YU矩形性质
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A E B D F C' C
4 ．如图1把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、 C分别落在D′、C′的位置。若∠EFB =65°，则 ∠AED′等于 （ ）。 Ａ．50° Ｂ．55° Ｃ．60° Ｄ．65° 5、把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折 叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB = 3 cm，BC = 5 cm，则重叠部分△DEF的面积是
D F E B
• 如图，在矩形ABCD中，BC=2CD， ∠EBC=30°，则∠DCE= 度．
• 如图，点P是矩形ABCD对角线BD上的一个 动点，AB=6，AD=8，则PA+PC的最小值 为 。 • ．
• ．如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于 E，∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度 数是 • ．
矩形
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 （通常也叫长方形）.
即： ∠A=90° ABCD ABCD是矩形.
矩形是特殊的平行四边形.
矩形的一般性质（即平行四边形所有性质）
A O B
D
边： 矩形的对边平行且相等. 角： 矩形的对角相等.
C
矩形的对角线互相平分. 对角线：
矩形的特殊性质
A
D
B
C
边：
猜想1：矩形的四个角都是直角． 猜想2：矩形的对角线相等．
．
• 已知如图,在矩形ABCD中,E为BC上的 一点,且DE=BC,AF⊥DE于点F,求 证:EF=BE
A D
B
F E C
11在矩形ＡＢＣＤ中，AB=4,AD=8,对角 线ＡＣ的垂直平分线分别交ＡＤ，ＡＣ于 点Ｅ,Ｏ，连接ＣＥ，则ＣＥ的长＿＿＿ EF= ＿＿＿
Ｅ
Ａ
Ｄ Ｏ
Ｂ
F
Ｃ
•
•
• •
A
如图4，矩形ABCD的面积是16，EF过矩 形ABCD 对角线的交点O，阴影部分的面 积是 . 2、如图，在矩形ABCD中，两条对角线 AC，BD相交于点O，AB=4，AD 4 3 (1) 求BD的长度，并判定△AOB的形状 (2)计算△BOC的面积
• 如图，已知矩形ABCD中，E是AD上 的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC， 且 • EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周 长为32cm，求AE的长．
A E D
F
B
C
练习
已知：矩形ABCD中，E是BC上一点， DF⊥AE于F，若AE=BC. 求证：CE＝EF。
证明：∵ 四边形ABCD是矩形 矩形的问 题常可以转化 ∴ ∠B=90°，且AD∥BC 为直角三角形 ∴ ∠1=∠2 或等腰三角形 ∵ DF⊥AE∴∠AFD=90°∴∠B=∠AFD。 的问题来解决. 在△ABE和△DFA中 ∠1=∠2 ∠B=∠AFD AD =AE ∴ △ABE≌△DFA（AAS） ∴ AF=BE ∴ EF=EC
• 1、在直角三角形ABC中，∠ACB =90度， ∠A =30度， AC = 3cm ，则AB边上的中线长 为 。 • 2、如图2，在矩形ABCD中，AC、BD相交 于点O且AC=8，如果∠AOD=60°，那么 AD=_________ • 3、矩形纸片ABCD中, AD = 4 , AB = 10, 按如图方式折叠,使点B与点D重合, 折痕为 EF,则DE =（ ）
A′
A E
（ D B）
B
第13题图
F
C
• 6、如图，点P是矩形ABCD的边AD的一个 动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3 和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和 BD的距离之和是 .
• 矩形ABCD的周长是56 cm，它的两条对角 线相交于O，△AOB的周长比△BOC的周 长短4 cm，求（1）AB，（2）BC的长？ • 如图8，矩形ABCD的对角线AC、BD交于 点O，∠AOD=60°，AB= 2 3 ，AE⊥BD 于点E，求OE的长？
E
D
D C
G
P
H
G A B
B
F
C
• 如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝4cm， 1 E是DC的中点，BF＝ BC则四边形DBFE的面 4 积为 ．
M A D
D
E
C
D′
B
F C′
N
C
F A B
(第10题)
• 如图所示，把一长方形纸片沿MN折叠后，点D， C分别落在D′，C′的位置．若∠AMD′＝36°， 则∠NFD′等于（ ） • （A） 144° （B）126° • （C）108° （D）72°
• 6.如图，在矩形ABCD中, EF∥AB ,GH∥BC ,EF 与BC 的交点P在 BD上，图中面积相等的四边形有 （ ） • A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 • .如图，把两个大小完全相同的矩形拼成 “L”型图案，则∠FAC=________ ， ∠FCA=________.
F E
A
1.矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质 外，还具有特殊 的性质，请写出：____________, _________
2在矩形ABCD中，对角线AC=10Cm， AB:BC=3:4, 则矩形的周长为_________
3在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于，若∠AOB =1100，则∠OAB =______ 4.矩形两对角线的夹角为600，较短边长为10cm，则较 长边长为________ 5.直角三角形的两直边长为6和８，则斜边上的中线长为 __________ 6.矩形的边长为10 cm和15 cm，其中一个内角的角平 分线分长边为两部分，这两部分的长分别为（ ） A.6 cm和9 cm B. 5 cm和10 cm C. 4 cm和11 cm D. 7 cm和8 cm
例题
矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm。求AD的长及点A到BD的距离AE的长。
解：设AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在
Rt△ABD中，由勾股定理：
AD2+AB2=BD2 ∴
2 2
x 8 x 4
2
解得x=6。则 AD=6cm。
∵AE×DB= AD×AB 解得 AE= 4.8cm. “直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利 用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上 的高的一个基本关系式： AE×DB= AD×AB
角：
对角线：
知识要点
矩形的性质 边
矩形的对边平行且相等. 矩形的四个角都是直角. 矩形的对角线互相平分. 矩形的对角线相等. A
D
角
对角线
对称性 矩形是轴对称图形，
也是中心对称图形.
B C
直角三角形的一个性质 矩形特殊性质的推论
A O B C
D
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
即：在Rt△ABC中, BO是斜边AC上的中线，
C
∴AC=BD
1 1 ∴BO= 2 BD= 2 AC
例题
矩形ABCD的两条对角线相交于点O， ∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长。
解：∵
四边形ABCD是矩形，
∴
OA=OB。
又 ∠AOB=60°，
∴ △OAB是等边三角形.
∴ 矩形的对角线长
AC=BD = 2OA=2×4=8（cm）.
1 则BO= 2 AC.
定理证明
已知：在Rt△ABC中∠ABC=90°，BO是AC上的中线. 1 求证: BO = AC A D 2 D 证明: 延长BO至D，使OD=BO 连结AD、DC. ∵AO=OC, BO=OD B ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠ABC=90° ∴ ABCD是矩形 O
4 ．如图1把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、 C分别落在D′、C′的位置。若∠EFB =65°，则 ∠AED′等于 （ ）。 Ａ．50° Ｂ．55° Ｃ．60° Ｄ．65° 5、把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折 叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB = 3 cm，BC = 5 cm，则重叠部分△DEF的面积是
D F E B
• 如图，在矩形ABCD中，BC=2CD， ∠EBC=30°，则∠DCE= 度．
• 如图，点P是矩形ABCD对角线BD上的一个 动点，AB=6，AD=8，则PA+PC的最小值 为 。 • ．
• ．如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于 E，∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度 数是 • ．
矩形
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 （通常也叫长方形）.
即： ∠A=90° ABCD ABCD是矩形.
矩形是特殊的平行四边形.
矩形的一般性质（即平行四边形所有性质）
A O B
D
边： 矩形的对边平行且相等. 角： 矩形的对角相等.
C
矩形的对角线互相平分. 对角线：
矩形的特殊性质
A
D
B
C
边：
猜想1：矩形的四个角都是直角． 猜想2：矩形的对角线相等．
．
• 已知如图,在矩形ABCD中,E为BC上的 一点,且DE=BC,AF⊥DE于点F,求 证:EF=BE
A D
B
F E C
11在矩形ＡＢＣＤ中，AB=4,AD=8,对角 线ＡＣ的垂直平分线分别交ＡＤ，ＡＣ于 点Ｅ,Ｏ，连接ＣＥ，则ＣＥ的长＿＿＿ EF= ＿＿＿
Ｅ
Ａ
Ｄ Ｏ
Ｂ
F
Ｃ
•
•
• •
A
如图4，矩形ABCD的面积是16，EF过矩 形ABCD 对角线的交点O，阴影部分的面 积是 . 2、如图，在矩形ABCD中，两条对角线 AC，BD相交于点O，AB=4，AD 4 3 (1) 求BD的长度，并判定△AOB的形状 (2)计算△BOC的面积
• 如图，已知矩形ABCD中，E是AD上 的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC， 且 • EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周 长为32cm，求AE的长．
A E D
F
B
C
练习
已知：矩形ABCD中，E是BC上一点， DF⊥AE于F，若AE=BC. 求证：CE＝EF。
证明：∵ 四边形ABCD是矩形 矩形的问 题常可以转化 ∴ ∠B=90°，且AD∥BC 为直角三角形 ∴ ∠1=∠2 或等腰三角形 ∵ DF⊥AE∴∠AFD=90°∴∠B=∠AFD。 的问题来解决. 在△ABE和△DFA中 ∠1=∠2 ∠B=∠AFD AD =AE ∴ △ABE≌△DFA（AAS） ∴ AF=BE ∴ EF=EC
• 1、在直角三角形ABC中，∠ACB =90度， ∠A =30度， AC = 3cm ，则AB边上的中线长 为 。 • 2、如图2，在矩形ABCD中，AC、BD相交 于点O且AC=8，如果∠AOD=60°，那么 AD=_________ • 3、矩形纸片ABCD中, AD = 4 , AB = 10, 按如图方式折叠,使点B与点D重合, 折痕为 EF,则DE =（ ）
A′
A E
（ D B）
B
第13题图
F
C
• 6、如图，点P是矩形ABCD的边AD的一个 动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3 和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和 BD的距离之和是 .
• 矩形ABCD的周长是56 cm，它的两条对角 线相交于O，△AOB的周长比△BOC的周 长短4 cm，求（1）AB，（2）BC的长？ • 如图8，矩形ABCD的对角线AC、BD交于 点O，∠AOD=60°，AB= 2 3 ，AE⊥BD 于点E，求OE的长？
E
D
D C
G
P
H
G A B
B
F
C
• 如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝4cm， 1 E是DC的中点，BF＝ BC则四边形DBFE的面 4 积为 ．
M A D
D
E
C
D′
B
F C′
N
C
F A B
(第10题)
• 如图所示，把一长方形纸片沿MN折叠后，点D， C分别落在D′，C′的位置．若∠AMD′＝36°， 则∠NFD′等于（ ） • （A） 144° （B）126° • （C）108° （D）72°
• 6.如图，在矩形ABCD中, EF∥AB ,GH∥BC ,EF 与BC 的交点P在 BD上，图中面积相等的四边形有 （ ） • A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 • .如图，把两个大小完全相同的矩形拼成 “L”型图案，则∠FAC=________ ， ∠FCA=________.
F E
A
1.矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质 外，还具有特殊 的性质，请写出：____________, _________
2在矩形ABCD中，对角线AC=10Cm， AB:BC=3:4, 则矩形的周长为_________
3在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于，若∠AOB =1100，则∠OAB =______ 4.矩形两对角线的夹角为600，较短边长为10cm，则较 长边长为________ 5.直角三角形的两直边长为6和８，则斜边上的中线长为 __________ 6.矩形的边长为10 cm和15 cm，其中一个内角的角平 分线分长边为两部分，这两部分的长分别为（ ） A.6 cm和9 cm B. 5 cm和10 cm C. 4 cm和11 cm D. 7 cm和8 cm
例题
矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm。求AD的长及点A到BD的距离AE的长。
解：设AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在
Rt△ABD中，由勾股定理：
AD2+AB2=BD2 ∴
2 2
x 8 x 4
2
解得x=6。则 AD=6cm。
∵AE×DB= AD×AB 解得 AE= 4.8cm. “直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利 用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上 的高的一个基本关系式： AE×DB= AD×AB
角：
对角线：
知识要点
矩形的性质 边
矩形的对边平行且相等. 矩形的四个角都是直角. 矩形的对角线互相平分. 矩形的对角线相等. A
D
角
对角线
对称性 矩形是轴对称图形，
也是中心对称图形.
B C
直角三角形的一个性质 矩形特殊性质的推论
A O B C
D
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
即：在Rt△ABC中, BO是斜边AC上的中线，
C
∴AC=BD
1 1 ∴BO= 2 BD= 2 AC
例题
矩形ABCD的两条对角线相交于点O， ∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长。
解：∵
四边形ABCD是矩形，
∴
OA=OB。
又 ∠AOB=60°，
∴ △OAB是等边三角形.
∴ 矩形的对角线长
AC=BD = 2OA=2×4=8（cm）.
1 则BO= 2 AC.
定理证明
已知：在Rt△ABC中∠ABC=90°，BO是AC上的中线. 1 求证: BO = AC A D 2 D 证明: 延长BO至D，使OD=BO 连结AD、DC. ∵AO=OC, BO=OD B ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠ABC=90° ∴ ABCD是矩形 O