第九章精品文档

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宏观条件的限制
1
d, f
N !hNiri
i
EH (q, p)E E
i
Ni ri
i
第四章 系综理论
相空间，刘维尔定理 统计系综 微正则分布 正则分布 巨正则分布 固体热容量的德拜（声子）理论
4.1 系综理论
I．系综理论的基本概念及适用范围：
系综理论的引入： 系综理论的适用范围： Γ空间：
对系综平均。
经典： B(t) B(q, p)(q, p,t)dqdp
量子： B(t) s Bs
物理量的系综平均 s
对于近独立粒子
此平均：所有可能的微观状态上的平均 的孤立系统，
彼平均：最概然分布的微观状态上的平均 二者等价！
刘维尔定理
保守力学体系在Γ空间中代表点运动的特点
刘维尔定理：
保守力学体系（能量守恒体系） 在Γ空间中的代表点的密度在运动中保持不变。
统计物理学 第四章 系综理论
统计物理
微观
量子力学规律 牛顿力学规律
统计力学规律
热力学
宏观
粒子运动状态的描述
粒子：指组成宏观物质系统的基本单元。 粒子运动状态是指他的力学运动状态 经典描述：遵从经典力学的运动规律 量子描述：遵从量子力学的运动规律
粒子运动状态的经典描述：一维（线性）谐振子
r 1 q, p
量子化的相空间
我们希望保留相空间的概念（图象）。但是，由于不确 定原理，粒子的坐标和动量不能同时无限精确地确定，它在 某一时刻的运动状态就不能用相空间中一个点来表示，而只 能用一个区间来表示。对自由粒子而言，它的位置不确定范 围扩展到整个空间，所以，在严格的量子语言之中，企图在 相空间描述它的运动状态是不现实的。
4.1 系综理论
哈密顿正则方程
H
f i 1
pi2 2mi
U (q1, q2 ,..., q f
)
qi
H pi
,
p i
H qi
当系统从某一点出发随时间变化的时候， 其微观运动状态的变化即可以用相空间中 代表点运动轨迹来表示。
4.1 系综理论
Γ空间性质：
1. 是人为想象出来的相空间，引入的目的在于 形象化地描述体系的微观运动状态。Γ空间 中一个有物理意义的代表点代表体系的一个 微观运动状态，而不代表一个体系。体系存 在于坐标空间中而不是在Γ空间中。随着时 间的变化，体系微观运动状态随时间的变化 表示为代表点运动的轨迹。
ms
± 1/2
系统的微观运动状态
（1）近独立的粒子组成的系统 （组成系统的粒子间相互作用很弱，可以被忽略） 空间 子相宇, 维数2r， N个全同粒子组成的系统的微观运动状态 同一空间N个代表点分布来表示。 变化，N点分布变化。
（2）组成系统的粒子间有相互作用的情况，不可以被忽略 空间 相宇, 维数2Nr， N个全同粒子组成的系统的微观运动状态, 空间1个代表点来表示。 微观状态变化，代表点沿正则方程轨迹（轨道）
B(q, p)(q, p,t)dqdp B(t)
B(t) ：与微观量相应的宏观物理量
4.1 系综理论
III．统计系综及系综平均值 a. 引入统计系综的原因 b. 系综与体系的关系 c. 引入系综后对平均值公式的理解
4.1 系综理论
a. 引入统计系综的原因
对于有相互作用的体系，不能把体系中的单个粒子作为统 计个体，而应把整个体系作为统计个体去考虑；
体系不同的微观状态在Γ空间中的大量代表点看成大量相 同体系处在各自独立微观状态时在Γ空间代表点的集合；
Gibbs引入系综的概念。由于系综中每个体系所处的微观 状态是各自独立的，这样系综就相当于一种新的独立子系 组成的大体系。
注意：系综是统计理论的一种表达方式，而不是实际的物 体体系，实际的物体仍是我们所研究的对象。
4.1 系综理论
Γ空间：
设力学体系是由M种粒子组成，第i种粒子的自由度 是ri，粒子数为Ni则体系自由度是
M
f Niri i 1
要确定{q1,q2,…,qf ; p1,p2,…,pf}，共2f个广义坐标和 广义动量。以这2f个变量为直角坐标，构成一个2f维 空间，称为Γ空间。 系统在某一时刻运动状态就由这2f个变量所确定的Γ 空间中的一个点表示
半经典近似
把经典的连续的空间变成“相格”式的量子化的空间， 从而使每一个量子态与一个相格相对应。这种处理虽然承 认了量子粒子的状态是一些分立的量子态，但还是离不开 用坐标和动量去描述粒子的微观运动状态，因而这种处理 是一种半经典近似处理，不是一种彻底的量子力学处理。 但这种处理可以几何化描述，很形象，在统计物理中很适 用（把求和换成积分）。
子态数。
D( )d 2L ( m )1/2 d h 2
体系的量子化的相空间
多粒子体系的每一个可能的运动状态（量子态），都对 应于相空间中大小为的 hNr 体积元。N代表粒子个数，r 代表 粒子的自由度数。
所以，同单粒子的情况类似，多粒子体系相空间的体积 决定了体系的微观运动状态的数目。
1 N!h Nr
t
dt
d
计算通过平面qi进入d的代表点数。d在平面qi上 的边界面积为：
(q1
q1dt, p f
p f dt, t
dt)
d
dt
dt
d
dt t
i
qi
qi
pi
p i
刘维尔定理
证明：
d 0
dt
d dq1,, dq f ; dp1,, dp f
qi , qi dqi ; pi , pi dpi (i 1, 2,, f )
刘维尔定理
d
dtd
t
刘维尔定理
代表点在运动中没有集中和分散的倾向。在Γ空间中 看来，代表点在新区域中的密度和在老区域中的密度相等。 开始时，如果代表点密度均匀，则在运动过程中的任何时
刻，密度也一定均匀。从数学上看，d/dt表示追随代表 点一起运动时，随时间的变化率； /t表示在Γ空间中 固定某点{q1,q2,…,qf ;p1,p2,…,pf}来看， 随时间的变化率。 刘维尔定理表明：在运动过程中，不随时间而改变。从 数学上来看，应表示为：d/dt＝0。
4.1 系综理论
Γ空间性质：
2. 任何体系总可以找到和它相对应的Γ空间来 形象地描述它的微观状态。但并不是任何 不同的体系的微观运动状态都可以用一个Γ 空间描述。只有那些力学性质完全相同， 比如说自由度等都一样的体系才能用同一 个Γ空间描述它们的运动状态。
4.1 系综理论
Γ空间性质：
3. 对保守力学体系，有H=E=常数
怎么办？ 承认能级的量子化，保留轨道概念！ —— 半经典近似
半经典近似 相格
经典粒子的一个运动状态 ↔ 相应的空间的一个点。
量子粒子(自由度r）的一个量子态 n
↔ 相应的空间中的一个体积为hr的相格。
在同一相格内，不能存在两个不同的量子 态。
一个量子态可以同时有两个以上的粒子处 在该态。
一个相格中也可以有两个以上的粒子（玻 色子）。
p2 1 m 2q2
2m 2
p
2m
q
2 m 2
能量恒定的轨迹为椭圆
问题？一维阻尼谐振子的相轨迹？
相空间 （微观运动状态空间） 相轨迹 （描述微观运动状态的变化轨迹）
粒子运动状态的量子描述：一维无限深势阱
粒子运动状态的量子描述：电子
name
symbol
values
principal quantum number
如何进行统计平均，核心问题是如何求 统计权重，即分布函数ρ。
如何求热力学量，给出热力学方程。
4.1 系综理论
系综理论的适用范围：
系综理论：平衡态统计物理的普遍理 论，可以应用于有相互作 用的粒子组成的系统。
空间
设粒子的自由度为r，经典力学告诉我们，粒子在任一时刻的 力学状态由粒子的r个广义坐标q1, q2,……qr和与之共轭的r个
系综是大量性质完全相同的力学体系的集合，这 些力学体系各处在不同的运动状态dq1…dqfdp1…dpf
t时刻，系统中的微观运动状态处在Γ空间体 积元dpdq内的概率
(q, p,t)dqdp
满足归一化条件
(q, p,t)dqdp 1
4.1 系综理论
某一微观量B(q,p)对所有可能微观运动状态的 平均值为：
示，称为粒子力学运动状态的代表点。当粒子的运动状态随时 间改变时，代表点相应地在空间中移动，描画出一条轨道， 称为相迹。
空间
粒子在空间的描述：
由N个粒子组成的系统在某一时刻的一个特定 的微观状态，在空间中用N个代表点表示。 随着时间的变化，系统运动状态的变化由N 个代表点在空间中的N条运动轨迹，即N 条线代表。
4.1 系综理论
b. 系综与体系的关系
系综中各个体系除所处的微观运动状态不同 外，其它性质完全相同。
系综中体系的数目为所研究的物体在给定的 宏观条件下一切可能的微观运动状态数的总 和Ω。
4.1 系综理论
c. 引入系综后对平均值公式的理解
宏观物理量是相应的微观量对体系一切可能 的微观运动状态的统计平均理解为：
广广义义动坐量标p和1,广p2义,…动..量pr的在函该数时：刻的数值确(定q1。,粒q子r;的p1能,量p是r )其
如果存在外场，还是描述外场参量的函数。
为了形象地描述粒子的力学运动状态，用q1, q2,……qr; p1,p2,…..pr共2r个变量为直角坐标，构成一个2r维空间，称为
空间。粒子在某一时刻的力学运动状态可用空间中的一点表
量子化的相空间
无数实例表明，微观粒子的每一个可能的运动状态（量
子态），都对应于相空间中大小为的 hr 体积元。r 代表粒子
的自由度数。
态密度——量子态的密度 （经典力学的态密度 h0r ）
显然，在相空间，态密度永远是常数。因为，每一个量
子态占据着相同的体积。但更多的时候，我们关心的是能量
表达中的态密度，即，某个能量值附近单位能量范围内的量
n
Any integer from 1 to infinity
azimuthal quantum number
ℓ
Any integer from 0 to n-1
magnetic quantum number
mℓ
Any integer from –ℓ to +ℓ
spin quantum number
刘维尔定理
H (q1,, q f ; p1,, p f ) E
该式确定相空间中的一个曲面，称为能量曲面。孤立系 统运动状态的代表点一定位于能量曲面之上。
d dq1,, dq f ; dp1,, dp f
(q1,, q f ; p1,, p f ;t)d
刘维尔定理
(q1,, q f ; p1,, p f ;t)d N
4. 在一般物理问题中，哈密顿函数H及 其微商均为单值函数，所以在Γ空间 中，代表点运动转变永不相交。
5. 相宇
4.1 系综理论
II．宏观物理量统计平均值公式： 宏观物理量是相应的微观量对系统所有微观 状态的统计平均值。
时间 平衡态的统计理论 不重要！
去掉时间因素
4.1 系综理论
吉布斯统计系综的概念： 把本来是一个体系，在微观长的时间内，由于微 观运动状态的变化而在Γ空间对应的大量代表点 的问题，想象为许多不同体系，在同一时刻t，它 们各自的运动状态在Γ空间对应许多代表点的问 题。这样，原来一个体系在不同时刻的代表点， 就变成了许多不同体系在同一时刻的代表点来处 理，时间因素就不出现了。吉布斯把这些想象出 来的体系的集合称为统计系综，简称系综。
II．宏观物理量统计平均值公式： III．统计系综及系综平均值
引入统计系综的原因 系综与体系的关系 引入系综后对平均值公式的理解
IV. 刘维尔定理：
4.1 系综理论
I．系综理论的基本概念及适用范围：
系综理论的引入：
玻耳兹曼统计理论 玻色统计理论 费米统计理论
力学性质相同的近 独立粒子组成的经 典力学体系。
空间
空间性质：
i) 空间是人为想象出来的超越空间，是个相空间。
引进它的目的在于使运动状态的描述几何化、 形象化，以便于进行统计。空间中的一个代表 点是一个粒子的微观运动状态而不是一个粒子。 ii) 在经典力学范围，在无相互作用的独立粒子系 统中，任何粒子总可找到和它相应的空间来形 象地描述它的运动状态，但不是所有的粒子的 运动状态可以在同一空间中描述。 iii)子相宇
针对只有一种组元 的化学纯体系。
4.1 系综理论
实际体系： 单个粒子的能量 粒子间相互作用势能 不能再看成近独立的粒子！
建立一般物理体 系的统计理论。
4.1 系综理论
吉布斯： 处理平衡态统计物理的普遍理论 ——系综理论
4.1 系综理论
统计理论解决问题的三个方面：
如何描写体系的微观运动状态，包括力 学描述和几何描述。