贵州凯里市第一中学2017届高三数学上学期第四次模拟(10月)考试试题 理

凯里一中2017届高三模拟考试月考卷（四）
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合{
}{}Z x x x x B A ∈<-+==,0)3)(2(|,3,2,1,则B A =（ ） A ．{
}1 B ．{}3,2,1,0,1- C ．{}2,1 D ．{}3,2,1,0 2．已知z 是复数，
2
12z i i
+=+-，则z 等于（ ） A ．1i - B ． 2i + C ．12i - D ．3i +
3．在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于（ ） A ．26 B ．16 C ．13 D ．8
4．已知向量a (2,1)=，a b 10=,|a +b |=,则|b |=（ ）
A B C ．5 D ．25
5．已知3
sin()45x π
-=，则sin 2x =（ ） A ．725- B ．725 C ． 925 D ．1625
6．执行如图所示的程序框图，输入N 的值为2017， 则输出S 的值是（ ） A ．2014 B ．2015 C ．2016 D ．2017
7．同时具有下列性质:“①对任意,()()x R f x f x π∈+=恒成立;②图象关于直线3
x π
=
对称;③
在[,]63
ππ
-
上是增函数” 的函数可以是（ ） A ．()sin()26x f x π=+ B ．()sin(2)6
f x x π
=-
C ．()cos(2)3f x x π=+
D ．()cos(2)6
f x x π
=-
8．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积是（ ）
A ．624+
B ．64+
C ．224+
D ．24+
正视图 侧视图 俯视图
9．已知实数x 、y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤--≥-+301,094y y x y x ，则3x y -的最大值是（ ）
A ．152
-
B ．5-
C ．2-
D ． 1-
10．已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==
，BC =则球O 的表面积等于（ ）
A ．
4
3
π B ．2π C ． 3π D ．4π 11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>与抛物线2
8y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个
交点为P ，若||PF =5，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A
．y = B
．y = C
．3
y x =±
D
．2
y x =±
12．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程
()(0)f x m m =>在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++=（ ）
A ．4
B ．8
C ．－4
D ．－8
第Ⅱ卷
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．如右图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线 sin (0)y x x π=≤≤与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形
OABC 内随机投一点（该点落在矩形OABC 内任何一点是等可 能的），则所投的点落在阴影部分的概率是 .
14．
若6
((0)x a >的展开式中3
x 的系数为A ，常数项为B ，若4B A =，则a 的值是 .
15.ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若54c o s =
A ,13
12
cos =C ，1=a ，则=b . 16．已知M 为椭圆上的一点，椭圆的两个焦点为1F 、2F ，且椭圆的长轴长为10，焦距为6，点I 为
12MF F ∆的内心，延长线段MI 交线段12F F 于N ，则
MI
IN
的值为___________. 三、解答题：（本大题共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2a =6，284=S ,数列{}n b 满足n a n
i i
i b
221
=∑=
（Ⅰ）求n S 的表达式； （Ⅱ）求数列{}n b 的通项公式.
18．（本小题满分12分）
某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下表： 若用样本估计总计，以上表频率为概率，且每天的销售量相互独立：
（I ）求5天中该种商品恰好有2天的日销售量为1.5吨的概率； （II ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求ξ的分布列和数学期望. 19．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，90,ACB ∠=122AA BC AC ===，D 在线段1A A 上。

（Ⅰ）若D 为AA 1中点，求证：平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D ； （Ⅱ）若二面角B 1—DC —C 1的大小为60°，求AD 的长. 20．（本小题满分12分）
已知圆:
C 22
(16x y ++=
，点0)A ，Q 是圆上一动点，线段AQ 的垂直平分线交线
段CQ 于点M ，设点M 的轨迹为E 。

（Ⅰ）求E 的方程；
（Ⅱ）在直线4x =上任取一点(4,),(0)P t t ≠，D 、F 分别为曲线E 与x 轴的左、右两交点，若直线DP 与曲线E 相交于异于D 的点N ，证明：对任意的(0)t t ≠，NPF ∆为钝角三角形。

21．（本小题满分l2分）
已知函数)1(ln )(--=x a x x f ，a R ∈． （I ）讨论函数)(x f 的单调性； （Ⅱ）当1≥x 时，)(x f ≤
1
ln +x x
恒成立，求a 的取值范围．
请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

作答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，∠BAC 的平分线与BC 和外接圆分别相交于D 和E ，延长AC 交过D ，E ，C 三点的圆于点F 。

（Ⅰ）求证：2EF ED EA =∙；
（Ⅱ）若6,3AE EF ==，求AF AC ∙的值. 23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线1C :⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=-=t y t x 23211（t 为参数），曲线2C :θθρcos 8sin 2
=.
（Ⅰ）求直线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设)0,1(P 直线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，求11||||
PA PB +的值.
24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数f （x ）＝|2x ＋1|+|2x －3|＋a 。

（Ⅰ）当a ＝0时，解不等式()6f x ≥；
（Ⅱ）若不等式f （x ）≥2
a 对一切实数x 恒成立时，求实数a 的取值范围。

凯里一中2017届高三年级模拟考试题（理科数学）答案
二、填空题
13.
1
π 14.
2 15. 53
- 16. 4+三、解答题
17、解：（I ）由正弦定理知a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,∴
cos 2cos 2sin sin cos sin A C C A
B B
--=
…2分
化简得：sin （A+B ）=2sin （B+C ）…………………4分 ∴sin C =2sin A ,∴sin 2sin C
A
=．…………………6分 （II ）∵
sin 22sin C
c a A
=⇒= ，又5
53a b c b a ++=⇒=-①……………………………………8分 在,ADC BDC ∆∆中，由余弦定理得：2
2
2233
cos ,cos 22
b a ADC a a BDC =+
∠=+∠ 相加得2
2
3b a -=②，………………………………………………………………………………10分 由①②解得1a =或
11
4
当1a =时，2,2c b ==，当114a =
时，2213,44
c b ==-，不合题意，舍去。

∴b =2…….…12分 18、解：（Ⅰ）销售量1.5吨的频率为0.5，依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率P =0.5，
设5天中该种商品有X 天的销售量为1.5吨，则X ～B （5，0.5），…………………………3分
2
235(2)0.5(10.5)0.3125P X C ==-=……………………………………………………………6分
（II ）ξ的可能取值4，5，6，7，8…………………………………………………..…..……7分
2(4)0.20.04P ξ===；(5)20.20.50.2P ξ==⨯⨯=；2
(6)0.520.20.30.37P ξ==+⨯⨯=；
(7)20.50.30.3P ξ==⨯⨯=；2(8)0.30.09P ξ===
∴ξ的分布列为
……………………………………………10分
6.2E ξ∴=（千元）……………………12分
19．（Ⅰ）∵11190AC B ACB ∠=∠=，∴1111B C AC ⊥，
又由直三棱柱性质知111B C CC ⊥，∴11B C ⊥平面ACC 1A 1.∴11B C CD ⊥………………..……..2分
由D
为中点可知，1DC DC ==22211DC DC CC +=,即1CD DC ⊥
又1111B C DC C =，所以CD ⊥平面B 1C 1D ，又CD ⊂平面B 1CD ，
故平面1B CD ⊥平面B 1C 1D …………………………………………………………..…..……6分 （Ⅱ）解法一：由（1）知11B C ⊥平面ACC 1A 1，如图，在平面ACC 1A 1内过
C 1作1C E C
D ⊥交CD 于
E ，连EB 1，由三垂线定理可知11B EC ∠为二面角
B 1—D
C —C 1的平面角，∴1160.B EC ∠=…8分
由B 1C 1=2知，1C E =，设(02)AD x x =≤≤，则DC =
∵1DC C ∆的面积为1，∴
13
321212=⋅+⋅x ，解得x =，即AD = …….……12分 （II ）解法二：如图，以C 为原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x, y, z 轴建立空间直角坐标系.
设AD=a (02)a ≤≤，则D 点坐标为（1，0，a ），1
(1,0,)(0,2,2)C
D a C B ==，……7分
设平面B 1CD 的法向量为(,,)m
x y z =.
则由100,1,2200
m CB x az z y z m CD ⎧⋅=+=⎧⎪⇒=-⎨
⎨+=⋅=⎩⎪⎩令得(,1,1)m a =-…9分 又平面C 1DC 的法向量为(0,1,0)n =， …………10分
则由2
1
2
160cos 2=
+⇒
=
a
，得a =，故AD = ……………12分 20．解：（Ⅰ）由题意得4MC MA MC MQ CQ +=+==>.……2分
∴轨迹E 是以A ，C 为焦点，长轴长为4的椭圆
既轨迹E 的方程为2
214
x y +=………………………………………………………….……4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知D （-2，0），F （2，0）,P （4，t ）（t ≠0）,设N （x N ,y N ） 则直线DP 的方程为(2)6
t
y x =
+……………………………………………………………5分 由22(2)6
44t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩
得2222(9)44360t x t x t +++-=…………………………………….….6分 ∵直线DP 与椭圆相交于异于D 的点N ∴2222
4218
2,99N N t t x x t t
--+-+=∴=++ E
C 1
B 1 A 1
B
A
D
C
由(2)6N N t y x =
+得2
69N t
y t
=+………………8分 ∴22246(,),(2,)99t t FN FP t t t =-=++∴222
222
8620999t t t FN FP t t t
-∙=-+=<+++……10分 又N ，F ，P 三点不共线，∴NFP ∠为钝角∴NFP ∆为钝角三角形…………………12分
21． （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）)(x f 的定义域为),,0(+∞x
ax
x f -=
1)('
，……………………………………1分 若,0≤a 则'
()0,f x >)(x f ∴在),0(+∞上单调递增，…………………………….………3分 若0,a >则由0)('
=x f 得a x 1=
，当)1,0(a
x ∈时，,0)('
>x f 当 ),1(+∞∈a
x 时，0)('<x f ，)(x f ∴在)1,0(a 上单调递增，在),1
(+∞a 单调递减．
综上所述：当0a ≤时，()f x 在),0(+∞上单调递增，
当0a >时， ()f x 在)1,0(a 上单调递增，在),1(+∞a
单调递减．……….….5分
（Ⅱ）1
)
1(ln 1ln )(2+--=+-x x a x x x x x f , 令)1)(1(ln )(2
≥--=x x a x x x g ,
ax x x g 21ln )(-+=',令()()ln 12F x g x x ax '==+-,则12()ax
F x x
-'=
,……………6分 (1)a 0,≤若()0F x '>,[)g (x)1,g (x)g (1)1-2a 0'''+∞≥=>在递增，
[)0)1()(,,1)(=≥+∞∴g x g x g 递增在,
从而ln ()01
x
f x x -
≥+，不符合题意．…………………………………………………………8分 （2）111
0a ,),()0,(()(1,,)2122x F x g x a a
''<<>∴∈若当在递增,
g (x)g (1)1-2a>0''>=从而，
()g x ∴在1
[1,
]2a 单调递增，则()(1)0g x g ≥= 从而ln ()01
x
f x x -≥+，不符合题意．．…………………………………………………...……10分
[)1
(3),()01,2
a F x '≥≤+∞若在恒成立,
[)02a -1(1)g (x )g 1,(x )g ≤='≤'+∞'∴递减，在,
[)01
ln )(,0)1()(,,1g(x)≤+-
=≤∴+∞x x
x f g x g 递减在从而, 综上所述，a 的取值范围是1[)2
+∞……………………………………………………...……12分 22、（Ⅰ）如图，连接CE ，DF ，∵AE 平分∠BAC ∴∠BAD =∠DAC
在圆内又知∠DCE =∠EFD ，∠BCE =∠BAE ∴∠EAF =∠EFD
又∠AEF =∠FED ∴ ΔAEF ∽ΔFED ∴
EF AE
ED EF
=
∴2EF ED EA =∙………….…5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2EF ED EA =∙，
3,6EF AE ==
32ED ∴=
，92AD =9
6272
AC AF AD AE ∴==⨯=………………………..……10分
23、解：（Ⅰ）把直线1C 化成普通方程得3410x y ++
=，………………………………..2分 把曲线2C ：)4
π
ρθ=
+化成2cos sin ρρθρθ=-
∴其普通方程为2
2
0x y x y +-+=……………………………………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）将直线1C 的参数方程代入曲线2C 的普通方程整理得2
1811
054
t t -
+=…7分 1
(1,)2P -在圆2C 外，则,A B 两点的参数12,t t 同号。

1212||11||||112||||||||||55
t t PA PB PA PB PA PB t t ++∴
+===……………………………………………10分 24、解：（Ⅰ）当a =0时，()6f x ≥等价于
12426x x ⎧≤-⎪⎨
⎪-+≥⎩或132246x ⎧-<<⎪⎨⎪≥⎩或32426
x x ⎧≥
⎪⎨⎪-≥⎩…………………………………………………3分 解得1,2x x ≤-≥，所以，不等式的解集是(,1][2,)-∞-⋃+∞┈………………………┈5分 （Ⅱ）
()|21||23||(21)(23)|4f x x x a x x a a =++-+≥+--+=+， (7)
分
要使不等式f （x ）≥
2
a 恒成立，只需2
11422
a a a
++≥⇒
≤≤
所以，a 的取值范围是：11[
,22
+…………………………………………………..…10分。