2019高考数学理科二轮复习第一篇微型专题讲义：专题3 数列 知识整合 Word版含解析

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1)d.
等差数列的前 n 项和为关于 n 的二次函数,且没有常数项.
二、等比数列
1.等比数列的通项公式是什么?如何表示等比数列中任意两项的 关系?
an=a1qn-1;an=amqn-m.
2.等比数列的前 n 项和公式是什么?具有什么特点?易忽略点是什 么?
{ ������������1,q = 1,
三、数列求和
列举数列求和的方法,各自的注意点是什么?
(1)公式法求和:要熟练掌握一些常见数列的前 n 项和公式.
(2)分组求和法:分组求和法是解决通项公式可以写成 cn=an+bn形 式的数列求和问题的方法,其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以 直接求和的数列.
(3)裂项相消法:将数列的通项公式分成两个代数式子的差,即
(4)错位相减法:形如{an·bn}(其中{an}为等差数列,{bn}为等比 数列)的数列求和,一般分三步:①巧拆分;②构差式;③求和.用错位相 减法求和时易漏掉减数式的最后一项.
(5)倒序求和法:距首尾两端等距离的两项和相等,可以用此法.一 般步骤:①求通项公式;②定和值;③倒序相加;④求和;⑤回顾反思.
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重要性质:已知数列{an}是等差数列,(1)若 m,n,p,q∈N*,且
m+n=p+q,则
am+an=ap+aq.(2)an=2������
1 -
1S2n-1.
等比中项:若 a,M,b 成等比数列,则 M 为 a,b 的等比中项,且 M2=ab.
重要性质:已知数列{an}是等比数列,若 m,n,p,q∈N*,且 m+n=p+q, 则 am·an=ap ·aq.
专题 3 数列
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一、等差数列
1.等差数列的通项公式是什么?如何表示等差数列中任意两项的 关系?
an=a1+(n-1)d;an=am+(n-m)d. 2.等差数列的前 n 项和公式是什么?它具有什么特点?
Sn=������(������12+
������������)=na1+������(������
A.-20 B.-10 C.10 D.20
( ) 解析▶ 设数列{an}的公差为
d,由题意可得
3
3������1 +
3×2
2×
d
=2a1+d+4a1+4
× 2
3×d,解得
d=-32a1.因为
a1=2,所以
d=-3,所以
S5=5×2+
5 × 4×(-3)=-20,故选 A.
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答案▶ A
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Sn= ������1(1 - ������������) ������1 - ������������q 1 - ������ = 1 - ������ ,q ≠ 1.
当
q≠1
时,Sn=1
������1 -
-1 -
·qn,qn
������
的系数与常数项互为相反数.
应用等比数列前 n 项和公式时,应先讨论公式中的公比 q 是否等 于 1.
附:常见的裂项公式(其中 n∈N*).
① 1 =1- 1 .
������(������ + 1) ������ ������ + 1
( ) ② 1 =1 ������(������ + ������) ������
1 ������
-
1 ������ + ������
.
( ) ③ (2������
-
1
an=f(n+1)-f(n)的形式,然后通过累加抵消中间若干项的求和方法.形
{ } 如
������ ������������������������ + 1
(其中{an}是公差
d≠0
且各项均不为
0
的等差数列,c
为常
数)的数列等.用裂项相消法求和时易认为只剩下首尾两项.用裂项相
消法求和时要注意所裂式与原式的等价性.
=1
1)(2������ + 1) 2
1 2������ -
1
-
1 2������ + 1
.
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④ 1 = ������ + 1- ������.
������ + ������ + 1
⑤ ������ + 1������ + ������=1������( ������ + ������ - ������).
一、选择题和填空题的命题特点
等差(比)数列的基本运算:a1,an,Sn,n,d(q)这五个量中已知其中 的三个量,求另外两个量.已知数列的递推关系式以及某些项,求数列 的通项公式和前 n 项和等.
1.(2018·全国Ⅰ卷·理 T4 改编)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和. 若 3S3=S2+S4,a1=2,则 S5=( ).
所以数列{an}是以-1 为首项,2 为公比的等比数列,
所以 an=-2n-1,a6=-26-1=-32.
答案▶ -32
二、解答题的命题特点
等差(比)数列的基本运算:a1,an,Sn,n,d(q)这五个量中已知其中 的三个量,求另外两个量.已知数列的递推关系式以及某些项,求数列 的通项公式.已知等差(比)数列的某些项或前几项的和,求其通项公 式.等差(比)数列的判断与证明以及等差数列前 n 项和的最值问题等.
从近三年的高考全国卷试题来看,数列一直是高考的热点,数列 部分的题型、难度和分值都保持稳定,考查的重点主要是等差数列及 其前 n 项和、等比数列及其前 n 项和、数列的通项、数列的前 n 项和 等知识.考查内容比较全面,解题时要注意基本运算、基本能力的运用, 同时注意函数与方程、转化与化归等数学思想的应用.
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2.(2018·全国Ⅰ卷·理 T14 改编)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和.若 Sn=2an+1,则 a6= .
解析▶ 当 n≥2 时,Sn-1=2an-1+1,所以 Sn-Sn-1=2(an-an-1),即 an=2an-1.
又 a1=S1=2a1+1,所以 a1=-1≠0,
3.等差数列的单调性与什么有关?等比数列呢?
等差数列的单调性只取决于公差 d 的正负,而等比数列的单调性 既要考虑公比 q 的取值,又要考虑首项 a1 的正负.
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4.等差中项、等比中项的概念是什么?由此可以得到哪些重要的 性质?
等差中项:若 a,M,b 成等差数列,则 M 为 a,b 的等差中项,且 M=������ + ������.