数值计算答案解析石瑞民

.
习题一
1、取 3.14,3.15 ，
22
， 355 作为 的近似值，求各自的绝对误差，相
7
113
对误差和有效数字的位数。

解： x 1 3.14
x 1
1 10 2
1 101 3
2
2
所以， x 1有三位有效数字
绝对误差： e
3.14 ，相对误差： e r
3.14
绝对误差限：
1 10
2 ，相对误差限：
r
1 3 10 31
1 102
2
2
6
x 2 3.15
3.15
0.00840174 0.84074 10 2
0.5 10 1
0.5 101 2
所以， x 2 有两位有效数字
绝对误差： e
3.15 ，相对误差： e r
3.15
绝对误差限：
1 10 1 ，相对误差限： r
1 10 1
2
6
22
x 2
7
22 0.0012645 0.12645 10
2
0.5 10
2
0.5 101
3
7
所以， x 3 有三位有效数字
22
22
绝对误差： e
，相对误差： e r
7
7
绝对误差限：
1 10
2 ，相对误差限： r
1 10 2
2
6
x 1
355
113
355 0.00000032 0.32 10 6 0.5 10 6 0.5 101 7
113
所以， x 4 有七位有效数字
.
355
绝对误差： e
355 ，相对误差： e r
113
113
绝对误差限：
1 10 6 ，相对误差限： r
1 10 6
2 6
3、下列各数都是对准确数四舍五入后得到的近似数，试分别指出它
们的绝对误差限和相对误差限，有效数字的位数。

x 1 0.0315, x 2 0.3015, x 3 31.50, x 4
5000
解： x 1 0.0315
m=-1
x *
x 1
1 10 4
1 1013
2
2
所以， n=3 ， x 1有三位有效数字
绝对误差限：
1 10 4 ，相对误差： r 1 10 n 1 1 10 2
m=0
2
2a
6
x 2
0.3015
x *
x 2
1 10 4 1 100 4
2
2
所以， n=4 ， x 1有四位有效数字
绝对误差限：
1 10 4 ，相对误差： r 1 10 n 1 1 10 3
m=2
2
2a
6
x 3
31.50
x *
x 3
1 10 2
1 1024
2
2
所以， n=4 ， x 1有四位有效数字
绝对误差限：
1 10
2 ，相对误差： r 1 10 n 1 110 3
m=4
2
2a
6
x 4
5000
x *
x 4
1 100 1 1044
2
2
所以， n=4 ， x 1有四位有效数字 绝对误差限：
1 100 0.5 ，
2
相对误差：
r
1 10 n 1 1 10 3 10 2
4、计算
2a 2 5
0.1% 。

10 的近似值，使其相对误差不超过 解：设取 n 位有效数字，由定理 1.1 知， r
1 10 n 1
2a
由 10 10 0.3162 ，所以， a 1
3
.
由题意，应使
1
10 n 1 0.1% ，即 10 10 n 6 103
6
所以， n=4 ，
即 10 的近似值取 4 位有效数字 近似值 x 3.162
6 、在机器数系下 F(10,8,L,U) 中 取 三 个 数 x 0.23371258 10 4 ， y 0.33678429 102 ， z 0.33677811 102 ，试按 (x y) z 和 x ( y z) 两 种算法计算 x y z 的值，并将结果与精确结果比较。

( x y)
z
(0.23371258 10 4
0.33678429
102) 0.33677811 102
解：
(0.00000023371258 102 0.33678429 102) 0.33677811 10 2
0.3367845237 1258 10 2
0.33677811 10
2
0.33678452 102
0.33677811
10 2 0.00000641 10 2
0.64100000
10 3
x ( y z)
0.23371258 10 4 (0.33678429 102 0.33677811 10 2 )
0.23371258 10 4 0.6180000000 0 10 3
0.023371258
10 3 0.6180000000 0 10 3
0.641371258 10 3 x 0.64137126 10 3
y z
0.23371258 10 4 0.33678429 102 0.33677811 10
2
0.00000023371258 102 0.33678429 102 0.33677811 102
0.00000641371258 102 0.64137126 10 3
所以， x ( y z) 比 ( x y) z 精确，且 x ( y z) 与 x y z 相同；
因此，在做三个以上的数相加时， 需要考虑相加的两个同号数的阶数尽量接近。

8、对于有效数 x 1 3.105 ， x 2
0.001， x 3 0.100 ，估计下列算式的相 对误差限。

y 1
x 1 x 2 x 3 ， y 1 x 1 x 2 x 3 ， y 3
x 2
x 3
解： x 1
3.105 ，m=1;
x
*
x 1
1
10 3
1 1014
2
1 2
所以
( x 1 )
10 3
.
同理( x 2 )
1 10 3
( x 3 ) 1 10 3
2
2
1
e(x 1 ) 1 10 3
1
e( x 1 )
10 3
e r ( x 1 ) 2
10 3
2
x 1 或 r (x 1 )
3
3.1025 2
1
e( x 2 ) 1
10 3
1
e( x 2 )
10 3
e r ( x 1 ) 2
2
x 2
0.001 或 r (x 2 ) 1
10
2
1
e( x 3 ) 1
10 3
1
e( x 3 )
10 3
e r ( x 3 ) 2
或 r
10 3
2
x 3
0.100 (x 3 )
1
2
e r ( x 1 x 2
x 3 )
e x 1 x 2 x 3 e x 1
e x 2 e x 3
所 以
，
x 1
x 2
x 3
x 1 x 2
x 3
e r ( y 1 ) e r ( x 1 x 2
x 3 ) 0.49975 10 3
e r ( y 2 ) e r ( x 1 x 2 x 3 ) e r ( x 1 x 2 ) e r ( x 3 ) e r ( x 1 ) e r (x 2 ) e r ( x 3 )
所以， e r ( y 2 ) 0.50516
e r ( y 3 ) e r (
x 2
) e r ( x 2 ) e r (x 3 )
x 3
所以， e r ( y 3 ) 0.505
综合得： r ( y 1 ) 0.49975 10 3 ， r ( y 2 ) 0.50516 ， r ( y 3 ) 0.505
9、试改变下列表达式，使其结果比较精确（其中x 1表示 x 充分
接近 0， x 1表示 x 充分大）。

（1） ln x 1 ln x 2 ， x 1 x 2
（2）
1 x 1 x
， x
1
1 1 x
（3） x
1 x
1
， x
1
x
x
（4） 1
cos x ， x 0且 x
1
（5）
1 x
cot x ， x 0且 x
1
x
答案：（1） ln x 1
；（3）
x 3
2
x 3
，
x 2
x
x
（4）法一：用 1 cos x
1
x 2
得出结果为： 1
x
2
2 法二：
1
cosx
1 cosx sin x
1 cosx x
x
x sin x sin x sin x
1 cos x sin x
( x
0)
sin x
1 cos x
.
或 1 cosx
sin x
2
x
2sin ( )
2 sin( x
) cos(x
)
2 2
x
tan
2
12、试给出一种计算积分 I n
e 1 1 x n e x dx 近似值的稳定性递推算法
解：显然， In>0,n=1,2,
当 n=1 时，得， I 1
1
1 xe x 1dx
e
当 n ≥2 时，由分部积分可得：
I n
1
x n e x 1 dx 1 nI n 1 ，n=2,3,
另外，还有： I n
1
1
1 x n e x 1 dx
x n dx
n 1
由递推关系 In=1-nIn-1 ，可得计算积分序列 { I n }的两种算法：
① I n 1 nI n 1 n=2,3
1 I n
n 2,3,...，
② I n 1
n
下面比较两种算法的稳定性
~
①若已知 I n 1 的一个近似值 I
n 1
，则实际算得的 I n 的近似值为
~
~
I n
1 n I n 1
~
~
所以， I n I n
( n)( I n 1 I n 1 )
~
~
I n I n n I n 1
I n 1
由此可以看出 I n 1 的误差放大 n 倍传到了 I n ，误差传播速度逐
步放大
②由 I n 计算 I n 1
I n 1 1 I n
n N , N 1, 1
n
~
若已知 I n 的一个近似值是 I n ，则实际计算的 I n 1 的近似值为
~
~
1 I n
I n 1
n
~
1
(I n ~
所以， I n 1 I n 1
I n )
n
~
1
~ I n 1
I n 1
I n
I n
n
由此可以看出 I n 的误差将缩小 n 倍传到了 I n ，误差传播速度逐 步衰减。

综上可看出，计算积分 I n
e
1
1
x n e x dx 的一种稳定性算法为
1 I n
n N , N 1, N 2 ,1.
I
n 1
n
习题二
1、利用二分法求方程 x
3
2x
2
4s 7 0
[3，4] 的根，精确到 10 3
，即
1 10 3
误差不超过 2。

解：令 f ( x) x 3
2x 2 4 x 7
f (3)10
0 ， f (40
9 0 ，说明在 [3，4]有根，
利用二分法计算步骤
得出 x 10 3.632324219 ， x 11 3.6321835938 b 11
a 11
x 11
x 10
0.4882181 10 3 1 10 3
满足精度要求
2 所以， x *
x 11
3.6321 ，共用二分法迭代 11 次。

2、证明 1 x sin x 0 在[0,1] 有一个根，使用二分法求误差不大于
1
10 4
的根。

2
证明：令 f (x) 1 x sin x
f (0) 1 0; f (1)
sin1
0 ，
所以， f (0) f (1)
由零点定理知， f ( x) 在[0,1]有一根
根据计算得出：
x *
x 15 0.98283 ，此时共迭代 15 次。

4、将一元非线性方程 2cos x e x
0 写成收敛的迭代公式，并求其在
x 0 0.5 附近的根，精确到 10 2 。

解：令 f ( x) 2 cos x
e x
令 f (x) =0 ，得到两种迭代格式
1
arccos
e x
2
2
ln( 2 cos x)
①( x) e x ，不满足收敛定理。

e x 2
2 1
2
②( x) 2sin x tan x
2cosx
2 ( x0 ) 2 (0.5) 0.008727 1 ，满足收敛定理
由方程写出收敛的迭代公式为 x k 1 ln( 2 cos x k )
取初值为x0 0.5 ，得出近似根为： x* x2 0.69307417
5、为方程x3 x 2 1 0 在 x0 1.5 附近的一个根，设方程改写为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：
（1）x 1 1
2，迭代公式 x k 1 1 12 ；x x k
（2）x3 x 2 1，迭代公式x k 1
2
1)1/ 3 (x k
（3）x2 1 ，迭代公式 x k
1
( x k 1 1 / 2
x 1 1)
解：（1）利用局部收敛定理判断收敛性，判断初值x0 1.5 附近的局部收敛
（2）局部收敛
（3）不满足局部收敛条件
但由于 1 ( ) . 2( )，所以1
( x) 比
2
( x)
收敛的慢
x x
取第二种迭代格式x k 1 (x k
2
1)1/3
取初值 x0 1.5 ，迭代9 次得x* x9 1.466
7、用牛顿法求解x3 3x 1 0 在初始值x
0 2 临近的一个正根，要求
x k 1x
k 10 3 。

解：令 f ( x) x3 3x 1
.
f (x k ) 3x k 3
1 由牛顿迭代法知： x k 1 x k
3( x k
2
1)
f (x k )
迭代结果为：
k
1
2 3
x k
2
1.88 1.8794 1.87
889
5
939
满足了精度要求， x *
x 3 1.87939
8、用牛顿法解方程
1
C 0 ，导出计算 C 的倒数而不用除法的一种
x
0.324 的倒数，设初始值 x 0
简单迭代公式，用此公式求 3 ，要求计
算结果有 5 位有效数字。

解： f ( x) 1
0.325
x
f ( x)
1 ，由牛顿迭代公式
f (x k )
x 2
x k 1 x k
f ( x k )
迭代结果为：
k
x k
1 2 3
3.08 3.0864 3.08 3
18
6420
4
满足精度要求
x *
x 3 3.0864
所以， 0.324 的倒数为 3.0864
11、用快速弦截法求方程 x 3 3x 1 0 在 x 0 2 附近的实根，（取 x 1 =1.9 ，
要求精度到 10 3 ）。

解： f ( x) x 3 3x 1 ，
迭代结果：
k
0 1 2 3 4
.
x k 2
1.8810 1.8794 1.87 1.9
1160 939
94
满足精度要求
x* x4 1.87939
12、分别用下列方式求方程 4 cos x e x在 x0 附近的根，要求有三位
4
有效数字
（1）用牛顿法，取x0
4
（2）用弦截法，取x0 x1
4 2
（3）用快速弦截法，取x0 x1
2
4
解：求出的解分别为： x1 0.905 x2 0.905 x3 0.905
习题三
1、用高斯消元法解下列方程组
2x1 x2 3x3 1
（ 1 ）4x1 2 x2 5x3 4 （ 2 ）x1 2x2 7
11x1 3x2 2x3 3
23x1 11x2 x3 0
x1 2x2 2x3 1
解：（1）等价的三角形方程组为
4x1 2x2 5x3 4 x1 9
2x2 0.5x3 1 ，回代求解为x2 1
7
x3 21 x
3 6
8 4
（2）等价的三角形方程组为
.
23x1 11x2 x3 0 x1
41
193
57 x 2 47
x3 1 ，回代求解为x2 106
23 23 193
193 x3 223 x3 223
57 57 193
1 0
2 0
2、将矩阵A 0 1 1 1 作 LU 分解。

2 0 1 1
0 0 1 1
1 0 0 0 1 0
2 0
解： L 0 1 1 1
,U
0 1 1 1
2 0 1 0 0 0 5 1
0 0
1
1 0 0 0
6
5 5
5 7 9 10 x1
3、用LU紧凑格式分解法解方程组6 8 10 9 x2
7 10 8 7 x3 5 7 6 5 x4
1 0 0 0 5 7 9 10
解： L 6 / 5 1 0 0 ， U 0 2 / 5 4 / 5 3
7 / 5 1/ 2 1 0 0 0 5 17/2
1 0 3/ 5 1 0 0 0 1/10
1 20
Y 1/ 5 , X 12 .
1/ 2 5
3/10 3 1 1 1 1
x1 2 x 2 2 x3 1
4、用列主元的三角分解法求解L方程组 3 x1 x 2 4 x 3 7
2 x1
3 x 2 2 x3 0
1 2 2 1
解：A3 1 4 7
2 3 2 0
1 0 0 3 1 4 7 2
L2/3 1 0 ,U 0 7 / 3 14/3 ,Y 14/3 ,X 1
1 / 3 7/5 0 0 0 4
2 1 / 2
5、用追赶法解三角方程组Ax b ，其中
2 1 0 0 0 1
1 2 1 0 0 0
A 0 1 2 1 0 , b 0 .
0 0 1 2 1 0
1 0 0 1
2 0
1 2 1
1/ 2 1 3 / 2 1
解： L 2 / 3 1 ， U 4 / 3 1
3/ 4 1 5/ 4 1
4 /
5 1
6 / 5
1 5 / 6
1/ 2 2 / 3
Y 1/ 3 ， X 1 / 2
1/ 4 1/ 3
1/ 5 1/ 6
4x1 2x2 4x3 10 6．用改进的 Cholesky 分解法解方程组2x1 17 x2 10x3 3
4x1 10 x2 9 x3 7
1 0 0 4
2 4 10 2 解： L 1 / 2 1 0 ， U 0 16 8 ， Y 8 ，X 1
1 1/
2 1 0 0 1 1 1
4 1 1 0 x1 7 7、用改进的 cholesky 1 3 1 0 x2 8
分解法解方程组
2 x
3 4
1 1 5
0 0 2 4 x4 6
4 1 -1 0 7 1
解： U 0 11/4 - 3/4 0 ， Y 25/4 ， X 2
0 0 50/11 2 - 6/11 1
0 0 0 78/25 156/25 2
8、设x (1, 2,3)T,求x1, x 2和 x 。

解： x 1
n
i 1
x 6
x
n
x2 14 2
i 1
x max x 3
1 1 0
9、设A 2 2 -3,求A1,A2和A
5 4 1
解： A1 8 ， A 10， A2 (A T A T ) 7.1417
1 1 0 1
10、设A 2 2 - 3 ， x 3 ，计算 x ， A 及 Ax ，并比较 Ax
5 4 1 2
和 x ? A 的大小。

解： x 3 ， A =10 ，Ax =9
1 2 2 x1 12
11、给定方程 1 1 1 x2 0
2 2 1 x
3 10
（1）写出 Jacobi 和 Gauss-Seidel 迭代格式；
（2）证明 Jacobi 迭代法收敛而 Gauss-Seidel 迭代法发散；
（ 3 ）给定x(0) (0,0,0)T，用迭代法求出该方程的解，精确到x( k 1) x (k)1 10 3。

2
解：
x1 2x2 2x312
（1）Jacobi 迭代公式x2 x1 x3
x3 2x12x2 10
x1 (k 1) 2x2 ( k) 3x3 ( k ) 12
Gauss-Seidel 迭代公式
x2 (k 1) 2x2( k ) x3( k ) 12 x n (k 1) 8x2 ( k ) 6 x3 (k) 38
（3）用 Jacobi 迭代得，X* X (4) (12, 46, 58) T
5x1 x2 x3 x4 4
13、已知x1 10x2 x3 x4 12 ，考察 Jacobi 迭代格式和
x1 x2 5x3 x4 8
x1 x2 x3 z 10x4 34
Gauss-Seidel 迭代格式的收敛性。

14、方程组Ax b ，其中
1 a a
A4a 1 0 ， x, b R3
a 0 1
利用迭代收敛的充分必要条件确定使 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法均收敛的 a 的取值围。

0 a a 解:Jacobi 迭代矩阵为 B J 4a
0 0
a
当 B J
1得，
5 a
5
0 a a Gauss-Seidel 迭代矩阵为： B J
0 4a 2 4a 2
0 a 2
a 2
当 B S
5 1得， a
5
4 3 0 x 1 24
15、设方程组 3 4
1 x 2
30 分别用 Gauss-Seidel 迭代法和
1 4
x 3
24
w=1.25 的 SOR 法求解此方程，准确到 4 位有效数字（取 x (0) (1,1,1)T ）
解： Gauss-Seidel 迭代法共迭代 17 次，此时近似解为
x * x (17) (3.000,4.000,5.000)T
SOR 法 w=1.25 时，迭代 11 次，此时的近似解为
x *
x (11) (3.000,4.000,5.000) T
16、用 SOR 方法解方程组（分别取松弛因子 w=1.03 ，w=1 ， w=1.1 ）
4x 1 x 2
1
x 1 4x 2 3x 3
4 精确解 x * (1/ 2,1, 1/ 2) ，要求当 x * x (k )
5 106
x 2 4x 3
3
时，终止迭代，并且对每一个 w 值确定迭代次数。

解：当 w=1.03 时，迭代 5 次， x * x (5) (0.5,1, 0.5)T
当 w=1 时，迭代 6 次， x * x (6 ) (0.5,1, 0.5)T
当 w=1.1 时，迭代 6 次， x *
x ( 6)
( 0.5,1, 0.5)T
习题四
1、设 x 0 0, x 1 1 ，写出 f (x) e x 的一次插值多项式 L 1 (x) ，并估计插值 误差。

解： L 1 (x) y 0
y 1 y 0 1 1) x
x 1 x 0 ( x x 0 ) 1 (
e
| R 1 (x) | M (x
x 0 )( x x 1 ) ，其中 M
max f ( x) 1
2
x 0 x x 1
| R 1 1 1 (x) |
(x x 0 )( x x 1 )
2
8
2、给定函数表
x i -0.1 0.3
0.7 1.1
f ( x i )
0.9950.9950.7650.454
选用合适的三次插值多项式来近似计算 f (0.2)和 f (0.8) 。

解：
⑴、求 f (0.2) ，选用插值节点为 x 0 -0.1 ，x 1 0.3 ，x 2 0.7 ，用 lagrange 插值多项式为：
L 2 (x)
( x x 1 )( x x 2 ) y 0(x x 0 )( x x 2 ) y 1
( x x 0 )( x x 1 ) y 2
(x 0 x 1 )( x 0 x 2 ) ( x 1 x 0 )( x 1 x 2 ) ( x 2 x 0 )( x 2 x 1 )
解得 f (-0.1) L 2 (-0.1) 0.979
⑵、求 f (0.8) ，选用插值节点 x 0 0.3 ， x 1
0.7 ， x 2 1.1 ，， L 2 (x)
( x x 1 )( x x 2 ) y 0(x x 0 )( x x 2 ) y 1
( x x 0 )( x x 1 ) y 2
(x 0 x 1 )( x 0 x 2 ) ( x 1 x 0 )( x 1 x 2 )
( x 2 x 0 )( x 2 x 1 )
解得： f (0.8) L 2 ( 0.8) 0.6975
4、给定数据（
f ( x)
x ）
x i
f ( x i )
2.0 2.1 2.2 2.4
1.14214 1.449138 1.48320 1.54917
（ 1）试用线性插值计算 f (2.3) 的近似值，并估计误差。

（ 2）试用二次 Newton 插值多项式计算 f (2.15) 的近似值，并估计误差。

解：（1）取 x 0 2.2 ， x 1 2.4
L 1 (x) y 0
y 1 y 0 ( x x 0 ) 0.32995 x 0.75731
x 1 x 0
f (2.3) L 1 (2.3) 1.516195
| R 1 ( x) |
M
( x x 0 )( x x 1 ) ， M
max f (x)
0.0766
2
x 0 x x 1
| R 1( 2.3) | 0.0766 (2.3 2.2)( x 2.4) 0.0003831
2
（2）写出二次 Newton 插值差商表
x i f ( x i )
一阶差商 二阶差商
2.0 1.14214 2.1 1.449138 0.34924 2.2 1.48320
0.34062
-0.0431
N 2 ( x) 1.414214 0.34924( x 2) 0.0431( x 2)( x 2.1)
f (2.15) N 2 (2.15) 1.4663
R2 (2.15)0.000004143
5、给出函数值
x 0 1 2 3 4
y 0 16 46 88 0
试求各阶差商，并写出Newton 插值多项式和差值余项。

解：
x i y 一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商
0 0
1 16 16
2 46 30 7
3 88 21 -3 -5/2
4 0 -88 -109/3 -25/2 -7/6 N 4 ( x) 16x 7x(x 1)
5 / 2x( x 1)(x 2) 7 / 6x( x 1)( x 2)( x 4)
R4 (x) f (x) N 4 ( x) f [ x0 , x1 , x2 , x3 , x4 , x]w5 (x)
f (6) ( )
1)( x 2)( x 4)( x 5)
6! (x 0)( x
6、给定数据表
x f (x)
0.125 0.25 0.375 0.500 0.625 0.750 0.79618 0.77334 0.74371 0.70413 0.65632 0.60228
试用三次牛顿差分插值公式计算 f (0.158) 和 f (0.636) 。

解：
⑴、求 f (0.158) ，取 x00.125 ， x10.25 ， x20.375, x30.500 ，h=0.125 差分表为
x i f ( x i )一阶差分二阶差分三阶差分
.
0.125 0.79618
0.25 0.77334
-0.02284
0.375 0.74371 -0.02963
-0.00679
0.5 0.70413
-0.03958
-0.00995
-0.00316
由公式
f [ x i , x i 1 , x i 2 , x i k ]
k
f i
k! h k
由牛顿插值公式有
f (0.158) N 3 (0.158) 0.79061
⑵、求 f (0.636) ，取 x
0.375 ，x 0.500 ，x
2
0.625, x
3 0.750 ，h=0.125
1
x i f ( x i )
一阶差分
二阶差分
三阶差分
0.375 0.74371
0.5 0.70413 -0.03958
0.625 0.65632 -0.04781
-0.00823
0.75
0.60228
-0.05404
-0.00623
0.002
求解得 f 0.636) N 3 ( 0.636)
0.65179
9、给出 sinx 在[0,pi] 的等距节点函数表，用线性插值计算 sinx 的近似 值，使其截断误差为 1
10 4 ，问该函数表的步长 h 应取多少才能满足
2
要求？
解：设插值节点为
x i
由 h 2 Rn( x)
f ( x)
8
F(x)=sinx ， f (x)
所以 h 0.02
ih ，（i=0,1
h ）,h
n
h 2 m 2 2
sin x ，所以 f (x)
1，即 m 2 1
步长 h 应取为 0.02 才能满足要求。

14、已知实验数据如下
.
x i y i 19 25 31 38 44 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8
用最小二乘法求形如解：设拟合多项式为y a bx 2的经验公式，并计算均方差。

y a bx 2，则正规方程组为
S0 S1 S2 a T0
S1 S2 S3 0 T1
S2 S3 S4 b T2
5 157 5327 a 271.4
即： 157 5327 192331 0 9776.1
5327 192331 7277699 b 369321.5
a0.968
b 0.05
所以，经验公式为：y 0.9680.05x 2
均方误差为 0.003019
15、观测物体的直线运动，得出以下数据
时间 t(s) 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0
距离 0 10 30 50 80 110 S(m)
求运动方程。

解：设拟合多项式为y a bx cx2，则正规方程组为
S0 S1 S2 a T0
S1 S2 S3 0 T1
S2 S3 S4 b T2
6 14.
7 53.63 a 280
即： 14 .7 53.63 218.907 b 1078
53.63 218.907 95103023 c 4533.2
a=-0.5834 ，b=11.0814 ，c=2.2488
所以拟合多项式为y0.5834 11.0814 x 2.2488x 2。

习题五
1、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分，并比较结果。

1x
（1）
04x 2dx（n=8）
解：用复合梯形公式 h 1 ,n 8, f (x) x
8 4 x2
T8 0.11140
用辛普森公式 n 8, m 1
4, h
8
I S8 0.11157
1x
精确值：0 4x2dx 0.111572
由上可看出复合辛普森公式更精确。

1
（4） e x dx （n=4）
解：用复合辛普森公式T40.6354125
用辛普森公式 n 4, m 2 ， I S4 0.632142
精确解为： I0.632120558
所以辛普森公式的精度较高。

b
3、用复合梯形公式求积分 f ( x)dx ，问将积分区间[a，b]分成多少等
a
分，才能保证误差不超过？
解：由复合梯形公式的余项知
Rn( x) I Tn b a
h2 f ( x) ，取 M max | f ( ) |
12
求得n (b a) 3 M
12
6、分别用下列计算方法积分I8 1
dx，并比较计算结果的精度（积
1x
分准确值 I=1.098612 ）。

（1）复合梯形法， N=16
（2）复合抛物线法， n=8
解： (1)T 16 2.094855
R 16 | I T 16 | 0.0154
(2) S 8 2.088065
R 8 | I
S 16 | 0.00086
精确值： I=2.079441 ，所以，复合抛物线精度更高。

7、试确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式具有的代数精度。

h （1）
f ( x)dx
0 f ( h)
1 f (0)
2 f (h)
h
解：令 f(x)=1,x, x 2 得
2h 0 1 2
h ,
4 h 0 0 h 0 2
h
2
1
2h 3
0 h
2
2 h 2
3
3
3
所以， h
h 4h
h ( ) f (x)dx
f ( h) f ( 0) f h
h
3
3 3
令 f ( x) x 3 ，左 =0= 右
f (x)
x 4 ，左 右
所以，该求积公式的代数精度为
m=3.
1
1
[ f ( 1) 2 f ( x 1 ) 3 f (x 2 )]
（2） f (x)dx
1
3
解：令 f(x)=1,x, x 2 得
2 2
0 1
3x 2 )
1 6
1
6 ( 1 2 x 1
x 1
5
x 1
5
2
3
1
或 1
2
2
2
1
2
3
(1 2 x 1 3x 2 )
x 2
15
6
x 2
6
3
5
5 15
经计算可知
两组参数所对应的求积公式的代数精度均为m=2.
9、利用表 5.7 求 x=0.6 处的一阶导数。

X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
F(x) 1.5836494 1.7974426 2.0442376 2.3275054 2.6510818 解：选 x0 0.5, x1 0.6, x2 0.7,h 0.1
选用三点式得 f ( x1 ) 1 f ( x0 ) f (x2 )]
[
2h
即 f (0.6) 2.650314 每项建议案实施完毕，实施部门应根据结果写出总结报告，
实事的说明产生的经济效益或者其他积极效果，呈报总经办。

总经办应将实施完毕的建议案提交给评委会进行效果评估，确定奖励登记，对符合条件的项目，应整理材料，上报总经理审批后给建议人颁发奖励。

总经办应做好合理化建议的统计记录及资料归档管理。