人教B版数学指导试题：第3章 不等式3.5.2 Word版含解析

3.5.2简单线性规划
课后篇巩固探究
一、A组
1.在△ABC中,三顶点A(2,4),B(-1,2),C(1,0),点P(x,y)在△ABC内部及边界运动,则z=x-y的最大值为()
A.1
B.-3
D.3
△ABC,如图所示,z=x-y,可看成y=x-z,求z的最值,相当于找斜率为1的直线经过△ABC区.可知,直线经过C,B点,纵截距-z分别取最小值-1及最大值3,从而z分别取最大值1及最小值-3.
则z=x+2y的取值范围是()
2.(2017浙江高考,4)若x,y满足约束条件-
-
A.[0,6]
B.[0,4]
∞) D.[4,+∞)
-
所表示的平面区域为图中阴影部分,
-
由目标函数z=x+2y得直线l:y=-x+z,
当l经过点B(2,1)时,z取最小值,z min=2+2×1=4.
z无最大值,所以z的取值范围是[4,+∞),故选D.
3.如图,目标函数z=ax-y的可行域为四边形OACB(含边界),若C是该目标函数z=ax-y的最优解,则a的取值范围是()
A.--
B.--
C.D.-
k BC=-,k AC=-,所以a∈--.最优解为C点,则目标函数表示的直线的斜率在直线AC的斜率之间.
(阴影部分且包括边界),若目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个,则
-
的最大值是()
A.B.C.D.
a≠0,目标函数z=x+ay可化为y=-x+z,
由题意,a<0且当直线y=-x+z与直线AC重合时符合题意.此时k AC=1=-.
∴a=-1.又∵
-的几何意义是区域内动点(x,y)与P(-1,0)连线的斜率,显然k PC=最大.
5.已知x,y满足约束条件--
--
则当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值
2时,a2+b2的最小值为()
B.4
C.
D.2
--
--
满足的可行域如图中的阴影部分所示.由图可知,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取最小值时,最优解为(2,1).
所以2a+b=2,则b=2-2a,
所以a2+b2=a2+(2-2a)2=5a2-8a+20=5-+4,
即当a=,b=时,a2+b2有最小值4.
6.若变量x,y满足约束条件-
-则z=3x+y+5的最小值为.
解析:由线性约束条件画出可行域如图阴影部分所示.
由线性目标函数z=3x+y+5,得y=-3x+z-5,可知其过A(0,1)时z取最小值,故z min=3×0+1+5=6.
6.
7.设D为不等式组-
-
表示的平面区域,区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值
-
-
表示的区域D如图中的阴影部分.
由图知点P(1,0)与平面区域D上的点的最短距离为点
P(1,0)到直线y=2x的距离d=
.
106千克,现在市场上该原料有两种包装,第一种每袋是35千克,价格
元;第二种是每袋24千克,价格为120元,在满足需求的条件下,最少要花费元.
x袋,第二种为y袋,总的花费为z元,由题意知35x+24y≥106(x,y均为整数),且
120y.其中x=0,1,2,3,4,相应y值和花费如
下:x=0,y=5,z=600;x=1,y=3,z=500;x=2,y=2,z=520;x=3,y=1,z=540;x=4,y=0,z=560.易见,最少要花费.
9.已知x,y 满足约束条件
--
-若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,求的最小
解:不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分.
当直线ax+by=z(a>0,b>0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时,目标函数
z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值12,即4a+6b=12,即2a+3b=6,
所以+2=,当且仅当a=b=时,等号成立.
即的最小值为.
10.导学号93924070学校有线网络同时提供A,B两套校本选修课程.A套选修课播40分钟,课后研讨20分钟,可获得学分5分;B套选修课播32分钟,课后研讨40分钟,可获学分4分.全学期20周,网络每周开播两次,每次均为独立内容.学校规定学生每学期收看选修课不超过1 400分钟,
1 000分钟.两套选修课怎样合理选择,才能获得最高学分?
解:设选择A,B两套课程分别为x,y次,z为学分,则
∈
如图所示:
目标函数:z=5x+4y.
由方程组解得:点A (15,25),B (25,12.5),由于目标函数的斜率与直线AB 的斜率相等,因此在图中阴影线段AB 上的整数点A (15,25),C (19,20),D (23,15)都符合题意,使得学分最高为175分.但学生可根据自己的经验和要求选择一个最佳的点.例如,学生需要最省时就可以选择点A (15,25).
二、B 组
1.设m>1,在约束条件
下
,目标函数z=x+my 的最大值小于2,则m 的取值范围为( ) A .(1,1+ ) B .(1+ ,+∞) D .(3,+∞)
m>1,由
画出可行域,如图中的阴影部分,对于目标函数z=x+my ,即y=- x+
,
∵m>1,∴-
∈(-1,0).∴当直线
y=- x+
过点P 时z 取得最大值.
由 得
∴z max =
<2.
1<m<1+ .
A (x 0,y 0),
B (1,1),
C (5,2),如果一个线性规划问题的可行域是△ABC 的边界及其内部,线性目标函数z=ax+by 在点B 处取得最小值3,在点C 处取得最大值12,则下列关系成立的是( ) A .3≤x 0+2y 0≤12
B .x 0+2y 0≤3或x 0+2y 0≥12
C .3≤2x 0+y 0≤12
0≤3或2x 0+y 0≥12
,得z min =a+b=3,z max =5a+2b=12,联立解得a=2,b=1,则z=2x+y.
(x ,y ),都有3≤z ≤12,故3≤2x 0+y 0≤12.
3.已知x ,y 满足
- -
若目标函数z=3x+y 的最大值为10,则z 的最小值为 .
.
当目标函数线过B-时,目标函数值最大,为4+m+-=10,解得m=5. C(2,-1),∴z的最小值为3×2-1=5.
4.当实数x,y满足不等式组
-
--时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围
解析:作出题中线性规划条件满足的可行域如图阴影部分所示,
令z=ax+y,即y=-ax+z.作直线l0:y=-ax,平移l0,最优解可在A(1,0),B(2,1),C处取得.故由1≤z≤4恒成立,可得
解得1≤a≤.
5.已知x,y满足--
设z=ax+y(a>0),若当z取最大值时对应的点有无数多个,求a的值.
(如图).
由--
得A(5,2),
由--
得B(1,1),
由得C(1,4.4).
一般情况下,当z取最大值时,直线所经过的点都是唯一的,但若直线平行于边界直线,如图所示,即直线z=ax+y(a>0)平行于直线AC,则直线经过线段AC上任意一点时,z均取得最大值,此时满足条件,即有无数多个点使函数取得最大值.当直线y=-ax+z刚好移动到直线AC时,将会有无数多个点使函数取得最大值.
又由于k AC=-
-
=-,
即-a=-,∴a=.
6.某餐厅预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子,希望使桌椅的总数尽可能多,但椅子
,且不多于桌子数的1.5倍,问桌、椅各买多少?
,即建立线性约束条件,写出目标函数,然后求出最优解.
x张桌子,y把椅子,x+y=a,可借助图象求a的最大值.由题意得
由解得
∴点A的坐标为.
由解得
∴点B的坐标为.
满足以上不等式组所表示的区域是如图所示以A,B,O(0,0)为顶点的三角形区
域E(包括边界和内部).
对E内的点P(x,y),设x+y=a,即y=-x+a,这表示斜率为-1,y轴上的截距为a的平行直线系.
要使a最大,如图所示,只有P与B重合,即取x=25,y=,由于y取整数,所以y=37.
故买桌子25张,椅子37把是最优选择.
7.导学号93924071某公司计划在今年内同时出售某品牌多功能电子琴和智能型洗衣机,由于这两种产品的市场需求量非常大,有多少就能销售多少,因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力等)确定产品的月供应量,以使得总利润达到最大,已知对这种产品的生产有直接限制的因素是
,才能使总利润达到最大?总利润最大是多少?
x架、洗衣机y台,利润为z元,
依题意得
∈
z=6x+8y,
不等式组表示的平面区域如图所示.
作直线l:6x+8y=0,即3x+4y=0.
把直线l向右上方平移,当直线l经过可行域中的点M时,z取得最大值,
解方程组
得点M的坐标为(4,9),
将M(4,9)代入得z=6×4+8×9=96.
故当月供应电子琴4架、洗衣机9台时,才能使总利润最大,总利润最大为9600元.。