，将有关线段1PF 、2PF 、12F F ，有关角12F PF ∠(1212F PF F BF ∠≤∠)结合起来，建立12PF PF +、12PF PF ⋅之间的关系．要点三：椭圆两个标准方程几何性质的比较标准方程22221(0)x y a b a b +=>> 22221(0)x y a b b a+=>> 图形性质焦点 1(,0)F c -，2(,0)F c 1(0,)F c -，2(0,)F c 焦距2212||2()F F c c a b ==-2212||2()F F c c a b ==-范围 ||x a ≤，||y b ≤ ||x b ≤，||y a ≤对称性关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 (,0)a ±，(0,)b ±(0,)a ±，(,0)b ±轴长轴长=2a ，短轴长=2b要点诠释：椭圆22221x y a b +=，22221y x a b+=（a ＞b ＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a ＞b＞0和(01)ce e a=<<，a 2=b 2+c 2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同；椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x 2、y 2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．要点四：直线与椭圆的位置关系平面内点与椭圆的位置关系椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M （x ，y ），若点M （x ，y ）在椭圆上，则有22221x y a b +=(0)a b >>；若点M （x ，y ）在椭圆内，则有22221x y a b +<(0)a b >>；若点M （x ，y ）在椭圆外，则有22221x y a b +>(0)a b >>．直线与椭圆的位置关系将直线的方程y kx b =+与椭圆的方程22221x y a b +=(0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一元二次方程，其判别式为Δ．①Δ＞0⇔直线和椭圆相交⇔直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②Δ＝0⇔直线和椭圆相切⇔直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③Δ＜0⇔直线和椭圆相离⇔直线和椭圆无公共点．直线与椭圆的相交弦设直线y kx b =+交椭圆22221x y a b+=(0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则12||PP 12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -=，12||y y -【典型例题】类型一：椭圆的简单几何性质例1．已知椭圆的对称轴为坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且2cos 3OFA ∠=，求椭圆的方程．【解析】椭圆的长轴长为6，2cos 3OFA ∠=，所以点A 不是长轴的顶点，是短轴的顶点，所以|OF |=c ，||3AF a ===，233c =，所以c =2，b 2=32－22=5，故椭圆的方程为22195x y +=或22159x y +=．【思路点拨】灵活运用椭圆的几何性质：①a 2=b 2+c 2；②长轴长2a ，短轴长2b ，进行求参数的值或求椭圆的方程．举一反三：【变式1】求椭圆16x 2+25y 2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．【答案】长轴长210a =，短轴长28b =，离心率35e =，焦点12(3,0)(3,0)F F -，顶点是1(5,0)A -，2(5,0)A ，1(0,4)B -，2(0,4)B ．【变式2】长轴长等于20，离心率等于35，求椭圆的标准方程．【答案】22110064x y +=或22110064y x +=类型二：求椭圆的离心率或离心率的取值范围例2．（1 （2）已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4，求其离心率．【解析】（1）由题意得()()a c a c +-∶，即11e e +=-，解得5e =- （2）由题意得104a c a c +=⎧⎨-=⎩，解得73a c =⎧⎨=⎩，故离心率37c e a ==．【思路点拨】（1）椭圆的离心率是椭圆几何性质的一个重要参数，求椭圆离心率的关键是由条件寻求a 、c 满足的关系式．（2）椭圆的离心率c b e a a ==，所以构造a 、b 、c 三者中任意两个的关系，均可求出椭圆离心率，而a 、b 、c 三者中任意两个的关系，可以通过几何图形直观观察，可构造方程或不等式得到三者关系．（3）求椭圆的离心率通常有两种方法：①若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a 2、b 2，求出a 、c 的值，利用公式ce a=直接求解； ②若椭圆的方程未知，则根据条件建立a 、b 、c 、e 满足的关系式，化为关于a 、c 的齐次方程，再将方程两边同除以a 的最高次幂，得到e 的方程，解方程求得e ．举一反三：【变式1】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（）11..52A B C D 【答案】D【变式2】椭圆22221x y a b +=上一点到两焦点的距离分别为12d d 、，焦距为2c ，若122d c d 、、成等差数列，则椭圆的离心率为＿＿＿＿＿【答案】12例3．设M 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，若∠MF 1F 2=75°，∠MF 2F 1=15°，求椭圆的离心率．【解析】在△MF 1F 2中，由正弦定理得12122112||||2sin sin sin MF MF cF MF MF F MF F ==∠∠∠，即12||||2sin90sin15sin75MF MF c==︒︒︒∴2|1||2|2sin90sin15sin75sin15sin75c MF MF a+==︒︒+︒︒+︒，∴1sin15sin 75c e a ===︒+︒ 【思路点拨】本题利用了椭圆的定义、正弦定理、等比定理、三角变换等多种知识，求出离心率e ．举一反三：【变式1】以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于＿＿＿＿．1【变式2】已知椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点A ，上顶点为B ，若BF ⊥BA ，则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为________．【解析】根据题意，|AB 2|=a 2+b 2，|BF |=a ，|AF |=a +c ，所以在Rt △ABF 中，有(a +c )2=a 2+b 2+a 2，化简得c 2+ac ―a 2=0，等式两边同除以a 2，得e 2+e ―1=0，解得e = 又∵0＜e ＜1，∴e =例4．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，F 1，F 2是两个焦点，若椭圆上存在一点P ，使1223F PF π∠=，求其离心率e 的取值范围．【解析】△F 1PF 2中，已知1223F PF π∠=，|F 1F 2|=2c ，|PF 1|+|PF 2|=2a ，由余弦定理：4c 2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|cO s120° ① 又|PF 1|+|PF 2|=2a ②联立① ②得4c 2=4a 2-|PF 1||PF 2|，∴2212||||44PF PF a c =-2222222122||||()443402a PF PF a a c a a c ≤=⇒-≤⇒-≤1c e a ⇒≥≤< 【思路点拨】求离心率或离心率的范围，通常构造关于a ，b ，c 的齐次式，从而构造出关于e 的方程或不等式．举一反三：【变式】已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，以a ，b ，c 为系数的关于x 的方程20ax bx c ++=无实根，求其离心率e 的取值范围．【答案】由已知，240b ac ∆=-<，所以22()40a c ac --<，即2240c ac a +->，不等式两边同除2a 可得2410e e +->，解不等式得2e <或2e ．由椭圆的离心率(0,1)e ∈，所以所求椭圆离心率2,1)e ∈．类型三：直线与椭圆的位置关系例6．已知椭圆2212x y +=，求过点1122P ⎛⎫⎪⎝⎭，且被P 平分的弦所在的直线方程．【解析】解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为1122y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．代入椭圆方程，并整理得 ()()2222131222022k x kk x k k +--+-+=．由韦达定理得21222212k kx x k -+=+．∵P 是弦中点，∴121x x +=．故得12k =-．所以所求直线方程为2430x y +-=．解法二：设过1122P ⎛⎫⎪⎝⎭，的直线与椭圆交于()11A x y ，、()22B x y ，，则由题意得221122221212121211.x y x y x x y y ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪+=⎩①②③④，，， ①－②得2222121202x x y y -+-=． ⑤将③、④代入⑤得121212y y x x -=--，即直线的斜率为12-．所求直线方程为2430x y +-=．【思路点拨】（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．举一反三：【变式1】已知点P（4，2）是直线l被椭圆221369x y+=所截得线段的中点，求直线l的方程．【答案】x+2y－8=0【变式2】若直线1()y kx k R=+∈与椭圆2215x ym+=恒有公共点，求实数m的取值范围．【答案】15m m≥≠且。

椭圆知识点归纳总结和经典例题

椭圆的基本知识1．椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 12222=+bx a y （a ＞b ＞0）焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0)不必考虑焦点位置，求出方程3.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法.,.2,,1的轨迹中点求线段段轴作垂线向从这个圆上任意一点半径为标原点已知一个圆的圆心为坐如图例M P P P P x P ''解:(相关点法)设点M (x , y ),点P (x 0, y 0),则x ＝x 0, y ＝2y 得x 0＝x ， y 0＝2y. ∵x 02＋y 02＝4, 得 x 2＋(2y )2＝4,即.142=+y x所以点M 的轨迹是一个椭圆.4.范围. x 2≤a 2，y 2≤b 2，∴|x|≤a ，|y|≤b ．椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里．yO F 1F 2xMc c xF 2F 1O y Mcc yxPO P 'M5.椭圆的对称性椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴．原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．6.顶点只须令x ＝0，得y ＝±b ，点B 1(0,－b )、B 2(0, b )是椭圆和y 轴的两个交点；令y ＝0，得x ＝±a ，点A 1(－a ,0)、A 2(a ,0)是椭圆和x 轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A 1(－a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, －b )、B 2(0, b )．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点．线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b .a 叫做椭圆的长半轴长．b 叫做椭圆的短半轴长． |B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ．在Rt△OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2，即c 2＝a 2－b 2．7.椭圆的几何性质：椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只要2222x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222y x 1(a b 0)a b+=>>的有关性质。

椭圆的简单几何性质练习题

课时作业(八)[学业水平层次]一、选择题1．(2015·人大附中月考)焦点在x 轴上，短轴长为8，离心率为35的椭圆的标准方程是( )A.x 2100＋y 236＝1 B.x 2100＋y 264＝1 C.x 225＋y 216＝1D.x 225＋y 29＝1【解析】本题考查椭圆的标准方程．由题意知2b ＝8，得b ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16，又e ＝c a ＝35，解得c ＝3，a ＝5，又焦点在x 轴上，故椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1，故选C.【答案】 C2．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( )A.12B.13C.14D.22【解析】由题意知a ＝2c ，∴e ＝c a ＝c 2c ＝12. 【答案】 A3曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)的关系是( )A ．有相等的焦距，相同的焦点B ．有相等的焦距，不同的焦点C ．有不等的焦距，不同的焦点D ．以上都不对【解析】曲线x 225＋y 29＝1的焦距为2c ＝8，而曲线x 29－k ＋y 225－k ＝1(0＜k＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B.【答案】 B4．已知O 是坐标原点，F 是椭圆x 24＋y 23＝1的一个焦点，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于M ，N 两点，则cos ∠MON 的值为( )A.513 B ．－513 C.21313D ．－21313【解析】由题意，a 2＝4，b 2＝3，故c ＝a 2－b 2＝4－3＝1.不妨设M (1，y 0)，N (1，－y 0)，所以124＋y 23＝1，解得y 0＝±32，所以|MN |＝3，|OM |＝|ON |＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝132.由余弦定理知cos ∠MON ＝|OM |2＋|ON |2－|MN |22|OM ||ON |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1322－322×132×132＝－513.【答案】 B 二、填空题5．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A ，B 为焦点，且过C 、D 的椭圆的离心率为________．【解析】如图，AB ＝2c ＝4，∵点C 在椭圆上，∴CB ＋CA ＝2a ＝3＋5＝8，∴e ＝2c 2a ＝48＝12.【答案】 126．设AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，则k AB ·k OM ＝________.【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1， k OM ＝y 2＋y 1x 2＋x 1，k AB ·k OM ＝y 22－y 21x 22－x 21，b 2x 21＋a 2y 21＝a 2b 2，b 2x 22＋a 2y 22＝a 2b 2，得b 2(x 22－x 21)＋a 2(y 22－y 21)＝0，即y 22－y 21x 22－x 21＝－b 2a 2. 【答案】－b 2a 27．(2014·天津高二检测)已知P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，则m 2＋n 2的取值范围是________．【解析】因为P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，所以m 2＋n22＝1，即n 2＝2－2m 2，所以m 2＋n 2＝2－m 2，又－1≤m ≤1，所以1≤2－m 2≤2，所以1≤m 2＋n 2≤2.【答案】 [1,2] 三、解答题8．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．【解】 (1)∵c ＝9－4＝5，∴所求椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)．设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． ∵e ＝c a ＝55，c ＝5，∴a ＝5，b 2＝a 2－c 2＝20， ∴所求椭圆的方程为x 225＋y 220＝1. (2)因椭圆的焦点在x 轴上，设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， ∵2c ＝8，∴c ＝4，又a ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝20. ∴椭圆的方程为x 236＋y 220＝1.9．(2014·菏泽高二检测)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与x 轴交于点A ，以OA 为边作等腰三角形OAP ，其顶点P 在椭圆上，且∠OP A ＝120°，求椭圆的离心率．【解】不妨设A (a,0)，点P 在第一象限，由题意，点P 的横坐标是a2，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，y ，由点P 在椭圆上，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22a 2＋y 2b 2＝1，y 2＝34b 2，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32b ，又∠OP A ＝120°，所以∠POA ＝30°，故tan ∠POA ＝32b a 2＝33，所以a ＝3b ，所以e＝ca ＝a 2－b 2a＝(3b )2－b 23b＝223. [能力提升层次]1．(2015·福州高二期末)设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )A.22 B.2－1 C ．2－ 2 D.2－12【解析】设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题得|PF 2|＝b 2a ＝2c ，即a 2－c 2a ＝2c ，得离心率e ＝2－1，故选B. 【答案】 B2．(2014·清远高二期末)“m ＝3”是“椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】椭圆x 24＋y 2m ＝1离心率为12，当0<m <4时，4－m 2＝12，得m ＝3，当m >4时，m －4m＝12，得m ＝163，即“m ＝3”是“椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12”的充分不必要条件．【答案】 A3．(2015·济南历城高二期末)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是________．【解析】由AP →＝2PB →，得|AO |＝2|FO |(O 为坐标原点)，即a ＝2c ，则离心率e ＝12. 【答案】 124．(2014·青海省西宁)已知点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1的左、右顶点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，且M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．【解】 (1)由已知可得A (－6,0)，B (6,0)，F (4,0)，设点P 的坐标是(x ，y )，则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，(x ＋6)(x －4)＋y 2＝0，则2x 2＋9x －18＝0，解得x ＝32或x ＝－6. 由于y >0，只能取x ＝32，于是y ＝52 3.所以点P 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫32，523.(2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0. 设点M 的坐标是(m,0)，则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2，又B (6,0)，于是|m ＋6|2＝|m －6|，又－6≤m ≤6，解得m ＝2，设椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离为d ，有d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫x －922＋15，由于－6≤x ≤6，所以当x ＝92时，d 取最小值15.。

椭圆知识点总结加例题

椭圆知识点总结加例题一、椭圆的定义和性质1.1 椭圆的定义在平面上，椭圆的定义为：对于给定的两个不重合的实点F1和F2，以及一个实数2a （a>0），定义为到点F1和点F2的距离的和等于2a的点的轨迹，这个轨迹就是椭圆。

1.2 椭圆的几何性质（1）焦点性质：椭圆上到焦点的距离之和是一个常数2a。

（2）长短轴性质：椭圆有两个互相垂直的对称轴，其中较长的轴称为长轴，较短的轴称为短轴。

（3）离心率性质：椭圆的离心率e定义为焦距与长轴的比值，介于0和1之间。

（4）焦点到顶点的连线和短轴的交点为端点的线段称为短轴的焦径。

（5）焦点到顶点的连线和长轴的交点为端点的线段称为长轴的焦径。

1.3 椭圆的方程和标准方程椭圆的一般方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, 其中a、b分别为椭圆长轴和短轴的半轴长。

通过坐标平移和旋转，可以得到椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, 椭圆长轴在x轴上，且椭圆的中心为原点。

1.4 椭圆的参数方程和极坐标方程椭圆的参数方程：$\begin{cases}x=a\cos \theta\\ y=b\sin \theta\end{cases}$, $\theta \in [0, 2\pi)$。

椭圆的极坐标方程：$r(\theta)=\frac{ab}{\sqrt{b^2\cos^2\theta+a^2\sin^2\theta}}$。

二、椭圆的相关性质2.1 椭圆的离心率和焦距的关系设椭圆的长轴和短轴分别为2a和2b，焦点到几点段为2c，则椭圆的离心率e满足关系：$e=\frac{c}{a}$。

2.2 椭圆的面积和周长椭圆的面积：$S=\pi ab$。

椭圆的周长：$L=4aE(e)$，其中E(e)为第二类完全椭圆积分。

2.3 椭圆的切线和法线对于椭圆上任一点P(x，y)，其切线的斜率为$k=-\frac{b^2x}{a^2y}$，切线的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，且斜率为$k$的切线方程为$y-kx+ka^2=0$。

椭圆的简单几何性质(含解析)

椭圆的简单几何性质班级：____________ 姓名：__________________一、选择题1.椭圆25x2+9y2=1的范围为()(A)|x|≤5,|y|≤3(B)|x|≤,|y|≤(C)|x|≤3,|y|≤5(D)|x|≤,|y|≤2.椭圆x2+4y2=4的离心率为()(A)(B)(C)(D)3.椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐标为()(A)(±13,0) (B)(0,±10)(C)(0,±13) (D)(0,±)4.已知椭圆+=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m等于()(A)9 (B)4 (C)3 (D)25.已知椭圆+=1与椭圆+=1有相同的长轴,椭圆+=1的短轴长与椭圆+=1的短轴长相等,则()(A)a2=25,b2=16(B)a2=9,b2=25(C)a2=25,b2=9或a2=9,b2=25(D)a2=25,b2=96.椭圆+=1与+=1(0<k<9)的关系为()(A)有相等的长、短轴长(B)有相等的焦距(C)有相同的焦点(D)有相同的顶点7.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为,它的长轴长等于圆C:x2+y2-2x-15=0的半径,则椭圆的标准方程是()(A)+=1 (B)+=1(C)+y2=1 (D)+=18.椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为()(A)(B)(C)(D)-29.已知A1,A2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点,P是椭圆C上异于A1,A2的任意一点,若直线PA1,PA2的斜率的乘积为-,则椭圆C的离心率为()(A)(B)(C)(D)10.设A1,A2为椭圆+=1(a>b>0) 的左、右顶点,若在椭圆上存在异于A1,A2的点P,使得·=0,其中O 为坐标原点,则椭圆的离心率e的取值范围是()(A)(0,) (B)(0,)(C)(,1) (D)(,1)二、填空题11.椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为4,则椭圆的方程为.12.已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=2经过椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点F和上顶点B,则椭圆E的离心率为.13.已知椭圆+=1的离心率为,则k的值为.14.将椭圆+=1的长轴(线段AB)分成8等份,过每个分点作x轴的垂线,分别交椭圆于P1,P2,P3,…,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=.15.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆C上的任意一点,若以F1,F2,P三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是.三、解答题16.求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A(2,0);(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的距离为.17.如图,已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;(2)若=2,·=,求椭圆的方程.椭圆的简单几何性质班级：____________ 姓名：__________________一、选择题1.椭圆25x2+9y2=1的范围为( B )(A)|x|≤5,|y|≤3 (B)|x|≤,|y|≤(C)|x|≤3,|y|≤5 (D)|x|≤,|y|≤解析:椭圆方程可化为+=1,所以a=,b=,又焦点在y轴上,所以|x|≤,|y|≤.故选B.2.椭圆x2+4y2=4的离心率为( A )(A)(B)(C)(D)解析:椭圆x2+4y2=4化为+y2=1,可得a=2,b=1,c==.所以椭圆的离心率e==,故选A.3.椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐标为( D )(A)(±13,0) (B)(0,±10)(C)(0,±13) (D)(0,±)解析:由题意知椭圆焦点在y轴上,且a=13,b=10,则c==,故焦点坐标为(0,±).故选D.4.已知椭圆+=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m等于( C )(A)9 (B)4 (C)3 (D)2解析:根据焦点坐标可知焦点在x轴上,所以a2=25,b2=m2,c2=16,又因为m2=b2=a2-c2=9,解得m=3,故选C. 5.已知椭圆+=1与椭圆+=1有相同的长轴,椭圆+=1的短轴长与椭圆+=1的短轴长相等,则( D )(A)a2=25,b2=16(B)a2=9,b2=25(C)a2=25,b2=9或a2=9,b2=25(D)a2=25,b2=9解析:因为椭圆+=1的长轴长为10,焦点在x轴上,椭圆+=1的短轴长为6,所以a2=25,b2=9.故选D.6.椭圆+=1与+=1(0<k<9)的关系为( B )(A)有相等的长、短轴长(B)有相等的焦距(C)有相同的焦点 (D)有相同的顶点解析:因为(25-k)-(9-k)=25-9=16,所以焦距相等.故选B.7.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为,它的长轴长等于圆C:x2+y2-2x-15=0的半径,则椭圆的标准方程是( A )(A)+=1 (B)+=1(C)+y2=1 (D)+=1解析:因为x2+y2-2x-15=0,所以(x-1)2+y2=16,所以r=4=2a,所以a=2,因为e=,所以c=1,所以b2=3,故选A.8.椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( B )(A)(B)(C)(D)-2解析:因为A,B为左、右顶点,F1,F2为左、右焦点,所以|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c,又因为|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,所以(a-c)(a+c)=4c2,即a2=5c2.所以离心率e==,故选B.9.已知A1,A2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点,P是椭圆C上异于A1,A2的任意一点,若直线PA1,PA2的斜率的乘积为-,则椭圆C的离心率为( D )(A)(B)(C)(D)解析:设P(x0,y0),则·=-,化简得+=1,则=,e===,故选D.10.设A1,A2为椭圆+=1(a>b>0) 的左、右顶点,若在椭圆上存在异于A1,A2的点P,使得·=0,其中O为坐标原点,则椭圆的离心率e的取值范围是( D )(A)(0,) (B)(0,)(C)(,1) (D)(,1)解析:A1(-a,0),A2(a,0),设P(x,y),则=(-x,-y),=(a-x,-y),因为·=0,所以(a-x)(-x)+(-y)(-y)=0,y2=ax-x2>0,所以0<x<a.代入+=1,整理得(b2-a2)x2+a3x-a2b2=0在(0,a)上有解,令f(x)=(b2-a2)x2+a3x-a2b2=0,因为f(0)=-a2b2<0,f(a)=0,所以Δ=(a3)2-4×(b2-a2)×(-a2b2)=a2(a4-4a2b2+4b4)=a2(a2-2b2)2≥0,所以对称轴满足0<-<a,即0<<a,所以<1,>,又0<e<1,所以<e<1,故选D.二、填空题11.椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为4,则椭圆的方程为.解析:由题意可知e==,2b=4,得b=2,所以解得答案:+=112.已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=2经过椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点F和上顶点B,则椭圆E的离心率为.解析:由题意得,椭圆的右焦点F为(c,0),上顶点B为(0,b),因为圆(x-1)2+(y-1)2=2经过右焦点F和上顶点B,所以解得b=c=2,则a2=b2+c2=8,解得a=2,所以椭圆E的离心率e===.答案:13.已知椭圆+=1的离心率为,则k的值为.解析:当9>4-k>0,即-5<k<4时,a=3,c2=9-(4-k)=5+k,所以=,解得k=.当9<4-k,即k<-5时,a=,c2=-k-5,所以=,解得k=-21.答案:或-2114.将椭圆+=1的长轴(线段AB)分成8等份,过每个分点作x轴的垂线,分别交椭圆于P1,P2,P3,…,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|= .解析:由椭圆的对称性及定义易知|P1F|+|P7F|=2a,|P2F|+|P6F|=2a,|P3F|+|P5F|=2a,|P4F|=a,所以|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a,因为a=5,所以所求式子的值为35.答案:3515.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆C上的任意一点,若以F1,F2,P三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是.名师点拨:若|PF1|=|PF2|,则·≥0;若|PF1|=|F1F2|,则cos ∠PF1F2≥0,由此建立关于a,c的不等式组,解不等式组可得椭圆C的离心率的取值范围.解析:因为F1(-c,0),F2(c,0),①若|PF1|=|PF2|,则点P为椭圆短轴上的顶点,不妨设P(0,b),则=(-c,-b),=(c,-b),因为△PF1F2不可能是钝角三角形,所以·≥0,即b2-c2≥0,所以c2≤b2=a2-c2,所以2c2≤a2,解得0<e≤.②若|PF1|=|F1F2|=2c,则|PF2|=2a-2c,在△PF1F2中,由余弦定理得cos∠PF1F2==≥0,所以c2+2ac-a2≥0,所以e2+2e-1≥0,解得e≥-1(e≤--1舍去).因为以F1,F2,P三点为顶点的等腰三角形不可能是钝角三角形,所以所以-1≤e≤.答案:[-1,]三、解答题16.求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A(2,0);(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的距离为. 解:(1)若椭圆的焦点在x轴上,设方程为+=1(a>b>0),因为椭圆过点A(2,0),所以=1,a=2.因为2a=2·2b,所以b=1,所以方程为+y2=1.若椭圆的焦点在y轴上,设椭圆方程为+=1(a>b>0),因为椭圆过点A(2,0),所以=1,所以b=2,因为2a=2·2b,所以a=4,所以方程为+=1.综上所述,椭圆的标准方程为+y2=1或+=1.(2)由已知所以从而b2=9,所以所求椭圆的标准方程为+=1或+=1.17.如图,已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;(2)若=2,·=,求椭圆的方程.解:(1)若∠F1AB=90°,则△AOF2为等腰直角三角形,所以有|OA|=|OF2|,即b=c. 所以a=c,e==.(2)由题知A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),其中,c=,设B(x,y).由=2⇔(c,-b)=2(x-c,y),解得x=,y=-,即B(,-).将B点坐标代入+=1,得+=1,即+=1,解得a 2=3c2.①又由·=(-c,-b)·(,-)=⇒b2-c2=1,即有a2-2c2=1.②由①②解得c2=1,a2=3,从而有b2=2.所以椭圆方程为+=1.2。