人口结构与经济发展预测=数学建模好论文正稿

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2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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日期： 2012 年 9
月 10日
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2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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阅
人
评
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备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
1
人口结构和经济发展预测模型
摘要
众所周知，人口结构和影响经济发展的因素是国家发展和制定政策的基础和依据。

如果不能进行合理的预测，就会给政策制定带来困难甚至做出错误决策。

因此，有必要对人口结构和影响经济发展的因素建立定量的数学模型。

问题一：首先建立了科布•道格拉斯生产函数模型，计算出技术进步、固定资产投资、就业人口三个决定因素对经济发展的影响。

然后分析人口结构与经济增长指标，建立多元回归方程，利用回归方程中的标准回归系数的大小综合得出人口结构对经济发展的影响。

问题二，分析人口结构数据的实际数据特点，首先建立了灰色预测模型，对总人口数量，各年龄段人口数量，出生率死亡率，进行了预测。

考虑到性别比例呈波动趋势，则用多个不同周期的三角组合函数拟合，最终对人口结构各因素进行未来三十年预测。

问题三，在放宽一胎化政策下，首先建立了多项式拟合模型，将出生率和
0-14岁、大于65岁人口比例进行拟合，然后建立新政策下的出生率函数模型，将新的出生率代多项式拟合函数中，即可求解预测出新政策下人口结构变化，对于性别比例，本文建立了男女比例加权函数模型，在没实行新政策前的基础上，分别对生男生女进行比例概率加权，得到了新政策后的结果。

问题四，在考虑延迟退休年龄情况下，通过建立推迟退休年龄与劳动力增长率之间的关系和劳动力增长率和经济增长率之间的关系，得到推迟退休年龄为65岁时，对经济增长贡献最大，为0.7% 。

问题五，我们跟据当前实际情况和我们模型求解得出的结果，给中国人口结构和经济可持续发展提出建议。

最后，按照题目要求，将所得结果以表格形式给出，并附上各模型的计算程序，从结果看，本文模型对未来三十年的人口结构和经济增长预测较好。

关键词：科布•道格拉斯生产函数灰色预测多项式拟合回归分析
2
一、问题重述
自新中国建立以来，特别是改革开放30年，中国经济持续高速发展，创造了“中国经济奇迹”。

2010年2月14日日本共同社发布消息指出，2010年日本名义GDP为54742亿美元，比中国少4044亿美元，中国已成为全球第二大经济体。

强大的经济实力和发展潜力使得中国在各个领域取得了举世瞩目的成就，这些成功不但源于前瞻性的科技政策指导和强大的经济支撑，而且也源于中国高素质的人才资源储备。

近年来，“中国制造”引领世界产业潮流，并强力改变着全球产业格局，可谓随处可见“中国制造”。

以雄厚的经济实力和丰富的劳动力资源为基础，中国的文化传播和武器出口，无论从质量和数量上都稳步提高——中国声音在国际舞台上越来越强有力。

我国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。

近年来我国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。

人口与经济发展的关系问题历来是人类社会最基础的问题，我国自开始实行计划生育政策后，在控制人口数量方面取得显著成果。

然而，最近在社会上出现了一些新的现象。

比如：礼貌道德危机事件，征兵体检标准放宽，专家建议延长退休年龄，松绑二胎，养老金缺口加大，中国科学院大学的建立等等。

这些消息和舆论热点层出不穷，我们不可否认现有人口结构已经影响到政治、经济、军事和道德文化等诸多领域，它们集中反映了人们对当前中国人口结构的思考和担忧，值得我们深思。

针对上述思考和担忧，本文着重解决和回答了以下五个问题：
(1) 定量分析影响经济发展的主要因素，阐明人口结构对经济发展的影响。

(2) 就当前中国人口政策，建立数学模型，预测未来30年内中国人口结构。

(3) 如果实行放宽一胎化生育政策，请建立数学模型，预测未来30年内中国人口结构。

(4) 定量评估延迟退休年龄策略对中国经济发展的影响。

(5) 基于背景中所出现的解决策略和您所想到的方法，就中国人口结构和经济可持续发展提出建议。

3
4
二、模型假设
（1）假设查找的数据资料能够正确反映当前社会的真实情况；
（2）假设放宽二胎后人口出生率呈线性增长；
（3）假设不考虑移民对总人口的影响；
（4）假设在预测人口模型中各项指标均在自然资源和环境的承载能力之中；
（5）假设不考虑战争、重大自然灾害等因素对人口结构的影响。

三、模型符号说明
α： 劳动资本
β ： 劳动产出弹性
()()0X k ： 灰色预测法的原始序列
()()0ˆX
k ： 灰色预测法的原始序列预测值 x ： 出生率
t ： 时间
j M ： 第j 年的男性比例，1,2,3,
30j = j W ： 第j 年的女性比例，1,2,3,
30j = i l ： 第i 年的男性比例1,2,3,30i =
Q ： 就业增长率
P : 经济增长率
5
四、模型的建立与求解
4.1问题一
定量分析影响经济发展的主要因素——科布•道格拉斯生产函数模型
4.1.1 问题分析
对于问题一，首先需要定性分析影响经济发展的主要因素，经济增长理论认为影响一个国家或地区的经济增长的主要决定因素有：资本、劳动、技术进步和社会经济制度，除此之外还与社会环境、生态环境和国际环境也有密切的联系。

本文主要分析了固定资产投资（资本）、就业人口（劳动）、技术进步三个因素。

劳动年龄人口是指在15-64岁的人口，并不完全等同于经济中的实际就业人口，但劳动年龄人口与经济中的实际就业人口之间存在正相关的关系。

经济发展的生产函数是指在一定时期内，在技术水平不变的条件下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系。

根据《从十六大到十八大经济社会发展成就系列报告》可查得数据如下表：
表一：近年国内经济生产与就业投资情况表
年份
国内生产总值（亿元） 就业人员（万人） 固定资产投资（亿元） 2003
135828 73736 55567 2004
159878 74264 70477 2005
184937 74647 88774 2006
216314 74978 109998 2007
265810 75321 137324 2008
314045 75564 172828 2009
340903 75828 224599 2010
401513 76105 278122 2011 471564 76420 311022 数据来源网址：
/txt/2012-08/16/content_26251554.htm
下面引入科布•道格拉斯生产函数模型：
t t Y AK L αβ
=
其中Y 是生产函数，A 代表技术进步，K 表示固定资产投资，L 表示就业人口，,αβ分别代表资本和劳动的产出弹性。

根据,αβ的组合情况,它有三种类型：①α＋β>1, 称为递增报酬型，表明按现有技术用扩大生产规模来增加产出是有利的。

②α＋β<1, 称为递减报酬型,表明按现有技术用扩大生产规模来增加产出是得不偿失的。

③α＋β＝1, 称为不变报酬型，表明生产效率并不会随着生产规模的扩大而提高，只有提高技术水平，才会提高经济效益。

6
为了简化整个模型的分析过程，我们可以对此模型两边同时取自然对数，于是原模型公式变形为下式：
ln ln ln Y K L C αβ=++
运用计量经济学Eviews 软件，采用最小二乘法对方程进行回归，得到生产函数为：
ln 9.7393070.69766ln 0.01300ln Y K L =++
根据上述分析得到，资本产出弹性α＝0.69766，表明资本投入1％的增长，可以导致总产值0.69766％的增长，而劳动产出弹性系数β＝0.0130．表明：劳动投入1％的增长，可以导致地区生产总值0.013％的增长．而α＋β<1，为递减报酬型，表明按现有技术用扩大生产规模来增加产出是得不偿失的。

4.1.2 人口结构对经济发展的影响
人口结构一般分为性别结构、年龄结构、文化结构和城乡结构，从中找出几个影响经济发展的自变量：男性占总人口的比例，高校毕业人数，城镇人口占总人口的比例，0-14岁的人口占总人口的比例，15-64岁的人口比例，65岁以上的人口比例（现在国际上通常会把人口划分为三大部分：0-14岁的少年儿童组；15-64岁的成年组；65岁及以上的老年组）。

从全国的经济总量、经济水平、国际贸易等三个方面对经济增长进行指标分解(见下表)。

这样建立起了本文的最终指标体系，为后文的分析奠定了研究基础。

表二： 2011年全国人口结构与经济增长指标体系
人口结构与经济增长指标体系
指标代码 人口结构系统 性别结
构 性别比 X1 文化结
构 普通高校毕业人口 X2 年龄结
构 0-14岁人口 X3 15-64岁人口
X4 65岁及以上人口
X5 城乡结
构 城镇\农村人口比 X6 经济系统 经济总
量 国内生产总值 Yl 国民总收入
Y2 第三产业增加值
Y3 国际贸
易 支出国外生产总值 Y4 经济水
平
全体居民消费水平
Y5
7
研究的问题是受多个因素影响的，需要建立多元回归方程，进行多元回归分析。

事实上，一种现象常常是与多个因素相联系的，由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量，比只用一个自变量进行预测或估计更有效，更符合实际。

但由于各个自变量的单位可能不一样，性别结构、年龄结构、文化结构和城乡结构等等因素都会影响到经济，而这些影响因素（自变量）的单位显然是不同的，因此自变量前系数的大小并不能说明该因素的重要程度，所以得想办法将各个自变量化到统一的单位上来。

标准分就有这个功能，具体到这里来说，就是将所有变量包括因变量都先转化为标准分，再进行线性回归，此时得到的回归系数就能反映对应自变量的重要程度。

这时的回归方程称为标准回归方程，回归系数称为标准回归系数，表示如下：
01122 n n y x x x ββββε=+++⋯⋯++
取标准分即数据值-数据平均值然后除以标准差之后再进行回归，对数据处理后进行回归，且经过去除残差后，得出结果如下(数据见附录)：
1123456212345631234564
-0.0151-0.01510.6809-11.2125-8.4728-1.1401-1.353-0.0025-0.0891+0.6643-19.5689-14.89-3.5486-0.8803-0.03620.0211+0.738-15.9898-12.16-2.194-1.4781-0.0303y x x x x x x y x x x x x x y x x x x x x y =+==+=1234565123456-0.0022+0.8128-16.3258-12.472-2.6666-1.0956-0.0347-0.0357+0.692-23.8134-18.2580-4.8182-0.5441x x x x x x y x x x x x x ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⎩
4.1.3 问题的结论
通过以上模型的求解，可以得出结论：性别结构、年龄结构、文化结构和城乡结构中，年龄结构对经济发展的影响最大。

由于劳动年龄人口是指在l5－64岁的人，并不完全等同于经济中的实际就业人口，但劳动年龄人口与经济中的实际劳动投入量之间存在正相关的关系。

并且从理论上来说，一个人要能成为经济中的劳动力，首先要是劳动年龄人口虽然现实中存在儿童和65岁以上老人参加劳动的现象，但因其数量非常有限，因此可以把劳动年龄人口看作是潜在的劳动投入量，即经济中劳动投入量的上限。

而0－14岁又可作为潜在的劳动力，65岁以上带来了养老金压力大等问题，都对经济有较大影响。

接下来是城乡结构的城镇结构比影响经济的发展，表明城镇与乡村依然存在不平衡发展的问题，且这种不平衡反过来作用于经济的发展，是一种恶性循环。

然后是文化结构影响经济，当今社会依然需要文化力量改变经济，人才仍然需要提高，科技仍然是第一生产力。

性别比对经济的影响稍稍小些，但是也是值得我们关注的，性别不同的人适合不同的工作，当性别比过大，必然也将影响经济，只是现在的影响还较小。

4.2 问题二
4.2.1 模型的分析
问题二是一个关于人口结构预测的问题，我们通过查阅资料并结合实际情况认为人口结构主要包含四个方面：人口总数、出生率、死亡率，年龄结构、性别比例，其他因素对人口结构的影响都是通过这些因素来体现的。

因为人口结构变
8
化复杂，影响因素较多，变化趋势不明朗，但是除性别比例不呈单调变化趋势外，其他因素基本呈现单调变化趋势，所以本文对人口总数、出生率、死亡率，年龄结构可采用灰色预测方法，而对性别比例，由于它是呈波动特性的，则可以采用基于最小二乘法的波动函数拟合的方法。

4.2.2 模型的建立与求解
4.2.3模型一
灰色预测模型GM （1,1）
利用灰色预测理论建立(1,1)GM 模型，记2001年为初始年，对十个历史数据进行模拟并对未来的人口总数、出生率、死亡率，年龄结构进行预测，利用数据列建立预测模型的步骤如下：
第一步:作一阶累加，形成数据序列
设时间序列(0)X 有n 个观测值{}(0)(0)(0)(0)(1),(2),,()X X X X n =，通过累加
生成新序列{}(1)(1)(1)(1)(1),(2),
,()X X X X n =，则(1,1)GM 模型相应的灰微分方程
为： 1(1)dX aX dt
μ+=（）
其中：
a 为发展灰度，μ为内生控制灰度。

第二步:求参数a 和u
设δ为待估参数向量，a δμ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，利用最小二乘法求解可得：
(1)ˆˆ()ˆT T n a
B B B Y δμ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 其中：
(1)(1)(1)(1)(1)(1)1[(1)(2)]21[(2)(3)]21[(1)()]2X X X X B X n X n ⎡⎤-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎢⎥⎣
⎦
， (0)(0)(0)(2)(3)()n X X Y X n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 第三步:建立生成数据序列模型
求解微分方程，即可得到预测模型：
ˆ(1)(0)ˆˆˆ(1)[(1)](0,1,2,)ˆˆak X k X e k n a a μμ-+=-⋅+= ·
(3)
9
第四步: 建立原始数据序列模型，即由累减生成原始数据序列的模拟序列值：
()()()()()()()()0110ˆˆ(1)ˆˆˆˆ1(1)1ˆa a k u X k X k X k e X e a --⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭
，(1,2,3)k n = 这里()()0ˆX k (1,210)k =是原始序列()()0X k (1,2
10)k =的拟合值，
()()()0ˆ10X k k >是原始数据序列的预测值。

4.2.4灰色预测模型的求解
利用《中国统计年鉴》搜集历年人口总数，出生率，死亡率和年龄结构情况，数据来源网址：
（/tjsj/ndsj/renkoupucha/2000pucha/pucha.htm ）
用MATLAB 编程进行拟合，预测出了2012-2041年的人口总数、出生率、死亡率、男女比例和年龄结构的情况，对于未来30年人口总数，出生率，死亡率和自然增长率情况如下表：
表三：未来30年人口总数与各年龄段人口数量预测表
人口总数(十亿) 年龄结构 0-14岁 15-64岁 >65岁 2011 1.3492 16.8488 74.1926 8.9586 2012 1.3565 16.3001 74.5276 9.1723 2013 1.3638 15.7692 74.8397 9.3911 2014 1.3711 15.2557 75.1292 9.6151 2015 1.3784 14.7588 75.3967 9.8445 2016 1.3858 14.2782 75.6424 10.0794 2017 1.3933 13.8132 75.8670 10.3198 2018 1.4008 13.3633 76.0707 10.5660 2019 1.4083 12.9281 76.2538 10.8181 2020 1.4158 12.5071 76.4167 11.0762 2021 1.4234 12.0997 76.5599 11.3404 2022 1.4311 11.7057 76.6834 11.6109 2023 1.4388 11.3245 76.7876 11.8879 2024 1.4465 10.9557 76.8728 12.1715 2025 1.4542 10.5989 76.9392 12.4619 2026 1.4621 10.2537 76.9871 12.7592 2027 1.4699 9.9197 77.0167 13.0636 2028 1.4778 9.5967 77.0281 13.3752 2029 1.4857 9.2841 77.0216 13.6943 2030 1.4937 8.9818 76.9972 14.0210 2031 1.5017 8.6893 76.9552 14.3555 2032 1.5098 8.4063 76.8957 14.6980 2033 1.5179 8.1325 76.8189 15.0486 2034 1.5260 7.8677 76.7247 15.4076 2035 1.5342 7.6114 76.6134 15.7752 2036 1.5425 7.3635 76.4850 16.1515
10
2037 1.5507 7.1237 76.3395 16.5368 2038 1.5591 6.8916 76.1771 16.9313 2039 1.5674 6.6673 75.9975 17.3352 2040 1.5759
6.4502 75.8010 1
7.7488
表四：出生率死亡率自然增长率预测表
出生率 死亡率 自然增长率
2011 11.7576 7.3088 4.4488 2012 11.6643 7.4278 4.2365 2013 11.5718 7.5487 4.0231 2014 11.4801 7.6716 3.8085 2015 11.3890 7.7966 3.5924 2016 11.2987 7.9235 3.3752 2017 11.2091 8.0525 3.1566 2018 11.1202 8.1836 2.9366 2019 11.0320 8.3169 2.7151 2020 10.9445 8.4523 2.4922 2021 10.8577 8.5899 2.2678 2022 10.7716 8.7298 2.0418 2023 10.6862 8.8719 1.8143 2024 10.6015 9.0164 1.5851 2025 10.5174 9.1632 1.3542 2026 10.4340 9.3124 1.1216 2027 10.3512 9.4640 0.8872 2028 10.2691 9.6181 0.6510 2029 10.1877 9.7747 0.4130 2030 10.1069 9.9339 0.1730 2031 10.0268 10.0956 -0.0688 2032 9.9472 10.2600 -0.3128 2033 9.8683 10.4271 -0.5588 2034 9.7901 10.5969 -0.8068 2035 9.7124 10.7694 -1.0570 2036 9.6354 10.9447 -1.3093 2037 9.5590 11.1230 -1.5640 2038 9.4834 11.3041 -1.8207 2039 9.4080 11.4881 -2.0801 2040
9.3334 11.6752 -2.3418
4.2.5 模型二
基于最小二乘法的波动拟合模型的建立
由所查数据知，性别比例呈现波动性变化，本文为拟合这种非单调的波动性变化，采用了一个三角函数作为拟合函数，如下：
()()()7
01f ()cos sin i i i x a a wx b wx ==++∑
11
其中：,,,1,2,7i i a b w i =是待定系数， 4.2.6 模型的求解
本文运用最小二乘算法，用MATLAB 进行编程计算，得到个系数一次为：
()105.5113,0.0713,0.0565,0.0059,0.0081,0.3016,0.2473,0.3412a =- ()0.0773,0.0277,0.0057,0.0908,0.1033,103030,0.1305b =---
0.9916w =
将参数代入拟合函数中，进行预测，可得未来三世年性别比例如下表：
表五：性别比例预测表
年份 2011 2012 2013 2014 2015 相别比例 104.4409 104.1365 104.4095 104.0398 103.7248 年份 2016 2017 2018 2019 2020 相别比例 104.2696 105.0194 106.0701 106.5555 106.2332 年份 2021 2022 2023 2024 2025 相别比例 106.2813 106.6085 106.7236 106.5234 106.0991 年份 2026 2027 2028 2029 2030 相别比例 106.1482 106.2489 105.8025 105.2296 104.4056 年份 2031 2032 2033 2034 2035 相别比例 104.1391 104.4224 104.0421 103.7367 104.3034 年份 2036 2037 2038 2039 2040 相别比例 105.0772 106.1349 106.6113 106.3007 106.3571
4.2.7 模型的检验
灰色预测模型检验一般有相对残差检验、级比偏差值检验和后验差检验。

相对残差：()()()
000ˆ()()(),1,2,3()
X i X
i i i n X i ε-== 级比偏差：()10.5()1,1,2,3
10.5a i i i n a ρλ-⎛⎫
=-=
⎪+⎝⎭
原始序列的标准差：1S '=
残差为：()()()000ˆ()()()i X i X
i ∆=- 绝对误差序列的标准差：
2S '=方差比：2
1
S C S '=
'
12
小误差概率：{
}
(0)
(0)
1()0.6745P p i S '=∆-∆
<，令(0)
(0)()i e i =∆-∆
，
10.6745S S ''=，则{}0i P p e S '=<。

检验标准：
如果()0.2i ε≤，则认为达到一般标准，如果()0.1i ε≤，则认为达到较高标准； 如果()0.2i ρ≤，则认为达到一般标准，如果()0.1i ρ≤，则认为达到较高标准。

表六：后验差检验表
P C 后验差 >0.95 <0.35 好 >0.80 <0.50 合格 >0.70
<0.65
勉强合格 ≤0.70 ≥0.65
不合格
本题中，各预测量的检验指标如下表：
表七：预测误差精度检验表
项目 相对残差 级比偏差 方差比 小误差概率 误差精度
等级
人口总数 all<0.1 all<0.1 0.036 1 好 0-14岁人口数 all<0.1 all<0.1 0.2262 0.9 合格 15-64岁人口数 all<0.1 all<0.1 0.1940 1 好 65岁以上人口数 all<0.1 all<0.1 0.1481 1 好 出生率 all<0.1 all<0.1 0.1070 0.8 合格 死亡率 all<0.1 all<0.1 0.2077 0.8 合格 由以上检验表知，这四项指标的检验均通过，则说明我们的预测值对于未来三十年的人口结构变化时合理的。

4.2.8 模型的结论
由以上对为来三十年人口结构预测数据知：我国总人口数将平稳增加，三十年后（2040年）达到15.759亿，0-14岁人口占总人口的比例不断减少，2014年后达到6.4502%,65岁以上人口比例不断增加。

2040年达到17.74%.人口将朝老龄化方向发展。

人口出生率也逐年下降，死亡率逐年增多。

而性别比例则维持在103-107间波动，这些预测诗符合实际的，也是符合现在的发展趋势的。

4.3 问题三
基于出生率影响下的人口结构预测 4.3.1 问题的分析
13
本问要求在放宽生育政策下预测未来30年人口结构，关键在第二问基础上，考虑出生率单因素变化影响下，人口结构的变化。

考虑到实际情况，出生率变化主要影响0-14岁人口数量，65岁以上人口数量和性别比例的变化，第二问的结果显示，出生率0-14岁人口数，65岁以上人口数呈单调变化关系，可以用多项式拟合的方法，先拟合出出生率与以上2个变量间的函数关系，再将放宽一胎化生育政策后出生率变化后的值代入拟合方程，即可预测出新政策下二个人口结构指标的变化。

对于出生率对性别比例的影响，我们通过男、女比例加权模型来预测。

4.3.2 基于出生率单因素变化的线性拟合模型的建立与求解
把出生率作为自变量，先把0-14岁和大于65岁人口比重作为因变量，进行多项式拟合处理，通过MATLAB 编程求解，得到出生率与0-14岁人口比例的拟合图像如下：
图1：出生率与0-14岁和大于65岁人口比例拟合图
拟合得到的函数为：
1 4.247633.7432
z x =-
2
50.5747 3.5904z x =-
放宽一胎化政策后，我们假设出生率由原预测的2011年11.7576逐年增加，假设以2011年为初始年，生育率线性增长，我们查阅资料得知，放宽政策后，第一胎生男生的家庭愿意再生孩子和第一胎生女孩的家庭再生孩子的概率分为
120.292,0.332εε==
，我们假设男女比例大约各占一半，假设出生率呈线性增
14
加，则新政策下每年的将多增加的出生率为：
1211.7576(0.50.5)30
y εε+=
则新政策下的出生率表达式为：
211.7576,0,1,2,
30
z ty t =+=
于是我们得到出生率呈直线增加，到2040年达到13.4761。

将新政策下各年的出生率代入出生率与0-14岁和大于65岁人口比例的拟合函数中，利用MATLAB 求解，得出新政策下0-14岁和大于65岁人口比例的预测曲线：
图2：新政策下的人口结构比例图
4.3.3 男女比例加权模型的建立与求解
为预测放宽一胎化后男女比例，我们查阅了资料，得到了第一胎生男和生女家庭第二胎选择不生、生男、生女的概率，具体数据如下表：
表八：第二胎生男生女概率表
不生 生男 生女 第一胎生男 0.708 0.228 0.064 第一胎生女 0.668 0.110 0.222 数据来源网站：/xxgk/tjgb/
假设第一胎生男后第二胎不生、生男、生女的概率为,1,2,3i p i =，第一胎生女后第二胎不生、生男、生女的概率为,1,2,3i p i '=。

第二问中未放宽一胎化时预
15
测的男性比例为(103107),2011,2012,
2040j j M M j ≤≤=，女性比例为
100,2011,20122040j W j ==，则在第二问基础上，可用以下公式预测新政
策下的男女性别比例：
222
3
332(1)1002(1)j j j i j j j M p M p W p l W p W p M p '+-+=⨯''+-+
利用MATLAB ，将第二问中的数据代入以上公式求解得到新的性别比例预测值如
下表：
表九：放宽一胎化后的未来三十年性别比例预测
年份 2011 2012 2013 2014 2015 相别比例 108.0454 107.7716 108.0171 107.6846 107.4013 年份 2016 2017 2018 2019 2020 相别比例 107.8913 108.5654 109.5091 109.9447 109.6555 年份 2021 2022 2023 2024 2025 相别比例 109.6986 109.9922 110.0955 109.9159 109.5351 年份 2026 2027 2028 2029 2030 相别比例 109.5792 109.6696 109.2688 108.7542 108.0136 年份 2031 2032 2033 2034 2035 相别比例 107.7740 108.0287 107.6867 107.4120 107.9217 年份 2036 2037 2038 2039 2040 相别比例 108.6173 109.5672 109.9948 109.7160 109.7667 4.3.4 模型的结论
由以上模型的求解我们得到如下结论：根据实际情况，我们在预测0-14和65岁以上人口比例时，放宽一胎化政策后0-14岁人口数量的比例逐渐上升，30年后（2040年）达到23.4973%。

而大于65岁年龄的人口数量比例减少到2.1903%。

而性别比例将在107-110间波动。

说明调整政策后，人口将由衰退型向增长型转变，而性别比例不均衡将进一步恶化。

4.4问题四
评估延迟退休年龄策略对中国经济发展的影响 4.4.1 问题分析
由问题一可知,影响中国经济的发展因素有、人口结构、劳动力数量和国家资产投入,延迟退休年龄,可以增加劳动力数量,从而推动中国经济的发展。

本文建立经济增长与劳动量的关系，再通过延迟退休年龄与劳动量增加之间的量化关系，定量确定延迟退休年龄对中国经济的影响。

在经济理论中，就业比例系数β是研究经济发展与就业增长数量关系的系数，它反映的是劳动力就业的增长率Q 与经济增长率P 之间的比率，即为:
Q P β=
β是劳动产出弹性系数，
即GDP 每增长1个百分点可以带动的就业增长的百分点，。

即β越大，提高相同比例的经济增量，需要的单位劳动力就越多，。

在比列系数一定的情况下，经济的增长速率就和劳动力的增长速率成相同的变化趋势。

16
劳动力就业增长率为就业人数增加量与初始从业人数的比值，若用0L 表示参加就业的劳动力，则∆L 为从业人数的增加量，从而可以将劳动力就业的增长率Q 简单表示为:
∆=
L Q L 将①带入②式可得：
o L
P L β
∆=
这样就把增加的就业人数和GDP 的增长速率联系起来了。

当延迟退休年龄，那么这些因延迟而未退休的人，将增加就业量。

那么定量评估延迟退休年龄策略对中国经济发展的影响，就是研究因为延迟退休而增加的就业人数对中国GDP 增长速率的影响，这样我们将③式限定于延迟退休年龄条件下的从业劳动力与经济发展之间的关系:
''L β
∆=L P
L '表示在未改变退休年龄前的就业人数，'L ∆为因延迟退休年龄而产生的从业劳动力增量，等于推迟退休年龄后的实际从业人数减去推迟退休年龄前的实际从业人数( 即'L ) 。

4.4.2模型建立
我们的模型是要根据就业人口数来求解出延迟退休年龄和GDP 增长率之间的关系。

但由于就业人数统计起来数量庞大，而且具有很大的不确定因素，所以我们用各年龄i 的统计人数i L 和该年龄的劳动参与率i γ来反映就业人数的变化。

则i i L γ表示年龄为i 的就业人数。

当劳动者从a 岁工作到b 岁退休，则所有的就业人数为b
i i i a L γ=∑，如果将退休
年龄从b 延迟到b k +，则政策改变后社会就业人数为b k
i i i a
L γ+=∑，这样劳动力增
加量b k b
i i i i i a i a
L L L γγ+=
=
∆=
-∑∑，即GDP 增速)(
()11221122b k b b
i i i i i i i i i i i a i a i a P L L L L L γγγγβγ+===⎛⎫
=+-+ ⎪⎝⎭
∑∑∑。

由于男女的劳动参与率不同而且差异较大，必须分开考虑，所以本文对模型进行改进，使其更接近实际。

i 岁男性人数用1i L 表示，劳动参与率用γ2i 表示，
同样2i L 、2i γ 表示女性。

这样在考虑男女的情况下，模型为：
()()()
112211221122b k b b
i i i i i i i i i i i i i a i a i a P L L L L L L γγγγβγγ+===⎛⎫
=+-++ ⎪⎝⎭∑∑∑
4.4.3 模型求解
本文以2010年的统计数据为参考，查出可知2010年各年龄阶段全国男女人口数与劳动参与率。

内。

我们取就业弹性系数为0.013。

60岁后，我们的数据是以10年为一个阶段的，而模型又必须知道每年的人口和劳动参与率，由于60岁以后的每个年龄的就业人数都是递减的，那么认为它是随着年岁的增大时以等差数列的方式递减的。

60岁以后的劳动参与率已经比较低了，所以我们假定劳动参与率不变。

这样60岁以后的男性人口是以9217789为首项,以1024198为公差的等差数列，女性人口以8836616为首项，以984846为公差。

算出延迟k年，劳动力的增加量。

这样我们以延迟退休时间k为自变量，以GDP的增加量为因变量，用MATLAB做出GDP增长率随延长退休年龄时间的图像。

17。