椭圆的简单几何性质练习题

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课时作业(八)

[学业水平层次]

一、选择题

1．(2015·人大附中月考)焦点在x 轴上，短轴长为8，离心率为3

5

的椭圆的标准方程是( ) ＋y 236＝1 ＋

y 2

64

＝1 ＋y 2

16

＝1 ＋y 2

9

＝1 【解析】 本题考查椭圆的标准方程．由题意知2b ＝8，得

b ＝4，所以b 2

＝a 2

－c 2

＝16，又e ＝c a ＝3

5

，解得c ＝3，a ＝5，又

焦点在x 轴上，故椭圆的标准方程为x 225＋y 2

16

＝1，故选C.

$

【答案】 C

2．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( )

【解析】 由题意知a ＝2c ，∴e ＝c a ＝c 2c ＝1

2

.

【答案】 A

3曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 2

25－k

＝1(0

A ．有相等的焦距，相同的焦点

）

B ．有相等的焦距，不同的焦点

C ．有不等的焦距，不同的焦点

D ．以上都不对

【解析】 曲线x 225＋y 29＝1的焦距为2c ＝8，而曲线x 29－k ＋

y 2

25－k ＝1(0＜k ＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B.

【答案】 B

4．已知O 是坐标原点，F 是椭圆x 24＋y 2

3＝1的一个焦点，过F 且

与x 轴垂直的直线与椭圆交于M ，N 两点，则cos ∠MON 的值为( )

B ．－513

D ．－21313

#

【解析】 由题意，a 2＝4，b 2＝3，

故c ＝a 2－b 2＝4－3＝1.

不妨设M (1，y 0)，N (1，－y 0)，所以124＋y 2

3

＝1，

解得y 0＝±3

2

，

所以|MN |＝3，|OM |＝|ON |＝12

＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫322＝132. 由余弦定理知

cos ∠MON ＝|OM |2＋|ON |2－|MN |2

2|OM ||ON |

＝

⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫1322＋⎝ ⎛⎭

⎪

⎪

⎫1322

－322×132×

132＝－5

13

.

【答案】 B 二、填空题

#

5．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A ，B 为焦点，且过C 、

D 的椭圆的离心率为________．

【解析】 如图，AB ＝2c ＝4，∵点C 在椭圆上，∴CB ＋CA ＝2a ＝3＋5＝8，∴e ＝2c 2a ＝48＝1

2

.

【答案】 1

2

6．设AB 是椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中

点，O 为坐标原点，则k AB ·k OM ＝________.

【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则中点M ⎝

⎛⎭

⎪⎫

x 1＋x 22，y 1＋y 22，得k AB ＝y 2－y 1

x 2－x 1

，

k OM ＝y 2＋y 1x 2＋x 1，k AB ·k OM ＝y 22－y 2

1

x 22－x 21

，

b 2x 21＋a 2y 21＝a 2b 2，b 2x 22＋a 2y 22＝a 2b 2

，

"

得b 2

(x 2

2

－x 21

)＋a 2

(y 22

－y 21

)＝0，即y 22－y 2

1

x 22－x 21＝－b 2a

2.

【答案】 －b 2

a

2

7．(2014·天津高二检测)已知P (m ，n )是椭圆x 2

＋y 2

2＝1上的一

个动点，则m 2＋n 2的取值范围是________．

【解析】 因为P (m ，n )是椭圆x 2＋y 2

2

＝1上的一个动点，所以

m 2

＋n 2

2

＝1，即n 2＝2－2m 2，所以m 2＋n 2＝2－m 2，又－1≤m ≤1，所以1≤2

－m 2≤2，所以1≤m 2＋n 2≤2.

【答案】 [1,2] 三、解答题

8．(1)求与椭圆x 29＋y 2

4＝1有相同的焦点，且离心率为5

5的椭圆

的标准方程；

(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．

￥

【解】 (1)∵c ＝9－4＝5，

∴所求椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)．

设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)．

∵e ＝c a ＝

5

5

，c ＝5，∴a ＝5，b 2＝a 2－c 2＝20， ∴所求椭圆的方程为x 225＋y 2

20＝1.

(2)因椭圆的焦点在x 轴上，

设它的标准方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)，