十四单元整式的乘法与因式分解知识树
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点归纳总结(精华版)(带答案)
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点归纳总结(精华版)单选题1、若(2020×2020×…×2020⏟ 共2020个)×(2020+2020+⋯+2020⏟ 共2020个)=2020n ，则n ＝（ ）A ．2022B ．2021C ．2020D ．2019 答案：A分析：2020个2020相乘，可以写成20202020，2020个2020相加，可以写成2020×2020=20202，计算即可得到答案．∵2020×2020×⋯×2020=20202020⏟ 2020，2020+2020+⋯+2020⏟ 2020=2020×2020=20202，∴原式左边=20202020×20202=20202022， 即2020n =20202022， ∴n =2022． 故选：A ．小提示：本题考查了乘方的意义，以及同底数幂的乘法运算．注意：求n 个相同因数乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．2、如图，阶梯型平面图形的面积可以表示为（ ）A ．ad +bcB ．ad +c (b −d )C ．ab −cdD ．c (b −d )+d (a −c ) 答案：B分析：把阶梯型的图形看成是两个长方形的面积之和或面积之差即可求解．解：S 阶梯型＝bc +（a ﹣c ）d 或S 阶梯型＝ab ﹣（a ﹣c ）（b ﹣d ） 或S 阶梯型＝ad +c （b ﹣d ）， 故选：B ．小提示：本题主要考查列代数式，整式的混合运算，解答的关键是把所求的面积看作是两个长方形的面积之和或面积之差．3、将多项式x ﹣x3因式分解正确的是（ ）A ．x （x2﹣1）B ．x （1﹣x2）C ．x （x+1）（x ﹣1）D ．x （1+x ）（1﹣x ） 答案：D分析：直接提取公因式x ，然后再利用平方差公式分解因式即可得出答案． x ﹣x 3=x （1﹣x 2） =x （1﹣x ）（1+x ）． 故选D ．小提示：本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式法是解题关键． 4、已知、为实数，且√a −12+ b 2+4＝4b ，则a 2015•b 2016的值是（ ） A ．12B ．−12C ．2D ．﹣2答案：C分析：已知等式整理后，利用非负数的性质求出与的值，利用同底数幂的乘法及积的乘方运算法则变形后，代入计算即可求出值．已知等式整理得：√a −12+ (b −2)2＝0，∴a =12，b ＝2， 即ab ＝1，则原式＝(ab)2015•b故选：C．小提示：本题考查了实数的非负性，同底数幂的乘法，积的乘方，活用实数的非负性，确定字母的值，逆用同底数幂的乘法，积的乘方，进行巧妙的算式变形，是解题的关键．5、如图，在长方形ABCD中，横向阴影部分是长方形，纵向阴影部分是平行四边形，依照图中标注的数据，计算空白部分的面积，其面积是（）A．bc−ab+ac+c2B．ab−bc−ac+c2C．a2+ab+bc−ac D．b2+bc+a2−ab答案：B分析：矩形面积减去阴影部分面积，求出空白部分面积即可．空白部分的面积为(a−c)(b−c)=ab−ac−bc+c2．故选B．小提示：此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6、小阳同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入m的值为2，则最后输出的结果y是（）A．2B．3C．4D．8答案：D分析：把m=2代入运算程序中计算，如小于或等于7则把其结果再代入运算程序中计算，如大于7则直接输出结果．解：当m=2时，=22-1=3＜7，当m=3时，m2-1=32-1=8＞7，则y=8．故选：D．小提示：此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，弄清题中的运算程序是解本题的关键．7、2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的计算结果的个位数字是（）A．8B．6C．2D．0答案：D分析：先将2变形为(3−1)，再根据平方差公式求出结果，根据规律得出答案即可．解：(3−1)(3+1)(32+1)(34+1)…(316+1)=(32−1)(32+1)(34+1)…(316+1)=(34−1)(34+1)…(316+1)=332−1∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…∴3n的个位是以指数1到4为一个周期，幂的个位数字重复出现，∵32÷4=8，故332与34的个位数字相同即为1，∴332−1的个位数字为0，∴2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的个位数字是0．故选：D．小提示：本题考查了平方差公式的应用，能根据规律得出答案是解此题的关键．8、若x2+ax＝（x+1）2+b，则a，b的值为（）2A ．a ＝1，b ＝14B ．a ＝1，b ＝﹣14C ．a ＝2，b ＝12D ．a ＝0，b ＝﹣12 答案：B分析：根据完全平方公式把等式右边部分展开，再比较各项系数，即可求解． 解：∵x 2+ax ＝（x +12）2+b =x 2+x +14+b ，∴a =1，14+b =0，∴a ＝1，b ＝﹣14，故选B ．小提示：本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．9、如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a 的正方形卡片4张，边长为b 的正方形卡片1张，长，宽分别为a ，b 的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为( )A ．2a+bB ．4a+bC ．a+2bD ．a+3b 答案：A分析：4张边长为a 的正方形卡片的面积为4a 2，4张边长分别为a 、b 的矩形卡片的面积为4ab ，1张边长为b 的正方形卡片面积为b 2，9张卡片拼成一个正方形的总面积=4a 2+4ab+b 2=(2a+b)2，所以该正方形的边长为：2a+b ．设拼成后大正方形的边长为x ， ∴4a 2+4ab+b 2=x 2，∴(2a+b)2=x 2，∴该正方形的边长为：2a+b. 故选A.小提示：本题主要考查了完全平方公式的几何意义，利用完全平方公式分解因式后即可得出大正方形的边长． 10、下列计算正确的是（ ）A ．m +m =m 2B ．2(m −n )=2m −nC ．(m +2n)2=m 2+4n 2D ．(m +3)(m −3)=m 2−9 答案：D分析：根据合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式进行运算，即可一一判定． 解：A.m +m =2m ，故该选项错误，不符合题意； B.2(m −n )=2m −2n ，故该选项错误，不符合题意； C.(m +2n)2=m 2+4mn +4n 2，故该选项错误，不符合题意； D.(m +3)(m −3)=m 2−9，故该选项正确，符合题意； 故选：D ．小提示：本题考查了合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式，熟练掌握和运用各运算法则和公式是解决本题的关键． 填空题11、阅读下面材料：一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：a+b+c ，abc ，a 2+b 2，…含有两个字母a ，b 的对称式的基本对称式是a+b 和ab ，像a 2+b 2，（a+2）（b+2）等对称式都可以用a+b ，ab 表示，例如：a 2+b 2＝（a+b ）2﹣2ab ．请根据以上材料解决下列问题： （1）式子①a 2b 2②a 2﹣b 2③1a+1b中，属于对称式的是_______（填序号）；（2）已知（x+a ）（x+b ）＝x 2+mx+n ． ①若m =−2,n =12，求对称式ba +ab 的值； ②若n ＝﹣4，直接写出对称式a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值．答案：（1）①③；（2）①b a +ab ＝6；②a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值为172．分析：（1）根据对称式的定义进行判断；（2）①先得到a+b ＝﹣2，ab ＝12，再变形得到b a +ab ＝a 2+b 2ab ＝(a+b)2−2abab，然后利用整体代入的方法计算；②根据分式的性质变形得到a 4+1a 2+b 4+1b 2＝a 2+1a 2+b 2+1b 2，再利用完全平方公式变形得到（a+b ）2﹣2ab+(a+b)2−2aba 2b 2，所以原式=1716m 2+172，然后根据非负数的性质可确定a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值．解：（1）式子①a 2b 2②a 2﹣b 2③1a+1b中，属于对称式的是 ①③．故答案为①③；（2）∵x 2+（a+b ）x+ab ＝x 2+mx+n ∴a+b ＝m ，ab ＝n ． ①a+b ＝﹣2，ab ＝12，b a+ab ＝a 2+b 2ab＝(a+b)2−2abab＝(−2)2−2×1212＝6；②a 4+1a 2+b 4+1b 2＝a 2+1a 2+b 2+1b 2＝（a+b ）2﹣2ab+(a+b)2−2aba 2b 2＝m 2+8+m 2+816＝1716m 2+172， ∵1716m 2≥0， ∴a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值为172．小提示：本题主要考查完全平方公式，关键是根据题目所给的定义及完全平方公式进行求解即可．12、平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(m ，3)．若将点A 先向下平移2个单位，再向左平移1个单位后得到点B(1，n)，则m +n =_______． 答案：3分析：先写出点A 向下平移2个单位后的坐标，再写出向左平移1个单位后的坐标．即可求出m 、n ，最后代入m +n 即可．点A 向下平移2个单位后的坐标为(m ，3−2)，即(m ，1)．再向左平移1个单位后的坐标为(m −1，1)．∴{m−1=11=n ，即{m=2n=1．∴m+n=2+1=3．所以答案是：3．小提示：本题考查坐标的平移变换以及代数式求值．根据坐标的平移变换求出m、n的值是解答本题的关键．13、若a+b=1，则a2−b2+2b−2=________．答案：-1分析：将原式变形为(a+b)(a−b)+2b−2，再将a+b=1代入求值即可.解：a2−b2+2b−2=(a+b)(a−b)+2b−2将a+b=1代入，原式=a−b+2b−2=a+b−2=1-2=-1所以答案是：-1.小提示：本题考查了代数式求值，其中解题的关键是利用平方差公式将原式变形为(a+b)(a−b)+2b−2.14、已知a+b=4，a−b=2，则a2−b2的值为__________．答案：8分析：根据平方差公式直接计算即可求解．解：∵a+b=4，a−b=2，∴a2−b2=(a+b)(a−b)=4×2=8所以答案是：8小提示：本题考查了因式分解的应用，掌握平方差公式是解题的关键．15、若a2−b2=−116，a+b=−14，则a−b的值为______．答案：14分析：由平方差公式进行因式分解，再代入计算，即可得到答案．解：∵a2−b2=(a+b)(a−b)=−116，∵a+b=−14，∴a−b=−116÷(−14)=14．故答案是：14．小提示：本题考查了公式法因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．解答题16、分解因式：2x3−2x2y+8y−8x答案：2(x−y)(x−2)(x+2)分析：先分组，然后利用提公因式法和平方差公式因式分解即可．解：2x3−2x2y+8y−8x=2x2(x−y)+8(y−x)=2x2(x−y)−8(x−y)=2(x−y)(x2−4)=2(x−y)(x−2)(x+2)．小提示：此题考查的是因式分解，掌握利用分组分解法、提公因式法和公式法因式分解是解题关键．17、小邢同学在计算(x+a)(x+b)中的“b”看成了“6”，算的结果为x2+3x−18，而且小颖同学在计算(x+a)(x+b)时将“+a”看成了“−a”，算的结果为x2−x−12．(1)求出a、b的值；(2)计算出(x+a)(x+b)的正确结果，答案：(1)a＝-3，b＝-4(2)x2-7x+12分析：（1）根据题意得出（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+3x-18，（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2-x﹣12，得出6+a＝3，﹣a+b＝-1，求出a、b即可；（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可．（1）根据题意得：（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+3x-18，（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2−x−12，所以6+a＝3，﹣a+b＝-1，解得：a＝-3，b＝-4；（2）当a＝-3，b＝-4时，（x+a）（x+b）＝（x-3）（x-4）＝x2-7x+12．小提示：本题考查了多项式乘以多项式法则和解方程，能正确运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键．18、我们知道形如x2+(a+b)x+ab的二次三项式可以分解因式为(x+a)(x+b)，所以x2+6x−7=x2+ [7+(−1)]x+7×(−1)=(x+7)[x+(−1)]=(x+7)(x−1)．但小白在学习中发现，对于x2+6x−7还可以使用以下方法分解因式．x2+6x−7=x2+6x+9−7−9=(x+3)2−16=(x+3)2−42=(x+3+4)(x+3−4)=(x+7)(x−1)．这种在二次三项式x2+6x−7中先加上9，使它与x2+6x的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式了．（1）请使用小白发现的方法把x2−8x+7分解因式；（2）填空：x2−10xy+9y2=x2−10xy+________+9y2−________=(x−5y)2−16y2=(x−5y)2−(________)2=[(x−5y)+________][(x−5y)−________]=(x−y)(x−________)；（3）请用两种不同方法分解因式x2+12mx−13m2．答案：（1）(x−1)(x−7)；（2）25y2；25y2；4y；4y；4y；9y；（3）(x+13m)(x−m)分析：（1）在x2−8x+7上加16减去16，仿照小白的解法解答；（2）在原多项式上加25y2再减去25y2，仿照小白的解法解答；（3）将−13m2分解为13m与（-m）的乘积，仿照例题解答；在原多项式上加36m2再减去36m2仿照小白的解法解答．（1）解：x2−8x+7=x2−8x+16+7−16=(x−4)2−9=(x−4)2−32=(x−4+3)(x−4−3)=(x−1)(x−7)；（2）解：x2−10xy+9y2=x2−10xy+25y2+9y2−25y2=(x−5y)2−16y2=(x−5y)2−(4y)2=[(x−5y)+4y][(x−5y)−4y]=（x-y）（x-9y）所以答案是：25y2；25y2；4y；4y；4y；9y；（3）解法1：原式=x2+[13m+(−m)]x+13m⋅(−m)=(x+13m)(x−m)．解法2：原式=x2+12mx+36m2−13m2−36m2=(x+6m)2−49m2=[(x+6m)+7m][(x+6m)−7m]=(x+13m)(x−m)．小提示：此题考查多项式的因式分解，读懂例题及小白的解法，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是解题的关键．。
人教八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点归纳总结(精华版)
(名师选题)人教八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点归纳总结(精华版)单选题1、下列运算正确的是（）A．(−m2n)3=−m6n3B．m5−m3=m2C．(m+2)2=m2+4D．(12m4−3m)÷3m=4m3答案：A分析：根据积的乘方、幂的乘方、同类项定义、完全平方公式、整式的除法的运算法则计算即可．解：A、(−m2n)3=−m6n3，故此选项正确；B、m5和m3不属于同类项，不能相加，故此选项错误；C、(m+2)2=m2+4m+4，故此选项错误；D、(12m4−3m)÷3m=4m3−1，故此选项错误；故选：A．小提示：本题主要考查积的乘方、幂的乘方、同类项定义、完全平方公式、整式的除法的运算法则等知识点，运用以上知识点正确计算每个选项的值是解题关键．2、在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A．(a+b)2=a2+2ab+b2B．(a−b)2=a2−2ab+b2C．a2−b2=(a+b)(a−b)D．(a+2b)(a−b)=a2+ab−2b2答案：C分析：图甲中根据阴影部分面积等于大正方形减去小正方的面积，图乙中直接求长方形的面积即可，根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可求解．解：图甲阴影部分的面积为a2−b2，图乙中阴影部分的面积等于(a+b)(a−b)∵两个图形中阴影部分的面积相等，∴a2−b2=(a+b)(a−b)故选C．小提示：本题考查了平方差公式与图形面积，正确的求出阴影部分面积是解题的关键．3、计算：(−a)2⋅a4的结果是（）A．a8B．a6C．−a8D．−a6答案：B分析：根据乘方的意义消去负号，然后利用同底数幂的乘法计算即可．解：原式=a2⋅a4=a2+4=a6．故选B．小提示：此题考查的是幂的运算性质，掌握同底数幂的乘法法则是解题关键．4、已知（x－2021）2+（x－2023）2＝50，则（x－2022）2的值为（）A．24B．23C．22D．无法确定答案：A分析：先变形为[（x-2022）+1]2+[（x-2022）-1]2=50，然后利用完全平方公式展开即可得到（x-2022）2的值．解：∵（x-2021）2+（x-2023）2=50，∴[（x-2022）+1]2+[（x-2022）-1]2=50，∴（x-2022）2+2（x-2022）+1+（x-2022）2-2（x-2022）+1=50，∴（x-2022）2=24．故选：A．小提示：此题考查了完全平方公式的运用，解题的关键是能根据完全平方公式灵活变形．5、若2x+4y−5=0，则4x⋅16y的值是（）A．16B．32C．10D．64答案：B分析：先根据2x+4y−5=0，得出2x+4y=5，再将4x⋅16y变形为22x+4y，最后将2x+4y=5整体代入，求值即可．解：∵2x+4y−5=0，∴2x+4y=5，∴4x⋅16y=(22)x⋅(24)y=22x⋅24y=22x+4y=25=32故选：B．小提示：本题主要考查了同底数幂的乘法和幂的乘方运算，熟练的逆用同底数幂的乘法运算公式和幂的乘方运算公式进行变形，将4x⋅16y变形为22x+4y，是解题的关键．6、若(8×106)×(5×102)×(2×10)=M×10a，则M、a的值为（）A．M=2，a=10B．M=8，a=8C．M=2，a=9D．M=8，a=10答案：D分析：根据单项式的乘法法则，乘号前面的数相乘，乘号后面的数相乘，再转化成科学记数法表示数，即可求出M，a的值．解：(8×106)×(5×102)×(2×10)=(8×5×2)×(106×102×10)=80×109=8×1010．∴M=8，a=10故选D．小提示：本题考查了单项式的乘法，同底数幂的乘法，科学记数法．熟练掌握各个运算法则和科学记数法表示数的计算方法是解题的关键．7、将多项式x ﹣x3因式分解正确的是（ ）A ．x （x2﹣1）B ．x （1﹣x2）C ．x （x+1）（x ﹣1）D ．x （1+x ）（1﹣x ）答案：D分析：直接提取公因式x ，然后再利用平方差公式分解因式即可得出答案．x ﹣x 3=x （1﹣x 2）=x （1﹣x ）（1+x ）．故选D ．小提示：本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式法是解题关键．8、已知、为实数，且√a −12+ b 2+4＝4b ，则a 2015•b 2016的值是（ ）A ．12B ．−12C ．2D ．﹣2 答案：C分析：已知等式整理后，利用非负数的性质求出与的值，利用同底数幂的乘法及积的乘方运算法则变形后，代入计算即可求出值．已知等式整理得：√a −12+ (b −2)2＝0， ∴a =12，b ＝2， 即ab ＝1，则原式＝(ab)2015•b＝2，故选：C ．小提示：本题考查了实数的非负性，同底数幂的乘法，积的乘方，活用实数的非负性，确定字母的值，逆用同底数幂的乘法，积的乘方，进行巧妙的算式变形，是解题的关键．9、已知a +b =4，则代数式1+a 2+b 2的值为（ ）A ．3B ．1C ．0D ．-1答案：A分析：通过将所求代数式进行变形，然后将已知代数式代入即可得解.由题意，得1+a 2+b 2=1+a +b 2=1+42=3 故选：A.小提示：此题主要考查已知代数式求代数式的值，熟练掌握，即可解题.10、已知5x=3，5y=2，则52x ﹣3y=（ ）A ．34B ．1C ．23D ．98答案：D分析：首先根据幂的乘方的运算方法，求出52x 、53y 的值；然后根据同底数幂的除法的运算方法，求出52x ﹣3y 的值为多少即可．∵5x =3，5y =2， ∴52x =32=9，53y =23=8， ∴52x ﹣3y =52x 53y =98． 故选D ．小提示：此题主要考查了同底数幂的除法法则，以及幂的乘方与积的乘方，同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a 可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．填空题11、因式分解：（x +2）x ﹣x ﹣2=_____．答案：（x +2）（x ﹣1）分析：通过提取公因式（x +2）进行因式分解即可．解：（x +2）x ﹣x ﹣2=（x+2）x-(x+2)=（x+2）（x﹣1），故答案为（x+2）（x﹣1）．小提示：考查了因式分解﹣提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．12、若x2−4x+a=(x−2)2−1成立，则a的值为________．答案：3分析：根据完全平方公式展开，然后根据对应位置的系数相同即可解题．∵(x−2)2−1=x2−4x+4−1=x2−4x+3∴a=3所以答案是：3．小提示：本题考查完全平方公式，解题的关键是根据完全平方公式展开化简．13、计算：(3x5y3−x6y2+x4y3z)÷(−2x2y)2=__________________；答案：34xy−14x2+14yz分析：先计算积的乘方，然后根据多项式除以单项式进行计算即可求解．解：原式＝(3x5y3−x6y2+x4y3z)÷(4x4y2)=34xy−14x2+14yz．所以答案是：34xy−14x2+14yz．小提示：本题考查了积的乘方，多项式除以单项式，正确的计算是解题的关键．解答题14、因式分解：1﹣a2﹣4b2+4ab．答案：(1+a−2b)(1−a+2b)分析：先分组，再逆用完全平方公式、平方差公式进行因式分解．解：1﹣a2﹣4b2+4ab＝1﹣（a2+4b2﹣4ab）＝1﹣（a﹣2b）2＝（1+a﹣2b）[1﹣（a﹣2b）]＝（1+a﹣2b）（1﹣a+2b）．小提示：本题考查因式分解，涉及分组分解法、逆用完全平方公式、平方差公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．15、先化简，再求值：[(a−2b)2−(a−2b)(a+2b)+4b2]÷(−2b)，其中a=1，b=−2．答案：2a-6b，14．分析：先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，算除法，最后代入求出答案即可．解：[（a-2b）2-（a-2b）（a+2b）+4b2]÷（-2b）=（a2-4ab+4b2-a2+4b2+4b2）÷（-2b）=（-4ab+12b2）÷（-2b）=2a-6b，当a=1，b=-2时，原式=2×1-6×（-2）=2+12=14．小提示：本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．。
人教版初中数学第十四章整式的乘法与因式分解知识点
第十四章 整式乘除与因式分解知识点14.1 整式的乘法14.1.1 同底数幂的乘法同底数幂的乘法法则：m n m n a a a +⋅=（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加.注意底数可以是多项式或单项式.例1．在横线上填入适当的代数式：614_____x x ⋅=，26_____x x =÷.【答案】8x ，4x 例2．计算：743a a a ⋅⋅；【答案】14a14.1.2 幂的乘方幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘.幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a )()(==例1．对于非零实数m ，下列式子运算正确的是（ ）【答案】DA ．923)(m m = B ．623m m m =⋅ C ．532m m m =+ D ．426m m m =÷例2【答案】12a -例3．计算：9543()a a a ⋅÷； 【答案】2a例4．计算： nm a a ⋅3)(； 【答案】n m a +314.1.3 积的乘方积的乘方法则： nn n b a ab =)(（n 是正整数）.积的乘方，等于各因数乘方的积. 例1．计算的结果是【答案】B A. B. C. D.例2．计算（－2a)3的结果是【 】【答案】D.A .6a 3 B.－6a 3 C.8a 3 D.－8a 3例3．计算：=332)(y x .【答案】69x y 例4．计算：[]423)1(a ⋅-；【答案】8a14.1.4 整式的乘法1、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.例1．单项式4x 5y 与2x 2（-y ）3z 的积是（ ）【答案】CA ．8x 10y 3zB ．8x 7（-y ）4zC ．-8x 7y 4zD ．-8x 10y 3z例2． ·c b a c ab 532243—=.【答案】328b a -例3．计算：25x 2y 3·516xyz=_________； 【答案】18x 3y 4z 例4．计算：2ab 2·23a 3=________；【答案】43a 4b 2 例5．22x xy ⋅= .【答案】y x 242、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，23()a b 33a b 63a b 36a b 66a b即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).例1．计算：)()(a b b b a a ---； 【答案】22b a -例2【答案】23442y x y x +- 例3．计算：23(4)(31)a ab a b -⋅+-； 【答案】a b a b a 4124422+--例4．计算：_____________)(32=+y x xy x .【答案】y x y x 3233+ 例5．计算：)1(2)12(322--+-x x x x x . 【答案】x x x 3423+-3、多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加.例1．计算：（a+2b ）（a-b ）=_________；【答案】a 2+ab-2b 2例2．计算：（3x-y ）（x+2y ）=________．【答案】3x 2+5xy-2y例3．计算：（x+1）（x 2-x+1）=____ _ ____． 【答案】13+x 4、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)m n >同底数幂相除，底数不变，指数相减.例1．计算：26a a ÷= ，25)()(a a -÷-= . 【答案】4a ，3a -例2．计算： m 3÷m 2＝ . 【答案】m5、零指数：10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1.例1．012⎛⎫-- ⎪⎝⎭= A ．﹣2 B ．2 C ．1 D ．﹣1【答案】D.【解析】零指数幂.根据任何非0数的0次幂等于1解答即可：01=12⎛⎫--- ⎪⎝⎭.故选D. 例2．计算：|﹣2|+（﹣3）0﹣= ．【答案】1【解析】此题考查绝对值的运算、幂的运算性质和二次根式的化简，即0,(0),(0)||,1(||,(0),(0)a a a a a a a a a a a a ≥≥⎧⎧==≠==⎨⎨-<-<⎩⎩； 解：原式2121=+-=；例3．计算：（-0.5）0÷（-12）-3． 【答案】-18【解析】试题分析：根据零指数幂的运算法则，负整数指数幂的运算法则，即可得到结果.原式.81)8(1-=-÷=点评：解答本题的关键是熟练掌握任意非0数的0次幂均为0，负整数指数幂的运算法则：p p a a1=-（a≠0，p 是正整数）． 6、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.7、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加.即：c b a m cm m bm m am m cm bm am ++=÷+÷=÷=÷++)(14.2 乘法公式14.2.1 平方差公式平方差公式：22))((b a b a b a -=-+注意平方差公式展开只有两项公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.右边是相同项的平方减去相反项的平方.例1．下列能用平方差公式计算的是（ ）【答案】BA 、)y x )(y x (-+-B 、)x 1)(1x (---C 、)x y 2)(y x 2(-+D 、)1x )(2x (+-例2．计算()()x y x y +-22的结果是（ ）【答案】CA 、x y -4B 、x y +4C 、224x y -D 、222x y -例3．若a ＋b=2011，a －b=1，则a 2－b 2=_________________.【答案】解：∵a+b=2011，a-b=1，∴a 2-b 2=（a+b ）（a-b ）=2011×1=2011．故答案为：2011．例4．(a ＋3)(3－a)＝__________．【答案】根据平方差公式（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2填空．解：∵（a+3）（3-a ）=（3+a ）（3-a ）=32-a 2=9-a 2． 故答案是：9-a 2． 14.2.2 完全平方公式完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=±完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，首尾2倍中间放，符号和前一个样.公式的变形使用：（1）ab b a ab b a b a 2)(2)(2222-+=-+=+；22()()4a b a b ab -=+-222)()]([)(b a b a b a +=+-=--；222)()]([)(b a b a b a -=--=+-（2）三项式的完全平方公式： bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 例1．若3ab ,5b a -==+，则2)b a (-的值是（ ）【答案】DA. 25B. 19C. 31D. 37 【解析】解：37)3(454)()(222=-⨯-=-+=-ab b a b a ，故选D.例2．计算： =⎪⎭⎫ ⎝⎛23229 .【答案】.91880 【解析】 试题分析：化31303229-=，再根据完全平方公式计算即可. 考点：题考查的是完全平方公式点评：解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：.2)(222b ab a b a +±=±例3．计算：（1）199.92=_______；（2）512=________；（3）1-2×51+512=_______．【答案】（1）39960.01；（2）2601；（3）2500【解析】试题分析：根据完全平方公式依次分析各小题即可.（1）199.92=（200-0.1）2=2002-2×200×0.1+0.12=40000-40+0.01=39960.01；（2）512=（50+1）2=502+2×50×1+12=2500+100+1=2601；（3）1-2×51+512=（1-51）2=（-50）2=2500．点评：解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：（a±b ）2=a 2±2ab+b 2．14.3 因式分解14.3.1 提公因式法1、会找多项式中的公因式；公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；2、提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．3、注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．14.3.2 公式法运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：1、平方差公式： a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）2、完全平方公式：a 2＋2ab ＋b 2＝（a ＋b ）2a 2－2ab ＋b 2＝（a －b ）2例1．已知2226a ab b -+=，则a b -＝ ．【答案】【解析】由题意得（a-b ）2=6， 则＝例2．因式分解：244x x ++= ．【答案】2)2(+x 【解析】试题分析：根据完全平方公式即可得到结果.244x x ++=2)2(+x ．a b -考点：本题考查的是完全平方公式点评：解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：.)(2222b a b ab a ±=+±。
人教版数学八年级上册 第十四章 整式乘除与因式分解 知识点归纳
第十四章 整式乘除与因式分解知识点归纳:一、幂的运算:１、同底数幂的乘法法则:n m n m a a a +=•（n m ,都是正整数）同底数幂相乘,底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
如:532)()()(b a b a b a +=+•+2、幂的乘方法则：mn n m a a =)((n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
如：10253)3(=-幂的乘方法则可以逆用:即m n n m mn a a a )()(== 如:23326)4()4(4==3、积的乘方法则：n n n b a ab =)((n 是正整数)。
积的乘方,等于各因数乘方的积。
如：(523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=•••-４、同底数幂的除法法则:n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m同底数幂相除，底数不变，指数相减。
如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷5、零指数；10=a ,即任何不等于零的数的零次方等于1。
二、单项式、多项式的乘法运算:6、单项式与单项式相乘，把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
如：=•-xy z y x 3232 。
7、单项式乘以多项式,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式）。
如:)(3)32(2y x y y x x +--=。
8、多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所的的积相加。
9、平方差公式:22))((b a b a b a -=-+注意平方差公式展开只有两项公式特征：左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数。
右边是相同项的平方减去相反项的平方。
第14章整式的乘法与因式分解知识点归纳教案
-在多项式乘法中，强调每一项都要与另一个多项式的每一项相乘；
-通过图形或具体例题展示完全平方公式的来源和应用；
-通过实际例题让学生掌握平方差公式的转换和应用；
-通过典型例题讲解和练习，让学生熟练掌握因式分解的几种方法。
2.教学难点
-符号的正确处理，特别是在多项式乘法中容易出现的符号错误；
-完全平方公式和平方差公式的记忆和应用，学生容易混淆；
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“整式的乘法与因式分解在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调整式乘法法则和因式分解的方法这两个重点。对于难点部分，如符号的处理和分解策略的选择，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与整式乘法或因式分解相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的数学实验操作。比如，通过实际模型展示长方体的体积计算，并探讨如何通过因式分解简化计算。
5.多项式的因式分解：多项式的分解方法及步骤；
6.综合应用：解决实际问题时运用整式的乘法与因式分解。
人教版初中数学第十四章整式的乘法与因式分解知识点
第十四章 整式乘除与因式分解整式的乘法同底数幂的乘法同底数幂的乘法法则：m n m n a a a +⋅=（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加.注意底数可以是多项式或单项式. 例1．在横线上填入适当的代数式：614_____x x ⋅=，26_____x x =÷.【答案】8x ，4x【解析】试题分析：根据同底数幂的乘除法法则即可得到结果.6814x x x ⋅=，.246x x x =÷考点：本题考查的是同底数幂的乘法，同底数幂的除法点评：解答本题的关键是熟练掌握同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 例2．计算：743a a a ⋅⋅；【答案】14a【解析】试题分析：根据同底数幂的乘法法则即可得到结果.743a a a ⋅⋅=.14a考点：本题考查的是同底数幂的乘法点评：解答本题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.幂的乘方幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘.幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a )()(==例1．对于非零实数m ，下列式子运算正确的是（ ）A ．923)(m m =B ．623m m m =⋅C ．532m m m =+D ．426m m m =÷【答案】D【解析】试题分析：根据幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则依次分析各项即可得到结果.A ．()632m m =，B ．523m m m =⋅，C ．32m m 与无法合并，故错误； D ．426m m m =÷，本选项正确.考点：本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法点评：解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.例2【答案】12a -【解析】试题分析：先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可.32236612()()().a a a a a -⋅-=⋅-=-考点：本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法点评：解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.例3．计算：9543()a a a ⋅÷；【答案】2a【解析】试题分析：根据幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则即可得到结果.954314122().a a a a a a ⋅÷=÷=考点：本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法点评：解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.例4．计算： n m a a ⋅3)(；【答案】n m a +3【解析】试题分析：先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可.n m a a ⋅3)(=⋅=n m a a 3.3n m a +考点：本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法点评：解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.积的乘方积的乘方法则： n n n b a ab =)(（n 是正整数）.积的乘方，等于各因数乘方的积. 例1．计算23()a b 的结果是A. 33a bB. 63a bC. 36a bD. 66a b【答案】B【解析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，求解即可（a 2b ）3=（a 2）3×b 3=a 6×b 3=a 6b 3．故选B例2．计算（－2a)3的结果是【 】A .6a 3 B.－6a 3 C.8a 3 D.－8a 3【答案】D.【解析】根据幂的乘方和积的乘方运算法则计算后作出判断：()33332a)=2a =8a --⋅-（.故选D.例3．计算：=332)(y x .【答案】69x y【解析】试题分析：积的乘方法则：积的乘方等于它的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.=332)(y x 69x y .考点：本题考查的是积的乘方点评：本题是基础应用题，只需学生熟练掌握积的乘方法则，即可完成.例4．计算：[]423)1(a ⋅-； 【答案】8a【解析】试题分析：先计算3)1(-，再计算幂的乘方即可.[]=⋅-423)1(a []42a -.8a =考点：本题考查的是幂的乘方点评：解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 整式的乘法1、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.例1．单项式4x 5y 与2x 2（-y ）3z 的积是（ ）A ．8x 10y 3zB ．8x 7（-y ）4zC ．-8x 7y 4zD ．-8x 10y 3z【答案】C【解析】试题分析：直接根据单项式乘以单项式的法则计算即可得到结果.由题意得z y x z y y x x z y x y x 473253258)(24)(24-=⋅-⋅⋅⋅⋅⨯=-⋅，故选C.考点：本题考查的是单项式乘单项式点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘单项式法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式.例2． ·c b a c ab 532243—=.【答案】328b a -【解析】试题分析：根据单项式乘单项式法则，同底数幂的乘法法则即可得到结果.328b a -·c b a c ab 532243—=.考点：本题考查的是单项式乘单项式，同底数幂的乘法点评：解答此题需熟知以下概念：（1）单项式与单项式相乘，把他们的系数相乘，相同字母的幂相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式；（2）同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．例3．计算：25x 2y 3·516xyz=_________； 【答案】18x 3y 4z 【解析】试题分析：根据单项式乘单项式法则直接计算即可.25x 2y 3·516xyz=25×516·x 2·x·y 3·y·z=18x 3y 4z. 考点：本题考查的是单项式乘单项式点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘单项式法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式.例4．计算：2ab 2·23a 3=________； 【答案】43a 4b 2 【解析】试题分析：根据单项式乘单项式法则直接计算即可.2ab 2·23a 3=2×23·a·a 3·b 2=43a 4b 2.考点：本题考查的是单项式乘单项式点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘单项式法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式.例5．22x xy ⋅= .【答案】y x 24【解析】试题分析：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.22x xy ⋅=y x 24. 考点：本题考查的是单项式乘单项式点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握单项式乘单项式法则，即可完成.2、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).例1．计算：)()(a b b b a a ---；【答案】22b a -【解析】试题分析：先根据单项式乘多项式法则去括号，再合并同类项即可.)()(a b b b a a ---=+--=ab b ab a 22.22b a -考点：本题考查的是单项式乘多项式，合并同类项点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式法则：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.例2 【答案】23442y x y x +-【解析】试题分析：根据单项式乘多项式法则化简即可..42234y x y x +- 考点：本题考查的是单项式乘多项式点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式法则：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.例3．计算：23(4)(31)a ab a b -⋅+-；【答案】a b a b a 4124422+--【解析】试题分析：根据单项式乘多项式法则化简即可.)13()4(32-+•-b a ab a .4124422a b a b a +--=考点：本题考查的是单项式乘多项式点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式法则：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.例4．计算：_____________)(32=+y x xy x .【答案】y x y x 3233+【解析】试题分析：根据单项式乘多项式的法则即可得到结果.=+)(32y x xy x y x y x 3233+.考点：本题考查的是单项式乘多项式点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.例5．计算：)1(2)12(322--+-x x x x x .【答案】x x x 3423+-【解析】试题分析：先根据单项式乘多项式法则去括号，再合并同类项即可.)1(2)12(322--+-x x x x x =+-+-=232322363x x x x x .3423x x x +-考点：本题考查的是单项式乘多项式，合并同类项点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式法则：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.3、多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加.例1．计算：（a+2b ）（a-b ）=_________；【答案】a 2+ab-2b 2【解析】试题分析：根据多项式乘以多项式的法则：（a+b ）（m+n ）=am+an+bm+bn ，计算即可． （a+2b ）（a-b ）= a 2-ab+2ab -2b 2 =a 2+ab-2b 2．考点：本题考查的是多项式乘以多项式点评：解答本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．例2．计算：（3x-y ）（x+2y ）=________．【答案】3x 2+5xy-2y【解析】试题分析：根据多项式乘以多项式的法则：（a+b ）（m+n ）=am+an+bm+bn ，计算即可． （3x-y ）（x+2y ）=3x 2+6xy- xy-2y=3x 2+5xy-2y ．考点：本题考查的是多项式乘以多项式点评：解答本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．例3．计算：（x+1）（x 2-x+1）=____ _ ____．【答案】13+x【解析】试题分析：根据多项式乘多项式法则化简即可.（x+1）（x 2-x+1）==+-++-1223x x x x x 13+x ．考点：本题考查的是多项式乘多项式点评：解答本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．4、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)m n >同底数幂相除，底数不变，指数相减.例1．计算：26a a ÷= ，25)()(a a -÷-= .【答案】4a ，3a -【解析】试题分析：根据同底数幂的除法法则即可得到结果.=÷26a a 4a ，25)()(a a -÷-.)(33a a -=-=考点：本题考查的是同底数幂的除法点评：解答本题的关键是熟练掌握同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减.例2．计算： m 3÷m 2＝ .【答案】m【解析】根据同底数幂的除法法则进行解答即可：原式=32m m =－5、零指数：10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1.例1．012⎛⎫-- ⎪⎝⎭=A ．﹣2B ．2C ．1D ．﹣1【答案】D.【解析】零指数幂.根据任何非0数的0次幂等于1解答即可：01=12⎛⎫--- ⎪⎝⎭.故选D.例2．计算：|﹣2|+（﹣3）0﹣= ．【答案】1【解析】此题考查绝对值的运算、幂的运算性质和二次根式的化简，即0,(0),(0)||,1(||,(0),(0)a a a a a a a a a a a a ≥≥⎧⎧==≠==⎨⎨-<-<⎩⎩； 解：原式2121=+-=；例3．计算：（）0÷（-12）-3．【答案】-18【解析】试题分析：根据零指数幂的运算法则，负整数指数幂的运算法则，即可得到结果. 原式.81)8(1-=-÷=考点：本题考查了零指数幂，负整数指数幂点评：解答本题的关键是熟练掌握任意非0数的0次幂均为0，负整数指数幂的运算法则：pp a a 1=-（a≠0，p 是正整数）． 6、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.7、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加.即：c b a m cm m bm m am m cm bm am ++=÷+÷=÷=÷++)( 乘法公式平方差公式平方差公式：22))((b a b a b a -=-+注意平方差公式展开只有两项公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.右边是相同项的平方减去相反项的平方.例1．下列能用平方差公式计算的是（ ）A 、)y x )(y x (-+-B 、)x 1)(1x (---C 、)x y 2)(y x 2(-+D 、)1x )(2x (+-【答案】B【解析】A 、应为（-x+y ）（x-y ）=-（x-y ）（x-y ）=-（x-y ）2，故本选项错误；B 、（x-1）（-1-x ）=-（x-1）（x+1）=-（x 2-1），正确；C 、应为（2x+y ）（2y-x ）=-（2x+y ）（x-2y ），故本选项错误；D 、应为（x-2）（x+1）=x 2-x-2，故本选项错误．故选B ．例2．计算()()x y x y +-22的结果是（ ）A 、x y -4B 、x y +4C 、224x y -D 、222x y -【答案】C【解析】平方差公式的应用，原式=22y-，故选C4x例3．若a＋b=2011，a－b=1，则a2－b2=_________________.【答案】2011【解析】考点：平方差公式．分析：先根据平方差公式分解因式，再整体代入即可．解：∵a+b=2011，a-b=1，∴a2-b2=（a+b）（a-b）=2011×1=2011．故答案为：2011．例4．(a＋3)(3－a)＝__________．【答案】9－a2【解析】根据平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2填空．解：∵（a+3）（3-a）=（3+a）（3-a）=32-a2=9-a2．故答案是：9-a2．完全平方公式完全平方公式：2222±=a+±(b)abab完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，首尾2倍中间放，符号和前一个样. 公式的变形使用：（1）ab b a ab b a b a 2)(2)(2222-+=-+=+；22()()4a b a b ab -=+-222)()]([)(b a b a b a +=+-=--；222)()]([)(b a b a b a -=--=+-（2）三项式的完全平方公式： bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++例1．若3ab ,5b a -==+，则2)b a (-的值是（ ）A. 25B. 19C. 31D. 37【答案】D【解析】解：37)3(454)()(222=-⨯-=-+=-ab b a b a ，故选D.例2．计算： =⎪⎭⎫ ⎝⎛23229 . 【答案】.91880 【解析】 试题分析：化31303229-=，再根据完全平方公式计算即可.=+-=-=9120900)3130()3229(22.91880 考点：题考查的是完全平方公式点评：解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：.2)(222b ab a b a +±=±例3．计算：（1）=_______；（2）512=________；（3）1-2×51+512=_______．【答案】（1）；（2）2601；（3）2500【解析】试题分析：根据完全平方公式依次分析各小题即可.（1）=（）2=2002-2×200×+=40000-40+=；（2）512=（50+1）2=502+2×50×1+12=2500+100+1=2601；（3）1-2×51+512=（1-51）2=（-50）2=2500．考点：本题考查的是完全平方公式点评：解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．因式分解提公因式法1、会找多项式中的公因式；公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；2、提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．3、注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．公式法运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：1、平方差公式： a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）2、完全平方公式：a 2＋2ab ＋b 2＝（a ＋b ）2a 2－2ab ＋b 2＝（a －b ）2例1．已知2226a ab b -+=，则a b -＝ ． 【答案】【解析】由题意得（a-b ）2=6， 则a b -＝6±例2．因式分解：244x x ++= ．【答案】2)2(+x【解析】试题分析：根据完全平方公式即可得到结果.244x x ++=2)2(+x ．考点：本题考查的是完全平方公式点评：解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：.)(2222b a b ab a ±=+±。
整式的乘除与因式分解知识点全面
整式的乘除与因式分解知识点全面一、整式的乘法与除法知识点：1.整式的乘法：整式的乘法是指两个或多个整式相乘的运算。
乘法的结果称为“积”。
-乘法的交换律：a×b=b×a-乘法的结合律：(a×b)×c=a×(b×c)-乘法的分配律：a×(b+c)=a×b+a×c2.整式的除法：整式的除法是指一个整式被另一个整式除的运算。
除法的结果称为“商”和“余数”。
-除法的除数不能为0，即被除式不能为0。
-除法的商和余数满足等式：被除式=除数×商+余数3.次数与次项：整式中的变量的幂次称为整式的次数。
次数为0的项称为常数项，次数最高的项称为最高次项。
4.整式的乘除法规则：-乘法规则：乘法运算时，将整式中的每一项依次相乘，然后将结果相加即可。
-除法规则：除法运算时，可以通过因式分解的方法进行计算。
5.乘法口诀：乘法口诀是指两个整数相乘时的计算规则。
-两个正整数相乘，结果为正数。
-两个负整数相乘，结果为正数。
-一个正整数与一个负整数相乘，结果为负数。
二、因式分解知识点：1.因式分解：因式分解是将一个整式表示为几个乘积的形式的运算。
可以通过提取公因式、配方法等方式进行因式分解。
2.提取公因式：提取公因式是指将整式中公共的因子提取出来，分解成公因式和余因式的乘积的过程。
3.配方法：配方法是指将整式中的一些项配对相加或相乘，通过变换形式，使得整个式子能够因式分解的过程。
4.差的平方公式：差的平方公式是指一个完全平方的差能够分解成两个因子相加的形式。
例如：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
5. 完全平方公式：完全平方公式是指一个完全平方的和可以分解成一个因子的平方的和的形式。
例如：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^26.公式法：根据特定的公式，将整式进行因式分解。
7.分组法：将整式中的项分为两组，分别提取公因式，然后进行配方法或其他操作，将整式进行因式分解。
第十四章 整式的乘除与因式分解知识点归纳
第十四章 整式的乘除与因式分解1、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 例如：_______3=-a a ；________22=+a a ；________8253=+-+b a b a __________________210242333222=-++-+-x xy x y x xy xy y x 2．同底数幂的乘法※1、同底数幂的乘法法则： (m ，n 是正整数). 同底数幂相乘，底数 ，指数 .例如：________3=⋅a a ；________32=⋅⋅a a a在应用法则运算时,要注意以下几点:①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a 可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式； ②指数是1时，不要误以为没有指数；③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为p n m p n m a a a a ++=⋅⋅（其中m 、n 、p 均为正数）；⑤公式还可以逆用：nmnm a a a⋅=+（m 、n 均为正整数） 3．幂的乘方与积的乘方※1. 幂的乘方法则： (m ，n 是正整数).幂的乘方，底数 ，指数 .例如：_________)(32=a ；_________)(25=x ；()334)()(a a =※3. 底数有负号时,运算时要注意,底数是a 与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底， 如将（-a ）3化成-a 3⎩⎨⎧-=-).(),()(,为奇数时当为偶数时当一般地n a n a a nn n※4．底数有时形式不同，但可以化成相同。
※5．要注意区别（ab ）n 与（a+b ）n 意义是不同的，不要误以为（a+b ）n =a n +b n（a 、b 均不为零）。
※6．积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即nn n b a ab =)(（n 为正整数）。
八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》知识点总结
一、选择题1．将4个数a 、b 、c 、d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a c b d ，定义a c b d =ad －bc ．上述记号就叫做2阶行列式，若11x x +- 11x x -+=12，则x=( )． A ．2B ．3C ．4D ．6B解析：B【分析】 根据题中的新定义将所求的方程化为普通方程，整理后即可求出方程的解，即为x 的值．【详解】 解：根据题意化简11 11x x x x +--+=12，得（x+1）2-（x-1）2=12， 整理得：x 2+2x+1-（1-2x+x 2）-12=0，即4x=12，解得：x=3，故选：B ．【点睛】此题考查了整式的混合运算，属于新定义的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键． 2．已知代数式2366x x -+的值为9，则代数式226x x -+的值为（ ） A ．18B ．12C ．9D ．7D 解析：D【分析】将x 2﹣2x 当成一个整体，在第一个代数式中可求得x 2﹣2x ＝1，将其代入后面的代数式即能求得结果．【详解】解：∵3x 2﹣6x +6＝9，即3（x 2﹣2x ）＝3，∴x 2﹣2x ＝1，∴x 2﹣2x +6＝1+6＝7．故选：D ．【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是将x 2﹣2x 当成一个整体来对待．3．在下列的计算中正确的是（ ）A ．23a ab a b ⋅=；B ．()()2224a a a +-=+；C ．235x y xy +=；D ．()22369x x x -=++ A 解析：A【分析】根据单项式的乘法，平方差公式，完全平方公式，对各选项计算后利用排除法求解．【详解】A 、a 2•ab ＝a 3b ，正确；B 、应为（a ＋2）（a−2）＝a 2−4，故本选项错误；C 、2x 与3y 不是同类项不能合并；D 、应为（x−3）2＝x 2−6x ＋9，故本选项错误．故选：A ．【点睛】本题主要考查平方差公式，单项式的乘法法则，完全平方公式，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的不能合并．4．下列运算中，正确的个数是（ ）①2352x x x +=；②()326x x =；③03215⨯-=；④538--+= A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个A解析：A【分析】 ①根据同类项的定义判断计算；②根据幂的乘方公式计算；③利用零指数幂和有理数的混合运算法则计算；④根据同类项的定义判断计算.【详解】∵2x 与3x 不是同类项，无法合并，∴①是错误的；∵()326x x =，∴②是正确的； ∵032112-1=1⨯-=⨯，∴③是错误的； ∵53-5+3=-2--+=，∴④是错误的；综上所述，只有一个正确，故选：A.【点睛】本题考查了合并同类项，幂的乘方，零指数幂，绝对值，有理数的混合运算，熟练掌握公式及其运算法则是解题的关键.5．下列计算正确的是（ ）A ．（a +b ）（a ﹣2b ）＝a 2﹣2b 2B ．（a ﹣12）2＝a 2﹣14C ．﹣2a （3a ﹣1）＝﹣6a 2+aD ．（a ﹣2b ）2＝a 2﹣4ab +4b 2D 解析：D【分析】根据整式的乘法逐项判断即可求解．【详解】解：A. （a +b ）（a ﹣2b ）＝a 2﹣4b 2，原题计算错误，不合题意；B. （a ﹣12）2＝a 2﹣a +14，原题计算错误，不合题意；C. ﹣2a （3a ﹣1）＝﹣6a 2+2a ，原题计算错误，不合题意；D. （a ﹣2b ）2＝a 2﹣4ab +4b 2，计算正确，符合题意．故选：D【点睛】本题考查了单项式乘以多项式，平方差公式，完全平方式，熟练掌握单项式乘以多项式的法则、乘法公式是解题的关键．6．如图，从边长为21a +的正方形纸片中剪去一个边长为2a +的正方形(0)a >，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ）A ．233a -B ．233a +C ．221a a -+D ．2189a a ++ A解析：A【分析】 矩形的面积就是边长是21a +的正方形与边长是2a +的正方形的面积的差，列代数式进行化简即可．【详解】解：由题意可知，矩形的面积就是边长是21a +的正方形与边长是2a +的正方形的面积的差，∴S 矩形=()()22212a a +-+=2244144a a a a ++---=233a -．故选：A ．【点睛】本题考查了整式的运算，根据题意列出代数式，同时正确使用完全平方公式是解决本题的关键．7．数151025N =⨯是（ ）A ．10位数B ．11位数C ．12位数D ．13位数C 解析：C【分析】利用同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算，将原数改写变形即可得出结论．【详解】 ()1015105101051011252252253210 3.210N =⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯=⨯，∴N 是12位数，故选：C ．【点睛】本题考查同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算的应用，灵活运用基本运算法则对原式变形是解题关键．8．当2x =时，代数式31ax bx ++的值为6，则2x =-时，31ax bx ++的值为（ ） A ．6-B ．5-C ．4D ．4- D 解析：D【分析】根据已知把x=2代入得：8a+2b+1=6，变形得：-8a-2b=-5，再将x=-2代入这个代数式中，最后整体代入即可．【详解】解：当x=2时，代数式ax 3+bx+1的值为6，则8a+2b+1=6，即8a+2b=5，∴-8a-2b=-5，则当x=-2时，ax 3+bx+1=（-2）3a-2b+1=-8a-2b+1=-5+1=-4，故选：D ．【点睛】本题考查了求代数式的值，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．9．计算2019202040.753⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭的结果是（ ） A ．43 B ．43- C ．0.75 D ．-0.75D解析：D【分析】先将20200.75化为20193434⨯，再用幂的乘方的逆运算计算，再计算乘法即可得到答案． 【详解】2019202040.753⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭ =20192019343434⎛⎫⎛⎫⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=201934()3434⎡⎤⨯⎢⎥⎣⎦⨯- =(31)4-⨯=34-, 故选：D ．【点睛】此题考查有理数数的乘法运算，掌握幂的乘方的逆运算是解题的关键．10．下列运算正确的是（ ）A ．x 2·x 3=x 6B ．(x 3)2=x 6C ．(-3x)3=27x 3D ．x 4+x 5=x 9B解析：B【分析】根据幂的乘方与积的乘方的运算方法，同底数幂的乘法的运算方法，以及合并同类项的方法，逐项判断即可．【详解】∵x 2•x 3=x 5，∴选项A 不符合题意；∵（x 3）2＝x 6，∴选项B 符合题意；∵（−3x ）3＝−27x 3，∴选项C 不符合题意；∵x 4＋x 5≠x 9，∴选项D 不符合题意．故选：B ．【点睛】此题主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算方法，同底数幂的乘法的运算方法，以及合并同类项的方法，要熟练掌握． 二、填空题11．已知2a －b ＋2＝0，则1－4a ＋2b 的值为______．5【分析】由得整体代入代数式求值【详解】解：∵∴∴原式故答案是：5【点睛】本题考查代数式求值解题的关键是掌握整体代入的思想解析：5【分析】由220a b -+=得22a b -=-，整体代入代数式求值．【详解】解：∵220a b -+=，∴22a b -=-，∴原式()()122122145a b =-+=-⨯-=+=．故答案是：5．【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是掌握整体代入的思想．12．若2,3x y a a ==，则22x y a +=_______________________．36【分析】根据同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用计算即可【详解】解：∵∴=2²×3²=36故答案为36【点睛】本题考查了同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用熟记幂的运算性质是解答本题的关键解析：36【分析】根据同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用计算即可．【详解】解：∵2,3x y a a ==，∴222222().()x y x y x y a a a a a +=⋅==2²×3²=36，故答案为36．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用，熟记幂的运算性质是解答本题的关键． 13．如图所示，在这个运算程序当中，若开始输入的x 是2，则经过2021次输出的结果是________．4【分析】根据第一次输出的结果是1第二次输出的结果是6…总结出每次输出的结果的规律求出2021次输出的结果是多少即可【详解】解：把x=2代入得：2÷2=1把x=1代入得：1+5=6把x=6代入得：6解析：4【分析】根据第一次输出的结果是1，第二次输出的结果是6，…，总结出每次输出的结果的规律，求出2021次输出的结果是多少即可．【详解】解：把x=2代入得：2÷2=1，把x=1代入得：1+5=6，把x=6代入得：6÷2=3，把x=3代入得：3+5=8，把x=8代入得：8÷2=4，把x=4代入得：4÷2=2，把x=2代入得：2÷2=1，以此类推，∵2021÷6=336…5，∴经过2021次输出的结果是4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．14．数学家发明了一个魔术盒，当任意数对(,)a b 放入其中时，会得到一个新的数：(1)(2)a b --．例如：将数对(2,1)放入其中时，最后得到的数是________；（1）将数对(23,2)+放入其中，最后得到的数________；（2）现将数对(,0)m 放入其中，得到数n ，再将数对(,)n m 放入其中后，最后得到的数是________．（结果要化简）-1-2-2m2+5m-2【分析】根据题目中的新定义运算规则可分别计算出数对和放入其中后最后得到的数再由数对放入其中得到数计算出m 与n 的关系再计算数对即可得到结果【详解】解：由题意得：数对放入其中时解析：-1 -2 -2m 2+5m-2【分析】根据题目中的新定义运算规则，可分别计算出数对(2,1)和(23,2)+放入其中后，最后得到的数，再由数对(,0)m 放入其中，得到数n ，计算出m 与n 的关系，再计算数对(,)n m ，即可得到结果．【详解】解：由题意得：数对(2,1)放入其中时，最后得到的数是：（2-1）×（1-2）＝-1； 故答案为：-1；（1）将数对(23,2)+放入其中，最后得到的数是：（23+-1）（2-2）＝-2； 故答案为：-2；（2）根据数对(,0)m 放入其中得到数n ，可得：（m−1）×（0−2）＝n ， 则-2m+2＝n ， ∴将数对（n ，m ）放入其中后，最后得到的数是：（n−1）（m−2）＝（-2m+2−1）（m−2）＝（-2m+1）（m−2）＝-2m 2+5m-2．故答案为：-2m 2+5m-2．【点睛】此题主要考查了新定义下的实数运算，弄清题中的新定义运算规则、实数及多项式乘多项式的运算法则是解本题的关键．15．若（2x +1）5=a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a ，则a 2+a 4=____120【分析】令x=0可求得a=1；令x=1可求得a5a4a3a2a1a=243①；令x=-1可求得-a5a4-a3a2-a1a=-1②把①和②相加即可求出a2+a4的值【详解】解：解析：120【分析】 令x=0，可求得a=1；令x=1，可求得a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a=243①；令x=-1，可求得-a 5+a 4-a 3+a 2-a 1+a=-1②，把①和②相加即可求出a 2+a 4的值．【详解】解：当x=0时， a=1；当x=1时， a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a=243①，当x=-1时，-a 5+a 4-a 3+a 2-a 1+a=-1②，2a 4+2a 2+2a=242，∴a 2+a 4=120．故答案为：120．【点睛】本题考查了求代数式的值，正确代入特殊值是解答本题的关键．16．分解因式323a a -=____．【分析】提取公因式a2即可【详解】解：=故答案为：【点睛】本题考查了分解因式方法之一提取公因式正确提取公因式是解决本题的关键解析：2)(3a a -【分析】提取公因式a 2即可．【详解】解：323a a -，=2)(3a a -，故答案为：2)(3a a -．【点睛】本题考查了分解因式方法之一提取公因式，正确提取公因式是解决本题的关键． 17．已知23x y -=，则432x y --=________．3【分析】把看成一个整体原式可化为2（）-3整体代入即可【详解】解：原式=2（）-3=2×3-3=3故答案为：3【点睛】本题考查了求代数式的值把看成一个整体是解题的关键解析：3【分析】把2x y -看成一个整体，原式可化为2（2x y -）-3，整体代入即可．【详解】解：原式=2（2x y -）-3=2×3-3=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了求代数式的值，把2x y -看成一个整体是解题的关键．18．若2x y a +=，2x y b -=，则22x y -的值为____________．【分析】应用平方差把多项式因式分解再整体代入即可【详解】解：把代入原式=故答案为：【点睛】本题考查了运用平方差公式因式分解和整体代入求值能够熟练运用平方差把多项式因式分解并整体代入求值是解题的关键解析：4ab ．【分析】应用平方差把多项式22x y -因式分解，再整体代入即可．解：22()()x y x y x y -=+-，把2x y a +=，2x y b -=代入，原式=224a b ab ⨯=，故答案为：4ab ．【点睛】本题考查了运用平方差公式因式分解和整体代入求值，能够熟练运用平方差把多项式因式分解并整体代入求值，是解题的关键．19．下列说法：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上依据的是“两点之间，线段最短”；②若2210m m +-=，则2425m m ++的值为7；③若a b >，则a 的倒数小于b 的倒数；④在直线上取A 、B 、C 三点，若5cm AB =，2cm BC =，则7cm AC =．其中正确的说法有________（填号即可）．②【分析】①用两个钉子可以把木条固定的依据是两点确定一条直线；②利用整体代换的思想可以求出代数式的值；③根据倒数的定义举出反例即可；④直线上ABC 三点的位置关系要画图分情况讨论【详解】①用两个钉子可解析：②【分析】①用两个钉子可以把木条固定的依据是“两点确定一条直线”；②利用“整体代换”的思想，可以求出代数式的值；③根据倒数的定义，举出反例即可；④直线上A 、B 、C 三点的位置关系，要画图，分情况讨论．【详解】①用两个钉子可以把木条固定的依据是“两点确定一条直线”，故①错误；②∵2210m m +-=，∴()2242522172077m m m m ++=+-+=⨯+=，故②正确；③∵a ＞b ，取a=1，b=－1， ∴11a =，11b=-，11a b >，故③错误； ④当点C 位于线段AB 上时，AC=AB －BC=5－2=3cm ；当点C 位于线段AB 的延长线上时，AC=AB+BC=5+2=7cm ，则AC 的长为3cm 或7cm ，故④错误；综上可知，答案为：②．【点睛】本题考查了两点确定一条直线、整体代换思想、求代数式的值、倒数的有关计算及数形结合法求线段的长度，综合性较强，需要学生熟练掌握相关的知识点．20．在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各项系数排成下表，如图：（a +b ）0＝1（a +b ）1＝a +b（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2（a +b ）3＝a 3+3a 2b +3ab 2+b 3这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出（a +b ）5＝__________，并说出第7排的第三个数是___．a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b515【分析】多项式乘方运算安全平方公式安全立方公式发现规律数字规律归纳即可【详解】解：（a+b ）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b解析：a 5+5a 4b +10a 3b 2+10a 2b 3+5ab 4+b 5 15【分析】多项式乘方运算，安全平方公式，安全立方公式，发现规律，数字规律归纳即可，【详解】解：（a +b ）5＝a 5+5a 4b +10a 3b 2+10a 2b 3+5ab 4+b 5；第7排的第三个数是15，故答案为：a 5+5a 4b +10a 3b 2+10a 2b 3+5ab 4+b 5；15，【点睛】本题考查完全平方公式、完全立方公式，规律型：数字的变化类，掌握多项式乘法法则，和完全平方公式，观察式子的特征是解题关键，三、解答题21．计算下列各题：（12(2)-3125-9（2）（7）（37）2（22解析：（1）0；（2）2【分析】（1）根据平方根、立方根的意义进行计算即可；（2）利用平方差公式和实数的计算方法进行计算即可．【详解】解：（12(2)-3125-9＝2+（﹣5）+3＝0；（2）（3+7）（3﹣7）+2（2﹣2）＝32﹣（7）2+22﹣2＝9﹣7+22﹣2＝22．【点睛】本题考查了包含算术平方根、立方根、平方差公式的实数计算，熟练运用法则和公式是解决问题关键．22．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如下图是2021年1月份的日历，我们任意用一个22的方框框出4个数，将其中4个位置上的数两两交叉相乘，再用较大的数减去较小的数，你发现了什么规律？（1）图中方框框出的四个数，按照题目所说的计算规律，结果为______．（2）换一个位置试一下，是否有同样的规律？如果有，请你利用整式的运算对你发现的规律加以证明；如果没有，请说明理由．解析：（1）7；（2）有同样的规律，(a+1)(a+7)-a(a+8)=7，理由见解析【分析】（1）根据题意列出算式11×5-4×12，再进一步计算即可；（2）如换为3，4，10，11，按要求计算即可；设方框框出的四个数分别为a，a+1，a+7，a+8，列出算式(a+1)(a+7)-a(a+8)，再进一步计算即可得．【详解】（1）11×5-4×12=55-48=7，故答案为：7；（2）换为3，4，10，11，则10×4-3×11=40-33=7；设方框框出的四个数分别为a，a+1，a+7，a+8，则(a+1)(a+7)-a(a+8)=a2+7a+a+7-a2-8a=7．【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是根据题意列出算式，并熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则．23．乘法公式的探究及应用．（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是_______（写成两数平方差的形式）；（2）图2是将图1中的阴影部分裁剪开，重新拼成的一个长方形，观察它的长和宽，其面积是______（写成多项式乘法的形式）．（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式_______．（用等式表示） （4）运用你所得到的公式，计算下列各题：①10.39.7⨯②(2)(2)m n p m n p +--+解析：（1）22a b -；（2）()()a b a b +-；（3）22()()a b a b a b +-=-；（4）①99.91；②22242m n np p -+-【分析】（1）利用正方形的面积公式就可求出；（2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积；（3）建立等式就可得出；（4）利用平方差公式就可方便简单的计算．【详解】解：（1）利用大正方形面积减去小正方形面积即可求出：22a b -，故填：22a b -；（2）它的宽是a ﹣b ，长是a+b ，面积是()()a b a b +-，故填：()()a b a b +-；（3）根据题意得出：22()()a b a b a b +-=-，故填：22()()a b a b a b +-=-；（4）①解：原式(100.3)(100.3)=+⨯- 22100.3=-1000.09=-99.91=；②解：原式[2()][2()]m n p m n p =+-⋅--22(2)()m n p =--22242m n np p =-+-．【点睛】此题主要考查了平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．对于有图形的题同学们注意利用数形结合求解更形象直观． 24．先化简，再求值：()()()2222(2)x y y x x y x y x --++---，其中1,22x y =-=． 解析：232+x xy ，54-. 【分析】利用平方差公式，和的完全平方公式，单项式乘以多项式法则化简，合并同类项后，代入求值即可.【详解】原式2222244 42x y x xy y xy x =-+++-+ 232x xy =+，当1,22x y =-=时， 原式2115322224⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了运用乘法公式进行化简，熟练运用公式，正确合并同类项是解题的关键. 25．（概念学习）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方．例如222÷÷，记作2③，读作“2的圈3次方”；再例如(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-，记作()3-④，读作“3-的圈4次方”；一般地，把n a a a a a ÷÷÷⋅⋅⋅÷个（0a ≠，n 为大于等于2的整数）记作，读作“a 的圈n 次方”．（初步探究）（1）直接写出计算结果：7=③_______________，14⎛⎫-= ⎪⎝⎭⑤__________； （2）关于除方，下列说法错误的是____________；A ．任何非零数的圈2次方都等于1；B ．对于任何大于等于2的整数c ，； C ．89=⑨⑧；D ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方211112222222222⎛⎫→=÷÷÷=⨯⨯⨯=→ ⎪⎝⎭④乘方幂的形式（1）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：(5)-=⑥___________；12⎛⎫= ⎪⎝⎭⑨___________；（2）将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式为____________；（3）将（m 为大于等于2的整数）写成幂的形式为_________． 解析：【初步探究】（1）17，64-；（2）C ；【深入思考】（1）415⎛⎫- ⎪⎝⎭，72；（2）21n a -⎛⎫⎪⎝⎭；（3）4m n a +-【分析】初步探究：（1）根据新定义的运算法则进行计算，即可得到答案；（2）根据新定义的运算法则进行判断，即可得到答案；深入思考：（1）由题目中的运算法则转换成幂的形式，即可得到答案；（2）把幂的形式转换为一般形式即可；（3）先把代数式进行化简，然后写成幂的形式即可．【详解】解：【初步探究】（1）177777=÷÷=③；111111()()()()()44444464⎛⎫-=-÷-÷-÷-÷-= ⎪⎭-⎝⑤；故答案为：17；64-；（2）由题意：A 、任何非零数的圈2次方都等于1；正确；B 、对于任何大于等于2的整数c ，；正确；C 、7188888888888=÷÷÷÷÷÷÷÷=⑨，619999999999=÷÷÷÷÷÷÷=⑧，∴89≠⑨⑧，则C 错误；D 、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；正确；故选：C ．【深入思考】（1）4111111(5)(5)()()()()()()555555-=-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-=-⑥； 71122222222222⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭⑨； 故答案为：41()5-；72；（2）由（1）可知，根据乘方的运算法则，则将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式为：21n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭； 故答案为：21n a -⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）=224m n m n a a a --+-•=； 故答案为：4m n a +-．【点睛】本题考查了新定义的运算法则，幂的乘方，有理数的乘法和除法运算，解题的关键是熟练掌握新定义的运算法则、乘方的运算法则进行解题．26．因式分解：（1）2ax 2－4axy ＋2ay 2（2）x 2－2x －8解析：（1）22()a x y -；（2）(2)(4)x x +-．【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式因式分解；（2）先给原式变形用完全平方公式给前三项因式分解后，再利用平方差公式因式分解．【详解】解：（1）原式=22)2(2a x xy y -+=22()a x y -；（2）原式=2219x x -+-=22(1)3x --=(13)(13)x x -+--=(2)(4)x x +-．【点睛】本题考查综合运用提公因式法和公式法因式分解．一般因式分解时，有公因式先提取公因式，再看能否运用公式因式分解，有时还需变形后，分组因式分解．27．如图，正方形ABCD 的边长为a ，点E 在AB 边上，四边形EFGB 也是正方形，它的边长为()b a b >，连结AF ，CF ，AC ．（1）用含a 、b 的代数式表示GC =______；（2）若两个正方形的面积之和为60，即2260a b +=，又20ab =，图中线段GC 的长； （3）若8a =，AFC △的面积为S ，求S 的值．解析：（1）a+b ；（2）10；（3）32【分析】（1）可由图形直观的得出结论；（2）利用完全平方公式通过展开推导，再将数值代入计算可得；（3）通过面积计算可得，△AFC 的面积为12a 2即为32． 【详解】解：（1）∵GC ＝GB+BC ，∴GC ＝a+b ，故答案为：a+b ；（2）∵（a+b ）2＝a 2+b 2+2ab ＝60+20×2＝100，∴a+b ＝10，∴GC ＝10；（3）S △AFC ＝S △AFE +S ▱FGBE +S △ABC -S △FGC 22111()()222b a b b a b b a =-++-+ 22221111122222ab b b a b ab =-++-- 212a = 2182=⨯ 32=故答案为：32．【点睛】本题主要考查了完全平方公式运用，解题的关键是完全平方公式展开与合并．运用几何直观理解、通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释的知识点． 28．因式分解：（1）4x 2y ﹣4xy +y ；（2）9a 2﹣4（a +b ）2．解析：（1）y （2x ﹣1）2；（2）（5a +2b ）（a ﹣2b ）【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式；（2）先利用平方差公式分解，再化简即可．【详解】解：（1）4x2y﹣4xy+y＝y（4x2﹣4x+1）＝y（2x﹣1）2；（2）9a2﹣4（a+b）2＝[3a+2（a+b）][3a﹣2（a+b）]＝（5a+2b）（a﹣2b）．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．。
十四单元整式的乘法与因式分解知识树课件
03
整式的乘法与因式分解的应 用
在数学解题中的应用
01
02
03
简化复杂表达式
整式的乘法与因式分解是 简化复杂数学表达式的有 效方法，有助于理解和解 决数学问题。
解决代数方程
通过整式的乘法与因式分 解，可以将代数方程转化 为更易于解决的形式，从 而找到方程的解。
证明数学定理
整式的乘法与因式分解在 证明数学定理中发挥着重 要作用，如多项式定理、 二项式定理等。
整式乘法具有交换律、结合律和 分配律等基本性质，这些性质在 整式乘法中起着重项式的定义
将两个单项式相乘，根据幂的运算法则进行计算。
单项式乘单项式的计算方法
根据幂的运算法则，将两个单项式的相应字母的指数相加，得到新的单项式。
单项式乘多项式
单项式乘多项式的定义
将一个单项式与一个多项式相乘，根据乘法分配律进行计算 。
提公因式法
总结词
提公因式法是因式分解中最常用的一种方法，通过提取多项式的公因式，简化多项式的 表示。
详细描述
提公因式法的步骤包括找出多项式中的公因子，将公因子提取出来，并把剩余的部分看 作一个整体。这种方法可以用来分解单项式和多项式，并且在处理一些复杂的多项式时
非常有效。
公式法
总结词
公式法是利用数学公式进行因式分解 的方法，适用于一些特定形式的多项 式。
提高练习题
总结词
提升解题技巧和思维能力
详细描述
提高练习题在难度上有所提升，注重解题技 巧和思维能力的训练。题目涉及整式的复杂 运算、因式分解的多种方法以及在实际问题 中的应用，旨在提高学生的解题能力和思维 能力。
综合练习题
总结词
综合运用知识和解决复杂问题
南长区第三中学八年级数学上册 第十四章 整式的乘法与因式分解知识归纳新人教版
第十四章整式的乘法与因式分解14.1 整式的乘法同底数幂的乘法： a m · a n = a m + n（m、n都是正整数）幂的乘方：(a m)n = a m n（m、n都是正整数）积的乘方：(ab)n = a n b n（n为正整数）同底数幂的除法： a m÷ a n = a m - n（a ≠ 0 ，m、n都是正整数，并且m＞n）零指数幂：a0 = 1（a ≠ 0 ）单项式与单项式相乘，单项式与多项式相乘，多项式与多项式相乘。
（利用运算律和上面的运算性质解答）14.2 乘法公式平方差公式：（a+b）（a-b）= a2 - b2完全平方公式：（a+b）2 = a2 + 2ab + b2（a-b）2 = a2 - 2ab + b2添括号法则：a+b+c = a+(b+c) a-b-c = a - (b+c) 举例：a-b+c = a - (b-c)14.3 因式分解（几个整式乘积的形式）式子的变形：这个多项式的因式分解 = 把这个多项式因式分解。
1、提公因式法（多项式各项有公因式）2、公式法（3个乘法公式左右互换）3、十字相乘法（补充）14.3 因式分解教学目标1．知识与技能能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式．2．过程与方法使学生经历探索多项式各项公因式的过程，依据数学化归思想方法进行因式分解．3．情感、态度与价值观培养学生分析、类比以及化归的思想，增进学生的合作交流意识，主动积极地积累确定公因式的初步经验，体会其应用价值．重、难点与关键1．重点：掌握用提公因式法把多项式分解因式．2．难点：正确地确定多项式的最大公因式．3．关键：提公因式法关键是如何找公因式．方法是：一看系数、二看字母．•公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取最低次幂．教学方法采用“启发式”教学方法．教学过程一、回顾交流，导入新知【复习交流】下列从左到右的变形是否是因式分解，为什么？（1）2x2+4=2（x2+2）；（2）2t2－3t+1=1t（2t3－3t2+t）；（3）x2+4xy－y2=x（x+4y）－y2；（4）m（x+y）=mx+my；（5）x2－2xy+y2=（x－y）2．问题：1．多项式mn+mb中各项含有相同因式吗？2．多项式4x2－x和xy2－yz－y呢？请将上述多项式分别写成两个因式的乘积的形式，并说明理由．【教师归纳】我们把多项式中各项都有的公共的因式叫做这个多项式的公因式，如在mn+mb中的公因式是m，在4x2－x中的公因式是x，在xy2－yz－y中的公因式是y．概念：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．二、小组合作，探究方法【教师提问】多项式4x2－8x6，16a3b2－4a3b2－8ab4各项的公因式是什么？【师生共识】提公因式的方法是先确定各项的公因式再将多项式除以这个公因式得到另一个因式，找公因式一看系数、二看字母，公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取最低次幂．三、范例学习，应用所学【例1】把－4x2yz－12xy2z+4xyz分解因式．解：－4x2yz－12xy2z+4xyz=－（4x2yz+12xy2z－4xyz）=－4xyz（x+3y－1）【例2】分解因式，3a2（x－y）3－4b2（y－x）2【思路点拨】观察所给多项式可以找出公因式（y－x）2或（x－y）2，于是有两种变形，（x－y）3=－（y－x）3和（x－y）2=（y－x）2，从而得到下面两种分解方法．解法1：3a2（x－y）3－4b2（y－x）2=－3a2（y－x）3－4b2（y－x）2=－[（y－x）2·3a2（y－x）+4b2（y－x）2]=－（y－x）2 [3a2（y－x）+4b2]=－（y－x）2（3a2y－3a2x+4b2）解法2：3a2（x－y）3－4b2（y－x）2=（x－y）2·3a2（x－y）－4b2（x－y）2=（x－y）2 [3a2（x－y）－4b2]=（x－y）2（3a2x－3a2y－4b2）【例3】用简便的方法计算：0.84×12+12×0.6－0.44×12．【教师活动】引导学生观察并分析怎样计算更为简便．解：0.84×12+12×0.6－0.44×12=12×（0.84+0.6－0.44）=12×1=12．【教师活动】在学生完全例3之后，指出例3是因式分解在计算中的应用，提出比较例1，例2，例3的公因式有什么不同？四、随堂练习，巩固深化利用提公因式法计算：0.582×8.69+1.236×8.69+2.478×8.69+5.704×8.69五、课堂总结，发展潜能1．利用提公因式法因式分解，关键是找准最大公因式．•在找最大公因式时应注意：（1）系数要找最大公约数；（2）字母要找各项都有的；（3）指数要找最低次幂．2．因式分解应注意分解彻底，也就是说，分解到不能再分解为止．六、布置作业，专题突破课本习题4.3一次函数的图象同步检测一、选择题1.若正比例函数的图象经过点（2，-3），则这个图象必经过点（）A．（-3，-2） B．（2，3）C．（3，-2）D．（-2，3）答案：D解析：解答：设正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），因为正比例函数y=kx的图象经过点（2，-3），所以-3=2k，解得：k=32 -，所以y=32-x，把这四个选项中的点的坐标分别代入y=32-x中，等号成立的点就在正比例函数y=32-x的图象上，所以这个图象必经过点（-2，3）．故选D．分析：求出函数解析式，然后根据正比例函数的定义用代入法计算．2.如果函数y=3x+m的图象一定经过第二象限，那么m的取值范围是（）A．m＞0 B．m≥0 C．m＜0 D．m≤0答案：A解析：解答：因为k=3所以图象经过一、三象限函数y=3x+m的图象一定经过第二象限所以m＞0，故选A．分析：图象一定经过第二象限，则函数一定与y轴的正半轴相交，因而m＞0．3.函数y=-x+2的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案：C解析：解答：由已知得，k=-1＜0，b=2＞0，∴函数y=-x+2的图象经过一、二、四象限，不过第三象限．故选C．分析：一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．4.设0＜k＜2，关于x的一次函数y=kx+2（1-x），当1≤x≤2时的最大值是（）A．2k-2 B．k-1 C．k D．k+1答案：C解析：解答：原式可以化为：y=（k-2）x+2，∵0＜k＜2，∴k-2＜0，则函数值随x的增大而减小．∴当x=1时，函数值最大，最大值是：（k-2）+2=k．故选：C．分析：首先确定一次函数的增减性，根据增减性即可求解．5.已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象如图所示，则在下列选项中k值可能是（）A．1 B．2 C．3 D．4答案：B解析：解答：解：根据图象，得2k＜6且3k＞5，所以53＜k＜3．只有2符合．故选B．分析：根据图象，列出不等式求出k的取值范围，再结合选项解答．6.如图，三个正比例函数的图象对应的解析式为①y=ax，②y=bx，③y=cx，则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a答案：B解析：解答：∵y=ax，y=bx，y=cx的图象都在第一三象限，∴a＞0，b＞0，c＞0，∵直线越陡，则|k|越大，∴c＞b＞a，故选：B．分析：根据所在象限判断出a、b、c的符号，再根据直线越陡，则|k|越大可得答案．7.在平面直角坐标系中，一次函数y=2x+1的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案：D解析：解答：当x=0时，y=1，当y=0时，x=12 -，∴A（0，1），B（12-，0），∴y=2x+1的图象经过第一、二、三象限．故选D．分析：分别求出函数与x、y轴的交点，过两点作直线，根据直线即可求出答案．8.已知正比例函数y=kx（k≠0），当x=-1时，y=-2，则它的图象大致是（）A．B．C．D．答案：C解析：解答：将x=-1，y=-2代入正比例函数y=kx（k≠0）得，-2=-k，k=2＞0，∴函数图象过原点和一、三象限，故选C．分析：将x=-1，y=-2代入正比例函数y=kx（k≠0），求出k的值，即可根据正比例函数的性质判断出函数的大致图象．9.已知点P（m，n）在第四象限，则直线y=nx+m图象大致是下列的（）A．B．C．D．答案：D解析：解答：因为点P（m，n）在第四象限，所以m＞0，n＜0，所以图象经过一，二，四象限，故选D分析：根据第四象限的特点得出m＞0，n＜0，再判断图象即可．10.一次函数y=kx+k（k＜0）的图象大致是（）A．B．C．D．答案：D解析：解答：∵一次函数y=kx+k（k＜0），∴函数的图象经过二、三、四象限，故选D．分析：根据k＜0，由一次函数的性质即可判断出函数y=kx+k（k＜0）的图象所经过的象限．11.在平面直角坐标系中，若直线y=kx+b经过第一、三、四象限，则直线y=bx+k不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：C解析：解答：由一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，∴k＞0，b＜0，∴直线y=bx+k经过第一、二、四象限，∴直线y=bx+k不经过第三象限，故选C．分析：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．12.如图为一次函数y=kx+b（k≠0）的图象，则下列正确的是（）A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0答案：C解析：解答：∵一次函数经过二、四象限，∴k＜0，∵一次函数与y轴的交于正半轴，∴b＞0．故选C．分析：一次函数经过一三象限或二四象限，k＞0或＜0；与y轴交于正半轴，b＞0，交于负半轴，b＜0．13.将直线y=-2x向下平移两个单位，所得到的直线为（）A．y=-2（x+2）B．y=-2（x-2）C．y=-2x-2 D．y=-2x+2答案：C解析：解答：由“上加下减”的原则可知，直线y=-2x向下平移2个单位，得到直线是：y=-2x-2．故选C．分析：平移时k的值不变，只有b的值发生变化，而b值变化的规律是“上加下减”．14.将下列函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，图象经过原点的是（）A．y=-x-3 B．y=3x C．y=x+3 D．y=2x+5答案：C解析：解答：A、y=-x-3沿y轴向下平移3个单位长度后得到直线y=-x-6，x=0时，y=-6，不经过原点；B、y=3x沿y轴向下平移3个单位长度后得到直线y=3x-3，x=0时，y=-3，不经过原点；C、y=x+3沿y轴向下平移3个单位长度后得到直线y=x，x=0时，y=0，经过原点；D、y=2x+5沿y轴向下平移3个单位长度后得到直线y=2x+2，x=0时，y=2，不经过原点；故选C．分析：先根据直线平移的规律求出各函数沿y轴向下平移3个单位长度后的解析式，再将原点的坐标代入检验即可．15.将一次函数y=-2x+4的图象平移得到图象的函数关系式为y=-2x，则移动方法为（）A．向左平移4个单位B．向右平移4个单位C．向上平移4个单位D．向下平移4个单位答案：D解析：解答：∵y=-2x+4=-2（x-2），∴将一次函数y=-2x+4的图象向左平移2个单位或者向下平移4个单位，可得到函数y=-2x，故选D．分析：根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可求解．二、填空题16.在一次函数y=kx+3中，y的值随着x值的增大而增大，请你写出符合条件的k的一个值:答案：2解析：解答：当在一次函数y=kx+3中，y的值随着x值的增大而增大时，k＞0，则符合条件的k的值可以是1，2，3，4，5…故答案是：2．分析：本题考查了一次函数的性质．在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．17.一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y＜5时，x的取值范围是答案：x＞0解析：解答：由函数图象可知，当y＜5时，x＞0．故答案为：x＞0．分析：直接根据一次函数的图象即可得出结论．18.直线y=2x+1经过点（0，a），则a=答案：1解析：解答：∵直线y=2x+1经过点（0，a），∴a=2×0+1，∴a=1．故答案为：1分析：根据一次函数图象上的点的坐标特征，将点（0，a）代入直线方程，然后解关于a 的方程即可．19.直线y=2x-1沿y轴向上平移3个单位，则平移后直线与x轴的交点坐标为答案：（-1，0）解析：解答：直线y=2x-1沿y轴向上平移3个单位，则平移后直线的解析式为y=2x-1+3=2x+2，令y=0，即2x+2=0，解得x=-1，所以直线与x轴的交点坐标为：（-1，0）．故答案为：（-1，0）．分析：用一次函数平移规律，上加下减进而得出答案．20.矩形ABCD在平面直角坐标系中，且顶点O为坐标原点，已知点B（3，2），则对角线AC所在的直线l对应的解析式为答案：y=23-x+2解析：解答：∵四边形ABCO为矩形，∴BC∥x轴，AB∥y轴，∵B（3，2），∴OA=BC=3，AB=OC=2，∴A（3，0），C（0，2），设直线AC解析式为y=kx+b，把A与C坐标代入得：302k bb+=⎧⎨=⎩，解得：232 kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩则直线AC解析式为y=23-x+2．分析：由四边形ABCO为矩形，利用矩形的性质得到对边平行且相等，根据B的坐标确定出OA与OC的长，进而求出A与C的坐标，设直线AC解析式为y=kx+b，把A与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线AC解析式．三、解答题21、已知函数y=（2m-2）x+m+1的图象过一、二、四象限，求m的取值范围．答案：∵函数y=（2m-2）x+m+1的图象过一、二、四象限，∴2m-2＜0，m+1＞0解得-1＜m＜1．解析：分析：若函数y=kx+b的图象过一、二、四象限，则此函数的k＜0，b＞0，据此求解．22、已知函数y=（2m-2）x+m+1，（1）m为何值时，图象过原点．（2）已知y随x增大而增大，求m的取值范围．答案：（1）m=-1；（2）m＞1解析：解答：（1）∵函数y=（2m-2）x+m+1的图象过原点，∴m+1=0，解得m=-1；答：m=-1；（2）∵y随x增大而增大，∴2m-2＞0解得m＞1．答：m＞1分析：（1）把（0，0）代入函数解析式，列出关于系数m的方程，通过解方程求得m的值；（2）在直线y=kx+b（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大．23、已知一次函数y=kx+3的图象经过点（1，4）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）求关于x的不等式kx+3≤6的解集．答案：（1）y=x+3；（2）x≤3解析：解答：（1）∵一次函数y=kx+3的图象经过点（1，4），∴ 4=k+3，∴ k=1，∴ 这个一次函数的解析式是：y=x+3．（2）∵ k=1，∴ x+3≤6，∴ x≤3，即关于x的不等式kx+3≤6的解集是：x≤3．分析：（1）把x=1，y=4代入y=kx+3，求出k的值是多少，即可求出这个一次函数的解析式．（2）首先把（1）中求出的k的值代入kx+3≤6，然后根据一元一次不等式的解法，求出关于x的不等式kx+3≤6的解集即可．24、一次函数y=kx+b经过点（-1，1）和点（2，7）．（1）求这个一次函数的解析表达式．（2）将所得函数图象平移，使它经过点（2，-1），求平移后直线的解析式．答案：（1）y=2x+3；（2）y=2x-5解析：解答：（1）将点（-1，1）和点（2，7）代入解析式得：1 27k bk b-+=⎧⎨+=⎩，解得：23 kb=⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析表达式为：y=2x+3；答：y=2x+3（2）因为平移，所以直线平行，所以设y=2x+b，把点（2，-1）代入，得b=-5，∴平移后直线的解析式为：y=2x-5．答：y=2x-5分析：（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可；（2）利用平移后解析式k的值不变，进而假设出解析式求出即可．25、一次函数y=1.5x-3（1）请在平面直角坐标系中画出此函数的图象．（2）求出此函数与坐标轴围成的三角形的面积．答案：（1）略（2）3解析：解答：（1）将y=0代入y=1.5x-3，可得：x=2，得到点A的坐标为（2，0），将x=0代入y=1.5x-3，可得：y=-3，得到点B的坐标为（0，-3）；故图象如图：（2）函数与坐标轴围成的三角形的面积为：12×2×3＝3．分析：（1）将y=0代入y=1.5x-3，求出x的值，得到点A的坐标，将x=0代入y=1.5x-3，求出y的值，得到点B的坐标，根据一次函数的性质，过A，B两点画直线即可；（2）根据三角形的面积公式求解即可．。
(部编)人教数学八年级上册《第十四章整式乘法与因式分解小结构建知识体系》教案8
第十四章整式的乘法与因式分解复习课806班2021年1月7号一．复习目标熟练掌握幂的运算性质、整式的运算，实行准确的计算；提升对公式、法那么的应用水平，通过练习，促使学生在理解乘法公式结构的根底上灵活使用乘法公式实行计算因式分解和解决实际问题.通过本章内容的复习与小结，提升归纳，整理所学知识的水平，从而增强学习的兴趣。
二．复习重难点重点：复习整式乘法、除法法那么和因式分解难点：乘法公式的灵活应用，会对一个多项式实行因式分解。
三．教学准备。
课件，学生导学案。
教学过程一．本章知识梳理。
同底数幂的乘法法那么：a m·a n＝a m＋n(m，n都是正整数)幂的运算法那么幂的乘方法那么：(a m)n＝a mn(m，n是正整数)积的乘方法那么：(ab)n＝a n b n(n是正整数)整式的乘法整式的乘除与因式分整式的除法解单项式乘以单项式法那么：单项式乘以多项式法那么：多项式乘以多项式法那么：同底数幂的除法法那么：a m÷a n＝a m－n(a≠0，m，n都是正整数且m＞n)零指数幂的意义：a0＝1(a≠0)单项式除以单项式法那么：多项式除以单项式法那么：平方差公式：(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2乘法公式完全平方公式：(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2，(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2添括号法那么概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式因式分解平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)方法a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b)2公式法a2－2ab ＋b 2＝(a －b)2完全平方公式二．根底训练〔一〕 选择题. 以下运算准确的是〔〕a2a 482a 2a23a 4Ca 6a 2a3D(ab2)3a 3b 6. 计算(a 2)3的结果是〔〕A.a 5B.a6C.a 8D.3a 2. 以下计算错误的选项是〔〕(ab) abx 4x3x 7A.B.(a1)2a21C.( x)4x)3xD.(二)口答(1)a2a3(2)(x3)4(3)(ab2)3(4)a6a5(5)(2x y)(2x y)(6)(2a 3b)2(7)(x 2)(x 3)(8)(9x23x) (3x)〔三〕填空题1.a m2,a n3,那么a mn2.x 3y 3,那么5-x 3y的值是3.(12x5y3) (3x3y2)4.如图，边长为a,b的矩形，它的周长是14，面积是10，那么a2bab2(5)( 3)0〔四〕先化简，再求值a b( a b)(8822)4,其中a2,b1abaa b〔五〕把以下各式分解因式 (1)xy ay by (2)m 26m 9(3)4x 2 9y 2 4x(ab)2y(ba) 2a 24a2 (6)(x 2)(x 3) x 24〔六〕利用乘法公式实行简便计算(1)2022 (2)200322004 2002三．体验中考1.以下各式计算准确的是〔 〕A〔a7〕2=a9 B a7?a2=a14C2a2+3a3=5a5Dab〕3=a3b32．计算(a4)2a2的结果是〔〕A. a2B.a5C．a6D.a73.化简：( 3x2)2x3的结果是(1)2021 (3)20214.计算：35.分解因式：x24(x 1)四．水平提升xy1,xy3,求y2xxy3的值。
南郑县六月上旬八年级数学上册 第十四章 整式的乘法与因式分解知识归纳新人教版
第十四章整式的乘法与因式分解14.1 整式的乘法同底数幂的乘法： a m · a n = a m + n（m、n都是正整数）幂的乘方：(a m)n = a m n（m、n都是正整数）积的乘方：(ab)n = a n b n（n为正整数）同底数幂的除法： a m÷ a n = a m - n（a ≠ 0 ，m、n都是正整数，并且m＞n）零指数幂：a0 = 1（a ≠ 0 ）单项式与单项式相乘，单项式与多项式相乘，多项式与多项式相乘。
（利用运算律和上面的运算性质解答）14.2 乘法公式平方差公式：（a+b）（a-b）= a2 - b2完全平方公式：（a+b）2 = a2 + 2ab + b2（a-b）2 = a2 - 2ab + b2添括号法则：a+b+c = a+(b+c) a-b-c = a - (b+c) 举例：a-b+c = a - (b-c)14.3 因式分解（几个整式乘积的形式）式子的变形：这个多项式的因式分解 = 把这个多项式因式分解。
1、提公因式法（多项式各项有公因式）2、公式法（3个乘法公式左右互换）3、十字相乘法（补充）专题29 数据的离散程度【知识点总结】 一、平均数和加权平均数 1.平均数一般地，如果有n 个数据123n x x x x 、、、…，那么，()1231n x x x x n⋅⋅⋅++++就是这组数据的算术平均数，简称平均数，用“x ”表示.即()1231n x x x x x n=⋅⋅⋅++++. 要点诠释：（1）平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势.（2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任意一个数据的变动都会引起平均数的变动，所以平均数容易受到个别特殊值的影响. 2.加权平均数若数据1x 出现1f 次，2x 出现2f 次，3x 出现3f 次……k x 出现k f 次，这组数据的平均数为x ，则x =1122k k12kx f x f x f f f +f +++++……（其中1f +2f +…+k f =n ，k≤n）在一组数据中，数据重复出现的次数f 叫做这个数据的权.按照上述方法求出的平均数，叫做加权平均数.数据的权能够反映数据的相对“重要程度”. 要点诠释：（1）k f 越大，表示k x 的个数越多，“权”就越重. “权”越重，对平均数的影响就越大.加权平均数的分母恰好为各权的和.（2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算. 二、中位数和众数 1.中位数一般地，当一组数据按大小顺序排列后，位于正中间的一个数据（当数据的个数是奇数时）或正中间两个数据的平均数（当数据的个数是偶数时）叫做这组数据的中位数. 要点诠释：（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中.（2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半. 2.众数一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 要点诠释：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个. （2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数. 三、平均数、中位数与众数的联系与区别联系：平均数、众数、中位数都是反映数据集中趋势的统计量，能从不同的角度提供信息. 区别：总之，要根据具体问题来选择刻画一组数据的集中程度的统计量，选择的统计量要能够更客观地反映实际背景. 四、方差设一组数据是12,,n x x x …，，它们的平均数是x ，我们用()[]222212)(...)(1x x x x x x nS n -++-+-=来衡量这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的方差. 一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大，越不稳定.在两组数据的平均数相差较大时，以及在比较单位不同的两组数据时，不能直接用方差来比较它们的离散程度. 要点诠释：（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. （2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）一组数据的每一个数据都变为原来的k 倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的2k 倍. 五、用样本估计总体在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差. 要点诠释：（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性.（2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价.【精典例题】一、平均数、众数和中位数1、某选手在青歌赛中的得分如下（单位：分）：99.60，99.45，99.60，99.70，98.80，99.60，99.83，则这位选手得分的众数和中位数分别是（）A．99.60，99.70 B．99.60，99.60C．99.60，98.80 D．99.70，99.60【思路点拨】根据众数和中位数的定义求解即可．【答案】B；【解析】解：数据99.60出现3次，次数最多，所以众数是99.60；数据按从小到大排列：99.45，99.60，99.60，99.60，99.70，99.80，99.83，中位数是99.60．故选B．【总结升华】本题考查了中位数，众数的意义．找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．2、若数据3.2，3.4，3.2，x【答案】3.2；3.5；解：由题意3.43.5, 3.62xx+==，所以众数是3.2，平均数是3.5.3、某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（）A．6.2小时 B．6.4小时 C．6.5小时 D．7小时【答案】B；解：根据题意得：（5×10+6×15+7×20+8×5）÷50=（50+90+140+40）÷50=320÷50=6.4（小时）．故这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是6.4小时．二、利用平均数、众数、中位数解决问题1、某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下表所示：测试项目 测试成绩甲 乙 丙 教学能力 85 73 73 科研能力 70 71 65 组织能力647284(1)如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由；(2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5:3:2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由．【思路点拨】（1）运用求平均数公式()1231n x x x x n⋅⋅⋅++++即可求出三人的平均成绩，比较得出结果；（2）将三人的成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果. 【答案与解析】解：(1)甲的平均成绩为：(85＋70＋64)÷3＝73，乙的平均成绩为：(73＋71＋72)÷3＝72， 丙的平均成绩为：(73＋65＋84)÷3＝74， ∴ 候选人丙将被录用．(2)甲的测试成绩为：(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76.3，乙的测试成绩为：(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72.2， 丙的测试成绩为：(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72.8，∴ 候选人甲将被录用．【总结升华】5、3、2即各个数据的“权”，反映了各个数据在这组数据中的重要程度，按加权平均数来录用．2、小王在八年级第一学期的数学成绩分别为：测验一得89分，测验二得78分，测验三得85分，期中考试得90分，期末考试得87分，如果按照平时、期中、期末的10％、30％、60％量分，那么小王该学期的总评成绩应该为多少?【答案】解：小王平时测试的平均成绩897885843x ++==（分）．所以8410%9030%8760%87.610%30%60%⨯+⨯+⨯=++（分）．答：小王该学期的总评成绩应该为87.6分．3、下表是七年级(2)班30名学生期中考试数学成绩表(已破损)．已知该班学生期中考试数学成绩平均分是76分． (1)求该班80分和90分的人数分别是多少?(2)设此班30名学生成绩的众数为a ，中位数为b ，求a b +的值． 【答案与解析】解：(1)设该班得80分的有x 人，得90分的有y 人．根据题意和平均数的定义，得257330,763050260570780901003,x y x y +++++=⎧⎨⨯=⨯+⨯+⨯+++⨯⎩整理得13,89109,x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得8,5.x y =⎧⎨=⎩即该班得80分的有8人，得90分的有5人．(2)因为80分出现8次且出现次数最多．所以a ＝80，第15、16两个数均为80分，所以b ＝80，则a b +＝80＋80＝160．【总结升华】本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义．解题的关键是准确理解题意，建立等量关系.4、某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行了调查统计，并绘制了统计图表如图所示的统计图．零花钱数额（元） 5 10 15 20 学生个数（个）a15205请根据图表中的信息，回答以下问题.(1)求a的值；(2)求这50名学生每人一周内的零花钱额的众数和平均数．【答案】解：(1) a＝50－15－20－5＝10．(2)众数是15．平均数为150(5×10＋10×15＋15×20＋20×5)＝12．三、方差1、甲、乙两班举行汉字输入比赛，•参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后，填入下表：班级参加人数中位数方差平均字数甲 55 149 191 135乙 55 151 110 135分析此表得出如下结论：（）（1）甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；（2）乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字150个为优秀）（3）甲班学生成绩的波动情况比乙班成绩波动大．A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（2）（3） D．（1）（3）【思路点拨】理清表格中所列数据代表的含义，以及数据差异而导致的不同.【答案】B【解析】甲、乙两班学生的平均字数都是135个/分钟，所以平均水平相同；从中位数上看，乙班的151大于甲班的149，表明乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；从方差上看，甲班的方差大于乙班的方差，所以甲班学生成绩的波动情况比乙班成绩波动大.因此，（1）（2）（3）都正确，选B.【总结升华】此类题关键是要能从表格中筛选出所需要的信息，理解每个数据所代表的含义.2、甲、乙两人各射击6次，甲所中的环数是8，5，5，A，B，C, 且甲所中的环数的平均数是6，众数是8；乙所中的环数的平均数是6，方差是4．根据以上数据，对甲、乙射击成绩的正确判断是（）A ．甲射击成绩比乙稳定B ．乙射击成绩比甲稳定C ．甲、乙射击成绩稳定性相同D ．甲、乙射击成绩稳定性无法比较 【答案】B.四、用样本估计总体1、我国是世界上严重缺水的国家之一．为了倡导“节约用水从我做起”，小刚在他所在班的50名同学中，随机调查了10名同学家庭中一年的月均用水量(单位：t)，并将调查结果绘成了如图所示的条形统计图．(1)求这10个样本数据的平均数、众数和中位数；(2)根据样本数据，估计小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t 的约有多少户．【思路点拨】（1）根据条形统计图，即可知道每一名同学家庭中一年的月均用水量．再根据加权平均数的计算方法、中位数和众数的概念进行求解；（2）首先计算样本中家庭月均用水量不超过7t 的用户所占的百分比，再进一步估计总体． 【答案与解析】解：(1)观察条形图，可知这组样本数据的平均数是62 6.54717.52816.810x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==．∴ 这组样本数据的平均数为6.8．∴ 在这组样本数据中，6.5出现了4次，出现的次数最多． ∴ 这组数据的众数是6.5．∵ 将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是6.5，有6.5 6.56.52+=． ∴ 这组数据的中位数是6.5．(2)∵ 10户中月均用水量不超过7t 的有7户，有7503510⨯=． ∴ 根据样本数据，可以估计出小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t 的约有35户．【总结升华】本题考查的是条形统计图的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．掌握平均数、中位数和众数的计算方法． 2、从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下：（单位：cm ） 甲： 21 42 39 14 19 22 37 41 40 25 乙： 27 16 40 41 16 44 40 40 27 44 (1)根据以上数据分别求甲、乙两种玉米的方差. (2)哪种玉米的苗长得高些？ (3)哪种玉米的苗长得齐？【思路点拨】本题考察方差的定义.熟记方差的计算公式是解决问题的关键. 【答案与解析】解：（1）甲的平均值:）（）（甲cm x 3025404137221914394221101=+++++++++=乙的平均值:甲的方差:)(2.10410)3025()3042()3021(22222cm S =-++-+-=甲, 乙的方差:)(8.12810)3144()3116()3127(22222cm S =-++-+-=乙（2）因为甲种玉米的平均高度小于乙种玉米的平均高度，所以乙种玉米的苗长的高. （3）因为22S S 甲乙＜，所以甲种玉米的苗长得整齐.【总结升华】本题既是一道与方差计算有关的问题，又是利用方差解决实际问题的一道题目，关键是理解和掌握方差的计算公式.3、为了比较甲、乙两种水稻的长势，农技人员从两块试验田中，分别随机抽取5棵植株，将测得的苗高数据绘制成下图：请你根据统计图所提供的数据，计算平均数和方差，并比较两种水稻的长势． 【答案】5.8 5.2x x ==乙甲∵，，∴甲种水稻比乙种水稻长得更高一些．222.160.56S S ==乙甲∵，，∴乙种水稻比甲种水稻长得更整齐一些．植株编号 1 2 3 4 5 甲种苗高 7 5 4 5 8 乙种苗高 64565各位老师，我今天说课的题目是八年级上学期第十五章第一节从分数到分式，下面我从教材分析、教学目标、教学重点与难点、教法与建议、学法与要求、教学练评活动程序、形成性评价、小结与反思等八个方面就确立的依据或设计意图给予分别说明。
小河区第七中学八年级数学上册 第十四章 整式的乘法与因式分解知识归纳新人教版
第十四章整式的乘法与因式分解14.1 整式的乘法同底数幂的乘法： a m · a n = a m + n（m、n都是正整数）幂的乘方：(a m)n = a m n（m、n都是正整数）积的乘方：(ab)n = a n b n（n为正整数）同底数幂的除法： a m÷ a n = a m - n（a ≠ 0 ，m、n都是正整数，并且m＞n）零指数幂：a0 = 1（a ≠ 0 ）单项式与单项式相乘，单项式与多项式相乘，多项式与多项式相乘。
（利用运算律和上面的运算性质解答）14.2 乘法公式平方差公式：（a+b）（a-b）= a2 - b2完全平方公式：（a+b）2 = a2 + 2ab + b2（a-b）2 = a2 - 2ab + b2添括号法则：a+b+c = a+(b+c) a-b-c = a - (b+c) 举例：a-b+c = a - (b-c)14.3 因式分解（几个整式乘积的形式）式子的变形：这个多项式的因式分解 = 把这个多项式因式分解。
1、提公因式法（多项式各项有公因式）2、公式法（3个乘法公式左右互换）3、十字相乘法（补充）第4课时“斜边、直角边”.,,AD BC BD AC AD BD BC AC ==⊥⊥求证：如图，例（全等）．结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边，直角边”或“HL ”）．注意两点：一是“HL ”是仅适用于Rt △的特殊方法。
二是应用“HL ”时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt △的条件 4．结合图形，先分析已知条件和求证．从这些已知条件中，我们能发现什么?结合所求证的，你又能发现什么?(留时间让生思考)…… 小组展示自己的成果：AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，又加上AC ＝BD ，我们能找到两个Rt △：Rt △ADB ，Rt △BCA ．又因为AC ＝BD 已经是一条直角边相等，我们再找到另一条件就行了．从这道题中可以看到，若已知几个垂直关系，我们可以试着找找Rt △，看看这些Rt △的关系．若能发现全等，那就能得出对应边、对应角相等了．让学生表述，培养归纳、表达能力，并能进一步理解“HL ”这一条件．自己读题、审题，先独自证明，培养学生独自面对围难的勇气和信心．让学生上台说方法，说思路，培养学生的逻辑推理能力；展示自己的探究成果，获得成功的喜悦．巩固练习学练优课后练习．小结与作业小结提高 你有什么收获? 你还有什么疑问？ 布置作业阶段能力测试(十一)(7.5)(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题4分，共24分)1．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝65°，则∠C等于( B )A．65°B．55°C．45°D．75°2．等腰三角形的一个外角为130°，它的底角为( C )A．50° B．65°C．50°或65° D．以上都不对3．(2016·随州)如图，直线a∥b，直线c分别与直线a，b相交于点A，B两点，AC ⊥AB于点A，交直线b于点C.已知∠1＝42°，则∠2的度数是( C )A．38° B．42° C．48° D．58°,第3题图) ,第4题图) 4．(2016·东营)如图，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，则∠A等于( C )A．30° B．35° C．40° D．50°5．(2017·普陀区二模)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，如果∠A＝50°，那么∠1＋∠2的大小为( C )A．130° B．180° C．230° D．260°,第5题图) ,第6题图) 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB等于( D )A．40° B．30° C．20° D．10°二、填空题(每小题4分，共20分)7．(2016·达州)如图，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE于点E.若∠A＝42°，则∠D ＝__48°__．8．(2016·金华)如图，AB∥CD，BC∥DE.若∠A＝20°，∠C＝120°，则∠AED的度数是__80°__．,第7题图) ,第8题图) 9．在△ABC中，三个内角满足∠B－∠A＝∠C－∠B，则∠B的度数为__60°__．10．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝__180°__．,第10题图) ,第11题图)11．如图，△ABC 的两个外角平分线交于点D ，若∠B＝50°，则∠D ＝__65°__． 三、解答题(共56分)12．(8分)在△ABC 中，∠A ＝∠B＋20°，∠C ＝∠A ＋50°，求△ABC 各内角的度数． 解：∵∠A ＝∠B ＋20°，∴∠B ＝∠A －20°，又∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴∠A ＋∠A －20°＋∠A ＋50°＝180°，∴∠A ＝50°，∠B ＝30°，∠C ＝100°13．(10分)如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，∠AEF ＝∠AFE，延长EF 与BC 的延长线交于点G.求证：∠G＝12(∠ACB－∠B)．解：∵∠AEF ＝∠B ＋∠G ，∠CFG ＝∠ACB －∠G ，∠AFE ＝∠CFG ，∠AEF ＝∠AFE ，∴∠B ＋∠G ＝∠ACB －∠G ，∴∠G ＝12(∠ACB －∠B )14．(10分)如图，∠GFC ＝25°，∠G ＝20°，∠D ＝45°，∠A ＝35°，求∠AED 的度数．解：∠ACB ＝∠G ＋∠GFC ＝20°＋25°＝45°，∠ABD ＝∠A ＋∠ACB ＝35°＋45°＝80°，∠AED ＝∠D ＋∠ABD ＝45°＋80°＝125°15．(13分)如图，AD 是△ABC 的高，∠EBC ＝25°，∠AEB ＝80°，求： (1)∠ABF＋∠BAF 的度数； (2)∠CAD 的度数．解：(1)∵∠EBC ＝25°，∠ADB ＝90°，∴∠BFD ＝65°，∴∠AFE ＝∠BFD ＝65°，∴∠ABF ＋∠BAF ＝∠AFE ＝65° (2)∵∠AEB ＝80°，∠AFE ＝65°，∴∠CAD ＝35°16．(15分)如图，∠DOE ＝90°，点A ，B 分别是射线OD ，OE 上的两个动点，∠DAB 的平分线AC 的反向延长线与∠ABO 的平分线交于点F.(1)点A ，B 在射线OD ，OE 上运动时，∠AFB 的大小是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，求出它的变化范围；(2)若∠AOB≠90°，上述结论是否还成立？解：(1)∠AFB 的大小不变，∵∠AFB ＝∠CAB －∠FBA ，而∠CAB ＝12∠DAB ，∠FBA ＝12∠ABO ，∴∠AFB ＝12∠AOB ＝12×90°＝45° (2)成立。
第十四章 整式的乘除与因式分解教材分析
第十四章整式的乘除与因式分解教材分析1、教学内容及地位本章属于《课程标准》中的“数与代数”领域，其核心知识是：整式的乘除运算和因式分解。
这些知识是在学习了有理数的运算、列代数式、整式加减和解一元一次方程及不等式的基础引入的。
也是进一步学习分式和根式运算、一元二次方程以及函数等知识的基础，同时又是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学工具，因此，本章在初中学段占有重要地位。
2、本章教学内容在学习上各部分知识之间的联系如下：从上面可以看出，本章内容的突出的特点是：内容联系紧密、以运算为主。
全章紧紧围绕整式的乘除运算，分层递进，层层深入。
在整式的乘除中，单项式的乘除是关键，这是因为其他乘除都要转化为单项式除法。
实际上，单项式的乘除进行的是幂的运算与有理数的运算，因此幂的运算是学好整式乘除的基础。
3、教学目标《课程标准》目标人教材具体目标目标1：了解整数指数幂的意义和基本性质，会进行简单的整式乘法运算（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）目标1：掌握正整数幂的乘、除运算性质，能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行计算.掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行计算.目标2：会推导乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；(a+b)2=a2+2ab+b2，了解公式的几何背景，并能进行简单目标2：会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算.⑴解析每个目标①目标1中《课标》对整式乘法运算的要求——其中的多项式相乘仅指一次式相乘，是对多项式与多项式相乘的难度作一个要求。
②目标2中对乘法公式的要求不仅是能利用公式进行（简单）的乘法运算，更要引起老师们注意的是，目标要求会“推导”乘法公式，因此在教学中要从代数、几何多个角度出发推导公式。
③目标3中，《课标》要求：会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）分解因式（指数是正整数）。
初中数学整式乘法、因式分解知识清单
整式乘法、因式分解知识清单
1、幂的运算：
变，指数相加）（同底数幂相乘底数不m
n m n a a a +=⨯ ()()指数相乘）（幂的乘方底数不变，n
m nm m n a a a == ()积）
（积的乘方等于乘方的==n n n b a ab
2、多项式的乘法
（a+b ）（m+n ）=am+an+bm+bn
3、乘法公式及变形
平方差公式：
22b a b a b a -=-+））（（ 完全平方公式
2222b ab a b a ++=+）（ 2222b ab a b a +-=-）（ 变形：
ab b a b a 2222-）（+=+ ab b a b a 2222+-=+）（
ab b a b a 422=--+）（）（ bc ac ab c b a c b a 2222222---++=++）（
4、因式分解
1）提取公因式
ab+ac =a （b+c ）
2）公式法（平方差、完全平方公式）
平方差公式：））（（b a b a b a -+=-22
完全平方公式2222）（b a b ab a +=++ 2222）（b a b ab a -=+-
3）分组分解法
am+an+bm+bn=（a+b ）（m+n ）
4）十字相乘法
))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++
因式分解口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试， 分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．。