湖北省监利县第一中学2015届高三数学(理)周测试卷(二十)(附答案) (1)

湖北省监利县第一中学2015届 高三数学（理）周测试卷（二十）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.)
⒈已知集合{1,2,}M zi =，i 为虚数单位，{3,4}N =，若{4}M N = ，则复数z 的共轭复数z 的虚部是（ ） A ．4i -
B ．4i
C ．4-
D ．4
⒉设集合P ＝{x |⎰>=+-x
2006103x dt t t ,)(}，则P 的非空子集个数是(
)
A.2
B.3
C.7
D.8 ⒊已知()23()f x x x R =+∈，若()1f x a -<的必要条件是1(,0)x b a b +<>，则,a b 之
间的关系是（ ）
A ．2a b ≥
B ．2
a
b < C ．2b a ≤ D ．2b a > ⒋设,n n S T 分别是等差数列{},{}n n a b 的前n 项和，若*()21
n n S n
n N T n =∈+，则=55b a （ ） A ．
5
13
B ．
919
C ．
1123
D ．
923
⒌将函数sin()cos()2
2
y x x ϕ
ϕ
=+
+
的图象沿x 轴向右平移
8
π
个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的取值不可能．．．是（ ） A ．54
π
-
B ．4
π
-
C ．
4
π D ．
34
π ⒍某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为（ ） A
．3π
2
B
．π C ．3π2
D
．
5π
2
第6题图
第7题图
7．点(,)x y 是如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界）的任意一点，若目标函数 z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则y x a
-的最大值是（ ）
A ．
23
B ．
25
C ．
16
D ．
14
⒏已知x , y , ∈z R ，且522=+-z y x ，则222)3()1()5(++-++z y x 的最小值是（ ） A ．20 B ．25
C ．36
D ．47
⒐对于一个有限数列12(,,,)n p p p p =⋅⋅⋅，p 的蔡查罗和（蔡查罗是一位数学家）定义为
121
()n S S S n
++⋅⋅⋅+，其中12(1,)k k S p p p k n k N =++⋅⋅⋅+∈≤≤．若一个99项的数列（1299,,,)p p p ⋅⋅⋅的蔡查罗和为1000，那么100项数列1299(9,,,,)p p p ⋅⋅⋅的蔡查罗和为（ ） A ．991
B ．992
C ．993
D ．999
⒑定义：如果函数)(x f 在
[]
b a ,上存在),(,2121b x x a x x <<<满足
a
b a f b f x f x f --=
'=')
()()()(21，则称函数)(x f 是[]b a ,上的“双中值函数”。

已知函
数a x x x f +-=
23
3
1)(是],0[a 上“双中值函数”，则实数a 的取值范围是（ ） A.)3,1( B.)3,2
3( C.)2
3,1( D.)3,2
3()2
3,1(⋃
二、填空题(本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 从第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分.)
⒒平面向量a 与b 的夹角为60°，a =(2,0)，|b
|=1，则|a
+2b |＝ .
⒓已知异面直线a 与b
所成的角为，Ｐ为空间一定点，则过点Ｐ且与a 、b 所成的角
都是
的直线有_______条．
⒔已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<++-≤≤=3
1,321
0,2)(2
x x x x x x f ，将f (x )的图像与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周，则所得旋转体的体积为________．
⒕在平面直角坐标系xoy 中，已知点(3,0)P 在圆
222
:24280C x y mx y m +--+-=内，
动直线AB 过点P 且交圆C 于A ，B 两点，若ABC ∆的面积的最大值为16，则实数m 的取值范围是
15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，C 是以AB 为直径的半圆O 上的一点，过C 的直线交直线AB 于E ，交过A 点的切线于D ，BC ∥OD .若AD =AB = 2，则EB =_________．
16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系内，已知曲线C 1的方程为04)sin 2(cos 22=+--θθρρ，以极点为原点，极轴方向为x 正半轴
方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C 2的参数方程为⎩
⎨⎧+=-=t y t x 3185415(t 为
参数)．设点P 为曲线C 2上的动点，过点P 作曲线C 1的两条切线，则这两条切线所成角余弦的最小值是_______．
三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) ⒘(本题
12
分) 设角C B A ,,是ABC ∆的三个内角,已知向量
(sin sin ,sin sin )m A C B A =+- ， (sin sin ,sin )n A C B =- ,且m n ⊥
.⑴求角C 的大小；
⑵若向量2(0,1),(cos ,2cos )2
B s t A =-= ,试求s t + 的取值范围
⒙(本题12分) 已知圆C 的圆心在直线03:=-y x l 上，且与直线04:1=+-y x l 相切。

⑴若直线0=-y x 截圆C 所得弦长为62，求圆C 的方程。

⑵若圆C 与圆081242
2
=+--+y x y x 外切，试求圆C 的半径。

⑶满足已知条件的圆显然不只一个，但它们都与直线1l 相切，我们称1l 是这些圆的公切线。

这些圆是否还有其他公切线？若有，求出公切线的方程，若没有，说明理由。

⒚(本题12分) 如图1，平面四边形ABCD 关于直线AC 对称，︒=∠60A ，︒=∠90C ，
2=CD ，把△ABD 沿BD 折起（如图2），使二面角C BD A --为直二面角．如图2，
⑴求AD 与平面ABC 所成的角的余弦值； ⑵求二面角D AC B --的大小的正弦值．
⒛(本题12分) 已知等比数列{a n }的公比1>q ，前n 项和为S n ，S 3=7，且31+a ，23a ，43+a 成等差数列，数列{b n }的前n 项和为T n ，2)13(6++=n n b n T ，其中∈n N *．⑴求数列{a n }的通项公式；⑵求数列{b n }的通项公式；⑶设},,{1021a a a A =，},,{4021a b b B =，B A C =，求集合C 中所有元素之和．
21.(本题13分) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的离心率为
2
2
， 过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ．当直线AB 斜率为0时，23=+CD AB ． ⑴求椭圆的方程；⑵求由A ，B ，C ，D 四点构成的四边形的面积的取值范围．
图2
B
C D
A
D
C B
A 图1
（第21题）
22.(本题14分) 已知()1ln f x x x =--.
⑴求曲线()y f x =在点(2,(2))P f 处的切线方程； ⑵求()f x 的单调区间及()f x 的最小值； ⑶根据⑵的结论推出当1x >时：
ln x x 与1
1x
-的大小关系，并由此比较22
2222l n 2l n 3l n 23n n +++ 与(1)(21)(2)2(1)
n n n N n n *
-+∈≥+且的大小,且证明你的结论.
参考答案
一、选择题：
二、填空题： 11.32 12．2 13. π320 14． (][)
723,323323,723++⋃-- 15. 32 ⒗8
7
三、解答题：
⒘解：⑴由题意得
0)sin sin (sin )sin (sin 2
22=-+-=⋅B A B C A ， 即B A B A C sin sin sin sin sin 222-+=，由正弦定理得ab
b a
c -+=222，
再由余弦定理得2
1
2cos 222=-+=ab c b a C ，3,0ππ=∴<<C C .……………6分
⑵)cos ,(cos )12
cos
2,(cos 2
B A B
A =-=+ ， ∴222222cos cos cos cos ()3
s t A B A A π
+=+=+-
41cos(
2)
1cos 2113cos 221sin(2)1
2
2426
A A
A A A π
π+-+=
+=+=
--+
67626,320ππππ<-<-∴<
<A A 1sin(2)126
A π∴-<
-≤，
所以21524s t ≤+<
……………………12分 ⒙解：设圆C 的圆心坐标为(,3)a a
，则它的半径
2r =
=-
⑴C 到直线0x y -=的距离d
=
=，因而圆
C 截该直线所得弦长为
==
=1,244
a r ∴===
圆C 的方程为2
2
1
349
()()4
4
8
x y -+-=
……………………..4分 ⑵两圆的连心线长为2=-=，因为两圆外切，所以
r r =+=…………………………8分
………………
12分
⒚解：如图2所示，以BD 的中点O 为原点，OC 所在的直线为x 轴，OD 所在的直线为y 轴，OA 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则： ()0,0,0O ,()0,2,0D ，()
0,2,0-B
()0,0,2C ，()
6,0,0A ⑴设面ABC 的法向量为()z y x n ,,=，则： ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
0BC n AB n 取1=z 有=n ()1,3,3- ()
6,2,
0-=AD
, 7
21
-
= AD ∴与面ABC 所成角的余弦值是
7
7
2. ………………………………6分 ⑵同理求得面ACD 的法向量为()
1,3,31=n
，则7
1
=，
则二面角D AC B --的正弦值为
7
3
4. ..............................12分 ⒛解：⑴∵73=S ，∴7321=++a a a ① ∵31+a ，23a ，43+a 成等差数列，∴231643a a a =+++ ② (2)
分
②－①得，22=a 即21=q a ③ 又由①得，5211=+q a a
④
消去1a 得，02522=+-q q ，解得2=q 或2
1
=q （舍去） ∴12-=n n a …………4分
⑵当∈n N *时，2)13(6++=n n b n T ，当2≥n 时，2)23(611+-=--n n b n T ∴当2≥n 时，1)23()13(6---+=n n n b n b n b ，即5
32
31--=
-n n b b n n ……………………6分 ∴1412=b b ，4723=b b ，71034=b b ，…，5
3231--=-n n b b n n ∴
5
32371047141342312--⨯⨯⨯⨯=⋅⋅⋅⋅-n n b b b b b b b b n n ，即231-=n b b n
∵11=b ，∴)2(23≥-=n n b n ， 故∈-=n n b n (23N *) ……………8分 ⑶1023122121101010=-=--=S ，2380802
41
40340=-⨯⨯=T ………………10分 ∵A 与B 的公共元素有1，4，16，64，其和为85，
∴集合C 中所有元素之和33188510232380851040=-+=-+=T S ………………12分 21.
解：⑴由题意知，c e =，则c b c a ==
,2，
23222222
=+=+=+∴c c a
b a CD AB ， 所以1
c =．
所以椭圆的方程为2212
x y +=． ………………4分 ⑵① 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知
22222
1
21=⨯⨯=⋅=
CD AB S 四边形； …………………………5分 ②当两弦斜率均存在且不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，且设直线AB 的方程为(1)y k x =-，则直线CD 的方程为1(1)y x k
=--．将直线AB 的方程代入椭圆方程中，并
整理得2222(12)4220k x k x k +-+-=，
所以)2122
1|12k AB x x k +=-==+． ……………8分
同理，2212(1)
21k CD k
+=+． …………………………9分 所以24222222522)1(42)1(2221)1(222121k
k k k k k k CD AB S +++=++⋅++⋅=⋅⋅=四边形
()
()()2
2
2
1
42211
2121
k k k k k k
+==-++++，
911221122
2
=+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛+k k k k 当且仅当1±=k 时取等号 …………11分 ∴)2,9
16
[∈四边形S
综合①与②可知，⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡∈2,916四边形S …………………………………………13分 22.解：⑴当1x ≥时，11()1ln ,()1x f x x x f x x x
-'=--=-=，所以在2x =处的切线斜率为1
(2)2
k f '==
，而(2)1l n 2f =-，所以在点(2,(2))P f 处的切线方程为：1
1ln 2(2)2
y x -+=
-，整理得22ln 20x y --=为所求的切线方程. ………4分 ⑵()|1|ln f x x x =--，定义域为(0,)+∞， 当1x ≥时，11()1ln ,()10x f x x x f x x x
-'=--=-=≥()f x ∴在区间[1,)+∞上是递增的. ………6分
当01x <<时，1
()1l n ,()10f x x x f x x
'=--=
--<.()f x ∴在区间(0,1)上是递减
的. ………7分
所以()f x 的增区间为[1,)+∞，减区间为(0,1)，因此min ()(1)0f x f ==---9分 ⑶由（2）可知，当1x >时，有1ln 0x x -->，即
ln 1
1x x x
<-， ………11分 222
222ln 2ln 3ln 23n n
∴+++ 22211111123n <-+-++- 2221111()23n n =--+++
111
1[
]2334(1)
n n n <--+++⨯⨯+ 1111111()23341n n n =---+-++-
+ 111()21n n =---+(1)(21)
2(1)
n n n -+=+.
故222222ln 2ln3ln 2(1)(21)
,,22322(1)
n n n N n n *-++++<∈≥+ .------14分。