广东省佛山市郑裕彤中学高三数学文联考试卷含解析

广东省佛山市郑裕彤中学高三数学文联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若，为虚数单位，且则（）
A．， B. C. D.
参考答案：
D
略
2. 已知函数，则
A．B．C． D．
参考答案：
D
考点：分段函数，抽象函数与复合函数
故答案为：D
3. 已知函数的周期为4，且当时，其中．若方程
恰有5个实数解，则的取值范围为 ( )
A． B． C． D．
参考答案：
B
【知识点】函数与方程
解析：因为当x∈(-1,1)时，将函数化为方程，为一个半椭圆，其图像如图所示，同时在坐标系中作出当x∈(1,3)的图像，再根据周期性作出函数其它部分的图像，由图易知直线
与第二个椭圆相交，而与第三个半椭圆无公共点时，方程恰有5个实数解，将代入得
，令，则由
，得t＞15,所以，又
m＞0，得，同样由与第三个椭圆无交点，△＜0，得，综上可知，所以选B.
【思路点拨】一般遇到方程的根的个数或函数的图像的交点个数问题，通常利用数形结合进行解答.
4. 若一个变换所对应的矩阵是，则抛物线在这个变换下所得到的曲线的方程是
（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
略
5. 函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（）
A． B． 1 C． 2 D．
参考答案：
A
根据积分的应用可求面积为
，选A.
6. 设复数，，，则复数在复平面内所对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
参考答案：
A
略
7. 若，
A． B． C．
D．
参考答案：
A
8. 定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（﹣x），当x∈（0，）时，f（x）=log（1﹣x），则f（x）在区间（1，）内是（）
A．是减函数，且f（x）＞0 B．是减函数，且f（x）＜0
C．是增函数，且f（x）＞0 D．是增函数，且f（x）＜0
参考答案：
C
考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：令x∈x∈（1，），则x﹣1∈（0，），利用已知表达式及函数的奇偶性知f（x）=﹣log2（2﹣x），从而可得答案．
解答：解：设x∈（1，），则x﹣1∈（0，），
根据题意，f（x）=f（﹣x+1）=﹣f（x﹣1）
=﹣log2（1﹣x+1）
=﹣log2（2﹣x），
∴f（x）在区间（1，）内是增函数，且f（x）＞0．
故选：C．
点评：本题考查了函数奇偶性、单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
9. 盒中装有形状，大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个，若从中随机取出2个球，已知其中一个为红色，则另一个为黄色的概率为
A. B. C.
D.
参考答案：
C
10. 已知函数则 ( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设等差数列的前项和为，已知，，则．
参考答案：
12. 阅读右侧程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的自然数
为 ．
参考答案：
5
13. 不等式
的解集为
.
参考答案：
14. 已知函数，则____;
参考答案： 2 略
15. 矩形ABCD 中，，
，PA ⊥平面ABCD ，，E ，F 分别是AB ，DC 的中点，则
四棱锥
的外接球表面积为 ．
参考答案：
44π 设四棱锥
的外接球半径为R,则
,
因此外接球表面积为
16. 已知菱形
的边长为，
，点
分别在边
上，
，
. 若
，则的值为 .
参考答案：
【知识点】平面向量数量积的运算．F3 【答案解析】2 解析：∵BC=3BE，DC=λDF， ∴=，=， =+
=
+
=+
，
=
+
=
+
=
+
，
∵菱形ABCD 的边长为2，∠BAD=120°，
∴||=|
|=2，
?
=2×2×cos120°=﹣2，
∵?=1，
∴（
+）?（
+
）=
+
+（1+
）
?
=1，
即×4+×4﹣2（1+）=1，
整理得
，
解得λ=2， 故答案为：2．
【思路点拨】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．
17. 以下是求函数y=|x+1|+|x-2|的值的流程图．回答以下问题：
（Ⅰ） ①处应填入的内容是________________; ②处应填入的条件是________________;
③处应填入的内容是________________;
（Ⅱ）若输出的y的值大于7，求输入的x的值的范围．参考答案：
解：（Ⅰ）①处应填入的内容是______；
②处应填入的条件是_（或）____；
③处应填入的内容是______。

（Ⅱ）当x<-1时，由y>7得x<—3，
当x>2时，由y>7得x>4
，
所以，输入的x 的值的范围是x<—3或x>4。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设分别为直角坐标系中与轴、轴正半轴同方向的单位向量,若向量
且.
(Ⅰ)求点的轨迹的方程；
(Ⅱ)设抛物线的顶点为,直线过点与曲线交于两点,是否存在这样的直线,使得以为直径的圆过原点,若存在,求出直线方程；若不存在,请说明理由？
参考答案：
解：（1）∵，则，
由两点间的距离公式得：（即动点到两定点的距离之和为定值）……(5分)（2）因抛物线方程为：，故.
当直线轴时，不合题意。

当直线不垂直于轴时，设直线方程为：，
…………(7分)
设A,B，且△>0恒成立，
又
∵…………(10分)
可得：，
则所求的直线方程为：
…………(13分)
略
19. (本题满分12分)
已知集合，实数使得集合满足，
求的取值范围.
参考答案：
A=(3,4)…………………………………… ……………..2分
a5时，B=，满足A B； (6)
分
a<5时，B=，由A B，得a4，故4a<5， (10)
分
综上，得实数a的取值范围为a 4. …………… …………..12分
20. （本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
已知在直角坐标系xOy中，直线，的参数方程是（t是参数，m是常数），以原点O
为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C极坐标方程为ρ=asin（θ+），点M的极坐
标为（4，），且点M在曲线C上．
(I)求a的值及曲线C直角坐标方程；
(II )若点M关于直线l的对称点N在曲线C上，求|MN|的长，
参考答案：
21. 已知等比数列的首项，前n项和为，满足、2、成等差数列；
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设），数列的前n项和为T n ，求证：．
参考答案：
解：（Ⅰ）因为、2、3成等差数列，所以2=+3，当q=1时，不符合；当q时，得4=+3，故q=， q=0（舍去）
综上：
（Ⅱ）证明：由（1）知，所以
==
=（，
由得所以，
从而=<
因此.
略
22. （14分）已知点F是抛物线y2=2px的焦点，其中p是正常数，AB，CD都是抛物线经过点F的弦，且AB⊥CD，AB的斜率为k，且k＞0，C，A两点在x轴上方．
（1）求+；
（2）①当|AF|?|BF|=p2时，求k；
②设△AFC与△BFD的面积之和为S，求当k变化时S的最小值．
参考答案：
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（1）设，由，得
，由此利用韦达定理、抛物线定义，结合已知条件得
．
（2）①=，由此能求出．
②由|CF|?|DF|=（k2+1）p2，，能求出当k=1时，S有最小值2p2．
解答：解：（1）设
由，得，
由韦达定理，得：…
由抛物线定义得
同理，用，
∴．…
（2）①
=…当时，
，
又k＞0，解得…
②由①同理知|CF|?|DF|=（k2+1）p2，
，
由变形得，…
又AB⊥CD，
∴=…
∴当k=1时，S有最小值2p2…（14分）
点评：本题考查+的求法，考查直线斜率的求法，考查两个三角形的面积之和的最小值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．。