2017_2018学年高中数学课时跟踪检测一正弦定理新人教B版必修5
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∴c＝ ＝ ＝
＝4 sin(30°＋45°)＝2＋2 .
层级二 应试能力达标
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边别离为a，b，c，若是c＝ a，B＝30°，那么角C等于( )
A．120°B．105°
C．90°D．75°
解析：选A∵c＝ a，∴sinC＝ sinA＝ sin(180°－30°－C)＝ sin(30°＋C)＝ ，即sinC＝－ cosC，∴tanC＝－ .又0°<C<180°，
答案：④
7．在△ABC中，假设(sinA＋sinB)(sinA－sinB)＝sin2C，那么△ABC的形状是________．
解析：由已知得sin2A－sin2B＝sin2C，依照正弦定理知sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝ ，
因此 2－ 2＝ 2，
即a2－b2＝c2，故b2＋c2＝a2.因此△ABC是直角三角形．
即角B为直角，故△ABC是直角三角形．
3．在△ABC中，假设 ＝ ，那么C的值为( )
A．30°B．45°
C．60°D．90°
解析：选B 由正弦定理得， ＝ ＝ ，
那么cosC＝sinC，即C＝45°，应选B.
4．在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝ ，那么sinB＝( )
A. B.
C. D．1
由 得a＝6，b＝8.
故内切圆的半径为r＝ ＝ ＝2.
3．在△ABC中，A＝60°，a＝ ，那么 等于( )
A. B.
C. D．2
解析：选B 由a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC得 ＝2R＝ ＝ ＝ .
4.如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，那么sin∠CED＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由题意得EB＝EA＋AB＝2，那么在Rt△EBC中，EC＝ ＝ ＝ .在△EDC中，∠EDC＝∠EDA＋∠ADC＝ ＋ ＝ ，由正弦定理得 ＝ ＝ ＝ ，
解析：由正弦定理，得 ＝ ，即
sinC＝
＝ ＝ .
可知C为锐角，∴cosC＝ ＝ .
∴sinB＝sin(180°－120°－C)＝sin(60°－C)
＝sin 60°·cosC－cos 60°·sinC＝ .
答案：
7．已知△ABC的内角A，B，C的对边别离为a，b，c，已知A－C＝90°，a＋c＝ b，求C.
则C＝180°－(A＋B)＝75°.
因为C>B>A，因此最小边为a.
又因为c＝1，由正弦定理得，
a＝ ＝ ＝ －1，
因此最小边长为 －1.
10．在△ABC中，已知a＝2 ，A＝30°，B＝45°，解三角形．
解：∵ ＝ ＝ ，
∴b＝ ＝ ＝ ＝4.
∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，
∴C＝120°.应选A.
2．已知a，b，c别离是△ABC的内角A，B，C的对边，假设△ABC的周长为4( ＋1)，且sinB＋sinC＝ sinA，那么a＝( )
A. B．2
C．4D．2
解析：选C 依照正弦定理，sinB＋sinC＝ sinA可化为b＋c＝ a，
∵△ABC的周长为4( ＋1)，
∴ 解得a＝4.应选C.
因此A＋B＋C＝(90°＋C)＋(C＋45°)＋C＝180°.
因此C＝15°.
8．在△ABC中，已知c＝10， ＝ ＝ ，求a，b及△ABC的内切圆半径．
解：由正弦定理知 ＝ ，∴ ＝ .
即sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin 2B.
又∵a≠b，∴2A＝π－2B，即A＋B＝ .
∴△ABC是直角三角形，且C＝90°，
课时跟踪检测（一） 正弦定理
层级一 学业水平达标
1．在△ABC中，a＝5，b＝3，那么sinA∶sinB的值是( )
A. 照正弦定理得 ＝ ＝ .
2．在△ABC中，a＝bsinA，那么△ABC必然是( )
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
解析：选B 由题意有 ＝b＝ ，那么sinB＝1，
解：由A－C＝90°，得A为钝角且sinA＝cosC，利用正弦定理，a＋c＝ b可变形为sinA＋sinC＝ sinB，
又∵sinA＝cosC，
∴sinA＋sinC＝cosC＋sinC＝ sin(C＋45°)＝ sinB，
又A，B，C是△ABC的内角，
故C＋45°＝B或(C＋45°)＋B＝180°(舍去)，
因此sin∠CED＝ ·sin∠EDC
＝ ·sin ＝ .
5．在△ABC中，A＝60°，B＝45°，a＋b＝12，那么a＝________.
解析：因为 ＝ ，因此 ＝ ，
因此 b＝ a，①
又因为a＋b＝12，②
由①②可知a＝12(3－ )．
答案：12(3－ )
6．在△ABC中，假设A＝120°，AB＝5，BC＝7，那么sinB＝_______.
答案：直角三角形
8．在△ABC中，假设A＝105°，C＝30°，b＝1，那么c＝________.
解析：由题意，知B＝180°－105°－30°＝45°.由正弦定理，得c＝ ＝ ＝ .
答案：
9．已知一个三角形的两个内角别离是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长．
解：设△ABC中，A＝45°，B＝60°，
解析：选B 在△ABC中，由正弦定理 ＝ ，
得sinB＝ ＝ ＝ .
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边别离是a，b，c，且a＝ bsinA，那么sinB＝( )
A. B.
C. D．－
解析：选B 由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，因此sinA＝ sinBsinA，故sinB＝ .
6．以下条件判定三角形解的情形，正确的选项是______(填序号)．
①a＝8，b＝16，A＝30°，有两解；
②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解；
③a＝15，b＝2，A＝90°，无解；
④a＝40，b＝30，A＝120°，有一解．
解析：①中a＝bsinA，有一解；②中csinB<b<c，有两解；③中A＝90°且a>b，有一解；④中a>b且A＝120°，有一解．综上，④正确．
＝4 sin(30°＋45°)＝2＋2 .
层级二 应试能力达标
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边别离为a，b，c，若是c＝ a，B＝30°，那么角C等于( )
A．120°B．105°
C．90°D．75°
解析：选A∵c＝ a，∴sinC＝ sinA＝ sin(180°－30°－C)＝ sin(30°＋C)＝ ，即sinC＝－ cosC，∴tanC＝－ .又0°<C<180°，
答案：④
7．在△ABC中，假设(sinA＋sinB)(sinA－sinB)＝sin2C，那么△ABC的形状是________．
解析：由已知得sin2A－sin2B＝sin2C，依照正弦定理知sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝ ，
因此 2－ 2＝ 2，
即a2－b2＝c2，故b2＋c2＝a2.因此△ABC是直角三角形．
即角B为直角，故△ABC是直角三角形．
3．在△ABC中，假设 ＝ ，那么C的值为( )
A．30°B．45°
C．60°D．90°
解析：选B 由正弦定理得， ＝ ＝ ，
那么cosC＝sinC，即C＝45°，应选B.
4．在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝ ，那么sinB＝( )
A. B.
C. D．1
由 得a＝6，b＝8.
故内切圆的半径为r＝ ＝ ＝2.
3．在△ABC中，A＝60°，a＝ ，那么 等于( )
A. B.
C. D．2
解析：选B 由a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC得 ＝2R＝ ＝ ＝ .
4.如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，那么sin∠CED＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由题意得EB＝EA＋AB＝2，那么在Rt△EBC中，EC＝ ＝ ＝ .在△EDC中，∠EDC＝∠EDA＋∠ADC＝ ＋ ＝ ，由正弦定理得 ＝ ＝ ＝ ，
解析：由正弦定理，得 ＝ ，即
sinC＝
＝ ＝ .
可知C为锐角，∴cosC＝ ＝ .
∴sinB＝sin(180°－120°－C)＝sin(60°－C)
＝sin 60°·cosC－cos 60°·sinC＝ .
答案：
7．已知△ABC的内角A，B，C的对边别离为a，b，c，已知A－C＝90°，a＋c＝ b，求C.
则C＝180°－(A＋B)＝75°.
因为C>B>A，因此最小边为a.
又因为c＝1，由正弦定理得，
a＝ ＝ ＝ －1，
因此最小边长为 －1.
10．在△ABC中，已知a＝2 ，A＝30°，B＝45°，解三角形．
解：∵ ＝ ＝ ，
∴b＝ ＝ ＝ ＝4.
∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，
∴C＝120°.应选A.
2．已知a，b，c别离是△ABC的内角A，B，C的对边，假设△ABC的周长为4( ＋1)，且sinB＋sinC＝ sinA，那么a＝( )
A. B．2
C．4D．2
解析：选C 依照正弦定理，sinB＋sinC＝ sinA可化为b＋c＝ a，
∵△ABC的周长为4( ＋1)，
∴ 解得a＝4.应选C.
因此A＋B＋C＝(90°＋C)＋(C＋45°)＋C＝180°.
因此C＝15°.
8．在△ABC中，已知c＝10， ＝ ＝ ，求a，b及△ABC的内切圆半径．
解：由正弦定理知 ＝ ，∴ ＝ .
即sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin 2B.
又∵a≠b，∴2A＝π－2B，即A＋B＝ .
∴△ABC是直角三角形，且C＝90°，
课时跟踪检测（一） 正弦定理
层级一 学业水平达标
1．在△ABC中，a＝5，b＝3，那么sinA∶sinB的值是( )
A. 照正弦定理得 ＝ ＝ .
2．在△ABC中，a＝bsinA，那么△ABC必然是( )
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
解析：选B 由题意有 ＝b＝ ，那么sinB＝1，
解：由A－C＝90°，得A为钝角且sinA＝cosC，利用正弦定理，a＋c＝ b可变形为sinA＋sinC＝ sinB，
又∵sinA＝cosC，
∴sinA＋sinC＝cosC＋sinC＝ sin(C＋45°)＝ sinB，
又A，B，C是△ABC的内角，
故C＋45°＝B或(C＋45°)＋B＝180°(舍去)，
因此sin∠CED＝ ·sin∠EDC
＝ ·sin ＝ .
5．在△ABC中，A＝60°，B＝45°，a＋b＝12，那么a＝________.
解析：因为 ＝ ，因此 ＝ ，
因此 b＝ a，①
又因为a＋b＝12，②
由①②可知a＝12(3－ )．
答案：12(3－ )
6．在△ABC中，假设A＝120°，AB＝5，BC＝7，那么sinB＝_______.
答案：直角三角形
8．在△ABC中，假设A＝105°，C＝30°，b＝1，那么c＝________.
解析：由题意，知B＝180°－105°－30°＝45°.由正弦定理，得c＝ ＝ ＝ .
答案：
9．已知一个三角形的两个内角别离是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长．
解：设△ABC中，A＝45°，B＝60°，
解析：选B 在△ABC中，由正弦定理 ＝ ，
得sinB＝ ＝ ＝ .
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边别离是a，b，c，且a＝ bsinA，那么sinB＝( )
A. B.
C. D．－
解析：选B 由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，因此sinA＝ sinBsinA，故sinB＝ .
6．以下条件判定三角形解的情形，正确的选项是______(填序号)．
①a＝8，b＝16，A＝30°，有两解；
②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解；
③a＝15，b＝2，A＝90°，无解；
④a＝40，b＝30，A＝120°，有一解．
解析：①中a＝bsinA，有一解；②中csinB<b<c，有两解；③中A＝90°且a>b，有一解；④中a>b且A＝120°，有一解．综上，④正确．