2022年上海市普通中学高考冲刺模拟数学试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设x ∈R ，则“|1|2x -< “是“2x x <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必条件
2．已知直线l ：210y x =+过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方
程为（ ）
A ．22
1520x y -=
B ．22
1205
x y -=
C ．22
1169
x y -
= D ．22
1916
x y -=
3．在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
4．已知数列 {}n a 是公比为 q 的等比数列，且 1a ， 3a ， 2a 成等差数列，则公比 q 的值为（ ）
A ．12
-
B ．2-
C ．1- 或
12
D ．1 或 12
-
5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，平面α与此正方体相交.对于实数(0d d <<，如果正方体
1111ABCD A B C D -的八个顶点中恰好有m 个点到平面α的距离等于d ，那么下列结论中，一定正确的是
A ．6m ≠
B ．5m ≠
C ．4m ≠
D ．3m ≠
6．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（ ） A ．
760
B ．
16
C ．
1360
D ．
14
7．设10(){
2,0
x
x f x x ≥=<，则((2))f f -=（ ）
A ．1-
B ．
14
C ．
12
D ．
32
8．已知向量(1,4)a =，(2,)b m =-，若||||a b a b +=-，则m =（ ） A ．12
-
B ．
12
C ．-8
D ．8
9．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在[250，350]内的学生人数为（ ）
A ．800
B ．1000
C ．1200
D ．1600
10．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题： ①若m α
β=，n ⊂α，n m ⊥，则αβ⊥；②若m α⊥，m β⊥，则//αβ；
③若//m n ，m α⊂，//αβ，则βn//；④若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥ 其中正确的是（ ） A ．①②
B ．③④
C ．①④
D ．②④
112，体积为
2
3
，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（ ）
A ．
12
B ．1
C ．
104
D ．
52
12．函数()()()2
2
214f x x
x
x =--的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若函数()0x
f x e ax =->恒成立,则实数a 的取值范围是_____.
14．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，6543214,1a a a a a a +=+--=，则1a 的值为________. 15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4763a a a +=+，则9S =______. 16．若向量(1,2)x =-a 与向量(2,1)b =垂直，则x =______.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的任意一点M 到直线1y =-的距离比M 点到点()02F ，
的距离小1. （1）求动点M 的轨迹1C 的方程；
（2）若点P 是圆()()2
2
2221C x y -++=：上一动点，过点P 作曲线1C 的两条切线，切点分别为A B 、，求直线AB 斜率的取值范围.
18．（12分）在ABC 中，4
ABC π
∠=
，D 是边BC 上一点，且5AD =，3
cos 5
ADC ∠=
.
（1）求BD 的长；
（2）若ABC 的面积为14，求AC 的长.
19．（12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1224AB BC AA ===，E 为11A D 的中点，N 为BC 的中点，
M 为线段11C D 上一点，且满足1111
4
MC D C =
，F 为MC 的中点.
（1）求证：//EF 平面1A DC ；
（2）求二面角1
N AC F --的余弦值. 20．（12分）某调查机构为了了解某产品年产量x (吨)对价格y (千克/吨)和利润z 的影响，对近五年该产品的年产量和价格统计如下表： x 1
2
3
4
5 y
17.0 16.5 15.5 13.8
12.2
（1）求y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bx
a =+； （2）若每吨该产品的成本为12千元，假设该产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润w 取到最大值？
参考公式： ()()
()
1
1
2
22
1
1
ˆˆˆ,n n
i i
i
i
i i n
n
i i i i x y n x y x x y y b
a
y bx x nx x x ====-⋅⋅--==
=---∑∑∑∑ 21．（12分）如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，2AB BD ==，12BB =，BD 与AC 相交于点E ，1A D 与1AD 相交于点O .
（1）求证：AC ⊥平面11BB D D ；
（2）求直线OB 与平面11OB D 所成的角的正弦值.
22．（10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知1C ：2
2
20x y y +-=，
2C 6y +=，3C ：()00kx y k -=>.
（1）求1C 与2C 的极坐标方程
（2）若1C 与3C 交于点A ，2C 与3C 交于点B ，OA OB λ=，求λ的最大值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】
解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案. 【详解】
由|1|2x -<，得13x
，又由2x x <，得01x <<，
因为集合{|01}{|13}x x x x <<⊂-<<， 所以“|1|2x -<”是“2x x <”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】
本题主要考查必要不充分条件的判断，其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法. 2．A 【解析】
根据直线l ：210y x =+过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一个焦点，得5c =，又和其中一条渐近线平行，得到
2b a =，再求双曲线方程.
因为直线l ：210y x =+过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一个焦点，
所以()5,0F -，所以5c =， 又和其中一条渐近线平行， 所以2b a =，
所以25a =，220b =，
所以双曲线方程为22
1520
x y -=.
故选：A. 【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3．C 【解析】
分析：从两个方向去判断，先看tan tan 1A B >能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出tan tan 1A B >成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结果.
详解：由题意可得，在ABC ∆中，因为tan tan 1A B >， 所以
sin sin 1cos cos A B
A B
>，因为0,0A B ππ<<<<，
所以sin sin 0A B >，cos cos 0A B >，
结合三角形内角的条件，故A,B 同为锐角，因为sin sin cos cos A B A B >， 所以cos cos sin sin 0A B A B -<，即cos()0A B +<，所以2
A B π
π<+<，
因此02
C <<
π
，所以ABC ∆是锐角三角形，不是钝角三角形，
所以充分性不满足，
反之，若ABC ∆是钝角三角形，也推不出“tan tan 1B C >，故必要性不成立， 所以为既不充分也不必要条件，故选D.
点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式，诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征. 4．D
由132a a a ，，成等差数列得3122a =a +a ，利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q 的方程. 【详解】
由题意3122a =a +a ，∴2a 1q 2=a 1q+a 1，∴2q 2=q+1，∴q=1或q=1-2
故选：D ． 【点睛】
本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质建立方程求q 是解题的关键，对于等比数列的通项公式也要熟练． 5．B 【解析】
此题画出正方体模型即可快速判断m 的取值. 【详解】
如图（1）恰好有3个点到平面α的距离为d ；如图（2）恰好有4个点到平面α的距离为d ；如图（3）恰好有6个点到平面α的距离为d . 所以本题答案为B.
【点睛】
本题以空间几何体为载体考查点，面的位置关系，考查空间想象能力，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，属于难题. 6．C 【解析】
分情况讨论，由间接法得到“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开的事件个数，不考虑限制因素，总数有6
6A 种，进而得到结果. 【详解】
当“数”位于第一位时，礼和乐相邻有4种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有3
3A 种情况，由间接法得到满足条件
的情况有5123
5423A C A A -
当“数”在第二位时，礼和乐相邻有3种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有3
3A 种，
由间接法得到满足条件的情况有5123
5323A C A A -
共有：51235123
53235423A C A A A C A A -+-种情况，不考虑限制因素，总数有66A 种，
故满足条件的事件的概率为：51235123532354236
613
60
A C A A A C A A A -+-= 故答案为：C. 【点睛】
解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． 7．C 【解析】 试题分析：
()21224f --==
，()(
)111211422f f f ⎛⎫
∴-===-= ⎪⎝⎭
．故C 正确． 考点：复合函数求值． 8．B 【解析】
先求出向量a b +,a b -的坐标，然后由||||a b a b +=-可求出参数m 的值. 【详解】
由向量(1,4)a =，(2,)b m =-， 则()1,4a b m +=-+，()3,4a b m -=- (2||1+a b +=(2||3+a b -=
又||||a b
a b +=-，则1
2
m =. 故选：B 【点睛】
本题考查向量的坐标运算和模长的运算，属于基础题. 9．B 【解析】
由图可列方程算得a ，然后求出成绩在[250,350]内的频率，最后根据频数=总数×频率可以求得成绩在[250,350]内的学生人数. 【详解】
由频率和为1，得(0.0020.00420.002)501a +++⨯=，解得0.006a =， 所以成绩在[250,350]内的频率(0.0040.006)500.5=+⨯=， 所以成绩在[250,350]内的学生人数20000.51000=⨯=. 故选：B 【点睛】
本题主要考查频率直方图的应用，属基础题. 10．D 【解析】
根据面面垂直的判定定理可判断①；根据空间面面平行的判定定理可判断②；根据线面平行的判定定理可判断③；根据面面垂直的判定定理可判断④. 【详解】 对于①，若m α
β=，n ⊂α，n m ⊥，α，β两平面相交，但不一定垂直，故①错误；
对于②，若m α⊥，m β⊥，则//αβ，故②正确；
对于③，若//m n ，m α⊂，//αβ，当n β⊂，则n 与β不平行，故③错误； 对于④，若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥，故④正确； 故选：D 【点睛】
本题考查了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，属于基础题. 11．D 【解析】
建立平面直角坐标系，求得抛物线的轨迹方程，解直角三角形求得抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离. 【详解】
将抛物线放入坐标系，如图所示，
∵2PO =，1OE =，2OC OD ==
∴(2C -，设抛物线22y px =，代入C 点， 可得2
2y x =- ∴焦点为1,02⎛⎫
-
⎪⎝⎭
， 即焦点为OE 中点，设焦点为F ，
12EF =
，1PE =，∴5
PF =
故选：D 【点睛】
本小题考查圆锥曲线的概念，抛物线的性质，两点间的距离等基础知识；考查运算求解能力，空间想象能力，推理论证能力，应用意识. 12．A 【解析】
先判断函数()y f x =的奇偶性，以及该函数在区间()0,1上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项. 【详解】
函数()y f x =的定义域为R ，()()()()()()
()2
2
2
2
2
21414f x x x x x
x
x f x ⎡⎤⎡⎤-=-⋅--⋅--=--=⎣⎦⎣⎦
，该函数为偶
函数，排除B 、D 选项； 当01x <<时，()()()
2
2
2140f x x x
x =-->，排除C 选项.
故选：A. 【点睛】
本题考查根据函数的解析式辨别函数的图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，结合排除法得出结果，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．0a e ≤< 【解析】
若函数()0x
f x e ax =->恒成立，即min ()0f x >，求导得'()x f x e a =-，在0,0,0a a a >=<三种情况下，分别讨
论函数单调性，求出每种情况时的min ()f x ，解关于a 的不等式，再取并集，即得。

【详解】
由题意得,只要min ()0f x >即可，
'()x f x e a =-，
当0a >时，令'()0f x =解得ln x a =， 令'()0f x <，解得ln x a <，()f x 单调递减， 令'()0f x >，解得ln x a >，()f x 单调递增，
故()f x 在ln x a =时，()f x 有最小值，min ()(ln )(1ln )f x f a a a ==-， 若()0f x >恒成立，
则(1ln )0a a ->，解得0a e <<； 当0a =时，()0x
f x e =>恒成立;
当0a <时，'()x
f x e a =-，()f x 单调递增，
,()x f x →-∞→-∞,不合题意,舍去.
综上,实数a 的取值范围是0a e ≤<. 故答案为：0a e ≤< 【点睛】
本题考查恒成立条件下，求参数的取值范围，是常考题型。

14
1 【解析】
运用等比数列的通项公式，即可解得1a ． 【详解】
解：
65432141a a a a a a +=⎧⎨
+--=⎩，∴53
1(1)4
(1)(1)1a q a q a q +=⎧⎨+-+=⎩，
3155
44
1a a a a ∴⨯
-⨯=，5314()a a a ∴=-，42440q q ∴-+=， 22(2)0q ∴-=，22q ∴=
，q ∴=，44q =， 54114a q a q ∴+=
，11)1a ∴=，
11a ∴=
=．
1． 【点睛】
本题考查等比数列的通项公式及应用，考查计算能力，属于基础题． 15．27 【解析】
根据等差数列的性质求得5a ，结合等差数列前n 项和公式求得9S 的值. 【详解】
因为{}n a 为等差数列，所以476563a a a a a +=+=+，解得53a =， 所以()195
9599292722
a a a S a +⨯=
===. 故答案为：27 【点睛】
本小题考查等差数列的性质，前n 项和公式的应用等基础知识；考查运算求解能力，应用意识. 16．0 【解析】
直接根据向量垂直计算得到答案. 【详解】
向量2i --与向量(2,1)b =垂直，则()()1,22,12220a b x x ⋅=-⋅=-+=，故0x =. 故答案为：0. 【点睛】
本题考查了根据向量垂直求参数，意在考查学生的计算能力.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）2
8x y =；（2）13,44
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
（1）设(),M x y ，根据题意可得点M 的轨迹方程满足的等式，化简即可求得动点M 的轨迹1C 的方程；
（2）设出切线PA PB 、的斜率分别为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ，点()P m n ,，则可得过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+，联立抛物线方程并化简，由相切时0∆=可得两条切线斜率关系12,k k +12k k ；由抛物线方程求得导函数，并由导数的几何意义并代入抛物线方程表示出12,y y ，可求得4
AB m
k =
，结合点()P m n ,满足()
()2
2
221x y -++=的方程可得m 的取值范围，即可求得AB k 的范围.
【详解】
（1）设点(),M x y ，
∵点M 到直线1y =-的距离等于1y +， ∴
11y +=，化简得2
8x y =，
∴动点M 的轨迹1C 的方程为28x y =.
（2）由题意可知，PA PB 、的斜率都存在，分别设为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ， 设点()P m n ,，过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+，
联立()2
8y k x m n x y
⎧=-+⎨
=⎩
，化简可得28880x kx km n -+-=，
∴26432320k km n ∆=-+=，即220k km n -+=， ∴122m k k +=
，122
n k k =. 由2
8x y =，求得导函数4
x
y '=
， ∴114x k =，221
1128
x y k ==，2
222228x y k ==，
∴2
22121212121224424
AB
y y k k k k m k x x k k --+====--， 因为点()P m n ,满足()()2
2
221x y -++=， 由圆的性质可得13m ≤≤， ∴
13444AB m k ≤=≤，即直线AB 斜率的取值范围为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.
本题考查了动点轨迹方程的求法，直线与抛物线相切的性质及应用，导函数的几何意义及应用，点和圆位置关系求参数的取值范围，属于中档题. 18．（1）1；（2）5. 【解析】
（1）由同角三角函数关系求得sin ADC ∠，再由两角差的正弦公式求得sin BAD ∠，最后由正弦定理构建方程，求得答案.
（2）在ABD △中，由正弦定理构建方程求得AB ，再由任意三角形的面积公式构建方程求得BC ，最后由余弦定理构建方程求得AC . 【详解】
（1）据题意，3
cos 5
ADC ∠=
，且(0,)ADC π∠∈，
所以4sin 5ADC ∠===. 所以sin sin sin cos cos sin 44
4
BAD ADC ADC ADC πππ⎛
⎫∠=∠-
=∠-∠ ⎪
⎝
⎭
4355=
-=
. 在ABD △中，据正弦定理可知，
sin sin AD BD
B BAD
=∠，
所以
5sin 1sin 10sin 4
AD BD BAD B π=⋅∠=⋅=.
（2）在ABD △中，据正弦定理可知sin sin AD AB
B ADB
=∠，
所以54sin sin()sin sin sin sin 5sin
4
AD AD AD AB ADB ADC ADC B B B ππ=⋅∠=⋅-∠=⋅∠=⋅=因为ABC 的面积为14，所以1sin 142BA BC B ⋅⋅=
，即1sin 1424
BC π
⋅⋅=，
得7BC =.
在ABD △
中，据余弦定理可知，2
2
2
2
2
2cos 727cos 254
AC BA BC BA BC B π
=+-⋅⋅=+-⨯⨯=，
所以5AC =. 【点睛】
本题考查由正弦定理与余弦定理解三角形，还考查了由同角三角函数关系和两角差的正弦公式化简求值，属于简单题.
19．（1）证明见解析（2）270
35
- 【解析】
（1）解法一： 作1D D 的中点H ，连接EH ，FH .利用三角形的中位线证得1//EH A D ，利用梯形中位线证得//FH CD ，由此证得平面1//A DC 平面EHF ，进而证得//EF 平面1A DC .解法二：建立空间直角坐标系，通过证明直线EF 的方向向量和平面1A DC 的法向量垂直，证得//EF 平面1A DC .
（2）利用平面1A CN 和平面1A FC 法向量，计算出二面角1
N AC F --的余弦值. 【详解】
（1）法一：作1D D 的中点H ，连接EH ，FH .又E 为11A D 的中点，∴EH 为11A DD ∆的中位线，∴1//EH A D ，又
F 为MC 的中点，∴FH 为梯形1D DCM 的中位线，∴//FH CD ，在平面1A DC 中，1A D CD D =，在平面EHF
中，EH
FH H =，∴平面1//A DC 平面EHF ，又EF ⊂平面EHF ，∴//EF 平面1A DC .
另解：（法二）∵在长方体1111ABCD A B C D -中，DA ，DC ，1DD 两两互相垂直，建立空间直角坐标系D xyz -如图所示，
则(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(2,4,0)B ，
(0,4,0)C ，1(0,0,2)D ，1(2,0,2)A ，
1(2,4,2)B ，1(0,4,2)C ，(1,0,2)E ，
(1,4,0)N ，(0,3,2)M ，70,,12F ⎛⎫
⎪⎝⎭
.
（1）设平面1A DC 的一个法向量为(,,)m x y z =，
则110
0m A D m A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
(,,)(2,0,2)0(,,)(2,4,2)0x y z x y z ⋅--=⎧⇒⎨⋅--=⎩020x z x y z +=⎧⇒⎨-+=⎩，
令1x =，则1z =-，0y =.∴(1,0,1)m =-，又71,,12
EF ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭
， ∵0EF m ⋅=，EF m ⊥，又EF ⊄平面1A DC ，//EF 平面1A DC . （2）设平面1A CN 的一个法向量为()111,,n x y z =，
则1100n A N n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩()()111111
,,(1,4,2)0
,,(2,4,2)0x y z x y z ⎧⋅--=⎪⇒⎨⋅--=⎪⎩42020x y z x y z -+=⎧⇒⎨-+=⎩，
令1y =，则2z =，0x =.∴(0,1,2)n =.
同理可算得平面1A FC 的一个法向量为1(3,2,1)m = ∴111270
cos ,35
m n m n m n
⋅=
=
⋅， 又由图可知二面角1N AC F --的平面角为一个钝角， 故二面角1
D AC N --的余弦值为270
35
-.
【点睛】
本小题考查线面的位置关系，空间向量与线面角，二面角等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力，数形结合思想，化归与转化思想.
20．（1）ˆ18.69 1.23y
x =-（2）当 2.72x =时，年利润z 最大． 【解析】
（1）方法一：令10z y =-，先求得z 关于x 的回归直线方程，由此求得y 关于x 的回归直线方程.方法二：根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.方法一的好处在计算的数值较小. （2）求得w 的表达式，根据二次函数的性质作出预测. 【详解】
（1）方法一：取10z y =-，则得x 与z 的数据关系如下
(12345)35x =++++=，
1
(7.0 6.5 5.5 3.8 2.2)55
z =++++=，
5
1
17.02 6.53 5.54 3.85 2.262.7i i
i x z
==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，
5
2222221
1234555i
i x
==++++=∑.
5
1
5
2
22
1
562.7535
ˆ 1.2355535i i i i
i x z
xy
b
x
x ==--⨯⨯∴===--⨯-∑∑，
ˆˆ5( 1.23)38.69a
z bx =-=--⨯=， z ∴关于x 的线性回归方程是8.69 1.23z x =-即ˆ108.69 1.23y z x -==-， 故y 关于x 的线性回归方程是ˆ18.69 1.23y
x =-. 方法二：因为1
(12345)35
x =
++++=， 1
(17.016.515.513.812.2)155
y =++++=，
5
1
117.0216.5315.5413.8512.2212.7i i
i x y
==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，
5
2222221
1234555i
i x
==++++=∑，
5
1
5
2
22
1
5212.75315
ˆ 1.2355535i i
i i
i x y xy
b
x
x ==--⨯⨯∴==
=--⨯-∑∑，
所以ˆˆ15( 1.23)318.69a
y bx =-=--⨯=， 故y 关于x 的线性回归方程是ˆ18.69 1.23y
x =-， （2）年利润2
(18.69 1.23)12 1.23 6.69w x x x x x =--=-+，根据二次函数的性质可知:当 2.72x =时，年利润z 最大．
【点睛】
本小题主要考查回归直线方程的求法，考查利用回归直线方程进行预测，考查运算求解能力，属于中档题. 21．（1）证明见解析（2）21
7
【解析】
（1）要证明AC ⊥平面11BB D D ，只需证明AC BD ⊥，1AC DD ⊥即可：
（2）取11B D 中点F ，连EF ，以E 为原点，, , EA EB EF 分别为, , x y z 轴建立空间直角坐标系，分别求出OB 与平面11OB D 的法向量n ，再利用cos ,||||
O n OB n B
O n B ⋅<>=⨯计算即可.
【详解】
（1）∵底面ABCD 为菱形，
AC BD ∴⊥
∵直棱柱11111ABCD A B C D DD -∴⊥，
平面ABCD . ∵AC ⊂平面ABCD .
1AC DD ∴⊥
11,,AC BD AC DD BD DD D ⊥⊥⋂=.
AC ∴⊥平面11BB D D ；
（2）如图，取11B D 中点F ，连EF ，以E 为原点，, , EA EB EF 分别为, , x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系：
3,1AE BE ==，
点11
1
(0,1,0),(0,1,2),(0,1,2),,1
22
B B D A O
⎛⎫
--
⎪
⎝⎭
，
设平面11
OB D的法向量为(,,)
n x y z
=，
111
3
(0,2,0),,,1
22
D B OB
⎛⎫
==- ⎪
⎝⎭
，
有
11
1
20
33
22
D B n y
OB
n x y z
⎧⋅==
⎪
⎨
⋅=-++=
⎪
⎩
，令2
x=，0,
y z
==
得(2,0,3)
n=
又
33
,,1,23,||7,||2
22
OB n OB n OB
⎛⎫
=--⋅=-=
=
⎪
⎝
⎭
，
设直线OB与平面11
OB D所成的角为θ，
所以sin
|cos,|||
7
n OB
θ=<>==
故直线OB与平面11
OB D
所成的角的正弦值为
7
.
【点睛】
本题考查线面垂直的证明以及向量法求线面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，本题解题关键是正确写出点的坐标.
22．（1）1
C的极坐标方程为2sin
ρθ
=；
2
C cos sin6
θρθ
+=（2）
1
2
【解析】
（1）根据
cos
sin
x
y
ρθ
ρθ
=
⎧
⎨
=
⎩
，代入即可转化.
（2）由
3
C：()
00
kx
y k
-=>，可得θα
=，代入1C与2C的极坐标方程求出,
OA OB ，从而可得
2
2sin cos
6
OA
OB
αα
λ
+
==，再利用二倍角公式、辅助角公式，借助三角函数的性质即可求解.
【详解】
（1）1
C：2220
x y y
+-=，22sin
ρρθ
∴=，
1
C
∴的极坐标方程为2sin
ρθ
=
2C
：6y +=
，cos sin 6θρθ+=，
2C ∴
cos sin 6θρθ+=，
（2）3C ：()00kx y k -=>，则θα=（α为锐角），
2sin OA α∴=
，OB =
OA
OB λ∴==
π2sin 12cos 2116662
ααα⎛
⎫-+ ⎪-+⎝⎭==≤，当π
3
α=时取等号. 【点睛】
本题考查了极坐标与直角坐标的互化、二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的性质，属于基础题.。