概率统计试卷A

江西理工大学继续教育学院考试试卷
一、选择题(共24分，每小题4分)
1：A 、B 为两个事件，下列选项表示事件“A 、B 至少一个发生”的是( B ) (A)：A B (B)：A B + (C)：A B (D)：AB
2：投掷两颗均匀骰子，出现点数之和等于2的概率为( C )
(A)：
111
(B)：
511
(C)：
136
(D)：
536
3：设X 服从参数为λ的泊松分布，且(1)(2)P X P X ===，则( B ) (A)：λ=1 (B)：λ=2 (C)：12
λ=
(D)：λ=3
4：设随机变量X 的分布为(1;2)N ，则4Y X =服从( B )
(A)：(4;8)N (B)：(4;32)N (C)：(16;32)N (D)：(4;8)N 5：设总体X 服从参数为θ的均匀分布，{}12,,n X X X 为总体X 的一个样本，则下列选项不是统计量的是( C ) (A)：
12
(B)：12X X + (C)：
2
1
1
()
5
n
i
i X θ=-∑ (D)：12max{,,}n X X X
6：设某个连续型随机变量X 的密度函数为()sin f x x =，则X 的取值范围是( B )
班级 层次（高专、专本、高本）学号 姓名
(A)：R (B)：[0,]2
π (C)：[,]22
ππ
-
(D)：[0,]π
二、填空题(共24分，每小题4分)
1：设X 的分布为[1,5]U ，当1215x x <<<时，12()P x X x <<=______21
(1)4x -_________.
2：一盒产品中有a 只正品，b 只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率P=_______
a a b
+_________.
3：已知X 的分布为(,)B n p ，且()8,() 4.8E X D X ==，则n=_______ n=20 __________. 4：设随机变量X 、Y 的联合密度为(,)f x y ，边缘密度分别为()X f x 、()Y f y ，当
(,)()()X Y f x y f x f y =______________________时，则称
X 、Y 相互独立.
5：设随机变量X 、Y 的联合密度为(,)f x y =1
sin()2
x y +，[0,]2
x π
∈，[0,]2
y π
∈，则随
机变量X 的边缘密度为_____1(sin cos )2
x x +[0,]2
x π
∈.
6：下列函数中，可以作为随机变量分布函数的为_______①④ ①：11
()arctan , 2F x x x R
π
=
+∈ ②：(), 1x F x x R
x
=
∈+ .
③：()sin , F x x x R =∈ .
④：0, 0
(), 01x F x x x x
≤⎧⎪
=⎨>⎪
+⎩
.
三、(10分)设离散型随机变量X 的分布律为：
求：(1)：C 的值。

(2)：概率{1}P X ≥。

(3)：X 的分布函数。

四、(10分)连续型随机变量X 的分布函数为
()arctan F x A B x
=+ x -∞<<+∞
求：(1)：系数A 与B 。

(2)：概率{11}P x -<<。

(3)：X 的密度函数。

五、(10分)已知X 的密度函数为：cos [0,]()20 x x f x π⎧
∈⎪=⎨⎪⎩，
，
其它
，求：
(1)：数学期望E(X)、方差D(X)。

(2)：1(1)2
E X -
+、(36)D X -。

解：(1)：2
2
()()cos sin sin 20
E X xf x dx x xdx x x
xdx
π
π
π
+∞
-∞
=
=
=-⎰
⎰⎰
=
cos 122
2
x π
ππ+=
-.
2
2
2
2
2
2
()()cos sin 2sin 20
E X x f x dx x
xdx x x x xdx
π
π
π
+∞-∞=
=
=-⎰
⎰⎰
=
2
2
2
2
2cos 2cos 2sin 2
224
44
x x xdx x π
π
π
π
π
π
+-=
-=
-⎰
2
2
2
2
()()()
2(
1)3
4
2
D X
E X
E
X π
π
π=-=-
--=-.
(2)：1(1)2
E X -
+=113()1(1)12
2224
E X ππ-
+=-
-+=-.
(36)9()9(
D X D X π-=
=-.
六、(10分)设1θ>-，总体X 的分布密度为(1), 01
(;)0, x x f x θθθ⎧+<<=⎨⎩其它
，1{,,}
n X X 为总体X 的简单随机样本，试求参数θ的极大似然估计量。

(1)：极大似然函数为：
11
1
(,,;)(+1)(1)
n
n
n
n i i
i i L x x x x θθ
θθθ===
=+∏
∏
.
两边同时取对数得：
11
ln (,,;)ln(1)ln n
n i
i L x x n x θθθ==++∑ .
令对数极大似然函数对参数θ的一阶导数等于0立即得：
11
ln (,,;)
ln 1
n
n i
i L x x n
x θθ
θ=∂=
+
∂+∑ =0.
解得参数θ的极大似然估计为： 1
1ln n
i
i n
x θ
==--∑.
七、(12分)试卷中有一道选择题，共有4个选项，只有一个选项是正确的，任一考生如果会解这道题，则一定能选出正确答案，如果不会解这道题，其选中正确答案的概率为14
，
设考生会解答这道题的概率为0.7，求：
(1)：考生选出正确答案的概率。

(2)：考生在选出正确答案的前提下，确实会解答这道题的概率。

(1)：记{}A =考生会解答这道题，{}B =考生选出正确答案，则由题意：
()0.7P A =，()0.3P A =，(|)1P B A =，(|)0.25
P B A =.
所求概率为：()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+=0.710.30.250.775⨯+⨯= (2)：由贝叶斯公式有：(|)()
(|)(|)()(|)()
P B A P A P A B P B A P A P B A P A =
+ (4分)
所以所求概率为：10.7(|)0.90310.70.250.3
P A B ⨯=
≈⨯+⨯。