江西财经大学统计学第七章--区间估计
区间估计
常见形式
间估计的区间上、下界通常形式为：“点估计±误差” “总体均值”的区间估计
总体均值：μ 总体方差：σ 样本均值：x =(1/n）×Σ（Xi) 样本方差：s =(1/(n-1））×Σ（Xi-x)^2 符号假设置信水平：1-α 显著水平：α
已知n个样本数据Xi (i=1,2,...,n），如何估计总体的均值? 首先，引入记号： 区间估计σ'=σ/sqrt(n) s'=s/sqrt(n) 然后，分情况讨论： 情况1 小样本（n<30），σ已知，此时区间位于 x ± z（α/2）×σ' 情况2 小样本（n<30），σ未知，此时区间位于 x ± t（α/2）×s' 区间估计情况3 大样本（n≥30），σ已知，此时区间位于 x ± z（α/2）×σ' 情况4 大样本（n≥30），σ未知，此时区间位于 x ± z（α/2）×s' 其中， z（α/2）表示：正态分布的水平α的分位数 t（α/2）表示：T分布的水平α的分位数
置信区间
区间估计有时，对所考虑的置信区间（或上、下限）加上某种一般性限制，在这个前提下寻找最优者。无偏 性是经常用的限制之一，如果一个置信区间（上、下限）包含真值θ的概率，总不小于包含任何假值θ┡的概率， 则称该置信区间（上、下限）是无偏的。同变性（见统计决策理论）也是一个常用的限制。
求置信区间的方法 最常用的求置信区间及置信上、下限的方法有以下几种。
即
费希尔把这个等式解释为：在抽样以前，对于θ落在区间内的可能性本来一无所知，通过抽样，获得了上述 数值，它表达了统计工作者对这个区间的"信任程度",若取b)=-α=uα/2，则得到区间，其信任程度为 1-α。即 当用上述区间作为θ的区间估计时，对于“它能包含被估计的θ”这一点可给予信任的程度为1-α。
统计学中的区间估计方法及其应用
统计学中的区间估计方法及其应用统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科。
在统计学中，区间估计是一种常用的方法，用于估计总体参数的范围。
本文将介绍区间估计的基本概念和常见方法，并探讨其在实际应用中的意义。
一、区间估计的基本概念区间估计是通过样本数据对总体参数进行估计，并给出一个范围，使得该范围内有一定的置信水平包含真实的总体参数值。
常见的区间估计方法有点估计法、区间估计法和极大似然估计法等。
点估计法是通过样本数据计算得到一个点估计值，作为总体参数的估计值。
例如，通过样本均值估计总体均值，通过样本方差估计总体方差等。
区间估计法是在点估计的基础上，给出一个置信区间，该区间包含了总体参数的真实值。
置信区间的计算依赖于样本数据的分布和样本容量等因素。
极大似然估计法是通过最大化似然函数，寻找最有可能生成观测数据的参数值。
该方法常用于对总体分布的参数进行估计。
二、常见的区间估计方法1. 正态分布的区间估计在正态分布的区间估计中，常用的方法有Z检验和T检验。
Z检验适用于大样本，T检验适用于小样本。
这两种方法都是基于正态分布的性质，通过计算样本均值与总体均值之间的差异，得出置信区间。
2. 二项分布的区间估计对于二项分布的区间估计，常用的方法是Wald区间估计和Wilson区间估计。
Wald区间估计是基于正态近似的方法，适用于大样本。
Wilson区间估计是一种修正的方法，适用于小样本。
3. 指数分布的区间估计对于指数分布的区间估计，常用的方法是对数似然比法和置信上限法。
对数似然比法是通过最大化似然函数，得到参数的估计值，并计算置信区间。
置信上限法是寻找参数的最大值，使得观测值在该上限下的概率达到一定的置信水平。
三、区间估计的应用意义区间估计在实际应用中具有重要的意义。
首先，区间估计提供了对总体参数范围的估计，使得我们能够更准确地了解总体的特征。
其次，区间估计能够帮助我们进行决策和预测。
例如，在市场调研中，我们可以通过区间估计来估计产品的需求量，从而制定合理的生产计划。
统计学(西财版) 第7章参数估计
设总体X的分布的函数的形式为已知(如正态分布、泊松 分布等)，但它的一个或多个参数未知，借助总体X的一 个样本来估计总体未知参数的值的问题，称为参数的 点估计问题。
统计学-ch7 suyl 6
如何寻找样本统计量？
有很多方法都可以用来构造样本统 计量，比如矩估计法、极大似然估计法、 最小二乘估计法、顺序统计量法…… 这里，我们主要介绍矩估计法和极 大似然估计法。
X
i 1
n
k
i
8
矩估计法的基本思想就是：
把样本矩作为相应的总体矩的估计量 样本均值
X
X
i 1
n
i
是一阶样本矩,
n 总体均值E(X)是一阶 总体矩。
将 X 作为E(X)的估计量的做法, 就是把一阶样本矩
作为一阶总体矩的估计量. 推广这种做法,把二阶样本矩作为二阶总体矩的估计量,
把三阶样本矩作为三阶总体矩的估计量,…… .
x / n 1310 1207 ... 1462 =1345.63（小时） u i 80 i 1 2 2
n
ˆ S
2
2
1010 1345.63
...... 1462 1345.63 =15388.85 80
统计学-ch7
则
S 2 124.05 （小时）
X ik / n去估计总体的K阶原点矩，即 分别用样本的k阶原点矩i 1
n
1 n k k 1 , 2 ..., k X i n i 1
统计学-ch7
i 1, 2, k
suyl 10
上式确定了包含个未知参数的个方程式，即有下列方程 组 1 n E( X ) n X i i 1 (6.2)
区间估计名词解释
区间估计名词解释区间估计是统计学中的一种方法，用于根据样本数据对总体参数（如总体均值、总体比例等）进行估计，并给出一个置信区间。
该方法的目的是通过样本数据对总体参数进行估计，并给出一个范围，称为置信区间，来描述参数真实值的不确定性。
在进行统计推断时，我们常常面临一个问题，即如何根据样本数据对总体参数进行估计，因为我们通常无法全部调查总体。
区间估计的方法基于样本数据的统计量（如样本均值、样本比例等）的分布特征，利用统计学的理论知识和方法，推断总体参数的范围。
区间估计的结果是一个区间，给出了总体参数的估计值的可能范围。
要进行区间估计，首先需要确定置信水平。
置信水平是对估计结果的可靠性的度量，通常表示为95%或99%等。
置信水平越高，置信区间的范围就越宽，对总体参数的估计也就越准确。
然后，利用统计学的公式和方法，计算出样本统计量的分布范围，从而得到置信区间。
置信区间为一个范围，通常写成（下限，上限），表示总体参数的估计值在这个范围内的概率为指定的置信水平。
区间估计有很多种方法，常见的有正态分布区间估计、t分布区间估计等。
其中，正态分布区间估计是基于大样本（n>30）的情况下，利用正态分布的性质进行估计；t分布区间估计适用于小样本（n<30）的情况，因为样本量较小，样本分布通常不满足正态分布的要求，所以使用t分布进行估计。
除此之外，还有二项分布、泊松分布等的区间估计方法，用于估计总体比例或总体均值等参数。
区间估计的优点是可以提供一个范围，显示参数估计的不确定性。
与点估计相比，区间估计更加全面和准确。
然而，区间估计也有其局限性，它只能给出总体参数的范围，但无法确定总体参数的具体值。
因此，在进行区间估计时，我们需要根据实际问题和数据特点选择适当的方法，并合理解释和使用置信区间的结果。
统计学区间估计
统计学区间估计
统计学区间估计是一种利用样本数据推断总体参数范围的方法。
它的基本思想是通过样本数据得到一个区间，这个区间包含了总体参数的真实值的可能范围。
区间估计有多种方法，其中较为常用的是点估计和区间估计。
点估计是指通过样本数据得到总体参数的一个估计值，比如平均数、方差等。
虽然点估计可以给出一个总体参数的估计值，但是它没有考虑到误差的影响，因此估计值的准确性存在一定的不确定性。
为了解决这个问题，我们可以使用区间估计方法。
区间估计是指通过样本数据得到一个区间，这个区间包含了总体参数的真实值的可能范围。
区间估计的核心是置信区间的建立。
置信区间是指在一定置信水平下，总体参数的真实值位于估计区间内的概率。
置信水平通常是95%或99%。
在置信水平确定后，我们可以根据样本数据计算出置信区间，这个区间就是总体参数的可能范围。
区间估计在实际应用中非常广泛，比如在市场调查、医学研究、经济预测等领域都有着重要的应用。
区间估计不仅可以给出总体参数的估计值，还能够反映出估计值的不确定性，从而为决策提供更为可靠的依据。
- 1 -。
区间估计的名词解释
区间估计的名词解释区间估计是统计学中一种常用的推断方法，用于根据样本数据对总体参数进行估计，给出一个包含真实参数值可能范围的区间。
区间估计的目的是在不完全了解总体参数的情况下，通过样本数据来推断总体参数的值范围。
在进行区间估计时，首先需要选择一个适当的置信水平（confidence level），通常选择的置信水平为95%或99%。
置信水平代表了对总体参数估计的可信程度，例如95%的置信水平意味着有95%的可能性真实参数位于构建的区间内。
区间估计的步骤如下：1. 收集样本数据。
从总体中随机抽取样本，获取样本数据。
2. 选择合适的估计方法。
根据问题的具体情况，选择适合的估计方法，如均值估计、比例估计、标准差估计等。
3. 计算样本统计量。
使用选择的估计方法，计算得到样本的统计量，如样本均值、样本比例、样本标准差等。
4. 确定置信水平。
选择适当的置信水平，通常选择95%或99%。
5. 确定临界值。
根据置信水平和样本量，查找临界值。
临界值以正态分布或t分布的分位数形式给出。
6. 计算估计区间。
使用样本统计量和临界值，计算得到估计区间。
估计区间的计算公式根据不同的估计方法而定。
7. 解释估计结果。
根据计算得到的估计区间，给出估计结果的解释。
例如，可以说在95%置信水平下，总体参数的真实值有95%的可能性位于估计区间内。
区间估计的优点是可以提供对总体参数的估计范围，以及估计结果的可信程度。
通过给出一个区间，可以更全面地理解总体参数的不确定性。
但区间估计也存在一定的局限性，例如需要大样本量才能得到较窄的估计区间，对总体分布的假设要求较高等。
因此，区间估计只能提供对总体参数的近似估计，而无法给出准确的参数值。
区间估计的基本原理和步骤
区间估计的基本原理和步骤区间估计是统计推断中的一种方法，用于估计总体参数的区间范围。
其基本原理和步骤如下：一、基本原理：二、步骤：1.确定参数类型和样本分布：在进行区间估计之前，需要明确要估计的总体参数类型，例如均值、方差、比例等。
同时，需要确保样本数据来自一个合理的总体分布，通常假设样本数据满足正态分布。
2.选择置信水平：置信水平表示对于重复抽样所得的区间估计，其中包含总体参数真实值的概率。
常用的置信水平有95%和99%。
选择置信水平时需要考虑实际应用需求和可接受的误差范围。
3.计算标准误差：标准误差是样本统计量与总体参数之间的标准差，可以用来度量估计量的精确程度。
常见的标准误差计算方式包括对均值的标准误、对比例的标准误和对方差的标准误。
4.确定抽样分布：根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本统计量的抽样分布会接近正态分布。
可以利用这个性质来进行参数估计。
5.计算置信区间：根据所选择的置信水平和抽样分布中的临界值，计算出估计参数的上限和下限，形成估计的置信区间。
具体计算方法与总体参数类型相关，如均值的置信区间计算通常基于样本均值和标准误差。
6.解读结果：得到置信区间后，应根据具体情况对结果进行解读和分析。
通常，置信区间越窄，说明估计结果越准确；置信区间不包含需要估计的参数真实值，说明估计结果不准确。
7.检验假设：在一些情况下，需要通过检验假设来验证估计结果的可靠性。
例如，对于均值的区间估计，可以通过假设检验来判断区间估计是否显著不等于一些特定值。
总结：区间估计是统计推断中重要的一种方法，它能够通过样本数据给出总体参数的一个估计区间，并提供了对估计精确性的度量。
在实际应用中，选择合适的置信水平、计算标准误差、确定抽样分布以及解读结果都是关键步骤，需要结合具体问题进行合理的选择和判断。
名词解释区间估计
区间估计的名词解释
一、什么是区间估计？
区间估计是统计学中一种常用的参数估计方法，用于根据样本数据来估计总体参数的范围。
在区间估计中，我们通过样本数据计算出一个区间，该区间通常包含总体参数的真实值。
区间估计的方法包括单侧区间估计和双侧区间估计。
二、区间估计的原理
区间估计的原理基于抽样分布理论。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布。
因此，我们可以利用样本均值和标准误差来估计总体均值的分布。
具体来说，我们首先根据样本数据计算出样本均值和标准误差。
然后，利用样本均值加减标准误差的倍数来计算出置信区间的上下限。
置信区间的置信度通常设置为 95% 或更高，这表示我们有 95% 的把握认为总体参数的真实值落在这个区间内。
三、区间估计的应用场景
区间估计在实际应用中具有广泛的应用价值，下面列举了一些常见的应用场景：
1. 估计总体均值：例如，通过对某批次产品进行抽样检测，计
算出样本均值和标准误差，然后用区间估计方法估计该批次产品的总体均值。
2. 估计总体比例：例如，通过对某人群进行抽样调查，计算出
样本比例和标准误差，然后用区间估计方法估计该人群的总体比例。
3. 估计总体标准差：例如，通过对某批次产品进行抽样检测，计算出样本标准差和样本容量，然后用区间估计方法估计该批次产品的总体标准差。
总之，区间估计是一种常用的参数估计方法，能够帮助我们在实际问题中对总体参数进行估计。
掌握区间估计的方法和原理，对于统计分析和决策具有重要意义。
主讲数理统计7区间估计
2. 区间估计
一 、设X1 , …, Xn为来自总体 Xf (x, ）的一个样 本， 为未知参数。所谓的区间估计，就是以
满足条件
ˆL ( X1, , Xn ) ˆU ( X1, , Xn )
为端点的区间，一旦有了样本X1, …, Xn，就把 估
计在区间
[ˆL ( X1, Xn ),ˆU ( X1, Xn )]
(X
Y
)
(1
2 )
~N(0, 1)
2 1
2 2
nm
寻找一个待估参数和
估计量的函数 ，要求
其分布为已知.
U
(X
Y ) (1 2 )
12
2 2
~N(0, 1)
( x)
nm
P{u /2
(X
Y ) (1
12
2 2
2 )
u1
2}
nm
u/2 u1-/2
P{u1 /2
(X
Y ) (1
2 1
率的观点解释，即：若进行m(m较大）次抽样，获得
m个置信区间，这些区间中约有（1）m个包含。
那么，就一个区间
[x n u1 2 , x n u1 2 ]
而言，有（1）%把握认为它包含。
区间估计的精度
区间估计的精度可以用区间长度来衡量： 对于
正态总体（方差 2已知）均值 的置信区间
[X
n u1 2 ,
Sn
寻找一个待估参数和 估计量的函数 ，要求 其分布为已知.
t X
Sn
~t(n 1)
f (x)
P{t
2 (n
1)
X S
n
t1
2 (n
1)}
t /2 (n 1)
概率论第七章参数估计2区间估计
箱数。由条件可以把X1, X 2,
,
X
视为独立同分
n
布随机变量，而n箱的总重量Tn X1 X 2 X n
是独立同分布随机变量之和。
由条件知E(Xi ) 50, D(Xi ) 5; E(Tn ) 50n, D(Tn) 5 n
16
由 查表得 由于总体方差 未知, 因此 的置信水平为0.95 的置信区间为:
即:
17
3） 方差的区间估计
设
为总体
的一个样本
是 的无偏估计
并且样本函数：
由于 分布无对称性
即：
18
由 分布表的构造
即 置信区间：
/2
/2
2 1
(n
1)
2 / 2 (n 1)
2
19
标准差σ的一个置信水平为 1 的置信区间
36
对给定的置信水平 使
，确定分位数
即
于是得到 的置信水平为 信区间为
的单侧置
37
即 的置信水平为 的单侧置信下限为
将样本值代入得 的置信水平为0.95的单侧置信下限是 1065小时
38
例9 为估计制造某种产品所需要的单件平均工时 （单位：小时），现制造5件，记录每件所需工时如下 10.5 11.0 11.2 12.5 12.8 假设制造单位产品所需工时
(5.20 0.49) (4.71, 5.69)
9
注： μ的置信水平1－α的置信区间不唯一。
上例中同样给定 0.05 ,可以取标准正态分
布上α分位点-Z0.04和Z0.0X
n
z0.04} 0.95
z0.04
则μ的置信度为0.95的置信区间为
[X
n
z0.01
统计学中的区间估计方法概述
统计学中的区间估计方法概述统计学是一门研究如何收集、整理、分析和解释数据的学科。
在统计学中，区间估计是一种重要的方法，用于估计总体参数的范围。
本文将概述统计学中的区间估计方法，包括置信区间和预测区间。
1. 置信区间置信区间是用来估计总体参数的范围。
在统计学中，总体参数是指总体的某个特征，例如总体均值或总体比例。
置信区间通过样本数据来估计总体参数，并给出一个范围，该范围内有一定的置信度包含了真实的总体参数。
置信区间的计算通常基于中心极限定理，该定理指出当样本容量足够大时，样本均值的分布近似服从正态分布。
置信区间的计算需要确定置信水平和样本容量。
置信水平是指在重复抽样的情况下，置信区间包含真实总体参数的概率。
常见的置信水平有95%和99%。
2. 预测区间预测区间是用来估计未来观测值的范围。
与置信区间不同，预测区间考虑了未来的不确定性。
预测区间的计算需要考虑总体参数的估计误差和未来观测值的随机变动。
预测区间的计算通常基于预测误差的方差和置信水平。
预测误差的方差考虑了总体参数的估计误差，而置信水平决定了预测区间的宽度。
较高的置信水平会导致更宽的预测区间，反之亦然。
3. 区间估计的应用区间估计在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在医学研究中，研究人员可以利用区间估计来估计一种新药物的治疗效果。
他们可以计算出一个置信区间，该区间内包含了新药物的真实治疗效果。
在市场调研中，区间估计也被广泛应用于估计消费者对某种产品的满意度。
研究人员可以通过调查收集到的数据计算出一个置信区间，该区间内包含了总体中消费者满意度的真实值。
此外，区间估计还可以应用于金融领域、社会科学研究和环境科学等各个领域。
它为研究人员和决策者提供了一个有力的工具，帮助他们做出准确的估计和合理的决策。
总结：统计学中的区间估计方法是一种重要的统计推断技术，用于估计总体参数的范围。
置信区间用于估计总体参数，而预测区间用于估计未来观测值。
区间估计在各个领域都有广泛的应用，帮助研究人员和决策者做出准确的估计和合理的决策。
概率论与数理统计课件--区间估计
1 2
2
得2的区间估计为
n
Xi 2
i1
,
2 (n)
2
n
Xi
2
i 1
2 (n)
1 2
小结
总体服从正态分布的均值或方差的区间估计 假设置信水平为1- （4）均值未知，对方差的区间估计
构造2-统计量，查2-分布临界值表，
确定2的双侧分位数 2 (n 1), 2 (n 1)
1 2
2
解 （1）由矩法估计得EX的点估计值为
E¶X x 1 14.6 15.114.9 14.8 15.2 15.1 14.95
6
续解 （2）由题设知X~N（，0.06）
构造U-统计量，得EX的置信区间为
X
u
2
n , X u 2
n
而 x 14.95, 0.06 0.1
n6
当=0.05时，u0.025 1.96
9.22910000 92290 （公斤）
最多准备
10.77110000 107710 （公斤）
正态总体均值已知，对方差的区间估计
如果总体X~N（，2），其中已知，2未知
由 Xi ~ N (0,1) 构造2-统计量
n
2
n i1
X
i
2
i 1
Xi 2
2
~ 2 (n)
查2- 分布表，确定双侧分位数 2 (n), 2 (n)
区间估计的思想
点估计总是有误差的，但没有衡量偏差程度的量， 区间估计则是按一定的可靠性程度对待估参数给出一个 区间范围。
引例 设某厂生产的灯泡使用寿命X~N（，1002），现 随机抽取5只，测量其寿命如下：1455，1502，1370， 1610，1430，则该厂灯泡的平均使用寿命的点估计值为
区间估计的原理
区间估计的原理引言：在统计学中，区间估计是一种估计参数未知的总体的方法，它提供了一个范围，称为置信区间，该范围内有一定概率包含了真实的参数值。
区间估计的原理是基于抽样理论和概率统计的基础上，通过样本数据来对总体进行估计。
一、区间估计的基本思想区间估计的基本思想是通过样本数据来估计总体的参数值，并给出一个置信区间，使得这个区间内的参数值有一定的概率包含真实的参数值。
通常情况下，我们希望这个置信区间尽可能地窄，以提高估计的精度。
二、置信水平的选择在进行区间估计时，我们需要选择一个置信水平来决定置信区间的范围。
置信水平是指在重复抽样的情况下，包含真实参数值的置信区间的概率。
常见的置信水平有90%、95%和99%等，一般情况下，我们会选择较高的置信水平，以增加估计的可靠性。
三、区间估计方法1. 正态分布情况下的区间估计：当总体服从正态分布时，可以使用样本均值和标准差来进行区间估计。
常用的方法有Z分布方法和t 分布方法，其中Z分布方法适用于大样本情况，t分布方法适用于小样本情况。
2. 非正态分布情况下的区间估计：当总体不服从正态分布时，可以使用样本中位数和四分位数来进行区间估计。
这种方法被称为非参数估计方法，它不依赖于总体的分布情况。
四、区间估计的应用区间估计在实际问题中具有广泛的应用，下面以两个例子来说明：1. 信赖度评估：在工程领域中，我们经常需要评估某个产品或系统的可靠性和信赖度。
通过对样本数据进行区间估计，我们可以对产品或系统的平均寿命进行估计，并给出一个置信区间，以评估其可靠性。
2. 市场调研：在市场调研中，我们经常需要对某个产品或服务的市场需求进行预测。
通过对样本数据进行区间估计，我们可以估计总体的平均需求量，并给出一个置信区间，以评估市场需求的波动范围。
结论：区间估计是统计学中一种重要的估计方法，它通过样本数据来对总体进行估计，并给出一个置信区间。
区间估计的原理是基于抽样理论和概率统计的基础上，通过选择置信水平和合适的估计方法来进行估计。
区间估计基本原理
区间估计基本原理
区间估计是指通过样本数据对总体参数进行估计时，给出一个区间范围，以及一个置信度。
区间估计的基本原理是利用样本统计量来估计总体参数，并给出一个置信区间，即有一定置信度的总体参数在该区间内。
在进行区间估计时，通常会使用样本均值、样本比例或样本方差等统计量作为总体参数的点估计。
然后结合样本大小、总体标准差或其估计值，以及所选取的置信水平，利用统计分布的性质进行计算，得到一个区间范围。
置信度是指在重复抽样的情况下，得到的置信区间能够包含真实总体参数的概率。
通常使用的置信度为95%或99%。
即如果重复进行抽样，有95%或99%的抽样结果都能够包含真实总体参数。
区间估计的基本原理是建立在大数定律和中心极限定理的基础上。
根据大数定律，当样本容量足够大时，样本统计量的分布会趋近于总体参数的分布。
而根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本统计量的分布会近似服从正态分布。
因此，可以利用正态分布或t分布来进行区间估计。
当给出一个置信度时，可以根据正态分布或t分布的性质，计算出一个临界值，即一个与置信度对应的取值。
然后根据样本统计量的分布情况，在样本统计量的点估计上加减一个与临界值相乘的标准误差，得到一个区间范围。
通过区间估计，可以对总体参数进行更全面、更准确的估计。
同时，区间估计也可以告诉我们有多大的把握认为总体参数在给定的区间范围内。
《概率论与数理统计教学课件》7第七章_区间估计
从中解得：
P {X
S n
t 2 ( n 1) X
于是所求
的置信度为1
S n
置信区间为 ：
[X
t 2 ( n 1), X
S n
t 2 ( n 1)]
概率统计
例2. 确定某种溶液的化学浓度，现任取4个样品，测 得样本均值为 X 8.34%,
2
用6.678作为引力常数的估计值的可靠程 0.00387 (6.675，6.681) 2.015 0.003 度为 90%的区间是
于是所求
6 的置信度为 90% 置信区间为：
( X 0.03, X 0.003) (6.675, 6.681)
概率统计
33.32 6.664 在(2)中 Y 5 1 S2 (0.00036 ) 0.003 51 又 1 0.9, 0.1 s2 0.003 t ( n 1) t 0.1 (4) n 2 5 2
1 1 0.36667 0.6055 6 5
概率统计
于是所求
1 2 的置信度为 0.9 的置信区间为:
1 1 ( X Y t (n1 n2 2) sw ) n1 n2 2
(0.01, 0.02)
即用 0.014 作为 1 2 的估计值的可靠程度达到 90% 的区间是 (0.01, 0.02)
P {|
X
n
| u 2 } 1
从中解得：
概率统计
P{ X
于是所求
n
u 2 X
n
n
区间估计知识点
区间估计知识点1. 什么是区间估计？区间估计是统计学中一种常见的推断方法。
在统计学中，我们通常不会完全准确地知道总体参数的真实值，而是通过从总体中抽取一部分样本来估计总体参数。
区间估计通过给出一个范围，来估计总体参数的可能取值范围。
2. 区间估计的基本原理区间估计的基本原理是利用样本统计量来估计总体参数，并给出一个置信区间作为总体参数真实值的估计范围。
其中，置信区间是总体参数的一个范围，使得在一定置信水平下，总体参数的真实值有一定的概率落在该范围内。
3. 区间估计的步骤进行区间估计的一般步骤如下：步骤1: 确定总体分布类型在进行区间估计之前，需要先确定总体分布的类型。
常见的总体分布类型包括正态分布、t分布、F分布等。
根据总体分布的类型，选择相应的统计方法进行区间估计。
步骤2: 收集样本数据从总体中随机抽取一部分样本，收集样本数据。
样本数据应该具有代表性，以确保估计结果的准确性和可靠性。
步骤3: 计算样本统计量利用收集到的样本数据，计算相应的样本统计量。
常见的样本统计量包括样本均值、样本方差等。
步骤4: 确定置信水平选择合适的置信水平，通常使用95%或99%。
置信水平表示我们对置信区间的信心程度，例如95%的置信水平意味着在100次重复采样中，大约有95次的置信区间会包含总体参数的真实值。
步骤5: 计算置信区间根据样本统计量、总体分布类型和置信水平，计算置信区间。
置信区间由下限和上限组成，表示总体参数可能的取值范围。
步骤6: 解释和应用结果最后，解释和应用计算得到的置信区间结果。
置信区间提供了总体参数的估计范围，可以用于进行决策、判断统计显著性等。
4. 区间估计的意义和应用区间估计在实际应用中具有广泛的意义和应用。
它可以用于：•预测未来事件的发生概率和范围；•评估统计结果的可靠性和显著性；•进行质量控制和质量改进；•判断两个或多个总体参数之间是否存在差异；•设定产品或服务指标范围等。
总之，区间估计是统计学中一种重要的推断方法，能够提供总体参数的估计范围，帮助人们进行决策和判断。
区间估计的原理
区间估计的基本原理区间估计是统计学中一种常用的方法，用来根据样本数据推断总体参数的取值范围。
它通过计算置信区间来表示参数估计值的可信度，并提供了一种统计量范围的估计方法。
在这个过程中，我们关注的是总体参数的不确定性。
置信区间的定义置信区间是指在一定置信水平下，总体参数的可信范围。
置信水平通常采用符号(1−α)表示，其中α是一个介于0和1之间的数，表示置信水平的显著性水平。
例如，当α=0.05时，我们说我们有95%的置信度来估计总体参数。
置信区间的上界和下界称为置信限。
区间估计的步骤进行区间估计时，我们需要按照以下步骤进行：1.收集样本数据：从总体中随机抽取一部分样本进行观察和测量，得到样本数据。
2.选择合适的统计分布：根据所研究的问题和样本数据的性质，选择适当的统计分布来建立数学模型。
3.计算统计量：根据所选择的统计分布，利用样本数据计算出一个统计量，该统计量用于估计总体参数。
常用的统计量有样本均值、样本比例、样本方差等。
4.构建置信区间：根据所选择的统计分布和计算出的统计量，采用适当的方法构建置信区间。
5.解释和应用结果：根据置信区间的结果进行解释，并根据实际应用情况进行结果的应用和决策。
构建置信区间的方法在构建置信区间时，常用的方法有以下几种：1.正态分布的方法：当样本容量大于30，或当样本容量较小但总体近似服从正态分布时，可以使用正态分布的方法进行区间估计。
2.t分布的方法：当样本容量较小且总体不服从正态分布时，可以使用t分布的方法进行区间估计。
t分布相较于正态分布，具有较宽的尾部，适合用于较小样本的情况。
3.二项分布的方法：当样本数据为二项分布时，可以使用二项分布的方法进行区间估计。
二项分布常用于估计样本比例的置信区间。
4.Poisson分布的方法：当样本数据符合泊松分布时，可以使用Poisson分布的方法进行区间估计。
5.其他分布的方法：根据具体问题的要求，选择适当的分布进行区间估计。
江西财经大学统计学第七章 区间估计
2
n
2 Me
2
2 n
第七章
区间估计
STAT
3. 一致性（大样本有益性） 减少抽样误差！ 当样本容量n增大时，如果估计量的值越来越接近总体参数 的真值，就称这个估计量为一致估计量。即：
ˆ 对于任意的 0, 如果 lim P
n
1
ˆ为的一致估计量。 则称
ˆ 为、P的一致估计量。 经证明: x、p
第七章
三、点估计
区间估计
STAT
用估计值来近似相应的总体参数。
[例]1000只灯泡的使用寿命及标准差均未知，今随机取得4只 灯泡，测得寿命为1502,1453,1367,1650（小时），试估计总体 平均使用寿命及其标准差。
待估参数: 1 , 2
一致性是从极限意义上讲的，它适用于大样本的情况。如 果一个估计量是一致估计量，则采用大样本更加可靠。 ˆ 。 当n N、 ˆ
n 1000 lim P
n 1000 n 2000
60%
ˆ n 2000 lim P
90%
第七章
区间估计
STAT
3. 置信区间的计算步骤 （1）总体均值的区间估计（SRS样本）
★设定置信区间： （x x , x x） ★计算样本均值： ★计算抽样标准差：
x xf f
重复 N n 不重 N 1
x n x n
x 样本 M e M o
黄种人 白种人 黑种人 白种人
第七章
区间估计
STAT 避免系统偏差！
1.无偏性→好的估计量的一个重要条件。
统计学第七章 区间估计作业
课外作业：
1.为调查江西财大某学院学生的每月购书报支出水平，在全院1800名学生中，采用不重复简单随机抽样形式抽取33人。
经调查，每个抽中学生2011年4月份的购书报支出金额如下表所示。
要求：
(1)以95%的概率保证程度估计该学院学生该月平均购书报支出额。
(2)以同样的概率保证程度估计该学院学生该月购书报支出额超过70元的人数。
(3)在以95%的概率保证程度估计该学院学生该月购书报支出额超过70元的人数比例，要求抽样极限误差不超过10%时，计算所需的样本容量。
2.某保险公司欲对某地区家庭拥有私人小汽车的情况进行调查，该地区共有20万户家庭，现按重复简单随机抽样形式抽取70户家庭，调查后发现其中8户家庭拥有私人小汽车。
要求：
(1)以95.45%的概率保证程度估计该地区拥有私人小汽车的家庭比例，并给出抽样标准误。
(2)在以95.45%的概率保证程度要求估计的极限误差不超过5%时，计算所需的样本容量。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第七章 区间估计
STAT
1.无偏性→好的估计量的一个重要条件。 避免系统偏差！ 若样本统计量的期望值等于所估计的总体参数，则这个估计
量叫无偏估计量。 若E(ˆ),则ˆ为的无偏估计量
由于一般仅仅抽取一个样本，并且用这个样本的估计值来估 计对应的参数，人们并不知道这个估计值和要估计的参数差多 少。因此，无偏性仅仅是非常多次抽样时的一个渐近概念。
第七章 区间估计
STAT
3. 置信区间的计算步骤
（1）总体均值的区间估计（SRS样本）
★设定置信区间： （xx,xx）
★计算样本均值： xxf
f
★计算抽样标准差：
x
x
n
n
重复 N n 不重 N 1
★根据给定的置信水平查标准正态分布表确定临界值（学习过程中，记住几
置信度又称置信水平或置信系数。显然，置信度的概念是 大量重复抽样时的一个渐近概念。
第七章 区间估计
STAT
置信区间的表述是由区间和置信度两部分组成。或者说， 由点估计值和描述估计准确度的抽样极限误差两部分组成。抽 样极限误差反映点估计值与总体参数值之间的最大误差范围。 抽样极限误差越大，估计的准确度越低；反之则反。
种常用的置信水平相对应的临界值），并计算抽样极限误差：
0.95
1.96
Z
（1）0.954 5 Z（ 临界值 2）
2
0.9973 2
3
xZ
2
n （重 Z 复 2 x）
★根据样本均值和抽样极限误差写出置信区间： (x x )
第七章 区间估计
STAT
■平均年龄为39岁，即用样本均值作为总体均值的点估计。 ■估计范围为39±2.35(±2.35的误差)，即区间(36.65， 41.35)。 ■如用类似的方式，重复抽取大量（样本量相同的）样本 时，产生的大量类似区间中有些会覆盖真正的均值，而有些不 会；但其中大约有95%会覆盖真正的总体均值。
这样得到的区间被称为总体均值的置信度（1-α）为95% 的置信区间。
人
（ 1 ,2 ,3 ） x xi 1, 1 1 1 , 2 1 .5
n=2 Me 1 1 .5
E(x)xi 182
A,C B ,A
M9
B,B
1, 3 2 2 2 , 1 1 .5 1 .5 2, 2 2 2
E(Me)M Me 2
B , C 2 , 3 2 .5 2 .5 C ,A 3,1 2 2
STAT
（二）正态总体，2未知
[例]假定吸烟者买烟的月支出近似服从正态分布。一机构随机
抽取了容量为26的样本进行调查，得到样本平均数为80元，样
本标准差为20元。试以95%的把握估计全部吸烟者月平均烟钱支
出的置信区间。
已 X ~ 知 N (, 2 ) x 80n 26
X
~
N
x
Z
2
＝ 1.967.2 ＝ 2.35
n
36
Z＝() 1.96
2
n
(x x)(3.6 6,4 5.3 1)5
（1 ）
μ-Δ μ+Δ
X
（1 ）
-Z 0 Z
Z
第七章 区间估计
STAT
调查结果表述：投保人的“平均年龄为39岁，误差是±2.35 岁，置信度为95%”。这意味着：
对于任 0 意 ,如的 l果 im Pˆ1 n
则称 ˆ为 的一致估计量。
一致性是从极限意义上讲的，它适用于大样本的情况。如 果一个估计量是一致估计量，则采用大样本更加可靠。
当nN、ˆ。n 10 0 li0 m P ˆ 6% 0 n 1000
方差小说明反复抽样产生的许多估计量差别不大，故更精确。
[例]假定总体参数= 6，五次抽样后分别计算样本平均数和样
本中位数，结果为 x:4 ,5 ,6 ,7 ,8
M e:2 ,4 ,6 ,8 ,10
E(x)456786 5
x 2 [ x n E ( x )2 ] ( 4 6 ) 2 ( 5 5 6 ) 2 1 5 0 2
n 20 0 li0 m P ˆ 9% 0 n 2000
经证:明 x、pˆ为、P的一致估计量。
第七章 区间估计
STAT
三、点估计
用估计值来近似相应的总体参数。 [例]1000只灯泡的使用寿命及标准差均未知，今随机取得4只 灯泡，测得寿命为1502,1453,1367,1650（小时），试估计总体 平均使用寿命及其标准差。
一、单个总体的区间估计
（一）正态总体，2已知
[例]已知一批零件的长度服从正态分布，从中随机抽取9件，测
得其平均长度为21.44mm。已知总体标准差=0.15mm，试建立这
种零件平均长度的置信区间。给定置信水平0.95。
已 X ~ N 知 (, 0 . 1 2 )5x 2 . 4 1 4 n 9
Z0.0 2 51.96
x Z
2
0.098 n
置信 ( x x ) 区 ( 2 .4 1 0 4 间 .0) 9 [ 2 ： . 8 3 1 ,2 4 .5 1 2 ]38
有 9% 5的把握估计2平 .134均 ~22长 .153m 度 8之 m在 间
第七章 区间估计
第七章 区间估计
STAT
一、估计量与估计值
用估计量估计总体参数，人们往往先假定某数据来自一个 特定的总体族（比如正态分布族）。而要确定是总体族的哪个 成员则需要知道总体参数值。
常见的总体参数包括 、p ，或 2 。因此如果能够对这
些参数进行估计，总体分布也就估计出来了。待估参数
用于估计的样本统计量称为估计量。 ˆ
待估 :1 参 ,数 2
估计 :ˆ1量 x,ˆ2s
xx14 （ 93 小时 s） (xx)2 11.6（ 81 小时
n
n1
与 分别 14小 为 93时 11 .6和 小 81 时。
第七章 区间估计
STAT
点估计给出一个数字，用起来很方便；但太绝对。它假定误
,
2
n
Z x~N(0,1) txs~t(n1)
n
n
查t 表 /2 (n 1 ) ： t0 .0( 2 2 5 ) 5 2 .060
x
t0.02(525)
s 8.08 n
(8 0 8 .0) 8 (7.9 1 ,8 2 .0 8 )8
有 9% 5的把握估计7月 .19均 2~8烟 .80元 8钱之 在间
意图x： 要求 x： （ x 抽样极限误素 差） ：两
区间估计：置 x信 x,x区 x） 间 套 （住 ” “
1 、 x 若 x ( x x )
2 、 x 若 x ( x x )
x (x2x,x2x)
x
X (x1x,x1x)
第七章 区间估计
STAT
[例]某保险公司自10万名投保人中随机抽取36人，得其平均年 龄为39岁，已知投保人的年龄服从正态分布，标准差为7.2岁， 试求其平均年龄95%（1-α，置信度）的置信区间。
X
~
N
,
2
n
标准化并 Z查 Z0 表 .025 ： 1.96 2
样本统计量是随机变量，所以估计量也是随机变量，并有 其分布。
如果样本已经得到，把数据代入之后，估计量就有了一个 数值，称为该估计量的一个估计值。
第七章 区间估计
STAT
二、估计量的优良标准
用什么样的估计量来估计参数呢？实际上没有硬性限制。任
何统计量，只要人们觉得合适就可以当成估计量。
当然，统计学家想出了许多标准来衡量一个估计量的好坏。
STAT
第一节 参数估计的基本原理
估计就是根据样本信息对现实世界或总体做出某种判断。 你可以根据一个人的衣着、言谈和举止判断其身份；你可 以根据一个人的脸色，猜出其心情和身体状况。 统计中的估计也不例外，它是完全根据样本数据做出的。 如果我们想知道北京人认可某饮料的比例，人们只有在北 京人中进行抽样调查以得到样本，并用样本中认可该饮料的比 例来估计真实的比例。 不同的样本得到的结论也不完全一样。虽然真实的比例在 这种抽样过程中也许永远不知道，但可以知道估计出来的比例 和真实的比例大致差多少。 “统计加估计” ？
x1 1
2
x
2
2
x 3 3
E(x) “平均无偏”
第七章 区间估计
STAT
[例]总体均值、总体比例P的无偏估计量
x1 1 单个有偏 x2 1.5 单个有偏 x3 2 单个无偏
总
体3 样本 A ,A A,B
每个标准一般都仅反映估计量的某个方面。这样就出现了按照这
些标准定义的各种名目的估计量（如无偏估计量等）。最常用的
估计量就是样本均值、样本比例、样本标准差。
另些估计量则以计算方式命名：最大似然估计和矩估计等。
什么是好的估计量的标准呢？
x
样本
M
e
M o
白种人
黄种人 黑种人
白种人
ｕ＝ x ±抽样误差 → [ x －抽样误差， x ＋抽样误差] 这里关键是计算抽样误差→总体参数ｕ是待估的，未知的， 不能直接计算抽样误差，需借助抽样分布解决。 2.对置信区间的理解：
第七章 区间估计
STAT
[例] 某保险公司自10万名投保人中随机抽取36人，得其平均年 龄为39岁，已知投保人的年龄服从正态分布，标准差为7.2岁， 求其平均年龄95%（1-α，置信度）的置信区间。 为显著性水平