人教版九年级数学下册 27.2.1 相似三角形的判定同步测试及答案(2020必考)

相似三角形27．2.1 相似三角形的判定第1课时 平行线分线段成比例定理 [见B 本P69]1．如图27－2－1，已知直线a ∥b ∥c ，直线m ，n 与a ，b ，c 分别交于点A ，C ，E ，B ，D ，F ，AC ＝4，CE ＝6，BD ＝3，则BF ＝( B )A ．7B ．7.5C ．8D ．8.5【解析】 ∵a ∥b ∥c ，∴AC CE ＝BD DF ，∴46＝3DF ，∴DF ＝4.5，∴BF ＝BD ＋DF ＝7.5.2．如图27－2－2，若l 1∥l 2，那么以下比例式中正确的是( D ) A.MR NR ＝RP RQ B.MR NP ＝NRMQC.MR MQ ＝RP NPD.MR RQ ＝NR RP BD ∥CE ，则下列等式不成立的是( A )A.AB BC ＝BD CEB.AB AC ＝BDCEC.AD AE ＝BD CED.AB AC ＝AD AE 4. 如图27－2－4，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC .已知AE ＝6，AD DB ＝34，则EC 的长是( B )图27－2－4A ．4.5B ．8C ．10.5D ．14【解析】 根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．∵DE ∥BC ，∴AD DB ＝AE EC， ∵AE ＝6，∴34＝6EC，解得EC ＝8，则EC 的长是8.5．如图27－2－5所示，△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3，则CE 的值为( B )A ．9B ．6C ．3D ．4 【解析】 ∵DE ∥BC ，∴AD BD ＝AE CE .∵AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3，∴510＝3CE，∴CE ＝6，故选B. 6．如图27－2－6，△ABC 中，点D 在线段BC 上，且△ABC ∽△DBA ，则下列结论一定正确的是( A )A ．AB 2＝BC ·BDB ．AB 2＝AC ·BDC ．AB ·AD ＝BD ·BCD ．AB ·AD ＝AD ·CD【解析】 由△ABC ∽△DBA 可得对应边成比例，即AB DB ＝BC BA ，再根据比例的性质可知AB 2＝BC ·BD ，故选A.7．如图27－2－7，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，若AD ＝1，BC ＝3，则AO CO的值为( B )A.12B.13C.14D.19图27－2－88．如图27－2－8，已知DE ∥AB ，DF ∥BC ，下列结论中不正确的是( D ) A.AD DC ＝AF DE B.CE CB ＝BFABC.CD AD ＝CE DFD.AF BF ＝DF BC【解析】 A 正确，∵DE ∥AB ，DF ∥BC ，∴四边形DEBF 是平行四边形，∴DE ＝BF .∵DF ∥BC ，∴AD DC ＝AF BF ，∴AD DC ＝AF DE； B 正确，∵DE ∥AB ，∴CE CB ＝CD CA， 又DF ∥BC ，∴CD CA ＝BF AB ，∴CE CB ＝BF AB； C 正确，∵四边形DEBF 是平行四边形，∴DF ＝BE .∵DE ∥AB ，∴CD AD ＝CE BE ，∴CD AD ＝CE DF ； D 不正确，∵DF ∥BC ，∴AF AB ＝AD AC ， 又DE ∥AB ，∴AD AC ＝BE BC ，∴AF AB ＝BE BC， 又BE ＝DF ，∴AF AB ＝DF BC. 9．如图27－2－9，已知AC ∥DB ，OA ∶OB ＝3∶5，OA ＝9，CD ＝32，则OB ＝__15__，OD ＝__20__．【解析】 ∵OA OB ＝35，∴OB ＝53OA ＝53×9＝15. 设OD ＝x ，则OC ＝32－x .∵AC ∥DB ，∴OA OB ＝OC OD ，∴35＝32－x x ，解得x ＝20.图27－2－9图27－2－1010．如图27－2－10，已知l 1∥l 2∥l 3，AM ＝3 cm ，BM ＝5 cm ，CM ＝4.5 cm ，EF ＝12 cm ，则DM ＝__7.5__cm ，EK ＝__4.5__cm ，FK ＝__7.5__cm.【解析】 ∵l 1∥l 2∥l 3，∴AM BM ＝CM DM， ∴35＝4.5DM，∴DM ＝7.5 cm. ∵l 1∥l 2∥l 3，∴EK EF ＝AM AB ，∴EK 12＝38， ∴EK ＝4.5 cm ，∴FK ＝EF －EK ＝12－4.5＝7.5(cm)．11. 如图27－2－11，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB ＝ 3∶5，那么CF ∶CB 等于( A )图27－2－11A. 5∶8 B ．3∶8C. 3∶5 D ．2∶5【解析】 ∵AD ∶DB ＝3∶5，∴BD ∶AB ＝5∶8，∵DE ∥BC ，∴CE ∶AC ＝BD ∶AB ＝5∶8，∵EF ∥AB ，∴CF ∶CB ＝CE ∶AC ＝5∶8.12．如图27－2－12，点F 是▱ABCD 的边CD 上一点，直线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误的是( C ) A.ED EA ＝DF AB B.DE BC ＝EF FB C.BC DE ＝BF BE D.BF BE ＝BC AE图27－2－12图27－2－1313．如图27－2－13，已知FG ∥BC ，AE ∥GH ∥CD ，求证：AB BF ＝ED DH .【解析】 观察图形，我们会发现AE ∥GH ∥CD ，具备了平行线分线段成比例定理的基本图形，可推得ED DH ＝ACCG；由FG ∥BC ，知它具备了定理推论中的“A ”型的基本图形，可推得AC CG ＝AB BF，从而可证得ED DH ＝AB BF . 证明：∵AE ∥GH ∥CD ，∴ED DH ＝AC CG. ∵FG ∥BC ，∴AC CG ＝AB BF ，∴ED DH ＝AB BF . 14．如图27－2－14，已知AB ∥MN ，BC ∥NG ，求证：OA OM ＝OC OG. 证明：∵AB ∥MN ，∴OA OM ＝OBON，又∵BC ∥NG ，∴OB ON ＝OC OG ，∴OA OM ＝OC OG .图27－2－14图27－2－1515．如图27－2－15，▱ABCD 中，E 在CD 延长线上，BE 交AD 于F .若AB ＝3，BC ＝4，DF ＝1，求DE的长．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝DC ，AD ＝BC .∵AB ∥DC ，AD ∥BC ， ∴AF DF ＝BF FE ＝CD DE， ∴AB DE ＝AF DF， 又∵AF ＝AD －DF ＝BC －DF ＝3， ∴3DE ＝31，∴DE ＝1.16．如图27－2－16，已知AD 是△ABC 的角平分线，CE ∥AD 交BA 的延长线于点E .求证：AB AC ＝BDDC.图27－2－16证明：∵AD ∥CE ，∴∠BAD ＝∠E ，∠DAC ＝∠ACE .又∵∠BAD ＝∠DAC ，∴∠E ＝∠ACE ，∴AE ＝AC .又∵CE ∥AD ，∴AB AE ＝BD DC ，∴AB AC ＝BD DC.第2课时 相似三角形判定定理1、2 [见A 本P71]1．如图27－2－17，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD BD ＝12，DE ＝4 cm ，则BC 的长为( B )图27－2－17A ．8 cmB ．12 cmC ．11 cmD ．10 cm【解析】 ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB ＝DE BC. ∵AD BD ＝12，∴AD AB ＝13，∴13＝4BC， ∴BC ＝12 cm ，选择B.2. 能说明△ABC ∽△A ′B ′C ′的条件是( D )A.AB A ′B ′＝AC A ′C ′≠BC B ′C ′B.AB AC ＝A ′B ′A ′C ′，∠A ＝∠C ′ C.AB A ′B ′＝BC A ′C ′，且∠B ＝∠A ′ D.AB A ′B ′＝BC B ′C ′，且∠B ＝∠B ′ 3．如图27－2－18，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，且将这个四边形分成①，②，③，④四个三角形，若OA ∶OC ＝OB ∶OD ，则下列结论中一定正确的是( B )A ．①和②相似B ．①和③相似C ．①和④相似D ．②和④相似【解析】 两个三角形两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如图27－2－19，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则下列结论：①BC ＝2DE ；②△ADE ∽△ABC ；③AD AE ＝AB AC .其中正确的有( A )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【解析】 点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，所以由中位线定理得DE ∥BC ，且DE ＝12BC ，①正确；因为DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC ，②正确；由②得AD AE ＝ABAC，③正确．故选A.图27－2－19图27－2－205．如图27－2－20，在▱ABCD 中，E 是AD 上一点，连接CE 并延长交BA 的延长线于点F ，则下列结论中错误的是( B )A ．∠AEF ＝∠DECB ．FA ∶CD ＝AE ∶BCC ．FA ∶AB ＝FE ∶ECD ．AB ＝DC【解析】 ∵DC ∥AB ，∴△DCE ∽△AFE ，∴FA CD ＝AEDE，故结论B 错误．∵AE ∥BC ，∴△FAE ∽△FBC ， ∴FA FB ＝FE FC ，即FB FA ＝FC FE ，∴FA ＋AB FA ＝FE ＋EC FE， ∴AB FA ＝EC FE ，即FA ∶AB ＝FE ∶EC ，故结论C 正确．而A ，D 显然正确，∴应选B. 6．在△ABC 中，AB ＝9，AC ＝12，BC ＝18，D 为AC 上一点，DC ＝23AC ，在AB 上取一点E ，得到△ADE ，若△ADE 与△ABC 相似，则DE 长为__6或8__．【解析】 (1)当△AED ∽△ABC 时，此时图形为(a)，可得DE ＝6；(2)当△AED ∽△ACB 时，此时图形为(b)，可得DE ＝8.7．如图27－2－21，在△ABC 中，已知DE ∥BC ，AD ＝4，DB ＝8，DE ＝3.(1)求ADAB的值；(2)求BC .21解：(1)∵AD ＝4，DB ＝8，∴AB ＝AD ＋DB ＝4＋8＝12，∴AD AB ＝412＝13. (2)∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝AD AB.∵DE ＝3，∴3BC ＝13，∴BC ＝9. 8．网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A ，B ，C ，D ，E ，F 都是格点，试说明△ABC ∽△DEF .图27－2－22【解析】 利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得△ABC ∽△DEF . 解：∵AC ＝2，BC ＝12＋32＝10，AB ＝4，DF ＝22＋22＝22，EF ＝22＋62＝210，ED ＝8，∴AC DF ＝BC EF ＝AB DE ＝12， ∴△ABC ∽△DEF .9．如图27－2－23，D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点．图27－2－23(1)求证：△DEF ∽△ABC ；(2)图中还有哪几个三角形与△ABC 相似？解：(1)证明：∵D ，F 分别是△ABC 的边BC ，BA 的中点，∴DF ＝12AC ， 同理EF ＝12CB ，DE ＝12AB ， 则DF AC ＝EF CB ＝ED AB， ∴△DEF ∽△ABC ；(2)∵E ，F 分别是△ABC 的三边CA ，AB 的中点，∴EF ∥BC ，∴△AFE ∽△ABC .同理，△FBD ∽△ABC ，△EDC ∽△ABC .∴图中与△ABC 相似的三角形还有△AFE ，△FBD ，△EDC .10．如图27－2－24，△ABC 是等边三角形，D ，E 在BC 边所在的直线上，且AB ·AC ＝BD ·CE . 求证：△ABD ∽△ECA .证明：∵△ABC 是等边三角形(已知)，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°(等边三角形的三个内角相等，都等于60°)，∴∠ABD ＝∠ACE (等角的补角相等)．又AB ·AC ＝BD ·CE (已知)，即AB EC ＝BD CA， ∴△ABD ∽△ECA (两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似)．11．如图27－2－25，已知正方形ABCD 中，F 为BC 上一点，且BF ＝3FC ，E 为DC 的中点．求证：△ADE ∽△ECF .图27－2－25 证明：∵正方形ABCD 中，E 为CD 中点， ∴CE ＝ED ＝12CD ＝12AD . ∵BF ＝3FC ，∴FC ＝14BC ＝14AD ＝12CE . ∴CF CE ＝DE AD ＝12，即CF DE ＝CE AD. ∵∠C ＝∠D ＝90°，∴△ADE ∽△ECF .12．如图27－2－26，∠DAB ＝∠CAE ，且AB ·AD ＝AE ·AC ，请在图中找出与∠ADE 相等的角，并说明理由．图27－2－26【解析】 由AB ·AD ＝AE ·AC 得AB AE ＝AC AD，如果证得它们的夹角相等，就可得到三角形相似，于是就有与∠ADE 相等的角． 解：∠C ＝∠ADE ，理由如下：∵∠DAB ＝∠CAE ，∴∠DAB ＋∠BAE ＝∠CAE ＋∠BAE ， ∴∠DAE ＝∠BAC .∵AB ·AD ＝AE ·AC ， ∴AB AE ＝ACAD，∴△ABC ∽△AED ，∴∠ADE ＝∠C .13. 如图27－2－27，∠AOB ＝90°，OA ＝OB ＝BC ＝CD .请找出图中的相似三角形，并说明理由．图27－2－27解：△ABC ∽△DBA .理由如下：设OA ＝OB ＝BC ＝CD ＝x ，根据勾股定理，AB ＝x 2＋x 2＝2x ，AC ＝x 2＋（2x ）2＝5x ，AD ＝x 2＋（3x ）2＝10x ，∵BC AB ＝x 2x ＝22，AB BD ＝2x 2x ＝22，AC AD ＝5x 10x ＝22， ∴BC AB ＝AB BD ＝AC AD，∴△ABC∽△DBA.第3课时 相似三角形判定定理3 [见B 本P71]1．已知如图27－2－28(1)，(2)中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图(2)中AB ，CD 交于O ( A )图27－2－A ．都相似 B ．都不相似C ．只有(1)相似D ．只有(2)相似【解析】 两角对应相等，或者两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等的两个三角形相似． 2．△ABC 和△DEF 满足下列条件，其中使△ABC 与△DEF 不相似的是( C ) A ．∠A ＝∠D ＝45°38′，∠C ＝26°22′，∠E ＝108° B ．AB ＝1，AC ＝1.5，BC ＝2，DE ＝12，EF ＝8， DF ＝16C ．BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，DE ＝a ，EF ＝b ，DF ＝cD ．AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠A ＝∠D ＝40°3．如图27－2－29，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，若AC ＝8，BC ＝6，C )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝82＋62＝10.在△ADE 和△ABC 中，∵∠A ＝∠A ，∠AED ＝∠C ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝AD AB ，即36＝AD10，∴AD ＝5.4．如图27－2－30所示，给出下列条件：①∠B ＝∠ACD ；②∠ADC ＝∠ACB ；③AC CD ＝AB BC；④AC 2＝AD ·AB .其中单独能够判定△ABC ∽△ACD 的个数为( C ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】 图中△ABC 与△ACD 有一组公共角，根据相似三角形的判定方法，可再补充另一组对应角相等，①②符合条件；或补充夹公共角的两边对应成比例，④符合条件，所以补充①②④能判定△ABC ∽△ACD .5．如图27－2－31，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝4，点D 在边AB 上，∠ACD ＝∠B ，则AD 的长为__165__． 6. [2013·安顺]如图27－2－32，在▱ABCD 中，点E 在DC 上，若DE ∶EC ＝1∶2，则BF ∶BE ＝__3∶5__．图27－2－327．如图27－2－33，∠1＝∠2，添加一个条件，使得△ADE ∽△ACB ：__∠D ＝∠C 或∠E ＝∠B 或AD AC＝AE AB__．【解析】 由∠1＝∠2可得∠DAE ＝∠CAB .只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得△ADE ∽△ACB .8. [2013·六盘水]如图27－2－34，添加一个条件：__∠ADE ＝∠C 或∠AED ＝∠B 或AD AC ＝AE AB__，使得△ADE ∽△ACB .(写出一个即可)【解析】 由题意得，∠A ＝∠A (公共角)，则可添加：∠ADE ＝∠C 或∠AED ＝∠B ，利用两角法可判定△ADE ∽△ACB ，添加AD AC ＝AEAB也可以．图27－2－34图27－2－359. 如图27－2－35，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，CE ⊥AB 于E .求证：△ABD ∽△CBE . 证明：在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ， ∴AD ⊥BC ， ∵CE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠CEB ＝90°， 又∵∠B ＝∠B ， ∴△ABD ∽△CBE .10．如图27－2－36，点P 在平行四边形ABCD 的CD 边上，连接BP 并延长与AD 的延长线交于点Q . (1)求证：△DQP ∽△CBP ；(2)当△DQP ≌△CBP ，且AB ＝8时，求DP 的长．图27－2－36解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AQ ∥BC ，∴∠Q ＝∠PBC ，∠PDQ ＝∠C ， ∴△DQP ∽△CBP ； (2)∵△DQP ≌△CBP ，∴DP ＝CP ＝12CD .∵AB ＝CD ＝8，∴DP ＝4.图27－2－3711.如图27－2－37所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ∶FC ＝( D ) A ．1∶4 B ．1∶3 C ．2∶3 D ．1∶2【解析】 在平行四边形ABCD 中，AB ∥DC ，则△DFE ∽△BAE ，∴DF AB ＝DEEB，∵O 为对角线的交点，∴DO ＝BO ，又∵E 为OD 的中点，∴DE ＝14DB ，则DE ∶EB ＝1∶3，∴DF ∶AB ＝1∶3，∵DC ＝AB ，∴DF ∶DC ＝1∶3，∴DF ∶FC ＝1∶2.图27－2－3812．如图27－2－38，△ABC 中，AE 交BC 于点D ，∠C ＝∠E ，AD ＝4，BC ＝8，BD ∶DC ＝5∶3，则DE 的长等于( B ) A.203 B.154 C.163 D.174【解析】∵∠ADC ＝∠BDE ，∠C ＝∠E ，∴△ADC ∽△BDE ，∴AD BD ＝DC DE，∵AD ＝4，BC ＝8，BD ∶DC ＝5∶3， ∴BD ＝5，DC ＝3，∴DE ＝BD ·DC AD ＝154.故选B.13．如图27－2－39，AC 是⊙O 的直径，弦BD 交AC 于点E . (1)求证：△ADE ∽△BCE ；(2)如果AD 2＝AE ·AC ，求证：CD ＝CB .解：(1)证明：∵∠A 与∠B 是CD ︵所对的圆周角， ∴∠A ＝∠B ，又∵∠AED ＝∠BEC ，∴△ADE ∽△BCE ； (2)证明：如图，∵AD 2＝AE ·AC ，∴AE AD ＝AD AC， 又∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ACD ， ∴∠AED ＝∠ADC ，又∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC ＝90°，即∠AED ＝90°，∴直径AC ⊥BD ，∴CD ＝CB .14．已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点G ，E 是直线AB 上一动点(不与点A ，B ，G 重合)，直线DE 交⊙O 于点F ，直线CF 交直线AB 于点P .设⊙O 的半径为r .(1)如图(1)，当点E 在直径AB 上时，试证明：OE ·OP ＝r 2；图2740(2)当点E 在AB (或BA )的延长线上时，以图(2)中点E 的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，(1)中的结论是否成立？请说明理由．解：(1)证明：如图(1)，连接FO 并延长交⊙O 于Q ，连接DQ . ∵FQ 是⊙O 的直径，∴∠FDQ ＝90°， ∴∠QFD ＋∠Q ＝90°.∵CD ⊥AB ，∴∠P ＋∠C ＝90°. ∵∠Q ＝∠C ，∴∠QFD ＝∠P .∵∠FOE ＝∠POF ，∴△FOE ∽△POF ， ∴OE OF ＝OF OP，∴OE ·OP ＝OF 2＝r 2.(2)(1)中的结论成立．理由：如图(2)，依题意画出图形，连接FO并延长交⊙O于M，连接CM. ∵FM是⊙O的直径，∴∠FCM＝90°，∴∠M＋∠CFM＝90°.∵CD⊥AB，∴∠E＋∠D＝90°.∵∠M＝∠D，∴∠CFM＝∠E.∵∠POF＝∠FOE，∴△POF∽△FOE，∴OPOF＝OFOE，∴OE·OP＝OF2＝r2.。