一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方的根与系数的关系
1.（2012湖北武汉，5，3分）若21,x x 是方程0232=+-x x 的两根，则21x x +的值是（ ） A ．-2 B.2 C. 3 D. 1 【答案】C
2.（2012四川攀枝花，8，3分）已知一元二次方程：0132=--x x 的两个根分别是1x 、2
x 则2
21221x x x x +的值为（ ）
A. 3-
B. 3
C. 6-
D. 6 【答案】A
3.（2012四川泸州，15，3分）设21,x x 是一元二次方程0132=--x x 的两个实数根，则
212
22
14x x x x ++的值为____________．
【答案】7
4.（2012山东日照13,4分）已知x 1、x 2是方程2x 2+14x －16=0的两实数根，那么2
11
2x x x x +
的值为 . 【答案】－
8
65
5. （2012山东莱芜，7，3分）已知m ，n 是方程x 2
+22x+1=0的两根，则代数式
mn n m 32
2++的值为（ ）
A ．9
B ．3
C ．3
D ．5
【答案】 C
6. （2012湖南张家界13,3分）已知03522
=--x x n m 是方程和的两根，则
=+n
m 11 . 【答案】-3
5
【点拨】上述这些题目只要利用一元二次方程的根与系数的关系就可以解答含根的对称式
的求值，如
22
12
x x +，
22
1212
x x x x +，1
2
11x
x +，
2
1
1
2x x x x +
，()()1211x x ++，
122111x x x x ⎛⎫⎛⎫
++ ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭等等，原因是它们都可以化成含两根的和与两根的积的式子，如
()2
2
2
121212
+-2x x x x x x +=，
()
2
2
12121212=+x x x x x x x x +，
121
2
12
+11=x x x x x x +，等等，进而用根与系数的关系去求。

7.（2012内蒙古呼和浩特，5，3分）已知：1x 、2x 是一元二次方程022=++b ax x 的两根，且321=+x x ，121=x x ，则b a 、的值分别是（ ） A.1,3=-=b a B. 1,3==b a C. 1,2
3-=-=b a D. 1,2
3=-
=b a
【答案】D.
8.（2012株洲，7，4分）已知关于x 的一元二次方程2+=0x bx c -的两根分别为12=1,=2x x -，则b 与c 的值分别为（ ）
A ．=1,=2b c -
B ．=1,=2b c -
C ．=1,=2b c
D ．=1,=2b c --
【答案】D
9.（2012潜江仙桃天门江汉油田8,3分）如果关于x 的一元二次方程2
40x x a ++=的两个不相等实数根
1
x ，
2
x 满足
12122250
x x x x ---=，那么a 的值为（ ）
A. 3
B. -3
C. 13
D. -13 【答案】B
【点拨】上述这些题目只要利用一元二次方程的根与系数的关系就可以解答。

10...（2012吉林，9，3分）若方程x 2
-x =0的两根为x 1，x 2（x 1<x 2），则x 2-x 1=__________. 【答案】1
【点拨】这一题目可先求出方程的根，进而带入求出x 2-x 1的值；也可利用根与系数的关系
去求，只需把x 2-x 1
11.（2012山东枣庄，15，4分）已知关于x 的方程260x mx +-=的一个根为2，则这个方程的另一个根是 ．
答案: -3
12.（2011广西贵港，5，3分）若关于x 的一元二次方程x 2－mx －2＝0的一个根为－1，则
另一个根为 (A)1 (B)－1 (C)2 (D)－2 【答案】C
13.（2011江西南昌，6，3分）已知x =1是方程x 2+bx -2=0的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A.1
B.2
C.-2
D.-1 【答案】C 【点拨】
12.（2011黑龙江省哈尔滨市，5，3分）若x=2是关于x 的一元二次方程08mx x 2
=+-的一个解，则m 的值是（ ） A ．6 B ．5
C ．2
D ．-6
【答案】A
（2011张家界，5，3分）已知1是关于x 的一元二次方程(m-1)x 2
+x+1=0的一个根，则m 的值是（ ）
A.1
B.-1
C.0
D.无法确定
【答案】B
考点解剖：本题考察了一元二次方程的解及一元一次方程的解法.理解方程的解和会解一元一次方程是关键.
（2011山东滨州，14，4分）若x=2是关于x 的方程2250x x a --+=的一个根，则a 的
值为______.
【答案】（2011江西b 卷，12,3分）试写一个．．有两个不相等实根的一元二次方程: 【答案】如：2
450x x +-=
4. （2012黑龙江绥化，4，3分） 设a,b 是方程x 2+x －2013=0的两个不相等的实数根，则a 2+2a+b 的值为 。

【答案】2012
（2012湖北鄂州，12，3分）设x 1、x 2是一元二次方程x 2+5x －3=0的两个实根，且
,4)36(222
21=+-+a x x x 则a = .
【答案】10
（2012江苏南通，17，3分）设α、β是一元二次方程x 2
＋3x －7＝0的两个根，则α2
＋4α
＋β＝
答案：4．
(2012贵州黔西南州，25，14分)问题：
已知方程x 2＋x －1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y ，则y=2x ，所以x=2
y ．
把x=
2
y 代入已知方程，得(
2
y )2＋
2
y －1=0．
化简，得：y 2＋2y －4=0． 故所求方程为y 2＋2y －4=0．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求：把所求方程化成一般形式)：
(1)已知方程x 2＋x －2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． (2)已知关于x 的一元二次方程ax 2
＋bx ＋c=0(a ≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 【答案】(1)设所求方程的根为y ，则y=
1x
，所以x=
1y
．………………(2分)
把x=
1y
代入已知方程x 2＋x －2=0，
得(
1y
)2＋
1y
－2=0．………………(4分)
化简，得：－2y 2
＋y ＋1=0(或2y 2
－y －1=0)．………………(6分) 故所求方程为－2y 2＋y ＋1=0(或2y 2－y －1=0)． (2)设所求方程的根为y ，则y=
1x
，所以x=
1y
．………………(8分)
把x=1
y 代如方程ax 2＋bx ＋c=0得．
a(1y
)2
＋b ·
1y
＋c=0，………………(10分)
去分母，得，a ＋by ＋cy 2=0．……………………(12分)
若c=0，有ax 2＋bx=0，于是方程ax 2＋bx ＋c=0有一个根为0，不符合题意． ∴c ≠0，故所求方程为cy 2＋by ＋a=0(c ≠0)．……………………(14分) （2012，湖北孝感，24，12分）已知关于x 的一元二次方程x 2
+(m +3)x +m +1=0. （1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x 1,x 2是原方程的两根，且12x x -=m 的值，并求出此时方程的两根.(8分).
【答案】解：（1）证明：因为△=(m +3)2-4(m -1)=(m +1)2
+4. ∵无论m 取何值时，(m +1)2+4的值恒大于0, ∴原方程总有两个不相等的实数根. （2）∵x 1，x 2是原方程的两根，
∴x 1+x 2=-(m +3)，x 1x 2=m +1,∵12x x -=22
12()x x -=，
∴(x 1+x 2)2-4x 1x 2=8，∴[-(m +3)]2-4(m +1)=8,∴m 2+2m -3=0, 解得：m 1=-3，m 2=1.
当m =-3时，原方程化为：x 2-2=0,解得：12x x =
=
当m =1时，原方程化为：x 2
+4x +2=0，解得：1222x x =-+=--
（2012湖南怀化，22，10分）
已知x 1、x 2是一元二次方程()0262
=++-a ax x a 的两个实数根，
⑴是否存在实数a ，使－x 1+x 1x 2=4+x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；
⑵求使（x 1+1）（x 2+1）为负整数的实数a 的整数值. 【答案】解：（1）根据题意，得
△=（2a ）2－4×a （a －6）=24a ≥0．
解得a ≥0．
又∵a －6≠0，∴a ≠0．
由根与系数关系得：x 1+x 2=－
6
2-a a ，x 1x 2=
6
-a a
由－x 1+x 1x 2=4+x 2 得x 1+x 2 +4=x 1x 2 ∴－
6
2-a a +4 =
6
-a a ，解得a=24．
经检验a=24是方程－6
2-a a +4 =
6
-a a 的解．
（2）原式=x 1+x 2 +x 1x 2 +1=－
6
2-a a
+
6
-a a
+1=
a
-66为负整数，则6－a 为－1或－
2，－3，－6 解得a=7或8，9，12．
（2012四川内江，27，12分）如果方程x 2
+px +q =0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=－p ，x 1·x 2=q ．请根据以上结论，解决下列问题：
(1)已知关于x 的方程x 2+mx +n =0（n ≠0），求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；
(2)已知a 、b 满足a 2
－15a －5=0，b 2
－15b －5=0，求a b b
a
+
的值；
(3)已知a 、b 、c 均为实数，且a +b +c =0，abc =16，求正数c 的最小值． 【答案】(1)设x 2+mx +n =0 (n ≠0)的两根为x 1，x 2， ∴x 1+x 2=－m ，x 1·x 2=n ， ∴
121
2
12
11x x m x x x x n
++==-
，
12
1
1
1x x n
=
，
∴所求一元二次方程为x 2+
m n
x +
1n
=0，即nx 2+mx +1=0．
(2)①当a ≠b 时，由题意知a ，b 是一元二次方程x 2－15x －5=0的两根， ∴a +b =15，ab =－5，
()
()
2
2
2
2
215255
a b ab
a b a b b a ab ab
+--⨯-++==
=
=-－47．
②当a =b 时，a
b b
a
+
=1+1=2，
∴
a b b
a
+
=－47或2．
(3)∵a +b +c =0，abc =16， ∴a +b =－c ，ab =
16c
，
∴a ，b 是方程x 2+cx +16c
=0的两根，
∴△= c 2
－
416c
⨯≥0，
∵c ＞0，∴c 3≥64 ，∴c ≥4， ∴c 的最小值为4．。