【配套K12】[学习]山东省临沂市第十九中学2018届高三数学下学期第十二次质量检测试题 理

临沂第十九中学高三年级第十二次质量检测试题
数学（理科）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知i 为虚数单位，是复数z 的共轭复数，若22cos sin 33
z i ππ=+，则在复平面内
对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( ) A ．{1} B ．{1,2} C ．{0,1,2,3} D ．{－1,0,1,2,3} 3．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a b +)⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6 D ．8
4．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中连续的三项，则数列{b n }
的公比为( )
A. 2 B ．4 C ．2 D.12
5．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的n 等于（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
6．若将函数()cos(2)6
f x x π=+的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得
图象关于原点对称，则φ最小时，tan φ=（ ）
A ．
B C ． D
7.若圆C 1：x 2
＋y 2
＝1与圆C 2：x 2
＋y 2
－6x －8y ＋m ＝0外切，则m 等于( ) A ．21 B ．19 C ．9 D ．－11
8.设随机变量X 服从二项分布X ～B (5，12)，则函数2
()4f x x x =+＋X 存在零点的概率是
( )
A.5
6
B.
4
5
C.
31
32
D.
1
2
9．如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，其中侧棱长为8cm，底面边长为12cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的表面积为（）
A．36πcm2B．64πcm2C． 80πcm2D．100πcm2
10. 如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图，则该几何体的侧视图为( )
11．已知双曲线与双曲线的离心率相同，且双曲线C2的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C2一条渐近线上的某一点，且OM⊥MF2，，则双曲线C
2
的实轴长为（）
A．4 B．
C．8 D．
12．函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的
斜率分别是k A，k B，规定φ（A，B）=叫做曲线在点A与点B
之间的“弯曲度”．设曲线y=e x上不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1﹣x2=1，若t•φ（A，B）＜3恒成立，则实数t的取值范围是（）
A．（﹣∞，3] B．（﹣∞，2] C．（﹣∞，1] D．[1，3]
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y ≤0，x ＋y ≤3，
x ≥0，
则2x ＋y 的最大值为
14. (x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案)
15．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请200名同学，每人随机写下一个都小于1 的正实数对（x ，y ）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x ，y ）的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值．假如统计结果是m=56，那么可以估计π≈ ．（用分数表示）
16．设函数221()e x f x x +=，2()x e x
g x e
=，
对任意1x ，2x ∈(0，＋∞)，不等式12()()1g x f x k k ≤+恒成立，则正数k 的取值范围是________．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4. (1)求{a n }的通项公式；
(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和．
18．某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟实验，准备用A 、B 、C 三种人工降雨方式分别对甲，乙，丙三地实施人工降雨，其实验统计结果如下
假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，且不考虑洪涝灾害，请根据统计数据： （Ⅰ）求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率；
（Ⅱ）考虑不同地区的干旱程度，当雨量达到理想状态时，能缓解旱情，若甲、丙地需中雨
即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，记“甲，乙，丙三地中缓解旱情的个数”为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．
19. 如图1，在直角梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π
2
，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，
O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置，如图2.
(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；
(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值．
20. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为B (0,4)，离心率e ＝5
5
，直线l 交椭圆于M ，N
两点．
(1)若直线l 的方程为y ＝x －4，求弦|MN |的长；
(2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程．
21.已知()ln f x x x =，2()3g x x ax =-+-
(1)对一切x ∈(0，＋∞)，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； (2)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有12
ln x
x e ex
>-成立．
请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分．作答时请写清题号．
22．(本小题满分10分)选修4­4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C
140y +-=，曲线C 2：cos 1sin x y θ
θ
=⎧⎨=+⎩（θ为参数），
以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C 1，C 2的极坐标方程； （Ⅱ）曲线C 3：θα=（ρ＞0，02
πα<<
）分别交C 1，C 2于A ，B 两点，当α取何值时，
OB OA
取得最大值．
23．(本小题满分10分)选修4­5：不等式选讲
已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集．
(1)求M ；
(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.
临沂第十九中学高三年级第十二次质量检测
理科数学
13．4 14．
2 15．
25
16．[)1,+∞ 16．解析 因为对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，不等式g x 1
k
≤
f x 2k ＋1恒成立，所以k
k ＋1
≥
g x 1
max f x 2
min
.
因为g (x )＝e 2
x e x ，所以g ′(x )＝e 2－x
(1－x )．当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0，
所以g (x )在(0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．所以当x ＝1时，g (x )取到最大值，即g (x )max ＝g (1)＝e.又f (x )＝e 2x ＋1x ≥2e(x >0)．当且仅当e 2
x ＝1x ，即x ＝1e 时取等号，故f (x )min
＝2e.所以g x 1
max
f x 2min
＝e 2e ＝12，应有k k ＋1≥12，又k >0，所以k ≥1.
三、解答题（本大题共6题，合计70分.） 17解 (1)设数列{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
b 2＝b 1q ＝3，
b 3＝b 1q 2
＝9得⎩
⎪⎨
⎪⎧
b 1＝1，q ＝3.∴{b n }的通项公式b n ＝b 1q
n －1
＝3
n －1
，
又a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝34－1
＝27，∴1＋(14－1)d ＝27，解得d ＝2.
∴{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1(n ＝1,2,3，…)． (2)设数列{c n }的前n 项和为S n .∵c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3
n －1
，
∴S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝2×1－1＋30
＋2×2－1＋31
＋2×3－1＋32
＋…＋2n －1＋3n －1
＝2(1
＋2＋…＋n )－n ＋
3
－3n
1－3
＝2×
n ＋
n
2
－n ＋3n －12＝n 2＋3n
－12
.
18解：（Ⅰ）设事件M ：“甲、乙、丙三地都恰为中雨”，则
…..
（Ⅱ）设事件A 、B 、C 分别表示“甲、乙、丙三地能缓解旱情”，则由题知
且X 的可能取值为0，1，2，3
…分布列如下：
19. (1)证明 在题图1中，连接EC ，因为AB ＝BC ＝1，AD ＝2， ∠BAD ＝π
2
，AD ∥BC ，E 为AD 中点，所以BC 綊ED ，BC 綊AE ，
所以四边形BCDE 为平行四边形，故有CD ∥BE ，所以四边形ABCE 为正方形，所以BE ⊥AC ， 即在题图2中，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，且A 1O ∩OC ＝O ，从而BE ⊥平面A 1OC ，又CD ∥BE ， 所以CD ⊥平面A
1OC .
(2)解 由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ，又由(1)知，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ， 所以∠A 1OC 为二面角A 1BEC 的平面角，所以∠A 1OC ＝π
2
.
如图，以O 为原点，以OB ，OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 因为A 1B ＝A 1E ＝BC ＝ED ＝1，BC ∥ED ，所以B ⎝
⎛⎭⎪⎫22，0，0，E ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－22，0，0， A 1⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，0，
22，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，0，得BC →＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫－22，22，0，A 1C →＝⎝
⎛⎭⎪⎫0，22，－22， CD →＝BE →
＝(－2，0,0)，设平面A 1BC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面A 1CD 的法向量n 2＝(x 2，
y 2，z 2)，平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角为θ，
则⎩⎪⎨
⎪⎧
n 1·BC →＝0，
n 1·A 1C →＝0，
得⎩⎪⎨
⎪
⎧
－x 1＋y 1＝0，y 1－z 1＝0，
取n 1＝(1,1,1)；⎩⎪⎨
⎪⎧
n 2·CD →＝0，
n 2·A 1C →＝0，
得
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2＝0，
y 2－z 2＝0，取n 2＝(0,1,1)，从而cos θ＝
n 1，n 2＝
23×2
＝
6
3
，即平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值为6
3
.
20．解 (1)由已知得b ＝4，且c a ＝55，即c 2a 2＝15，∴a 2－b 2a 2＝15，解得a 2
＝20，∴椭圆方程为
x 220
＋y 2
16＝1.则4x 2＋5y 2＝80与y ＝x －4联立，消去y 得9x 2
－40x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝409，∴所求弦长|MN |＝1＋12
|x 2－x 1|＝4029
.
(2)椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)，设线段MN 的中点为Q (x 0，y 0)，
由三角形重心的性质知BF →＝2FQ →
，又B (0,4)，∴(2，－4)＝2(x 0－2，y 0)，故得x 0＝3，y 0＝－2，即Q 的坐标为(3，－2)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4， 且x 2120＋y 2116＝1，x 2220＋y 2216＝1，以上两式相减得x 1＋x 2
x 1－x 2
20
＋
y 1＋y 2
y 1－y 2
16
＝0，
∴k MN ＝
y 1－y 2x 1－x 2＝－45·x 1＋x 2
y 1＋y 2
＝－45×6－4＝65，故直线MN 的方程为y ＋2＝6
5(x －3)，即6x －5y －28＝0.
21(1)解 ∀x ∈(0，＋∞)，有2x ln x ≥－x 2
＋ax －3，则a ≤2ln x ＋x ＋3x
，
设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x
(x >0)，则h ′(x )＝
x ＋
x －x
2
，
x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，
所以h (x )min ＝h (1)＝4.因为对一切x ∈(0，＋∞)， 2f (x )≥g (x )恒成立，所以a ≤h (x )min ＝4. (2)证明 问题等价于证明
x ln x >x e
x －2
e
(x ∈(0，＋∞))．
f (x )＝x ln x (x ∈(0，＋∞))的最小值是－1e
，
当且仅当x ＝1e 时取到，设m (x )＝x e x －2
e (x ∈(0，＋∞))，
则m ′(x )＝1－x e x ，易知m (x )max ＝m (1)＝－1
e ，
当且仅当x ＝1时取到．
从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2
e x 成立．
22．解：（Ⅰ）因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，C1的极坐标方程为
，
C2的普通方程为x2+（y﹣1）2=1，即x2+y2﹣2y=0，对应极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅱ）曲线C3的极坐标方程为θ=α（ρ＞0，）
设A（ρ1，α），B（ρ2，α），则，ρ2=2sin所以
===
又，，所以当，即时，取得
最大值．。