高考数学 考点27 几何体的体积试题解读与变式

考点27 几何体的体积
一、知识储备汇总与命题规律展望
1.知识储备汇总:
1.1多面体的体积公式
表中S表示面积，',c c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长.
1.2旋转体的面积和体积公式
表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，12,r r分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径.
1.3求体积常见方法
①直接法（公式法）直接根据相关的体积公式计算；②转移法：利用祖暅原理或等积变化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积；③分割法求和法：把所求几何体分割成基本几何体的体积；④补形法：通过补形化归为基本几何体的体积；⑤四面体体积变换法；⑥利用四面体的体积性质：（ⅰ）底面积相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（ⅱ）高相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（ⅲ）用平行于底面的平面去截三棱锥，截得的小三棱锥与原三棱锥的体积之比等于相似比的立方.
求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体.补形：三棱锥⇒三棱柱⇒平行六面体；分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是1：2：3和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等.
1.4以三视图为载体的几何体的体积问题
根据三视图，画出对应几何体的直观图，根据三视图确定几何体中点、线、面的位置关系及有关量的值，分析几何体的构成，根据几何体的构成特点，确定求体积的方法，求出几何体的体积.
2.命题规律展望：几何体的体积是高考考查的重点和热点，主要以三视图为载体考查简单几何体的体积或以球与多面体、旋转体切接为载体考查几何体或球体的体积，难度为容易、中档或难题，题型为选择、填空题，分值为5-10分. 二、题型与相关高考题解读 1.多面体的体积 1.1考题展示与解读
例1 【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三
角形ABC 的中心为O .D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，
AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，
△FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3
）的最大值为_______.
【命题意图探究】本题主要考查锥体体积的计算及利用导数求体积的最值，是难题.
【答案】
【解析】如下图，设正三角形的边长为x ，则13OG =x .
∴5FG SG ==，
SO h ===
∴三棱锥的体积21133ABC V S h ∆=⋅= =
令()455n x x =，则()34
'20n x x x =，
令()'0n x =，43
40
x = ，x =
max 48V =
【解题能力要求】空间想象能力、运算求解能力
【方法技巧归纳】对与几何体体积有关的综合问题，先根据题意设出量，根据几何体的性质求出几何体的体积，利用函数求最值的方法求出体积的最值.
1.2【典型考题变式】
【变式1：改编条件】在正方体中，为中点，为的中点，，则三棱锥的体积为__________．
【答案】
【变式2：改编结论】如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为等腰直角三角形，且此三角形内接于圆柱的底面圆.如果圆柱的体积是V，那么三棱柱的体积是（）
A.
2V
π
B.
V
π
C.
2V π D. 3V π
【答案】C
【解析】设圆的半径为R ，设三棱柱的体积为V 柱 ，则
)
2
2
1
V=R ,=
2
h V h π柱 ， 22
R 1==V V h V V R h πππ
=∴柱柱 ，故选B 【变式3：改编问法】将一张边长为6cm 的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，将剩余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心）模型，如图2放置，若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3），则正四棱锥的体积是（ ）
A ．
cm 3
B ．
cm 3
C ．
cm 3
D ．
cm 3
【答案】A
2.以三视图为背景的几何体体积问题 2.1考题展示与解读
例2【2017课标II ，理4】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）
A ． 90π
B ．63π
C ．42π
D ．36π
【命题意图探究】本题主要考查简单几何体的三视图及其体积的计算，是基础题. 【答案】B
【解析】由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，
其体积2
13436V ππ=⨯⨯=，上半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱的一半，其体
积()221
36272
V ππ=⨯⨯⨯=，该组合体的体积为：12362763V V V πππ=+=+=。

故选B 。

【解题能力要求】空间想象能力、运算求解能力
【方法技巧归纳】先根据三视图画出几何体的直观图，确定各量的值和几何体中点线面的位置关系，再运用相关公式计算几何体的体积. 2.2【典型考题变式】
【变式1：改编条件】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图的右边为一个半圆，则此几何体的体积为（ ）
A. 164π+
B. 162π+
C. 484π+
D. 482π+ 【答案】B
【解析】由已知可得该几何体是由一个四棱锥和半个圆锥组成的，故其体积为
14433⨯⨯⨯+211
2316223
ππ⨯⨯⨯=+ ，故选B. 【变式2：改编结论】如图是底面半径为1，高为2的圆柱被削掉一部分后剩余的几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图），则被削掉的那部分的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．
﹣2 D ．2
【答案】B
【变式3：改编问法】已知空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积12+4π，则该几何体的表面积是 ．
【答案】28+8π
【解析】根据三视图可知几何体是组合体：后面是直三棱柱、前面是半个圆柱，且圆柱的底面圆半径是2，母线长是x ，三棱柱的底面是直角三角形：直角边分别是4、3，斜边是5，
三棱柱的高是x ，则该几何体的体积V=x x ⨯⨯+⨯⨯π2
1
2421=12+4π，解得2=x ，∴该几何体的表面积S=
+π×22
+π×2×2=28+8π.
3.传统文化与几何体的体积结合问题. 3.1考题展示与解读
例3.【2015高考新课标1，理6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）
(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛
【命题意图探究】本题主要考查传统文化与简单几何体体积，是基础题. 【答案】B
【解析】设圆锥底面半径为r ，则
12384
r ⨯⨯==16
3r =，所以米堆的体积为
211163()5433
⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为320
9÷1.62≈22，故选B. 【解题能力要求】传统文化阅读理解、运算求解能力
【方法技巧归纳】传统文化与几何体的体积结合问题，认真阅读题目，将问题转化为简单几何体的体积问题，利用简单几何体的体积公式计算. 3.2【典型考题变式】
【变式1：改编条件】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有邹亮，下广三丈，茅四仗，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽仗长仗；上棱长仗，高一丈，问它的体积是多少？”已知丈为
尺，现将该锲体的三视图给出右图所示，齐总网格纸小正方形的边长1丈，则该
锲体的体积为（）
A. 立方尺
B. 立方尺
C. 立方尺
D. 立方尺
【答案】A
【变式2：改编结论】中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若 取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（）
A. 1.2
B. 1.6
C. 1.8
D. 2.4
【答案】B
【解析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得：
()2
15.43112.62x x π⎛⎫
-⨯⨯+⋅= ⎪⎝⎭
， 1.6x =，故选B.
【变式3：改编问法】堑堵，我国古代数学名词，其三视图如图所示．《九章算术》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高若干丈，其积为46500立方尺，问表面积几何？”意思是说：“今有堑堵，底面宽为2丈，长为18丈6尺，高为若干丈尺，它的体积是46500立方尺，问其表面积多少平方尺？”（注：一丈=十尺）．答案是 。

【答案】8749508870+
【解析】由已知，堑堵形状为棱柱，底面是直角三角形，设其高为h ，其体积为
h 1862021
⨯⨯=46500立方尺，解得25=h ，则表面积为25)2018618620(186202
1
222⨯++++⨯⨯⨯=8749508870+．
4.旋转体的体积问题 4.1考题展示与解读
例4【2015高考山东，理7】在梯形ABCD 中，2
ABC π
∠=
，
//,222AD BC BC AD AB === .将梯
形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） （A ）
23π （B ）43π （C ）53
π （D ）2π 【命题意图探究】本题主要考查圆柱、圆锥的定义及其体积公式，是容易题. 【答案】C
【解析】直角梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为：2
2
1
5
12113
3
V V V πππ=-=⨯⨯-⨯⨯⨯=圆柱圆锥 ,故选C. 【解题能力要求】空间想象能力、运算求解能力
【方法技巧归纳】对旋转体的体积问题，常利用旋转体的轴截面，根据题中的条件求出底面半径和高，利用体积公式即可求出体积. 4.2【典型考题变式】
【变式1：改编条件】图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A.
323π B. 3π C. 163
π
D. 83π
【答案】D
【解析】球的半径为2，圆锥的半径为2，高为2；则V =V 半球-V 圆锥=314182422333
ππ
π⋅⋅-⋅⋅＝，故选D .
【变式2：改编结论】在梯形ABCD 中， 2
ABC π
∠=
, //AD BC ,
222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的
几何体的体积为( ) A.
23π B. 43π C. 53
π
D. 2π 【答案】C
【解析】221
512113
3
V π
ππ=⋅⋅-⋅⋅=
，答案选C. 【变式3：改编问法】竹简于上世纪八十年代在湖北省张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“禾盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈L 2
h ．它
实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那么，近似公式V ≈L 2
h 相当于将
圆锥体积公式中的圆周率π近似取为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设圆锥的底面半径为r，则圆锥的底面周长L=2πr，∴r=，∴
V==．令=L2h，得π=，故选A．
三、课本试题探源
必修2 P35页复习参考题 A组第5题：如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，并且底面是正三角形，如果圆柱的体积是V，底面直径与母线长相等，那么三棱柱的体积是多少？
四．典例高考试题演练
1.【2018届广东省揭阳市惠来县一中上期第一次月考】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A. 1
6
B.
1
3
C.
2
3
D.
2
3
【答案】B
【解析】几何体为一个四棱锥，髙为1，底面为边长为1的正方形，所以体积为21
11133
⨯⨯= ，选B.
2.【2018届江西省南昌市上学期摸底考】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为
A.
43 B. 23 C. 83
D. 4 【答案】B
【解析】由已知可得该几何体为红色部分的三棱锥，故其体积为112
212323
V =⨯⨯⨯⨯= ，故选B.
3.【2018届衡水金卷全国高三大联考】已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由三视图可知该几何体是一个半圆柱与一个地面是等腰直角三角形的三棱锥构成的
组合体，故其体积，故选A.
4.【2018届浙江省温州市一模】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：）是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由三视图可知，该几何体是半个圆柱和以圆柱轴截面为底面的四棱锥组成的组合体，其中半圆柱底面半径为，高为，体积为，四棱锥体积为，所以该几何体体积为，故选A.
5.【2017届陕西西安一模】）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）
A．2 B．C．D．3
【答案】C
6.【2017届广东花都区二模】一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）
A．B．C．2 D．
【答案】B
【解析】此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，∴V==，故选B.
7.【2017届江西新余二模】某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
【答案】B
8.【2017•贵阳二模】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．16π﹣B．16π﹣C．8π﹣ D．8π﹣
【答案】D
【解析】由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥，∴该几何体的体积V=﹣=8π﹣，故选：D．
9.【2017届湖北模拟】如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB、BC的中点，过点D1、E、F的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为V1、V2（V1＜V2），则V1：V2=（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示，设正方体的棱长为2a，则过点D1、E、F的截面下方体积为
﹣=，∴另一部分体积为8a3﹣=，∴V1：V2=，故选C．
10.【2017届江西一模】我国古代数学家祖暅是著名数学家祖冲之之子，祖暅原理叙述道：“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异．”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．其最著名之处是解决了“牟合方盖”中的体积问题，其核心过程为：如下图正方体ABCD﹣A1B1C1D1，求图中四分之一圆柱体BB1C1﹣AA1D1和四分之一圆柱体AA1B1﹣DD1C1公共部分的体积V，若图中正方体的棱长为2，则V=（）
（在高度h处的截面：用平行于正方体上下底面的平面去截，记截得两圆柱体公共部分所得面积为S1，截得正方体所得面积为S2，截得锥体所得面积为S3，，⇒S2﹣S1=S3）
A．B．C．8 D．
【答案】A
11.【2017届安徽六安模拟】将一块边长为10的正方形铁片按图1所示的阴影部分裁下，用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个底面边长为x的正四棱锥形容器（如图2），则函数f（x）=的最大值为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由图可知EF=5，OF=，∴四棱锥的高OE=，∴V E﹣ABCD=S△
ABC•OE=．∴f（x）===，∵
≤=，当且仅当=25﹣即x=5时取等号．∴f max（x）==，故选C．
12.【2018届广东省深圳市南山区上学期入学摸底考】某组合体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为1，则该多面体的体积是__________.
【答案】
43
【解析】几何体为如图，两个三棱锥和一个正方体的组合体，所以1142113
23
V =⨯⨯⨯
+=
13.【2017届福建厦门二模】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．
【答案】
【解析】由三视图得到几何体是三棱柱割去一个三棱锥剩下的几何体：如图所示，几何体的体积为
.
14.【2018届黑龙江省佳木斯市鸡东县第二中学第一次月考】若球O 的直径CD ，点,A B 在球面上， 0
90AOB ∠=， CD ⊥平面AOB ，三棱锥B ACD -的体积为9，则球O 的体积为__________．
【答案】36π 【解析】
331493,3633
R R V R ππ=∴=== 15.【2017届浙江温州模拟】已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则此几何体的体积为 ，表面积为 ．
【答案】，
【解析】根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个边长为2的正方形，PE ⊥面ABCD ，且PE=2，其中E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连结EF 、PA ，∴几何体的体积V==，
在△PEB 中，PB=
=
，同理可得PC=
，∵PE ⊥面ABCD ，∴PE ⊥CD ，∵CD ⊥BC ，
BC ∩PE=E ，∴CD ⊥面PBC ，则CD ⊥PC ，在△PCD 中，PD==
=3，同理可得PA=3，
则PF ⊥AD ，在△PDF 中，PF=
=
=
，∴此几何体的体积为
3
8
22231=⨯⨯⨯，∴此几何体的表面积S=2×2++
+
=
.。